Теория погрешностей
Изучение сущности абсолютной и относительной погрешности. Характеристика понятия верной цифры. Рассмотрение последовательности значений с помощью формулы общего члена прогрессии. Расчет определителя матрицы при нескольких различных значениях аргумента.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лабораторная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 18.11.2014 |
| Размер файла | 283,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Лабораторная работа
Теория погрешностей
Теоретический материал к данной теме содержится в [1, глава 2]. Варианты к задачам 1.1-1.3 даны в ПРИЛОЖЕНИИ 1. Отчет по лабораторной работе оформляется на листах формата А4. Первый лист -- титульный. На нем указываются фамилия студента, номер группы, тема лабораторной работы, номер варианта и номера выполняемых задач. Далее оформляется отчет по каждой задаче, включающий в себя: 1) постановку задачи; 2) необходимый теоретический материал; 3) решение задачи.
Задача 1.1. Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: . Определить номер первого члена этой прогрессии, для которого, и указать само значение . Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найти Затем, вычисляя частичные суммы , определить минимальное число при котором величина приближающая содержит верных цифр.
Порядок решения задачи
1. Задать последовательность значений с помощью формулы общего члена прогрессии.
2. Решая неравенство найти номер члена этой последовательности, модуль которого меньше 1.
Вычислить само значение
3. Найти сумму ряда аналитически (по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии).
4. Вычислить значения частичных сумм ряда при значениях
Для каждого найти величину абсолютной погрешности и количество верных цифр в . Определить при каком минимальном значении N=M частичная сумма содержит верных цифр.
5. Вычислить относительную погрешность величины
6. Оформить отчет по задаче.
Задача 1.2. Для пакета MATHCAD найти значения машинного нуля, машинной бесконечности, машинного эпсилон.
Задача 1.3. Задана функция . Требуется вычислить значение функции в точкеи исследовать поведение погрешностей в зависимости от погрешности аргумента.
Порядок решения задачи
1. Раскрыть определитель и получить вид функции . Вычислить значение функции в точке .
2. Произвести теоретическую оценку абсолютной погрешности функции в зависимости от погрешности аргумента по формуле . Считать, что x0 получено в результате округления по дополнению.
3. Вычислить определитель матрицы при нескольких различных значениях аргумента в пределах заданной точности.
4.Сравнить полученные результаты (см. ПРИЛОЖЕНИЕ 3).
5. Найти относительную погрешность каждого результата задачи.
Литература
1. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. -- М.: Высшая школа, 1994.
Приложение 1
ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ К ЛАБОРАТОРНОЙ РАБОТЕ 1
ВНИМАНИЕ! Номер варианта для лабораторных работ вычисляется по следующей формуле:
1) mod (52) для групп 9-11;
2) mod (50) для групп 12-14
(здесь -- номер группы, а -- индивидуальный номер студента по журналу).
Таблица к задаче 1.1
|
|
||||||||
|
1.1.1 |
1.1.14 |
1.1.27 |
1.1.40 |
|||||
|
1.1.2 |
1.1.15 |
1.2.28 |
1.1.41 |
|||||
|
1.1.3 |
1.1.16 |
1.1.29 |
1.1.42 |
|||||
|
1.1.4 |
1.1.17 |
1.1.30 |
1.1.43 |
|||||
|
1.1.5 |
1.1.18 |
1.1.31 |
1.1.44 |
|||||
|
1.1.6 |
1.1.19 |
1.1.32 |
1.1.45 |
|||||
|
1.1.7 |
1.1.20 |
1.1.33 |
1.1.46 |
|||||
|
1.1.8 |
1.1.21 |
1.1.34 |
1.1.47 |
|||||
|
1.1.9 |
1.1.22 |
1.1.35 |
1.1.48 |
|||||
|
1.1.10 |
1.1.23 |
1.1.36 |
1.1.49 |
|||||
|
1.1.11 |
1.1.24 |
1.1.37 |
1.1.50 |
|||||
|
1.1.12 |
1.1.25 |
1.1.38 |
1.1.51 |
|||||
|
1.1.13 |
1.1.26 |
1.1.39 |
1.1.52 |
Таблица к задаче 1.3
|
1.3.1 |
1.3.14 |
1.3.27 |
1.3.40 |
|||||
|
1.3.2 |
1.3.15 |
1.2.28 |
1.3.41 |
|||||
|
1.3.3 |
1.3.16 |
1.3.29 |
1.3.42 |
|||||
|
1.3.4 |
1.3.17 |
1.3.30 |
1.3.43 |
|||||
|
1.3.5 |
1.3.18 |
1.3.31 |
1.3.44 |
|||||
|
1.3.6 |
1.3.19 |
1.3.32 |
1.3.45 |
|||||
|
1.3.7 |
1.3.20 |
1.3.33 |
1.3.46 |
|||||
|
1.3.8 |
1.3.21 |
1.3.34 |
1.3.47 |
|||||
|
1.3.9 |
1.3.22 |
1.3.35 |
1.3.48 |
|||||
|
1.3.10 |
1.3.23 |
1.3.36 |
1.3.49 |
|||||
|
1.3.11 |
1.3.24 |
1.3.37 |
1.3.50 |
|||||
|
1.3.12 |
1.3.25 |
1.3.38 |
1.3.51 |
|||||
|
1.3.13 |
1.3.26 |
1.3.39 |
1.3.52 |
Приложение 2
Ниже приведен фрагмент оформления содержательной части отчета по лабораторной работе 1.
