Дифференциальные уравнения
Характеристическое вычисление кривой. Основной анализ общего интеграла дифференциального уравнения. Главная особенность решения с разделяющимися переменными в математике. Проведение и обоснование задачи Коши. Подбор решения равенств методом Лагранжа.
| Рубрика | Математика |
| Вид | практическая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 04.12.2014 |
| Размер файла | 158,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Практикум по теме «Дифференциальные уравнения»
Цель: находить общее решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных и линейных дифференциальных уравнений первого порядка, находить общее решение линейных однородных и неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, выделять из общего решения дифференциального уравнения решения задачи Коши.
Примеры решения задач
Пример. Найти решение задачи Коши для уравнения , удовлетворяющее начальным условиям y(0)=1.
Решение.
10. Определим тип уравнения:
- уравнение с разделяющимися переменными,
Где
, .
20. Разделим переменные:
30. Проинтегрируем обе части равенства:
.
Для удобства преобразований постоянная выбрана в логарифмической форме.
40. Упростим результат интегрирования:
50. Подставим начальные условия. При x=0, y=1 получаем с=.
60. Запишем ответ: .
Пример. Найти кривую, у которой отрезок нормали в любой точке, заключенный между осями координат, делится пополам в этой точке (рис. 8.1).
Решение.
10. Схематический чертеж. M(x,y) - произвольная точка искомой кривой; ТМ - отрезок касательной, проведенной к кривой в этой точке под углом к положительному направлению оси Оx. QN - отрезок нормали (рис. 8.1).
Размещено на http://www.allbest.ru/
20. Характеристическое уравнение кривой.
Из треугольника ?OQN имеем
Учитывая геометрический смысл производной , получаем дифференциальное уравнение .
30. Решение уравнения.
3.1. Тип уравнения: - уравнение с разделяющимися переменными.
3.2. Разделим переменные: , откуда
3.3. Проинтегрируем обе части равенства
,
3.4. Преобразуем полученное выражение
,
40. Графическая иллюстрация решения.
Кривые
- сопряженные равнобочные гиперболы (рис. 8.2).
Пример. Среди интегральных кривых уравнения найти ту, которая проходит через точку М(1,1).
Решение.
10. Определим тип уравнения:
1.1. Преобразуем дифференциальное уравнение, получим:
.
1.2. Правая часть преобразованного дифференциального уравнения
является функцией отношения , то дифференциальное уравнение является однородным.
20. Запишем подстановку:
.
30. Осуществим подстановку в уравнение:
.
40. Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными.
4.1. Разделим переменные:
4.2. Проинтегрируем обе части равенства:
4.3. Упростим результат интегрирования:
50. Запишем общее решение (общий интеграл) уравнения:
60. Найдём значение произвольной постоянной:
при x=1, y=1 получаем
.
70. Запишем ответ - частное решение уравнения:
.
Пример. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Решение.
10. Определим тип уравнения:
1.1. Запишем уравнение в симметричной форме:
,
,
,
тогда
,
1.2. Найдём частные производные:
, .
1.3. Сравним частные производные. Так как , то уравнение является уравнением в полных дифференциалах.
20. Запишем формулу общего интеграла:
30. Выберем формулу для отыскания функции :
40. Найдём функцию :
50. Запишем общий интеграл уравнения:
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение.
10. Определим тип дифференциального уравнения:
- уравнение, линейное относительно функции .
20. Запишем подстановку:
.
30. Осуществим подстановку в данное уравнение:
.
40. Запишем последовательность уравнений относительно функций и . Сгруппируем первый и третий члены уравнения:
.
Выберем функцию так, чтобы она обращала в нуль скобку, получим последовательность уравнений:
50. Найдём функции и .
Каждое из уравнений последовательности (пункт 40) является уравнением с разделяющимися переменными:
60. Запишем общее решение дифференциального уравнения:
Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
удовлетворяющее начальным условиям
.
Решение.
10. Определим тип уравнения:
- уравнение, допускающее понижение порядка, типа.
20. Запишем подстановку
.
30. Осуществим подстановку в данное уравнение:
.
40. Решим полученное дифференциальное уравнение первого порядка.
4.1. Определим тип уравнения по таблице 1:
- однородное уравнение.
4.2. Запишем подстановку:
.
4.3. Осуществим подстановку в уравнение:
.
4.4. Решим полученное уравнение с разделяющимися переменными:
;
4.5. Запишем общее решение:
50. Определим значение произвольной постоянной .
При имеем , тогда
.
60. Решим уравнение, полученное в пункте 50:
- уравнение с разделяющимися переменными.
70. Определим значение произвольной постоянной .
При х=1, у=е имеем .
80. Запишем ответ - частное решение уравнения:
.
Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям . кривая дифференциальный уравнение переменный
Решение.
10. Определим тип уравнения:
- уравнение, допускающее понижение, ЙЙЙ типа (таблица 2).
20. Запишем подстановку:
.
30. Осуществим подстановку в уравнение:
.
40.Решим уравнение, полученное в пункте 30.:
- уравнение с разделяющимися переменными
50. Найдём значение произвольной постоянной .
При имеем . Тогда .
60. Решим уравнение, полученное в пункте 50:
- уравнение с разделяющимися переменными
70.Определим значение произвольной постоянной :
При имеем .
