Îáðàòíàÿ ìàòðèöà

Ðàçìåùåíî íà http://www.allbest.ru

Ðàçìåùåíî íà http://www.allbest.ru

Îáðàòíàÿ ìàòðèöà

Ïóñòü -- êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ïîðÿäêà . Ìàòðèöà , óäîâëåòâîðÿþùàÿ âìåñòå ñ çàäàííîé ìàòðèöåé ðàâåíñòâàì:

íàçûâàåòñÿ îáðàòíîé.

Åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà -- òàêàÿ êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà, ó êîòîðîé âñå ýëåìåíòû ïî ãëàâíîé äèàãîíàëè, ïðîõîäÿùåé îò ëåâîãî âåðõíåãî óãëà ê ïðàâîìó íèæíåìó óãëó, -- åäèíèöû, à îñòàëüíûå -- íóëè, íàïðèìåð:

Îáðàòíàÿ ìàòðèöà ìîæåò ñóùåñòâîâàòü òîëüêî äëÿ êâàäðàòíûõ ìàòðèö ò.å. äëÿ òåõ ìàòðèö, ó êîòîðûõ ÷èñëî ñòðîê è ñòîëáöîâ ñîâïàäàþò.

Òåîðåìà î ñóùåñòâîâàíèè è åäèíñòâåííîñòè îáðàòíîé ìàòðèöû.

Êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà , îïðåäåëèòåëü êîòîðîé îòëè÷åí îò íóëÿ, èìååò îáðàòíóþ ìàòðèöó è ïðèòîì òîëüêî îäíó:



ãäå -- ìàòðèöà, òðàíñïîíèðîâàííàÿ äëÿ ìàòðèöû, ñîñòàâëåííîé èç àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé ýëåìåíòîâ ìàòðèöû .

Ìàòðèöà íàçûâàåòñÿ ïðèñîåäèíåííîé ìàòðèöåé ïî îòíîøåíèþ ê ìàòðèöå .

 ñàìîì äåëå, ìàòðèöà ñóùåñòâóåò ïðè óñëîâèè . Íàäî ïîêàçàòü, ÷òî îíà îáðàòíàÿ ê , ò.å. óäîâëåòâîðÿåò äâóì óñëîâèÿì:

Äîêàæåì ïåðâîå ðàâåíñòâî. Ñîãëàñíî ï.4 çàìå÷àíèé 2.3, èç ñâîéñòâ îïðåäåëèòåëÿ ñëåäóåò, ÷òî . Ïîýòîìó

÷òî è òðåáîâàëîñü ïîêàçàòü. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåòñÿ âòîðîå ðàâåíñòâî. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè óñëîâèè ìàòðèöà èìååò îáðàòíóþ

Åäèíñòâåííîñòü îáðàòíîé ìàòðèöû äîêàæåì îò ïðîòèâíîãî. Ïóñòü êðîìå ìàòðèöû ñóùåñòâóåò åùå îäíà îáðàòíàÿ ìàòðèöà òàêàÿ, ÷òî . Óìíîæàÿ îáå ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà ñëåâà íà ìàòðèöó , ïîëó÷àåì . Îòñþäà , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ïðåäïîëîæåíèþ . Ñëåäîâàòåëüíî, îáðàòíàÿ ìàòðèöà åäèíñòâåííàÿ.

Ñâîéñòâà îáðàòíîé ìàòðèöû:

Îïåðàöèÿ îáðàùåíèÿ ìàòðèöû îáëàäàåò ñëåäóþùèìè ñâîéñòâàìè:

åñëè èìåþò ñìûñë îïåðàöèè, óêàçàííûå â ðàâåíñòâàõ 1-4.

Äîêàæåì ñâîéñòâî 2: åñëè ïðîèçâåäåíèå íåâûðîæäåííûõ êâàäðàòíûõ ìàòðèö îäíîãî è òîãî æå ïîðÿäêà èìååò îáðàòíóþ ìàòðèöó, òî .

