Основы теории вероятности

Размещено на http://allbest.ru

Задача 1.

Байт - это единица информации, состоящая из восьми бит, каждый бит равен либо 0, либо 1. Сколько символов можно закодировать с помощью байта?

Решение. В байте восемь позиций и на каждую из них имеется два претендента - либо 0, либо 1. Тогда по правилу произведения получаем, что с помощью байта можно закодировать

символов.

Ответ: 256.

Задача 2.

С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает 18% деталей, со 2-го и 3-го - по 25% и 57% соответственно. Вероятности выдачи бракованных деталей составляют для каждого из них соответственно 0,25%, 0,35% и 0,15%. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажется бракованной.

Решение. Событие А - поступившая на сборку деталь бракованная.

Введем гипотезы:

деталь поступила с первого станка-автомата;

деталь поступила со второго станка-автомата;

деталь поступила с третьего станка-автомата.

Вероятности гипотез по условию задачи равны:

Условные вероятности события А равны соответственно:

Тогда по формуле полной вероятности получаем:



Ответ: 0,002.

Задача 3.

Вероятность правильного оформления накладной при передаче продукции равна 0,8. Найти вероятность того, что из трех накладных только две оформлены правильно?

Решение. Условия задачи соответствуют схеме Бернулли. Воспользуемся формулой Бернулли:

.

По условию вероятность нормального оформления накладной при передаче продукции, .

Получаем:

Ответ: 0,384.

Задача 4.

Вероятность допустить ошибку при наборе некоторого текста, состоящего из 1200 знаков, равна 0,005. Найти вероятность того, что будет допущена хотя бы одна ошибка?

Решение. Мы находимся в условиях применимости схемы Бернулли со следующими параметрами:

; n = 120;

Воспользуемся формулой Пуассона:

Искомая вероятность равна

Ответ: 0,9975.

Задача 5.

Заключен договор на строительство трех одинаковых объектов. Вероятность сдачи объекта в срок р = 0,8. Найти распределение случайной величины Х - числа объектов, сданных в срок. Найти математическое ожидание и дисперсию числа объектов, сданных в срок.

Решение. Случайная величина Х - число объектов, сданных в срок, может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3.

Найдем вероятности соответствующие данным значениям. Определим их по формуле Бернулли, где :

Получаем следующий закон распределения случайной величины Х:

	0	1	2	3
	0,008	0,096	0,384	0,512

Математическое ожидание для случайной величины, распределенной по биномиальному закону:

Дисперсия:

Задача 6.

Случайная величина Х имеет плотность вероятности

Найти параметр С, функцию распределения вероятностей и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Для определения параметр С воспользуемся условием нормирования плотности распределения, т.е.

вероятность математический бернулли дисперсия

.

Тогда:

Функция плотности распределения примет вид:

Найдем функцию распределения

При

при



при

Таким образом,

Математическое ожидание:

Дисперсия непрерывной случайной величины Х вычисляется по формуле:

.



Получаем:

Задача 7.

На рынок поступила партия говядины. Считается, что вес туши - нормально распределенная СВ с неизвестным математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением равным 150 кг. Известно, что 37 % туш имеют вес не более 1000 кг. Определите ожидаемый вес случайно отобранной туши.

Решение. Известно, что вероятность того, что нормально распределенная случайная величина Х приняла значение из интервала , определяется по следующей формуле:

,

где табулированная функция Лапласа.

Тогда по условию имеем:



Ответ: ожидаемый вес случайно отобранной туши 1049,785 кг.

Задача 8.

В ОТК были измерены диаметры 300 валиков из партии, изготовленных одним станком-автоматом. Отклонения измеренных диаметров от номинала (в нм) приведены в таблице.

Границы отклонений	Середина интервала	Число валиков	Границы отклонений	Середина интервала	Число валиков
-30-25	-27,5	3	0-5	2,5	55
-25-20	-22,5	8	5-10	7,5	30
-20-15	-17,5	15	10-15	12,5	25
-15-10	-12,5	35	15-20	17,5	14
-10-5	-7,5	40	20-25	22,5	8
-5-0	-2,5	60	25-30	27,5	7

Построить гистограмму, полигон и график эмпирической функции распределения. Вычислить основные числовые характеристики.

Решение. Из условия задачи находим:

Интервал	Частота	Накопленная частота	Относительная частота
-30-25	3	3	0,010	0,002
-25-20	8	11	0,027	0,005
-20-15	15	26	0,050	0,010
-15-10	35	61	0,117	0,023
-10-5	40	101	0,133	0,027
-5-0	60	161	0,200	0,040
0-5	55	216	0,183	0,037
5-10	30	246	0,100	0,020
10-15	25	271	0,083	0,017
15-20	14	285	0,047	0,009
20-25	8	293	0,027	0,005
25-30	7	300	0,023	0,005
Всего	300	-	1,000	0,2

Построим полигон частот. Если полигон строят по данным интервального ряда, то в качестве абсцисс точек берут середины соответствующих интервалов. Крайние левую и правую точки соединяют с точками оси абсцисс - серединами ближайших интервалов, частоты которых равны нулю.

