Основные дискретные законы распределения и их характеристика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Классическая формула сложения вероятностей

1. Независимо друг от друга 5 человек садятся в поезд, содержащий 13 вагонов. Найдите вероятность того, что все они поедут в разных вагонах.

2. В партии из 13 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 7 деталей. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 5 стандартных.

В киоске продается 9 лотерейных билетов, из которых число выигрышных составляет 3 штуки. Студент купил 4 билета. Какова вероятность того, что число выигрышных среди них будет не меньше 2, но не больше 3? корреляция бернулли геометрический вероятность

	Всего	Выигрыш	Проигрыш
Было	9	3	6
Отобрано 1	4	2	2
Отобрано 2	4	3	1

3. В группе учатся 13 юношей и 9 девушек. Для дежурства случайным образом отобраны три студента. Найдите вероятность того, что все дежурные окажутся юношами.

4. Имеется 25 экзаменационных билетов, на каждом из которых напечатано условие некоторой задачи. В 15 билетах задачи по статистике, а в остальных 10 билетах задачи по теории вероятностей. Трое студентов выбирают наудачу по одному билету. Найдите вероятность того, что хотя бы одному из них не достанется задачи по теории вероятностей.

5. В ящике 3 белых и 4 черных шаров. Найдите вероятность того, что из двух вынутых наудачу шаров один белый, а другой черный. Вынутый шар в урну не возвращается.

6. В ящике 12 шаров, из них 3 белых, а остальные - черные. Из ящика наугад берут 5 шаров. Какова вероятность, что среди выбранных есть хотя бы один белый шар?

Геометрические вероятности

7. В квадрат со стороной 15м случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем на 2м от центра квадрата.

8. На отрезок длины 240 наудачу поставлена точка . Найдите вероятность того, что меньший из отрезков и имеет длину большую, чем 48.

9. На отрезок длины 120 наудачу поставлена точка . Найдите вероятность того, что меньший из отрезков и имеет длину меньшую, чем 30.

10. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 20 и 100 соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

11. Внутрь круга радиуса 50 наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата? правильного треугольника? правильного шестиугольника?

12. Двое договорились о встрече между 6 и 7 часами утра, причем договорились ждать друг друга не более 5 минут. Считая, что момент прихода на встречу выбирается каждым наудачу в пределах указанного часа, найти вероятность того, что встреча состоится.

13. В шар радиуса 150 наудачу бросаются 2 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра шара до ближайшей точки будет не меньше 120.

14. В круг радиуса 150 наудачу бросаются 4 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра круга до ближайшей точки будет не меньше 75.

15. В шар радиуса 100 наудачу бросаются 4 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра шара до самой удаленной точки будет не больше 50.

Правила сложения и умножения вероятностей

16. Пусть - вероятности событий. Найдите наименьшую возможную вероятность события .

17. Вероятность события , , Найдите наименьшую возможную вероятность события .

18. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны , и . Найдите вероятность того, что тока в цепи не будет.

А-событие, сост. в том, что тока нет

-событие, сост. в том, что ток есть

=В1,В2,В3

Вi-событие, сост. в том, что прибор исправен

19. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при 9 выстрелах равна 0.81. Найдите вероятность попадания при одном выстреле.

А-событие, сост. в том, что при 9 выстрелах в мишень попадут 1 раз

P(A)=0.81

А с чертой - событие, сост. в том, что в мишень не попали ни разу

Вероятность непопадания при 1 выстреле

След, вероятность попадания 1 выстрела

20. Пассажир подходит к остановке автобусов двух маршрутов. Интервал движения автобусов 1-го маршрута составляет мин., а 2-го маршрута - мин. Найдите вероятность того, что пассажир уедет с остановки не позднее, чем через мин., считая, что его устроит автобус как 1-го, так и 2-го маршрутов.

А-событие, сост. В том, что уедет не позднее, чем через 6 мин

-опоздает

В-1 авт. Прибудет позднее 6 мин

С - 2 авт. Прибудет позднее 6 мин

21. В ящике 8 белых и 13 черных шаров. Два игрока поочередно извлекают по шару, каждый раз возвращая его обратно. Выигрывает тот, кто первым вытащит белый шар. Какова вероятность выигрыша для начинающего игру?

А-событие, сост. в том, что достали белый шар

22. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины допущена ошибка, равна 0.05. Найдите наименьшее число измерений, которые необходимо произвести, чтобы с вероятностью можно было ожидать, что хотя бы один результат измерений окажется неверным.