Дана бесконечно убывающая геометрическая прогрессия: , где , . Определить номер первого члена этой прогрессии, для которого, и указать само значение . Используя формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, найти Затем, вычисляя частичные суммы при определить минимальное число при котором величина приближающая содержит верных цифр. Вычислить относительную погрешность величины погрешность цифра матрица прогрессия
Аналитическое решение задачи
Воспользуемся известными формулами для геометрической прогрессии:
1) -й (общий) член геометрической прогрессии имеет вид:
2) сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Номер для которого найдём, решив неравенство:
Наименьшее целое число, удовлетворяющее последнему неравенству, равно
Убедимся в том, что номер найден верно (учтем 6 знаков после запятой):
Первая часть задачи решена.
Теоретический материал
Пусть -- точное значение, -- приближенное значение некоторой величины.
1) Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина .
2) Относительной погрешностью значения (при называется величина .
Так как значение (как правило) неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:
При этом величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.
Значащую цифру числа называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Нас интересует значение суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии . Приближённое значение этой суммы даёт её -ая частичная сумма Абсолютную погрешность такого приближения найдём по формуле
Результаты вычислительного эксперимента
0
1
4
14
Так как по условию результат должен содержать 9 верных цифр, то величина абсолютной погрешности не должна превышать значения . Для определения наименьшего значения проведем дополнительные эксперименты:
8
8
8
9
Наконец, вычислим относительную погрешность найденного результата:
Ответ
1) номер первого из членов заданной прогрессии, для которого, равен
2) при этом
3) сумма геометрической прогрессии, вычисленная по аналитической формуле, равна
4) частичная сумма дает 9 верных значащих цифр;
5) относительная погрешность этого значения равна
Приложение 3
Задана функция . Требуется вычислить значение функции в точкеи исследовать поведение погрешностей в зависимости от погрешности аргумента.
Пусть определитель матрицы имеет вид: . Тогда, раскрывая определитель, получим следующий вид функции: . Вычислим определитель в точке : . Для получения теоретической оценки учтем, что , то есть погрешность аргумента для данного варианта равно 0.5. Производная функции монотонно убывает, поэтому (см график).
Таким образом, теоретическая оценка получена: . Сравним теоретическую оценку с погрешностью, полученной с помощью вычислительного эксперимента.
,
,
.
,
Получено хорошее соответствие с теоретической оценкой. Заметим, что величина относительной погрешности невелика, например, в последнем эксперименте: .
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Определение номера и значения членов прогрессии для бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Вычисление относительной погрешности величины. Определение значений машинного нуля и бесконечности. Поведение погрешностей в зависимости от аргумента.
лабораторная работа [283,1 K], добавлен 15.11.2014Методы вычислительной математики, работа с приближёнными величинами. Понятие абсолютной, предельной абсолютной и относительной погрешности приближённого числа. Выведение формулы предельной абсолютной и относительной погрешностей для заданной функции.
контрольная работа [85,3 K], добавлен 05.09.2010Округление заданного числа до шести, пяти, четырех и трех знаков. Расчет погрешностей после каждого округления. Определение абсолютной и относительной погрешности вычисления значений функции u с учетом того, что все знаки операндов a, b, c и d верны.
контрольная работа [131,5 K], добавлен 02.05.2012Нахождение определителя матрицы. Правило вычисления определителя 3-го порядка. Тождественные преобразования в виде цепочки действий. Симметрическая разность множеств. Область определения функции. Доказание равносильности формулы путем преобразований.
контрольная работа [46,6 K], добавлен 13.03.2011Исследование методами математического анализа поведения функций при заданных значениях аргумента. Этапы решения уравнения функции и определения значения аргумента и параметра. Построение графиков. Сочетание тригонометрических, гиперболических функций.
контрольная работа [272,3 K], добавлен 20.08.2010Расчет показателей матрицы, ее определителя по строке и столбцу. Решение системы уравнений методом Гаусса, по формулам Крамера, с помощью обратной матрицы. Вычисление предела без использования правила Лопиталя. Частные производные второго порядка функции.
контрольная работа [95,0 K], добавлен 23.02.2012Решение системы линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы. Нахождение ранга матрицы. Вычисление определителя с помощью теоремы Лапласа. Исследование на совместимость системы уравнений, нахождение общего решения методом Гауса.
контрольная работа [97,3 K], добавлен 24.05.2009Число, характеризующее квадратную матрицу. Вычисление определителя первого и второго порядков матрицы. Использование правила треугольников. Алгебраическое дополнение некоторого элемента определителя. Перестановка двух строк или столбцов определителя.
презентация [81,5 K], добавлен 21.09.2013Разложение определителя 4-го порядка. Проверка с помощью функции МОПРЕД() в программе Microsoft Excel. Нахождение обратной матрицы. Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы и методом Гаусса. Составление общего уравнения плоскости.
контрольная работа [138,7 K], добавлен 05.07.2015Понятие обратной матрицы. Пошаговое определение обратной матрицы: проверка существования квадратной и обратной матрицы, расчет определителя и алгебраического дополнения, получение единичной матрицы. Пример расчета обратной матрицы согласно алгоритма.
презентация [54,8 K], добавлен 21.09.2013
