Рівномірний розподіл
Параметри рівномірного розподілу. Стаціонарні та ергодичні випадкові процеси. Значення щільності в граничних точках. Моменти неперервного рівномірного розподілу. Генератор випадкового вибору. Графік щільності ймовірностей. Приклади випадкових процесів.
Рубрика | Математика |
Вид | контрольная работа |
Язык | украинский |
Дата добавления | 13.11.2014 |
Размер файла | 64,1 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
План
ергодичний ймовірність рівномірний розподіл
1. Неперервні розподіли: рівномірний розподіл і його параметри
2. Стаціонарні та ергодичні випадкові процеси
3. Задача
Рекомендована література
1. Неперервні розподіли: рівномірний розподіл і його параметри
Рівномірний розподіл (неперервний) -- в теорії імовірностей розподіл, який характеризується тим, що ймовірність будь-якого інтервала залежить тільки від його довжини.
Кажуть, що випадкова величина має неперервний рівномірний розподіл на відрізку , де , якщо щільність має вигляд:
Пишуть: . Деколи значення щільності в граничних точках і міняють на інші, наприклад .Так як інтеграл Лебега від щільності не залежить від поведінки останньої на множинах міри нуль, ці варіації не впливають на знаходження зв'язаних з цим розподілом імовірностей.
Функція розподілу:
Інтегруючи визначену вище щільність отримуємо:
Оскільки щільність рівномірного розподілу розривна в граничних точках відрізка , то функція розподілу в цих точках не є диференційовною. В інших точках справедлива рівність:
.
Функція моментів:
Простим інтегруванням отримуємо:
,
звідки знаходимо всі потрібні моменти неперервного рівномірного розподілу:
,
,
.
Таким чином
.
Стандартний рівномірний розподіл:
Якщо , а , тобто , то такий неперервний рівномірний розподіл називають стандартним. Має місце твердження:
якщо випадкова величина , и , где , то .
Таким чином, маючи генератор випадкового вибору із стандартного неперервного рівномірного розподілу, легко побудувати генератор вибору будь-якого неперервного рівномірного розподілу.
Рівномірний розподіл на відрізку [a, b]:
Кажуть, що випадкова величина [a, b] розподілена рівномірно на відрізку [a, b], якщо всі її можливі значення зосереджені в цьому відрізку і щільність розподілу її ймовірностей на цьому відрізку стала і дорівнює
Але за властивістю щільності розподілу
Тоді
Отже, . Тоді щільність рівномірного розподілу [a, b] має вигляд
Знайдемо функцію розподілу цієї випадкової величини за означенням функції розподілу
Отже, функція розподілу має вигляд
Відрізок [a, b] називають відрізком концентрації рівномірного розподілу.
Графік щільності ймовірностей і функції розподілу для рівномірно розподіленої на відрізку [a, b] функції зображено на рис. 1 і рис. 2 відповідно
Рис. 1
Рис. 2
Наведемо приклади рівномірного розподілу:
Поїзди метрополітену їдуть з інтервалом 2 хв. Пасажир виходить на платформу в деякий момент часу. Час t - очікування поїзда є випадкова величина розподілена рівномірно на відрізку [0, 2].
Похибка заокруглення числа задовільно описується рівномірним розподілом на відрізку .
Рівномірний розподіл називають ще законом рівномірної щільності.
Параметри |
||
Носій функції |
||
Розподіл ймовірностей |
||
Функція розподілу ймовірностей (cdf) |
||
Середнє |
||
Медіана |
||
Мода |
any value in |
|
Дисперсія |
||
Коефіцієнт асиметрії |
0 |
|
Коефіцієнт ексцесу |
||
Ентропія |
||
Твірна функція моментів(mgf) |
||
Характеристична функція |
2. Стаціонарні та ергодичні випадкові процеси
Поняття випадкового процесу введено в XX столітті і пов'язано з іменами А.Н. Колмогорова (1903-1987), А.Я. Хинчина (1894-1959), Е.Е. Слуцького (1880-1948), Н. Вінера (1894-1965).