А-хотя бы 1 раз результат окажется неверным

А с чертой- все верны

А с чертой= В1, …Вn

Bi- где i результат верен

Формула полной вероятности. Формула Байеса

23. В ящике содержатся деталей, изготовленных на заводе 1, деталей - на заводе 2 и деталей - заводе 3. Вероятности изготовления брака на заводах с номерами 1, 2 и 3 соответственно равны , и . Найдите вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется качественной.

Hi- гипотеза, что деталь изготовлена на i заводе

P(Hi)-вероятность того, что деталь изготовлена на 1 заводе

24. В урну, содержащую шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном количестве белых шаров в урне.

Hi-первоначально в урне i белых шаров

i=0,….20

А- событие, сост, в том, что извлечен белый шар

25. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй - 6 белых и 9 черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар. Какова вероятность того, что этот шар - белый?

26. С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает деталей, со 2-го и 3-го - по и соответственно. Вероятности выдачи бракованных деталей составляют для каждого из них соответственно , и . Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажется бракованной, а также вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах, при условии, что она оказалась бракованной.

27. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 23 белых шара, во втором - 9 белых и 14 черных шаров, в третьем - 23 черных шара. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность того, что шар вынут из второго ящика.

	1 ящик	2 ящик	3 ящик
Кол-во шаров	23	23	23
% шаров ко всем	1/3	1/3	1/3
Кол-во белых шаров	23	9	0
% белых шаров к ящику	1	9/23	0

28. В среднем из 100 клиентов банка 53 обслуживаются первым операционистом и 47 - вторым. Вероятности того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет и соответственно для первого и второго служащих банка. Какова вероятность, что клиент, для обслуживания которого потребовалась помощь заведующего, был направлен к первому операционисту?

n1-1-ый операционист

n2-2-ой операционист

А-событие, сост. в том, что, что потребуется помощь заведующего

29. Имеется 13 монет, из которых 3 штуки бракованные: вследствие заводского брака на этих монетах с обеих сторон отчеканен герб. Наугад выбранную монету, не разглядывая, бросают 9 раз, причем при всех бросаниях она ложится гербом вверх. Найдите вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами.

H1-монета хорошая

H2 - бракованная монета

А-событие, состю в том, что при всех бросании монета легла гербом

30. Детали, изготовленные в цехе, попадают к одному из 2-х контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к 1-му контролёру, равна 0,8; ко 2-му - 0,2. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной 1-м контролёром равна 0,96; 2-м контролёром - 0,98. Годная деталь при проверке оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что эту деталь проверял 1-й контролёр.

31. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трёх касс (А,B,C). Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местонахождения и равны соответственно 0,4;0,5 и 0,1. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира, имеющиеся в кассе билеты распроданы равны соответственно 0,4; 0,3 и 0,1. Найдите вероятность того, что билет куплен. В какой из касс это могло произойти с наибольшей вероятностью?

32. В первой урне белых и черных шаров, во второй - белых и черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар, который оказывается белым. Какова вероятность того, что два шара, переложенные из второй урны в первую, были разных цветов?

Схема Бернулли. Числа . Наиболее вероятное число успехов

33. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна . Сделано выстрелов. Найдите вероятность того, что в цель попали менее трех раз.

34. Отрезок длины поделен на две части длины и соответственно, точек последовательно бросают случайным образом на этот отрезок. Найдите вероятность того, что количество точек, попавших на отрезок длины будет больше или меньше .

М-событие, сост. в том, что на отрезок АС попало не менее 2 точек

М с чертой - событие, сост. в том, что попало 2 точки

Р - вероятность попадания на АС при 1 бросании

35. Вероятность попадания стрелком в цель равна . Сделано выстрелов. Определите наивероятнейшее число попаданий в цель.

Схема Бернулли. Приближенные формулы Лапласа и Пуассона

36. Вероятность выпуска бракованного изделия равна . Найдите вероятность того, что среди выпущенных изделий ровно изделий без брака.

37. Вероятность выпуска бракованного изделия равна . Найдите вероятность того, что среди выпущенных изделий будет хотя бы одно, но не более бракованных изделий.

38. Всхожесть семян данного растения равна . Найдите вероятность того, что из посаженных семян число проросших семян заключено между и .

39. Прядильщица обслуживает веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна . Найдите вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет более чем на веретенах.

Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна . Какова вероятность того, что на базу поступят некачественных изделия?

40. При введении вакцины против полиомиелита иммунитет создается в случаях. Определите вероятность того, что из вакцинированных детей заболеют .

2. Дискретные случайные величины

Закон распределения случайной величины

41. Случайная величина принимает только целые значения . При этом вероятности возможных значений пропорциональны значениям: . Найдите значение константы и вероятность .

X	1	2	3	k	28
P	c	2c	3c	kc	28c

C(1+2+…+28)=1

42. Случайная величина принимает только целые неотрицательные значения . При этом . Найдите значение константы и вероятность .

X	0	1	2	…	k
P	c	c/6	c/6^2	…	c/6^k

Независимые дискретные случайные величины

43. Независимые дискретные случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью , - от до с вероятностью . Найдите вероятность .

44. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью , - от до с вероятностью . Найдите вероятность .

45. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью , - от до с вероятностью . Найдите вероятность .

46. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью , - от до с вероятностью . Найдите вероятность .

47. Независимые случайные величины и принимают только целые значения: - от до , - от до . Найдите , если известно, что возможные значения и равновероятны.

48. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью , - от до с вероятностью . Найдите .

49. Независимые случайные величины принимают только целые значения от до . Найдите вероятность , если известно, что все возможные значения равновероятны.

50. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью , - от до с вероятностью , - от до с вероятностью . Найдите вероятность того, что примут разные значения.

51. Независимые случайные величины принимают только целые значения: - от до с вероятностью , - от до с вероятностью , - от до с вероятностью . Найдите вероятность .

Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

52. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание и вероятность .

53. Дискретная случайная величина принимает только целые значения , каждое с вероятностью . Найдите математическое ожидание и вероятность .

54. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите дисперсию .

55. Распределение случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание , среднее квадратичное отклонение и вероятность .

56. Для случайной величины известно, что . Найдите дисперсию .

57. Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

X	0	1	Y	0	1
P	0.1	0.9	P	0.9	0.1

58. Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значения и . При этом , .

X	0	1	Y	0	1
P	0.1	0.9	P	0.6	0.4

59. Дискретные случайные величины распределены по закону, заданному таблицей

Найдите математическое ожидание .

60. Независимые случайные величины принимают только целые значения . Найдите математическое ожидание , если известно, что возможные значения равновероятны.

61. Для независимых случайных величин известно, что их математические ожидания , дисперсии , . Найдите дисперсию произведения .

62. Независимые случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

Xi	0	1
P	0.9	0.1

63. Независимые случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

64. Вероятность выигрыша рублей в одной партии равна , вероятность проигрыша рублей равна . Найдите дисперсию капитала игрока после партий.

Основные дискретные законы распределения и их характеристики

65. На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых и соответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросают точек. Пусть случайная величина - число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание и дисперсию .

66. Производится независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются монет. Пусть - число испытаний, в которых выпало герба. Найдите математическое ожидание .

- число испытаний, в которых выпало герба.

67. Случайные величины распределены по биномиальному закону с параметрами и . Найдите математическое ожидание .

68. Случайные величины независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами и . Найдите математическое ожидание .

69. Отрезок длины поделен на две части длины и соответственно. Наудачу точек последовательно бросают на отрезок. - случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины . Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины .



70. Производится независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются игральные кости. Пусть - число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались . Найдите дисперсию .

71. Производится независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Пусть - число успехов в испытаниях с номерами , - число успехов в испытаниях с номерами . Найдите дисперсию .

U- число успехов в испытаниях с номерами 1,2,3,4

V- число успехов в испытаниях с номерами 5,6,7

W- число успехов в испытаниях с номерами 8.9.10.

Каждая из величин имеет биномиальное распределение

72. На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых и соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина - число бросаний. Найдите математическое ожидание и дисперсию .

Геометрическое распределение

73. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается палаток и рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).

T-время ожидания

T=T1+T2

T1, T2-независимы

Т1-время ожидания 1-го выигрыша

Т2-время ожидания др. выигрыша

74. В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события в одном испытании равна . Пусть - время ожидания наступления события раз (за все время ожидания). Найдите математическое ожидание и дисперсию .

Ti-время ожидания от (i-1)-ого до i-ого события

Геометрическое распределение

75. Случайные величины распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

76. Случайные величины независимы и распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

77. Случайные величины распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию , если их математические ожидания равны , а коэффициент корреляции и равен .

