Применение алгебры матриц и теории графов к анализу сетей электрических систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов

2. Расчёт установившихся режимов электрических систем, не содержащих контуров

2.1 Расчёт установившихся режимов электрических систем, содержащих контур

3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

4. Применение вероятностно - статистических методов в задачах электроснабжения



Введение

Задачи дисциплины, ее содержание и связь со смежными и специальными дисциплинами. Общие сведения о системах электроснабжения. Режимы работы систем электроснабжения, основные показатели режимов работы. Задачи, возникающие при проектировании и эксплуатации систем электроснабжения. Система электроснабжения как объект математического исследования.

Еще одна из задач научить применять аппарат математических методов в специальных электроэнергетических задачах.

В курсовом проекте рассмотрены: применение алгебры матриц и теории графов к анализу сетей электрических систем, использование теории вероятностей н электроэнергетике, основные подходы к математическому исследованию переходных процессов в автоматически регулируемых энергосистемах.

математический моделирование линейный электроэнергетика



1. Математическое моделирование задач электроэнергетики с помощью аппарата линейной алгебры и теории графов

Краткие теоретические сведения.

Любое комплексное число можно представить в одной из трех форм.

· Алгебраической

· Тригонометрической

· Показательной

Где - модуль комплексного числа

- аргумент комплексного числа

Если аргумент является линейной функцией времени , т.е.

Закон Ома для участка цепи синусоидального тока без источника ЭДС можно сформулировать таким образом: комплексная амплитуда тока в цепи синусоидального тока равна отношению комплексной амплитуды напряжения к комплексному сопротивлению цепи.

Два комплексных числа и считаются равными, если совпадают изображающие их точки. Это означает, что равенство и имеет место в том, и только в том случае, когда , .

Вычисление определителя матрицы двумя аналитическими способами. Исходная матрица имеет вид:

А=

1)вычислим определитель по правилу Саррюса «звездочки»

А==(2*1*3)+(6*4*4)+(3*2*5)-(5*1*4)-(6*3*3)-(4*2*2)= 42

2) вычислим определитель матрицы путем разложения по элементам

А== + +=2 (3-8)- 3 (18-10)+ 4 (24-5)=(-10)-24+76= 42

Вычисление определителя в системе MATLAB

>> A=[2 6 5;3 1 4;4 2 3]

A =2 6 5

3 1 4

4 2 3

>> det(A)

ans = 42



Вычисляем обратную матрицу классическим способом.

А=

1) Записываю матрицу ,транспонированную к матрице А

Матрица будет иметь вид

=

2) Заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца:

А1=

3) Поменяем знаки у элементов с нечетной суммой индексов:

=

4) Разделим все элементы матрицы на detА= 42. В результате получаем обратную матрицу:



=

5) Проверка *А= Е

* =*2 +*3+ *4= + += 1

* =*6 +*1+ *2= + += 0

* =*5 +*4+ *3= + += 0

* =*2 +*3+ *4= + +=0

* =*6 +*1+ *2= + +=1

* =*5 +*4+ *3= + +=0

* =*2 +*3+ *4= + +=0

* =*6 +*1+ *2= + +=0

* =*5 +*4+ *3= + +=1

Е=* =

Вычисление обратной матрицы в системе MATLAB.

A = 2 6 5

3 1 4

4 2 3

>> inv(A)

ans = -0.1190 -0.1905 0.4524

0.1667 -0.3333 0.1667

0.0476 0.4762 -0.3810

>> A*inv(A)

ans = 1 0 0

0 1 0

0 0 1



2. Расчет установившихся режимов электрических систем

Краткое теоретическое сведение

Схемой замещения электрической цепи называется графическое изображение электрической цепи, показывающее последовательность соединения ее участков и отображающее свойства рассматриваемой электрической цепи. Любая электрическая цепь и соответственно ее схема содержит ветви, узлы и в общем случае контуры.

Ветвью называется участок электрической цепи, в которой в любой момент времени ток имеет одно и то же значение.

Узлом называется место соединения двух или большего числа ветвей. Одна из ветвей, соединяющихся в узле, может быть источником тока.

Контуром называется любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям. Если схема электрической цепи не содержит контуров, то она называется разомкнутой. Любая электрическая схема состоит из некоторого числа элементов: линий электропередач, трансформаторов, источников питания, потребителей электрической энергии и т.д. Для проведения расчетов электрическую схему в начале представляют схемой замещения, а затем переходят к направленному графу электрической сети.

Обобщенное уравнение состояния .

Обобщенное уравнение состояния для схемы произвольной конфигурации имеет вид

Матричная форма записи уравнения, где матрица параметров схемы замещения, где вектор- столбец токов в ветвях, - число ветвей в схеме замещения, - вектор- столбец исходных параметров режима.

Уравнение (1) объединяет два матричных уравнения.

Уравнение по первому закону Кирхгофа

.

где матрица размерностью матрица соединений ветвей в узлах ( без балансирующего узла), здесь - число узлов схемы замещения, - число ветвей, - матрица размерностью , матрица соединений ветвей в независимые контуры, - число независимых контуров.

- вектор-столбец задающих токов в узлах.