Äåéñòâèòåëüíî, îïðåäåëèòåëü ïðîèçâåäåíèÿ ìàòðèö íå ðàâåí íóëþ, òàê êàê

, ãäå

Ñëåäîâàòåëüíî, îáðàòíàÿ ìàòðèöà ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà. Ïîêàæåì ïî îïðåäåëåíèþ, ÷òî ìàòðèöà ÿâëÿåòñÿ îáðàòíîé ïî îòíîøåíèþ ê ìàòðèöå . Äåéñòâèòåëüíî:

Èç åäèíñòâåííîñòè îáðàòíîé ìàòðèöû ñëåäóåò ðàâåíñòâî . Âòîðîå ñâîéñòâî äîêàçàíî. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàþòñÿ è îñòàëüíûå ñâîéñòâà.

Çàìå÷àíèå.

1. Äëÿ êîìïëåêñíîé ìàòðèöû ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî, àíàëîãè÷íîå ñâîéñòâó 3:

, ãäå -- îïåðàöèÿ ñîïðÿæåíèÿ ìàòðèö.

Îïåðàöèÿ îáðàùåíèÿ ìàòðèö ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü öåëóþ îòðèöàòåëüíóþ ñòåïåíü ìàòðèöû. Äëÿ íåâûðîæäåííîé ìàòðèöû è ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà

.

Ïðèìåð. Äàíà ìàòðèöà À = , íàéòè À3.

À2 = ÀÀ = = ; A3 = = .

Îòìåòèì, ÷òî ìàòðèöû è ÿâëÿþòñÿ ïåðåñòàíîâî÷íûìè.

Ïðèìåð. Âû÷èñëèòü îïðåäåëèòåëü .

= -1

= -1(6 - 4) - 1(9 - 1) + 2(12 - 2) = -2 - 8 + 20 = 10.

= = 2(0 - 2) - 1(0 - 6) = 2.

= = 2(-4) - 3(-6) = -8 + 18 = 10.

Çíà÷åíèå îïðåäåëèòåëÿ: -10 + 6 - 40 = -44.

Ñïîñîáû íàõîæäåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû.

Âû÷èñëåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû ñ ïîìîùüþ àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé

Çàäàíà êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà 3-ãî ïîðÿäêà

A =	? ? ? ? ?	a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33	? ? ? ? ?

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû ìåòîäîì àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé

1. Âû÷èñëÿåì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A . Åñëè det A ? 0 , òî ìàòðèöà A èìååò îáðàòíóþ.

2. Ñîñòàâëÿåì ìàòðèöó èç àëãåáðàè÷åñêèõ äîïîëíåíèé ýëåìåíòîâ ìàòðèöû A

˜A =	? ? ? ? ?	A11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33	? ? ? ? ?	.

3. Íàõîäèì òðàíñïîíèðîâàííóþ ìàòðèöó:

˜AT =	? ? ? ? ?	A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33	? ? ? ? ?	.

4. Ðàçäåëèâ ìàòðèöó ˜AT íà îïðåäåëèòåëü, ïîëó÷àåì èñêîìóþ îáðàòíóþ ìàòðèöó:



A-1=

Ïðîâåðÿåì, ÷òî A · A?1 = E , è çàïèñûâàåì îòâåò.

Ïðèìåð.

Çàïèøåì ìàòðèöó â âèäå:

Îáðàòíàÿ ìàòðèöà ñóùåñòâóåò, åñëè îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû A îòëè÷åí îò íóëÿ. Íàéäåì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû:

? = -1 * (-1 * 4-(-2 * 5))-2 * (2 * 4-(-2 * (-2)))+3 * (2 * 5-(-1 * (-2))) = 10.

Îïðåäåëèòåëü ðàâåí 10 è íå ðàâåí íóëþ. Ïðîäîëæàåì ðåøåíèå.

Íàéäåì òðàíñïîíèðîâàííóþ ìàòðèöó:

AT =

Àëãåáðàè÷åñêèå äîïîëíåíèÿ.