78. Случайная составляющая выручки равна , где - биномиальная случайная величина с параметрами и . Случайная составляющая затрат имеет вид , где - пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, что и - независимы, а .

79. Для пуассоновской случайной величины отношение . Найдите математическое ожидание .

Ковариация и коэффициент корреляции

80. Даны математические ожидания случайных величин и : , , их дисперсии , и ковариация Cov. Найдите математическое ожидание и дисперсию .

81. Случайные величины принимают только значения и . Найдите дисперсию , если вероятности , а коэффициент корреляции и равен .

82. Для случайных величин даны их математические ожидания и дисперсии , , а также коэффициент корреляции . Найдите математическое ожидание .

83. Случайные величины распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

84. Случайные величины независимы и распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

85. Случайные величины распределены по закону Пуассона. Найдите , если и , а коэффициент корреляции и равен .

3. Непрерывные случайные величины

Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины

86. Случайная величина имеет функцию распределения . Найдите плотность вероятности случайной величины .

87. Случайная величина имеет функцию распределения . Найдите плотность вероятности случайной величины .

88. Случайная величина имеет функцию распределения . Найдите плотность вероятности случайной величины .

89. Распределение непрерывной случайной величины задано плотностью вероятности . Найдите плотность вероятности случайной величины .

90. Случайная величина имеет плотность вероятности . Найдите плотность вероятности случайной величины .

91. Случайная величина имеет плотность вероятности Найдите константу и вероятность .

92. Функция плотности вероятности случайной величины имеет вид . Найдите константу и вероятность .

93. Функция плотности вероятности случайной величины имеет вид . Найдите константу и вероятность .

94. Плотность вероятности случайной величины имеет вид . Найдите и .

Равномерное распределение на отрезке

95. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найдите вероятность .

96. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найдите вероятность .

97. Случайные величины независимы и равномерно распределены на отрезке . Найдите математическое ожидание .

98. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке Найдите коэффициент корреляции случайных величин и

99. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найдите математическое ожидание .

100. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найдите дисперсию .

101. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найдите .

102. Случайная величина равномерно распределена на отрезке . Найдите .

103. Найдите математическое ожидание и дисперсию произведения независимых случайных величин и с равномерными законами распределения: - на отрезке, - на отрезке .

104. Случайные величины и независимые и равномерно распределены на отрезках: - на отрезке , - на отрезке . Найдите .

Показательное распределение

105. Случайные величины и независимые и распределены по показательному закону, причём , . Найдите .

106. Случайные величины независимы и распределены по показательному закону. Найдите , если .

107. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание , если дисперсия .

108. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание , если дисперсия .

109. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите вероятность , если .

Нормальное распределение на прямой

110. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией найдите вероятность .

111. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами и . Найдите вероятность попадания в интервал .

112. Для нормальной случайной величины известно, что математическое ожидание и вероятность Найдите дисперсию .

113. Для нормальной случайной величины известно, что дисперсия и вероятность . Найдите математическое ожидание .

114. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией найдите вероятность .

115. Математические ожидания и дисперсии независимых нормальных случайных величин равны 1. Найдите вероятность .

116. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией найдите вероятность .

117. Для независимых нормальных случайных величин , известны их математические ожидания и дисперсии: , , , . Найдите вероятность .

118. Независимые нормальные случайные величины имеют одинаковые параметры: , , . Для случайной величины найдите вероятность .

119. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием и дисперсией найдите вероятность .

120. Случайные величины и независимые и распределены по нормальному закону, причём , . Найдите .

4. Случайные векторы

Двумерные дискретные случайные векторы

121. Найдите распределение случайной величины и , если известно распределение случайного дискретного вектора :

Z	0	1	2	3
P	1/12	5/24+0	1/12+5/24=7/24	5/12

Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону выясните, зависимы или нет события и .

Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону выясните, зависимы или нет события и .

122. Распределение случайного вектора задается таблицей

Найдите так, чтобы коэффициент корреляции случайных величин и был равен

123. Найдите распределение случайной величины и , если известно распределение случайного дискретного вектора :

Z	1	2	3	4
P	1/8	1/6+1/4=5/12	1/8+1/6=7/24	1/6

M(Z)=1*1/8+2*5/12+3*7/24+4*1/6=2.5

124. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону

выясните, зависимы или нет события и .