Интервальный вариационный ряд графически изобразим в виде гистограммы.

На оси Ох отложим интервалы (разряды) длиной h = 5, а на оси Оу значения , расчёт которых представлен в таблице выше. Площадь под гистограммой равна сумме всех относительных частот, т.е. единице.



Построим функцию распределения выборки или эмпирическую функцию

.

Здесь - частота события Х < х, n ? общее число значений.

Эмпирическая функция распределения случайной величины X имеет вид:



Построим график эмпирической функции распределения:

Вычислим выборочную среднюю , и выборочное среднее.

Составим расчетную таблицу.

№ п/п
1	-27,5	3	-82,5	2203,230
2	-22,5	8	-180	3907,280
3	-17,5	15	-262,5	4386,150
4	-12,5	35	-437,5	5124,350
5	-7,5	40	-300	2016,400
6	-2,5	60	-150	264,600
7	2,5	55	137,5	462,550
8	7,5	30	225	1872,300
9	12,5	25	312,5	4160,250
10	17,5	14	245	4485,740
11	22,5	8	180	4195,280
12	27,5	7	192,5	5448,870

Выборочную среднюю вычислим по формуле:



Выборочная дисперсия:

Среднеквадратическое отклонение:

Задача 9.

В таблице приведены сгруппированные данные о коэффициентах соотношения заемных и собственных средств на 100 малых предприятиях региона.

Номер интервала	Интервал	Середина интервала
1	5,05-5,15	5,1	5
2	5,15-5,25	5,2	8
3	5,25-5,35	5,3	12
4	5,35-5,45	5,4	20
5	5,45-5,55	5,5	26
6	5,55-5,65	5,6	15
7	5,65-5,75	5,7	10
8	5,75-5,85	5,8	4

Построить доверительные интервалы для среднего и для следующего наблюдения с надежностью 95%, используя нормальное приближение.

Решение. Составим расчетную таблицу.

№ п/п
1	5,1	5	25,5	130,05
2	5,2	8	41,6	216,32
3	5,3	12	63,6	337,08
4	5,4	20	108	583,20
5	5,5	26	143	786,50
6	5,6	15	84	470,40
7	5,7	10	57	324,90
8	5,8	4	23,2	134,56
Итого		100	545,9	2983,01

Несмещенной оценкой генерального среднего является выборочное среднее:

Точечной оценкой генеральной дисперсии служит выборочная дисперсия

Несмещенная оценка дисперсии генеральной совокупности равна:

Тогда оценка среднего квадратического отклонения



При неизвестном и малом объеме выборки () интервальной оценкой математического ожидания нормально распределенного количественного признака Х по выборочной средней служит доверительный интервал:

где исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение оценки, объем выборки, коэффициент Стьюдента.

При доверительной вероятности р = 0,95, k = n - 1 = 7:

Искомый доверительный интервал:

Доверительный интервал для следующего наблюдения с надежностью 95% имеет следующий вид:

Ответ: , .



Задача 10.

10. В селе Петрово проведено выборочное обследование доходов жителей. По выборке из 25 человек получено среднее 2380 руб. и среднее квадратичное отклонение 90 руб. Можно ли утверждать на уровне значимости 5%, что средний доход жителей составляет менее 2500 руб.?

Решение. Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе .

Найдем наблюдаемое значение критерия:

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид поэтому критическая область правосторонняя.

По таблице критических точек распределения Стьюдента, по уровню значимости и по числу степеней свободы находим критическую точку:

Так как ? нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Таким образом, на уровне значимости 5%, можно утверждать, что средний доход жителей составляет менее 2500 руб.

Ответ: можно утверждать, что средний доход жителей составляет менее 2500 руб.



Задача 11.

В городах Усатово и Полосатово проведены выборочные обследования доходов жителей. По выборкам из 100 человек получены следующие результаты: в Усатово - средний доход 4050 руб., среднее квадратическое отклонение 105 руб.; в Полосатово - средний доход 3970 руб., среднее квадратическое отклонение 85 руб. Можно ли утверждать на уровне значимости 5%, что в Усатово живут в среднем так же, как в Полосатово?

Решение. По условию задачи имеем:

Требуется при уровне значимости проверить нулевую гипотезу при конкурирующей гипотезе

Найдем наблюдаемое значение критерия:

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид М(Х) ? М(Y), поэтому критическая область - двусторонняя.

Найдем правую критическую точку из равенства

По таблице функции Лапласа находим Так как , то нулевую гипотезу отклоняем. Другими словами, нельзя утверждать, что в Усатово живут в среднем так же, как в Полосатово.

Ответ: нельзя утверждать, что в Усатово живут в среднем так же, как в Полосатово.

Размещено на Allbest.ru