A1,1 = (-1)1+1

?1,1 = (-1 * 4-5 * (-2)) = 6

A1,2 = (-1)1+2	2 -2 -2 4

?1,2 = -(2 * 4-(-2 * (-2))) = -4

A1,3 = (-1)1+3	2 -1 -2 5

?1,3 = (2 * 5-(-2 * (-1))) = 8

A2,1 = (-1)2+1	2 3 5 4

?2,1 = -(2 * 4-5 * 3) = 7

A2,2 = (-1)2+2	-1 3 -2 4

?2,2 = (-1 * 4-(-2 * 3)) = 2

A2,3 = (-1)2+3	-1 2 -2 5

?2,3 = -(-1 * 5-(-2 * 2)) = 1

A3,1 = (-1)3+1	2 3 -1 -2

?3,1 = (2 * (-2)-(-1 * 3)) = -1

A3,2 = (-1)3+2	-1 3 2 -2

?3,2 = -(-1 * (-2)-2 * 3) = 4

A3,3 = (-1)3+3	-1 2 2 -1

?3,3 = (-1 * (-1)-2 * 2) = -3

Òîãäà îáðàòíóþ ìàòðèöó ìîæíî çàïèñàòü êàê:

A-1 = 1/10	6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3
A-1 =	0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Ìåòîä Ãàóññà--Æîðäàíà

Àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ îáðàòíîé ìàòðèöû

Çàïèñàòü â òàáëèöó äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé ìåòîäîì Ãàóññà ìàòðèöó À è ñïðàâà (íà ìåñòî ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé) ïðèïèñàòü ê íåé ìàòðèöó Å.

Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Æîðäàíà, ïðèâåñòè ìàòðèöó À ê ìàòðèöå, ñîñòîÿùåé èç åäèíè÷íûõ ñòîëáöîâ; ïðè ýòîì íåîáõîäèìî îäíîâðåìåííî ïðåîáðàçîâàòü ìàòðèöó Å.

Åñëè íåîáõîäèìî, òî ïåðåñòàâèòü ñòðîêè (óðàâíåíèÿ) ïîñëåäíåé òàáëèöû òàê, ÷òîáû ïîä ìàòðèöåé À èñõîäíîé òàáëèöû ïîëó÷èëàñü åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà Å.

Çàïèñàòü îáðàòíóþ ìàòðèöó À-1, êîòîðàÿ íàõîäèòñÿ â ïîñëåäíåé òàáëèöå ïîä ìàòðèöåé Å èñõîäíîé òàáëèöû.

Íàõîæäåíèå îáðàòíîé ìàòðèöû ìåòîäîì Ãàóññà

Ïóñòü ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè . Ïðèïèøåì, ñïðàâà, ê ìàòðèöå åäèíè÷íóþ ìàòðèöó . Ïîëó÷èì ìàòðèöó ðàçìåðíîñòè âèäà

Ýëåìåíòàðíûìè ïðåîáðàçîâàíèÿìè ñòðîê ìàòðèöó ïðåîáðàçóåì â ìàòðèöó âèäà:

.

Òîãäà .

Äîêàçàòåëüñòâî: Êàæäîå ýëåìåíòàðíîå ïðåîáðàçîâàíèå ñòðîê ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóåò óìíîæåíèþ ìàòðèöû ñëåâà íà íåêîòîðóþ íåâûðîæäåííóþ ìàòðèöó. Åñëè óìíîæèòü ìàòðèöó ñëåâà íà ìàòðèöó , òî ïîëó÷èì êàê ðàç ìàòðèöó âèäà . Ïîýòîìó öåïî÷êà ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, ïðèâîäÿùàÿ ìàòðèöó ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå, ñîîòâåòñòâóåò óìíîæåíèþ ñëåâà íà ìàòðèöó . Ñëåäîâàòåëüíî .

Ïðèìåð 1.

Äëÿ ìàòðèöû À íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó À-1

Ðåøåíèå: Çàïèñûâàåì ìàòðèöó À è ñïðàâà ïðèïèñûâàåì åäèíè÷íóþ ìàòðèöó Å. Èñïîëüçóÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ Æîðäàíà, ïðèâîäèì ìàòðèöó À ê åäèíè÷íîé ìàòðèöå Å. Âû÷èñëåíèÿ ïðèâåäåíû â òàáëèöå 31.1.

Ïðîâåðèì ïðàâèëüíîñòü âû÷èñëåíèé óìíîæåíèåì èñõîäíîé ìàòðèöû À è îáðàòíîé ìàòðèöû À-1.