Це поняття в наші дні є одним з центральних не тільки в теорії ймовірностей, але також в природознавстві, інженерній справі, економіці, організації виробництва, теорії зв'язку. Теорія випадкових процесів належить до категорії найбільш розвинених математичних дисциплін. Безсумнівно, що ця обставина значною мірою визначається її глибокими зв'язками з практикою. XX століття не могло задовольнитися тією ідейною спадщиною, яку було отримано від минулого. Дійсно, в той час, як фізика, біолога, інженера цікавив процес, тобто зміна досліджуваного явища в часі.
Для дослідження зміни в часі теорія ймовірностей кінця XIX-початку XX століття не мала ні розроблених окремих схем, ні тим більш загальних прийомів. А необхідність їх створення буквально стукала у вікна та двері математичної науки. Вивчення броунівського руху в фізиці підвело математику до порога створення теорії випадкових процесів.
Вважаю за необхідне згадати ще про дві важливі групи досліджень, розпочаті в різний час і з різних приводів.
По-перше, це роботи А.А. Маркова (1856-1922) з вивчення ланцюгових залежностей. По-друге, роботи Е.Е. Слуцького (1880-1948) з теорії випадкових функцій.
Обидва ці напрями грали дуже істотну роль у формуванні загальної теорії випадкових процесів.
Залишалося здійснити глибокий аналіз наявних робіт, висловлених в них ідей і результатів і на їх базі здійснити необхідний синтез.
Визначення випадкового процесу і його характеристики.
Визначення: Випадковим процесом X (t) називається процес, значення якого при будь-якому значенні аргументу t є випадковою величиною.
Іншими словами, випадковий процес являє собою функцію, яка в результаті випробування може прийняти той чи інший конкретний вид, невідомий заздалегідь. При фіксованому t = t 0 X (t 0) являє собою звичайну випадкову величину, тобто перетин випадкового процесу в момент t 0.
Приклади випадкових процесів:
чисельність населення регіону з плином часу;
число заявок, що надходять в ремонтну службу фірми, з плином часу.
Випадковий процес можна записати у вигляді функції двох змінних X (t, щ), де щ € Щ, t € T, X (t, щ) € ? і щ - елементарне подія, Щ - простір елементарних подій, Т - безліч значень аргументу t, ? - безліч можливих значень випадкового процесу X (t, щ).
Реалізацією випадкового процесу X (t, щ) називається невипадкова функція x (t), в яку перетворюється випадковий процес X (t) в результаті випробування (при фіксованому щ), тобто конкретний вид, який приймає випадковий процес X (t), його траєкторія.
Таким чином, випадковий процес X (t, щ) поєднує в собі риси випадкової величини і функції. Якщо зафіксувати значення аргументу t, випадковий процес перетворюється на звичайну випадкову величину, якщо зафіксувати щ, то в результаті кожного випробування він перетворюється на звичайну невипадкову функцію.
Кажуть, що випадковий процес має порядок n, якщо він повністю визначається щільністю спільного розподілу ц (x 1, x 2, ..., x n; t 1, t 2, ..., t n) n довільних перерізів процесу, тобто щільністю n-мірної випадкової величини (X (t 1), X (t 2), ..., X (t n)), де X (t i) - поєднання випадкового процесу X (t) в момент часу t i, i = 1, 2, ..., n.
Як і випадкова величина, випадковий процес може бути описаний числовими характеристиками. Якщо для випадкової величини ці характеристики є постійними числами, то для випадкового процесу - невипадковими функціями.
Математичним очікуванням випадкового процесу X (t) називається невипадкова функція a x (t), яка при будь-якому значенні змінної t дорівнює математичному очікуванню відповідного перерізу випадкового процесу X (t), тобто a x (t) = М [X (t)].
Дисперсією випадкового процесу X (t) називається невипадкова функція D x (t), при якому значенні змінної t рівна дисперсії відповідного поєднання випадкового процесу X (t), тобто D x (t) = D [X (t)].
