Преобразование графиков функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Преобразование графиков функций

В этой статье я познакомлю вас с линейными преобразованиями графиков функций и покажу, как с помощью этих преобразований из графика функции получить график функции .

Линейным преобразованием функции называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду , а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.

Наибольшие затруднения при построении графиков с помощью линейных преобразований вызывают следующие действия:

Вычленение базовой функции, собственно, график которой мы и преобразовываем.

Определения порядка преобразований.

Именно на этих моментах мы и остановимся подробнее.

Рассмотрим внимательно функцию.

В ее основе лежит функция . Назовем ее базовой функцией. При построении графика функции мы совершаем преобразования графика базовой функции . Если бы мы совершали преобразования функции в том же порядке, в каком находили ее значение при определенном значении аргумента, то сначала мы бы нашли значение выражения, стоящего под знаком корня: . Обозначим это выражение . Назовем преобразование внутренним преобразованием, или преобразованием аргумента, затем мы бы нашли значение базовой функции в этой точке: .

После этого мы бы совершили преобразование самой функции: . Назовем его внешним преобразованием, или преобразованием функции.

Рассмотрим, какие виды линейных преобразований аргумента и функции существуют, и как их выполнять.

Преобразования аргумента.

1. f(x) f(x+b).

1. Строим график функции .

2. Сдвигаем график функции вдоль оси ОХ на |b| единиц.

влево, если b>0.

вправо, если b<0.

Построим график функции .

1. Строим график функции .

2. Сдвигаем его на 2 единицы вправо:

2. f(x) f(kx).

1. Строим график функции .

2. Абсциссы точек графика делим на к, ординаты точек оставляем без изменений.

Построим график функции .

1. Строим график функции

2. Все абсциссы точек графика делим на 2, ординаты оставляем без изменений:

3. f(x) f(-x).

1. Строим график фунции .

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY.

Построим график функции .

1. Строим график функции .

2. Отображаем его симметрично относительно оси OY:

4. f(x) f(|x|)

1. Строим график функции .

2. Часть графика, расположенную левее оси ОY стираем, часть графика, расположенную правее оси ОY. Достраиваем симметрично относительно оси OY:

График функции выглядит так:

Построим график функции .

1. Строим график функции (это график функции , смещенный вдоль оси ОХ на 2 единицы влево):

2. Часть графика, расположенную левее оси OY (x<0) стираем:

3. Часть графика, расположенную правее оси OY (x>0) достраиваем симметрично относительно оси OY:

Важно! Два главных правила преобразования аргумента.

1. Все преобразования аргумента совершаются вдоль оси ОХ.

2. Все преобразования аргумента совершаются «наоборот» и «в обратном порядке».

Например, в функции последовательность преобразований аргумента такая:

1. Берем модуль от х.

2. К модулю х прибавляем число 2.

Но построение графика мы совершали в обратном порядке:

Сначала выполнили преобразование 2. - сместили график на 2 единицы влево (то есть абсциссы точек уменьшили на 2, как бы «наоборот»).

Затем выполнили преобразование f(x) f(|x|).

Коротко последовательность преобразований записывается так:

Теперь поговорим о преобразовании функции. Преобразования совершаются.

1. Вдоль оси OY.

2. В той же последовательности, в какой выполняются действия.

Вот эти преобразования:

1. f(x)f(x)+D.

1. Строим график функции y=f(x).

2. Смещаем его вдоль оси OY на |D| единиц.

вверх, если D>0.

вниз, если D<0.

Построим график функции .

1. Строим график функции .

2. Смещаем его вдоль оси OY на 2 единицы вверх:

2. f(x)Af(x).

1. Строим график функции y=f(x).

2. Ординаты всех точек графика умножаем на А, абсциссы оставляем без изменений.

Построим график функции .

1. Построим график функции .

2. Ординаты всех точек графика умножим на 2:

3. f(x)-f(x).

1. Строим график функции y=f(x).

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

Построим график функции .

1. Строим график функции .

2. Отображаем его симметрично относительно оси ОХ.

4. f(x)|f(x)|.

1. Строим график функции y=f(x).

2. Часть графика, расположенную выше оси ОХ оставляем без изменений, часть графика, расположенную ниже оси OX, отображаем симметрично относительно этой оси.

Построим график функции .

1. Строим график функции . Он получается смещением графика функции вдоль оси OY на 2 единицы вниз:

2. Теперь часть графика, расположенную ниже оси ОХ, отобразим симметрично относительно этой оси:

И последнее преобразование, которое, строго говоря, нельзя назвать преобразованием функции, поскольку результат этого преобразования функцией уже не является:

y=f(x) |y|=f(x).

1. Строим график функции y=f(x).

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем, затем часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

Построим график функции .

1. Строим график функции :

2. Часть графика, расположенную ниже оси ОХ стираем:

3. Часть графика, расположенную выше оси ОХ достраиваем симметрично относительно этой оси.

линейный модуль аргумент ось координата

Размещено на Allbest.ru