Теория вероятности и формула Бернулли

Размещено на http://www.allbest.ru/

Государственный комитет связи, информатизации и

телекоммуникационных технологий Республики Узбекистан

Ташкентский университет информационных технологий

Самостоятельная работа

по Дискретной математике

На тему:

Теория Вероятности. Формула Бернулли - примеры задач с решением

Выполнили

студенты группы 225-12 ПИ

Пак Виктория

Лапин Джанибек



Содержание

1. Определение

2. Теорема

3. Примеры решения задач



1. Определение

Схема Бернулли -- это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A, причем известна вероятность этого события P(A) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.

Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа «найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10») до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты). В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала работы.

Вернемся к определению. Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода:

1. A -- появление события A с вероятностью p;

2. «не А» -- событие А не появилось, что происходит с вероятностью

q = 1 ? p.

Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл -- это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A, которое возникает с одной и той же вероятностью p.

Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар -- соотношение цветов в ящике изменилось. Следовательно, изменились и вероятности.

Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы.

2. Теорема

Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:

где -- число сочетаний,

q = 1 ? p.

Эта формула так и называется: формула Бернулли. Интересно заметить, что задачи, приведенные ниже, вполне решаются без использования этой формулы. Например, можно применить формулы сложения вероятностей. Однако объем вычислений будет просто нереальным.

3. Решение задач

Задача №1

Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.

Решение

По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью

p = 1 ? 0,2 = 0,8.

Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию A противопоставляется событие «не A», т.е. выпуск бракованного изделия.

Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.

Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные (k = 0), что только одна деталь без брака (k = 1), и что бракованных деталей нет вообще (k = 10):

Ответ

10^?7; 4 · 10^?6; 0,1

Задача №2

Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:

1. герб выпадет три раза;

2. герб выпадет один раз;

3. герб выпадет не менее двух раз.

Решение

Итак, нас интересует событие A, когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A», когда выпадает решка, что случается с вероятностью

q = 1 ? 0,5 = 0,5.

Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.

Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.

Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3:

Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1:

Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка -- во фразе «не менее». Получается, что нас устроит любое k, кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы

X = P₆(2) + P₆(3) + ... + P₆(6).

Заметим, что эта сумма также равна (1 ? P₆(0) ? P₆(1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0). Поскольку P₆(1) нам уже известно, осталось найти P₆(0):

Ответ

1) ; 2) ; 3)

Задача №3

Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?

Решение

Интересующее событие A -- наличие скрытого дефекта. Всего телевизоров n = 20, вероятность скрытого дефекта p = 0,2. Соответственно, вероятность получить телевизор без скрытого дефекта равна

q = 1 ? 0,2 = 0,8.

Получаем стартовые условия для схемы Бернулли: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.

Найдем вероятность получить два «дефектных» телевизора (k = 2) и три (k = 3):

Очевидно, P₂₀(3) > P₂₀(2), т.е. вероятность получить три телевизора со скрытыми дефектами больше вероятности получить только два таких телевизора. Причем, разница неслабая.

Ответ

P₂₀(3) > P₂₀(2)

Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью p. При этом вероятность противоположного события равна

q=1-p.

В теории вероятностей особый интерес представляет случай, когда в n испытаниях событие А встречается k раз, тем самым не встречается (n-k) раз. Искомую вероятность Р_n(k) можно вычислить по формуле Бернулли:

Задача №4

Монету подбрасывают шесть раз. Какова вероятность того, что герб выпадет только два раза.

Решение

Для вычисления искомой вероятности применим формулу Бернулли. Число испытаний n=6, а число благоприятствующих исходов k=2. Вероятность события (выпадения герба)

p= =0.5; q= 1-p = 0.5

Задача №5

Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее:

а) выиграть одну партию из двух или две партии из четырех?

б) выиграть не менее двух партий из четырех или не менее трех партий из пяти? Ничьи во внимание не принимаются.