Середнім квадратичним відхиленням у x (t) випадкового процесу X (t) називається арифметичне значення кореня квадратного з його дисперсії, тобто у x (t) = D x (t).
Математичне сподівання випадкового процесу характеризує середню траєкторію всіх можливих його реалізацій, а його дисперсія або середнє квадратичне відхилення - розкид реалізацій щодо середньої траєкторії.
Введених вище характеристик випадкового процесу виявляється недостатньо, тому що вони визначаються тільки одномірним законом розподілу. Якщо для випадкового процесу Х 1 (t) характерно повільна зміна значень реалізацій зі зміною t, то для випадкового процесу Х 2 (t) це зміна проходить значно швидше. Іншими словами, для випадкового процесу Х 1 (t) характерна тісна імовірнісна залежність між двома його поєднаннями Х 1 (t 1) і Х 1 (t 2), в той час як для випадкового процесу Х 2 (t) ця залежність між сполученнями Х 2 (t 1) і Х 2 (t 2) практично відсутня. Зазначена залежність між сполученнями характеризується кореляційною функцією.
Визначення: кореляційною функцією випадкового процесу Х (t) називається невипадкова функція
K x (t 1, t 2) = M [(X (t 1) - a x (t 1)) (X (t 2) - a x (t 2))]
двох змінних t 1 і t 2, яка при кожній парі змінних t 1 і t 2 дорівнює коваріації відповідних поєднань Х (t 1) і Х (t 2) випадкового процесу.
Очевидно, для випадкового процесу Х (t 1) кореляційна функція K x 1 (t 1, t 2) зменшується в міру збільшення різниці t 2 - t 1 значно повільніше, ніж K x 2 (t 1, t 2) для випадкового процесу Х (t 2).
Кореляційна функція K x (t 1, t 2) характеризує не тільки ступінь тісноти лінійної залежності між двома сполученнями, а й розкид цих поєднань щодо математичного очікування a x (t). Тому розглядається також нормована кореляційна функція випадкового процесу. Нормованою кореляційною функцією випадкового процесу Х (t) називається функція:
P x (t 1, t 2) = K x (t 1, t 2) / у x (t 1) у x (t 2) (2)
Стаціонарні випадкові процеси:
Випадковий процес Х (t) називають стаціонарним у вузькому сенсі, якщо
F (x 1, ..., x n; t 1, ..., t n) = F (x 1, ..., x n; t 1 + Д, ..., t n + Д)
При довільних
n ? 1, x 1, ..., x n, t 1, ..., t n; Д; t 1 € T, t i + Д € T.
Тут F (x 1, ..., x n; t 1, ..., t n) - n-мірна функція розподілу випадкового процесу Х (t).
Випадковий процес Х (t) називають стаціонарним у широкому сенсі, якщо
m (t) = m (t + Д), K (t, t ') = K (t + Д, t' + Д)
(T € T, t '€ T, t + Д € T), t' + Д € T)
Таким чином, для процесу, стаціонарного в широкому сенсі, математичне очікування і дисперсія не залежать від часу, а K (t, t ') являє собою функцію вида:
K (t, t ') = k (ф) = k (- ф), ф = t' - t.
Ергодична властивість стаціонарних випадкових процесів
Нехай Х (t) - стаціонарний випадковий процес на відрізку часу [0, T] з характеристиками
M [X (t)] = 0, K (t, t ') = M [X (t) X (t')] = k (ф),
ф = t '- t, (t, t') € T Ч T.
Ергодична властивість стаціонарного випадкового процесу полягає в тому, що за досить тривалу реалізаціїю процесу можна судити про його математичне сподівання, дисперсію, кореляційну функцію.
Розподіли випадкових величин:
Випадкова величина - це величина, яка в результаті випробувань може приймати певні значення (із сукупності своїх значень) з певною ймовірністю. Випадковою можна назвати будь-яку (не обов'язково чисельну) змінну x, значення якої створюють множину випадкових елементарних подій {х}.