125. Найдите распределение случайной величины и , если известно распределение дискретного случайного вектора :

Z	-3	-2	-1
P	1/6+1/6=1/3	1/12+1/6+1/6=5/12	1/4

M(Z)=-3*1/3-2*5/12-1*1/4=-25/12

Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону выясните, зависимы или нет события и .

126. Найдите распределение случайной величины и , если известно распределение дискретного случайного вектора :

Z	5	6	7
P	1/4+5/24+1/12=13/24	1/12+1/4=1/3	1/8

M(Z)=5*13/24+6*1/3+7*1/8=67/12

127. Найдите распределение случайной величины и , если известно распределение дискретного случайного вектора :

Z=X/Y	1	-1	0
P	1/4+1/12=1/3	1/8+1/8=1/4	1/6+1/4=5/12

M(Z)=1/3-1/4=1/12

128. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону



129. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону

выясните, зависимы или нет события и .

130. Найдите распределение случайной величины и , если известно распределение дискретного случайного вектора :

Z	1	2
P	1/6	1/12

M(Z)=1*1/6+2*1/12=1/3

131. Найдите распределение случайной величины и , если известно распределение дискретного случайного вектора :

Z	-2	-1
P	1/12+1/24=3/24	1/6+1/65/24+1/3=7/8

M(Z)=-2*3/24+-1*7/8=-9/8

132. Найдите , , , , , и для случайного дискретного вектора , распределенного по закону

133. Дискретный случайный вектор задан распределением

Найдите условное математическое ожидание .

	-1	0	-1	0
P	1/12:19/24=2/19	1/4:19/24=6/19	5/24:19/24=5/19	1/4:19/24=6/9

134. Дискретный случайный вектор задан распределением

Найдите условное математическое ожидание .

	2	3	2	3
P	1/12:9/24=2/9	5/24:9/24=5/9	0:9/24=0	1/12:9/24=2/9

135. Дискретный случайный вектор задан распределением

Найдите условное математическое ожидание .

P(X+Y=5)=1/4+1/8=3/8

Y|X+Y=5	2	3
P	1/8:3/8=1/3	ј:3/8=2/3

M(Y|X+Y=5)=2*1/3+3*2/3=2+2/3

136. Дано: . Найдите .

X	40	90
P	0.4	0.6
Z	2	3

Z=M(Y|X)

M(Y)=M(Z)=2*0.4+3*0.6=0.8+1.8=2.6

137. Дано: . Найдите .

X	20	80
P	0.4	0.6
Z	3	1

M(XY)=M(X*M(Y|X))

M(XY)=20*0.4*3+80*0.6*1=24+48=72

138. Дано: . Найдите .

X	40	70
P	0.2	0.8
Z	1	1

Cov(X;Y)=M(XY)-M(X)M(Y)

M(X)=40*0.2+70*0.8=8+56=64

M(Y)=40*0.2*1+70*0.8*1=64

Cov(X;Y)=64-64=0

139. Дано: и Найдите .

X	30	80
P	0.1	0.9
Z	9	8

M(Z)=0.1*9+0.9*8=8.1

140. Дано: . Найдите .

X	50	80
P	0.6	0.4
Z	2	2

Z=M(Y|X)

D(Z)=M(Z²)-(M(Z))²

M(Z)=0.6*2+0.4*2=2

M(Z²)=4*0.6+4*0.4=4

D(Z)=4-4=0

141. Дано: и Найдите .

X	50	60
P	0.5	0.5
Z	4	1
V	7	5

Z=M(Y|X)

V=D(Y|X)

Двумерные непрерывные случайные векторы

142. Случайный вектор () имеет плотность распределения Найдите константу и

143. Случайный вектор () имеет плотность распределения Найдите константу и

144. Случайный вектор () имеет плотность распределения Найдите константу и

145. Случайный вектор () имеет плотность распределения Найдите константу и .

146. Случайный вектор () имеет плотность распределения Найдите константу и .



147. Случайный вектор () имеет плотность распределения Найдите константу и .

148. Случайный вектор () имеет плотность распределения Найдите константу и .

149. Случайный вектор () равномерно распределен в треугольнике , Найдите математическое ожидание

150. Случайный вектор () равномерно распределен в треугольнике , Найдите значение функции распределения и

151. Случайный вектор () равномерно распределен в треугольнике , Найдите значение функции распределения и

152. Случайный вектор () имеет плотность распределения Найдите константу и

Условные непрерывные распределения

153. Плотность распределения случайного вектора имеет вид: . Найдите условное математическое ожидание .