80. Запишем ответ - частное решение уравнения:
.
Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Решение.
10. Определим тип уравнения.
- линейное, однородное, ІІ порядка, с постоянными коэффициентами
20. Запишем формулу общего решения:
.
30. Составим и решим характеристическое уравнение:
(корни вещественные, равные).
40. Запишем фундаментальную систему решений:
.
50. Запишем общее решение уравнения:
Пример. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям .
Решение.
10. Определим тип уравнения.
- линейное, однородное, ІІ порядка, с постоянными коэффициентами
20. Запишем формулу общего решения:
.
30. Составим и решим характеристическое уравнение:
(корни комплексные).
40. Запишем фундаментальную систему решений:
.
50. Запишем общее решение уравнения:
60. Найдём значения произвольных постоянных и :
При получаем
70. Запишем ответ - частное решение уравнения:
.
Пример. Для данных неоднородных уравнений подобрать частное решение у* в форме, соответствующей форме
.
Решение. Представим решение в таблице 1.
Таблица 1. Подбор решения дифференциальных уравнений методом Лагранжа
|
№ |
Уравнение |
Основной параметр |
Корни характеристического уравнения |
Сравнение параметра с корнями |
Конструкция частного решения |
||
|
1 |
0 |
Не является корнем |
0 |
||||
|
2 |
0 |
Однократный корень |
1 |
||||
|
3 |
0 |
Не является корнем |
0 |
||||
|
4 |
0 |
Однократный корень |
1 |
||||
|
5 |
-2 |
Двукратный корень |
2 |
||||
|
6 |
Однократные корни |
1 |
|||||
|
7 |
Не является корнями |
0 |
|||||
|
8 |
Не является корнями |
0 |
|||||
|
9 |
Однократные корни |
1 |
Задачи для самостоятельного решения
1. Среди интегральных кривых, удовлетворяющих уравнению найти ту, которая проходит через точку .
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Указание: применить формулу
3. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
5. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения , удовлетворяющее начальным условиям .
6. Решить уравнение
7. Методом Эйлера найти решение дифференциального уравнения
.
8. Подобрать для данных неоднородных уравнений частное решение у* в форме, соответствующей форме
.
;
.
Вопросы для самоконтроля
1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Основные понятия.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка. Основные понятия. Общее решение. Частное решение. Задача Коши.
3. Уравнения с разделяющимися переменными.
4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
5. Уравнения в полных дифференциалах.
6. Линейные дифференциальные уравнения.
7. Уравнения Бернулли.
8. Дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия. Общее решение ДУ. Частное решение. Задача Коши.
9. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка (трех типов).
10. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков. Основные понятия.
11. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка. Фундаментальная система решений.
12. Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение.
13. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка (ЛНДУ). Структура общего решения.
14. Решение ЛНДУ методом вариации произвольных постоянных.
15. Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
Тестовые задания
1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Выбрать один ответ:
2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Выбрать один ответ:
3. Найти общее решение дифференциального уравнения
Выбрать один ответ:
1)
2)
3)
4)
4. Найти общее решение дифференциального уравнения
Выбрать один ответ:
5. Найти общее решение дифференциального уравнения
Выбрать один ответ:
6. Определить тип дифференциального уравнения: .
Выбрать один ответ:
7. Обыкновенным дифференциальным уравнением II-го порядка называется уравнение вида:
Выбрать один ответ:
8. Составьте характеристическое уравнение для дифференциального уравнения:
Выбрать один ответ:
9. Найти частное решение дифференциального уравнения y" + 4y = 2cos2х, удовлетворяющее начальным условиям: у(0) = 0; y'(0) = 4
Выбрать один ответ:
|
1) y = sin2x + cos2x |
2) y = sin2x - cos2x |
|
|
3) y = 2sin2x + 0,5x sin2x |
4) y = sin2x - 0,5x sin2x |
10. Найти общее решение дифференциального уравнения
Выбрать один ответ:
|
1) |
2) |
|
|
3) |
4) |
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Поиск общего интеграла дифференциального уравнения. Расстановка пределов интегрирования. Координаты вершины параболы. Объем тела, ограниченного поверхностями. Вычисление криволинейного интеграла. Полный дифференциал функции. Вычисление дуги цепной линии.
контрольная работа [298,1 K], добавлен 28.03.2014Понятие дифференциального уравнения. Нахождение первообразной для заданной функции. Нахождение решения дифференциального уравнения. Выделение определенной интегральной кривой. Понятие произвольных независимых постоянных. Уравнение в частных производных.
презентация [42,8 K], добавлен 17.09.2013Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Общий интеграл дифференциального уравнения, приводящегося к однородному. Решение задачи Коши методами интегрирующего множителя и способом Бернулли. Построение интегральной кривой методом изоклин. Составление матрицы системы и применение теоремы Крамера.
курсовая работа [160,5 K], добавлен 23.12.2010Методы построения общего решения уравнения Бернулли. Примеры решения задач с помощью него. Особое решение уравнения Бернулли и его особенности. Понятие дифференциального уравнения, его виды и свойства. Значение уравнения Бернулли в математике и физике.
курсовая работа [183,1 K], добавлен 25.11.2011Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011