 ðåçóëüòàòå óìíîæåíèÿ ìàòðèö ïîëó÷èëàñü åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà. Ñëåäîâàòåëüíî, âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâåäåíû ïðàâèëüíî.

îáðàòíûé ìàòðèöà óðàâíåíèå

Îòâåò:

Ðåøåíèå ìàòðè÷íûõ óðàâíåíèé

Ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîãóò èìåòü âèä:

ÀÕ = Â, ÕÀ = Â, ÀÕÂ = Ñ,

ãäå À,Â,Ñ -- çàäàâàåìûå ìàòðèöû, Õ- èñêîìàÿ ìàòðèöà.

Ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ðåøàþòñÿ ñ ïîìîùüþ óìíîæåíèÿ óðàâíåíèÿ íà îáðàòíûå ìàòðèöû.

Íàïðèìåð, ÷òîáû íàéòè ìàòðèöó èç óðàâíåíèÿ , íåîáõîäèìî óìíîæèòü ýòî óðàâíåíèå íà ñëåâà.

Òîãäà:

Ñëåäîâàòåëüíî, ÷òîáû íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ , íóæíî íàéòè îáðàòíóþ ìàòðèöó è óìíîæèòü åå íà ìàòðèöó , ñòîÿùèå â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ.

Àíàëîãè÷íî ðåøàþòñÿ äðóãèå óðàâíåíèÿ.



Ïðèìåð

Ðåøèòü óðàâíåíèå ÀÕ = Â, åñëè

Ðåøåíèå: Òàê êàê îáðàòíàÿ ìàòðèöà ðàâíÿåòñÿ (ñì. ïðèìåð 1)

Ìåòîä Êðàìåðà

1.Ïóñòü äàíà ñèñòåìà ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

Êîýôôèöèåíòû a11,12,..., a1n, ... , an1 , b2 , ... , bn ñ÷èòàþòñÿ çàäàííûìè

Âåêòîð -ñòðîêà íx1 , x2 , ... , xn

ý - íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (1), åñëè ïðè ïîäñòàíîâêå ýòèõ ÷èñåë

âìåñòî ïåðåìåííûõ âñå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1) îáðàùàþòñÿ â âåðíîå ðàâåíñòâî.

Îïðåäåëèòåëü n-ãî ïîðÿäêà D=çAê=ça ij

ç, ñîñòàâëåííûé èç êîýôôèöèåíòîâ ïðè íåèçâåñòíûõ , íàçûâàåòñÿ

îïðåäåëèòåëåì ñèñòåìû (1).  çàâèñèìîñòè îò îïðåäåëèòåëÿ ñèñòåìû (1) ðàçëè÷àþò

ñëåäóþùèå ñëó÷àè.

a). Åñëè D¹0, òî ñèñòåìà (1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, êîòîðîå ìîæåò

áûòü íàéäåíî ïî ôîðìóëàì Êðàìåðà : x1=, ãäå îïðåäåëèòåëü n-ãî ïîðÿäêà Di ( i=1,2,...,n) ïîëó÷àåòñÿ èç îïðåäåëèòåëÿ ñèñòåìû ïóòåì çàìåíû i-ãî ñòîëáöà ñâîáîäíûìè ÷ëåíàìè b1

, b2 ,..., bn.

á). Åñëè D=0 , òî ñèñòåìà (1) ëèáî èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé , ëèáî íåñîâìåñòíà ,ò.å. ðåøåíèé íåò.

2. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó 3-õ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè.

2.1.  äàííîé ñèñòåìå ñîñòàâèì îïðåäåëèòåëü è âû÷èñëèì.

2.2 Ñîñòàâèòü è âû÷èñëèòü ñëåäóþùèå îïðåäåëèòåëè :

.

2.3. Âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè Êðàìåðà.



Ïðèìåð.

1. .

.

Ïðîâåðêà:

Îòâåò: ( 3 ; -1 ).

2.



Ïðîâåðêà:

Îòâåò: x=0,5 ; y=2 ; z=1,5 .

Ðàçìåùåíî íà Allbest.ru