154. Плотность распределения случайного вектора имеет вид: . Найдите условное математическое ожидание .

155. Плотность распределения случайного вектора имеет вид: . Найдите .

156. Плотность распределения случайного вектора имеет вид: . Найдите .

Математическая статистика

? Основные характеристики выборочной и генеральной совокупностей. Точечные оценки

157. Игральную кость бросили раз. При этом очко выпало раз, очка - раз, очка - раз, очка - раза, очков - раза, очков - раз. Найдите эмпирическую функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости.

Xi	1	2	3	4	5	6
Ni	1	1	1	2	2	1

158. В четырех независимых испытаниях случайная величина приняла следующие значения: Найдите несмещенную оценку дисперсии

159. В независимых испытаниях случайная величина значениe приняла раз, а значение - раз. Найдите несмещенную оценку дисперсии

160. Даны результаты независимых измерений одной и той же величины прибором, не имеющим систематических ошибок: м. Найдите несмещённую оценку дисперсии ошибок измерений, если истинная длина м.

161. Даны результаты независимых измерений одной и той же величины прибором, не имеющим систематических ошибок: м. Найдите несмещённую оценку дисперсии ошибок измерений, если истинная длина неизвестна.

162. Используя метод моментов, оцените параметры и равномерного распределения на отрезке по эмпирическому распределению

Значение	3	5	7	9
Частота	21	18	15	26

163. Случайная величина (время бесперебойной работы устройства) имеет показательное распределение с плотностью (). По эмпирическому распределению времени работы

Время работы
Число устройств

методом моментов найдите точечную оценку .

164. Случайная величина распределена по закону Пуассона . Результаты независимых наблюдений отражены в

Значение	0	1	2	3
Частота

Найдите методом моментов точечную оценку .

? Интервальные оценки параметров распределения

165. В сеансах игры с автоматом выигрыш появился раз. Найдите для вероятности выигрыша приближенный - доверительный интервал.

166. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна , а случайные ошибки распределены нормально со среднеквадратичным отклонением м. Каково наименьшее число независимых измерений, при котором удается определить глубину с ошибкой меньше метров с надежностью не ниже ?

167. Брокер на бирже желает найти -доверительный интервал для математического ожидания недельной доходности выбранной акции. Известно, что выборочная средняя недельная доходность за последний год (52 недели) составила . Найдите искомый доверительный интервал в предположении, что недельные доходности независимы и распределены нормально с постоянными параметрами, причем генеральное среднеквадратичное отклонение недельной доходности равно .

168. Найдите _доверительный интервал для генерального среднего нормально распределенного признака , если генеральное среднеквадратичное отклонение равно , а выборочное среднее при объеме выборки равно .

169. Выборка из большой партии электроламп содержит ламп. Средняя продолжительность горения отобранных ламп оказалась равной ч. Найдите приближенный -доверительный интервал для средней продолжительности горения лампы во всей партии, если известно, что среднеквадратичное отклонение продолжительности горения лампы в партии равно ч.

170. Произведено независимых испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность события постоянна. Событие наступило в испытаниях. Найдите для вероятности приближенный 0.994_доверительный интервал.

171. Выборочно обследовали качество кирпича. Из проб в случаях кирпич оказался бракованным. В каких пределах заключается доля брака для всей продукции, если результат гарантируется с надежностью ?

172. При испытании элементов зарегистрировано отказов. Найдите доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность отказа элемента с надежностью .

173. В результате проведенного социологического опроса человек рейтинг кандидата в президенты составил . Найдите доверительный интервал для рейтинга кандидата с гарантированной надежностью .

174. Численность повторной выборки составляет единиц. Доля признака составляет . Найдите с доверительной вероятностью , в каких пределах находится отклонение частоты от доли признака.

175. Обследуется средняя продолжительность телефонного разговора. Сколько телефонных разговоров должно быть зафиксировано, чтобы с вероятностью можно было бы утверждать, что отклонение средней продолжительности зафиксированных разговоров от генеральной средней не превосходит секунд, если среднее квадратичное отклонение длительности одного разговора равно минутам?

176. Производится выборочное обследование возраста читателей массовых библиотек. Сколько карточек необходимо взять для обследования, чтобы с вероятностью можно было бы утверждать, что средний возраст в выборочной совокупности отклонится от генерального среднего не более, чем на 2 года? Генеральное среднее квадратичное принять равным годам.

Размещено на Allbest.ru