Решение

Так как играют равносильные шахматисты, то вероятность выигрыша р=, вероятность проигрыша

q= 1-p =0.5.

Во всех партиях вероятность выигрыша постоянна и безразлично, в какой последовательности произойдут эти выигрыши, поэтому применима формула Бернулли:

а)

Так как P₂(1) > Р₄(2), то более вероятен выигрыш одной партии из двух, чем двух партий из четырех.

б) Пусть событие А -- «выиграть не менее двух партий из четырех». Данное событие соответствует следующим независимым событиям:

* «выиграть две партии из четырех», вероятность этого события вычисляется как Р₄(2);

* «выиграть три партии из четырех», вероятность этого события вычисляется как Р₄(3);

* «выиграть четыре партии из четырех», вероятность этого события вычисляется как Р₄(4).

Пусть событие В -- «выигрыш не менее трех партий из пяти». Данное событие соответствует следующим независимым событиям:

* «выиграть три партии из пяти», вероятность этого события вычисляется как Р₅(3);

* «выиграть четыре партии из пяти», вероятность этого события вычисляется как Р₅(4);

* «выиграть пять партий из пяти», вероятность этого события вычисляется как Р₅(5).

[P(B)=P]_5 (3)+P_5 (4)+P_5 (5)=C_5^3*p^3*q^2+C_5^4 [*p]^4 [*q]^ +C_5^5 [*p]^5 [*q]^0=5!/3!2! [*(1/2)]^3 [*(1/2)]^2+5!/4!1! [*(1/2)]^4*1/2+5!/5!0! [*(1/2)]^5 [*(1/2)]^0=(4*5)/2 [*(1/2)]^5+5[*(1/2)]^5=1/2

Так как Р(А) > P(B), то выигрыш не менее двух партий из четырех более вероятен, чем выигрыш не менее трех партий из пяти.

Задача №6

Устройство, состоящее из пяти независимо работающих элементов, включается за время Т. Вероятность отказа каждого из них за это время равна 0,2. Найти вероятность того, что откажут:

а) три элемента;

б) не менее четырех элементов;

в) хотя бы один элемент.

Решение

Имеем схему Бернулли с параметрами p=0,2 (вероятность того, что элемент откажет), n=5 (число испытаний, то есть число элементов), k (число «успехов», отказавших элементов). Будем использовать формулу Бернулли (вероятность того, что для n элементов отказ произойдет в k элементах):

Получаем

а) Вероятность того, что откажут ровно три элемента из пяти:

б) Вероятность того, что откажут не менее четырех элементов из пяти (то есть или четыре, или пять):

в) Вероятность того, что откажет хотя бы один элемент (нашли через вероятность противоположного события - ни один элемент не откажет):

Ответ

0,0512; 0,00672; 0,67232.

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события А в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, т.е. p=P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) - буквой

q=P()=1?p.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения.

Задача №7

В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение

Событие А - достали белый шар. Тогда вероятности

P()=

По формуле Бернулли требуемая вероятность равна

Задача №8

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение

Вероятность рождения девочки , тогда .

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

, ,

, .

Следовательно, искомая вероятность

P=+

Задача №9

Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Решение

Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность p=0,04, тогда q=0,96. Отсюда по формуле Бернулли находим

.

Задача №10

При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение

Вычисляем по формуле Бернулли:

+

схема бернулли формула

Задача №11

Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет k раз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n і k), если в каждом из них P(A)=p.

Решение

Событие В - ровно n испытаний до k-го появления события А - есть произведение двух следующий событий:

D - в n-ом испытании А произошло;

С - в первых (n-1)-ом испытаниях А появилось (k-1) раз.

Теорема умножения и формула Бернулли дают требуемую вероятность:

Надо заметить, что использование биномиального закона зачастую связано с вычислительными трудностями. Поэтому с возрастанием значений n и m становится целесообразным применение приближенных формул (Пуассона, Муавра-Лапласа), которые будут рассмотрены в следующих разделах.

Размещено на Allbest.ru