Розрізняють дискретні і неперервні випадкові величини.
Дискретною випадковою величиною називається випадкова величина, що приймає скінчене число значень з множини, елементи якої можна пронумерувати.
Неперервною випадковою величиною називається випадкова величина, можливі значення якої неперервно заповнюють деякий інтервал.
Рядок розподілу дискретної випадкової величини x може бути представлений як у табличній формі - у вигляді таблиці, де перераховано значення випадкової величини х1, х2, хп з відповідними до них ймовірностями р1, р2, рп, так і у вигляді графічного зображення.
3. Задача
Періодичний сигнал S(t), в загальному випадку комплексний, має заданий період Т. Отримайте вираз, що зв'язує середню за період міцність цього сигналу Рср з коефіцієнтами Сn його ряду Фурє.
Розв'язок:
Середня за період міцність сигналу:
Так як
то
Отримаємо:
Рекомендована література
1. Баскаков С.И. Радиоьехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 2000.
2. Попов В.П. Основы теории цепей. - М.: Высшая школа, 2000.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Визначення кількості сполучень при дослідженні ймовірностей. Закон розподілу випадкової величини. Функція розподілу, знаходження середнього квадратичного відхилення. Визначення щільності розподілу ймовірностей. Закон неперервної випадкової величини.
контрольная работа [71,3 K], добавлен 13.03.2015Зародження основних понять теорії ймовірностей. Розподіл ймовірностей Фішера-Снедекора, Пуассона та Стьюдента, їх характеристика та приклади. Емпірична функція розподілу. Точечний та інтервальний підходи до оцінювання невідомих параметрів розподілів.
курсовая работа [1,7 M], добавлен 30.04.2009Функція розподілу випадкової величини. Найважливіші закони розподілу дискретних випадкових величин. Властивості функції розподілу. Дискретні і неперервні випадкові величини. Геометричний закон розподілу. Біноміальний розподіл випадкової величини.
реферат [178,2 K], добавлен 26.01.2011Розподіли системи двох випадкових величин, що однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею. Інтегральна функція розподілу випадкового вектора. Середньоквадратична регресія. Лінійна кореляція нормальних величин.
реферат [253,5 K], добавлен 13.06.2010Основні поняття теорії ймовірності. Аналіз дискретної випадкової величини, характеристика закону розподілу випадкової величини. Знайомство з властивостями функції розподілу. Графічне та аналітичне відображення законів ймовірності дискретних величин.
реферат [134,7 K], добавлен 27.02.2012Властивості числових характеристик системи випадкових величин. Обчислення кореляційного моменту. Ведення комплексної випадкової величини, характеристичні функції. Види збіжності випадкових величин. Приклади доказів граничних теорем теорії ймовірностей.
реферат [113,9 K], добавлен 12.03.2011Математична обробка ряду рівноточних і нерівноточних вимірів. Оцінка точності функцій виміряних величин. Випадкові величини, їх характеристики і закони розподілу ймовірностей. Елементи математичної статистики. Статистична оцінка параметрів розподілу.
лекция [291,4 K], добавлен 17.11.2008Побудова графіків реалізацій вхідного та вихідного процесів, розрахунок функцій розподілу, математичного сподівання, кореляційної функції. Поняття та принципи вивчення одномірної функції розподілу відгуку, порядок конструювання математичної моделі.
контрольная работа [316,2 K], добавлен 08.11.2014Знаходження ймовірності настання події у кожному з незалежних випробувань. Знаходження функції розподілу випадкової величини. Побудова полігону, гістограми та кумуляти для вибірки, поданої у вигляді таблиці частот. Числові характеристики ряду розподілу.
контрольная работа [47,2 K], добавлен 20.11.2009Вивчення закономірностей, властивих випадковим явищам. Комплекс заданих умов. Експериментальна перевірка випадкових явищ в однотипних умовах та необмежену кількість разів. Алгебра випадкових подій. Сутність, частота і ймовірність випадкової події.
реферат [151,8 K], добавлен 16.02.2011