Вычисление обратной матрицы для матрицы М классическим способом.

Для схемы, представленной на рис 2.1 найти токи в ветвях разомкнутой электрической сети, используя матричную форму записи 1-го закона Кирхгофа.

=; =; =

\

Рис 2.1



1) матрица задающих токов принимает вид:

J=

2) матрица задающих токов равна матрице токов нагрузок, взятой с противоположенным знаком. Выбираем в качестве балансирующего узла 4 узел. Обозначим через М первую матрицу инциденций без балансирующего узла.

=

M=

3) вычислим определитель по правилу Саррюса «звездочки»

M==((-1)*(-1)*(-1))+(0*0*(-1))+((-1)*0*0)-((-1)*(-1)*0)- -(0*0*(-1))-(0*(-1)*(-1))= -1

4) Транспонируем матрицу М:

=



5) Заменим каждый элемент определителем, полученным при вычеркивании соответствующей строки и столбца:

М1=

6) Поменяем знаки у элементов с нечетной суммой индексов:

=

7) Обратная матрица М имеет вид:

=

8) Из обобщенного уравнения состояния I= * J

I= *=

==

Ответ: =, =, =

Вычисление обратной матрицы для матрицы в системе MATLAB,

M=[-1 1 1;0 -1 0;0 0 -1]

M = -1 1 1

0 -1 0

0 0 -1

>> inv(M)

ans = -1 -1 -1

0 -1 0

0 0 -1

Вычисление токов в ветвях аналитическим методом и с помощью MATLAB- программы.

>> M=-[-1 -1 -1;0 -1 0; 0 0 -1]

M = 1 1 1

0 1 0

0 0 1

>> J=[3 4;2 23;0 67]

J = 3 4

2 23

0 67

>> M*J

ans = 5 94

2 23

0 67

2.1 Расчёт установившихся режимов электрических систем, содержащих контур

Граф можно представить, если представить множество точек на плоскости , называемых вершинами графа и множества направленных отрезков , соединяющих все или несколько вершин и называемых дугами. Таким образом любой граф можно определить как пару множеств .

Путем в графе называется такая последовательность дуг , в которой конец каждой предыдущей дуги совпадает с началом следующей. Длиной пути называется число равное числу дуг на этом пути. Все элементы схем замещения делятся на активные и пассивные. К активным элементам схем замещения относятся источники ЭДС и тока. Для них характерно то, что они задают напряжения и токи в точках присоединения этих элементов в соответствующей цепи независимо от ее остальных параметров. Пассивные элементы схем замещения: сопротивления и проводимости создают пути для протекания электрического тока. Пассивные элементы обычно разделяются на поперечные и продольные.

Поперечные пассивные элементы - это ветви, включенные между узлами схемы и нейтралью. К продольным пассивным элементам относятся ветви, соединяющие все узлы , кроме узла с напряжением равным нулю.

Поперечные пассивные элементы соответствуют проводимостям на землю линий электропередач, заземленным реакторам и конденсаторам, а также поперечным проводимостям учитывающим потери в стали трансформаторов. В свою очередь продольные пассивные элементы соответствуют активным и индуктивным сопротивлениям ЛЭП, обмоток трансформаторов, емкостям устройств продольной компенсации.

Первая и вторая матрицы инциденций.

Первая матрица инциденций , называется также матрицей соединений, обозначается . Показывает взаимосвязь между узлами и ветвями исходного графа. Матрица прямоугольная матрица число строк которой определяется числом узлов сети, а число столбцов числом ветвей. Элементы матрицы могут принимать одно из трех значений

Вторая матрица инциденций называется также матрицей контуров и обозначается . Она связывает ветви и независимые контуры соответствующего графа схемы замещения. Для составления матрицы нужно определить число независимых контуров схемы. Это число определяется по формуле

,

где - число независимых контуров, - число ветвей, число узлов.

Строки матрицы соответствуют независимым контурам схемы, столбцы ветвям. Элементы матрицы определяются по следующим правилам

Обобщенное уравнение состояния .

Обобщенное уравнение состояния для схемы произвольной конфигурации имеет вид



Уравнение по второму закону Кирхгофа

,

где - матрица размерностью , матрица соединений ветвей в независимые контуры, - число независимых контуров.

диагональная матрица сопротивлений ветвей. - вектор-столбец контурных ЭДС ветвей, входящих в каждый независимый контур. Матрицы и можно рассматривать как блоки одной объединенной матрицы параметров схемы замещения

,

а вектор-столбцы и как блоки одной объединенной матрицы исходных параметров режима

.

Для формирования обобщенного уравнения состояния (1) необходимо предварительно определить матрицы инциденций и , которые в аналитическом виде отображают конфигурацию схемы замещения электрической сети. Матрица обобщенного уравнения состояния является квадратной матрицей порядка .

Тогда из уравнения (1) используя метод обратной матрицы можно сразу определить токи в ветвях.



При известных токах в ветвях можно определить напряжения в узлах. Для этого сначала по закону Ома определяем падение напряжения в ветвях схемы

.

Если ЭДС в ветвях отсутствует , то закон Ома принимает вид

Затем из уравнения определяем напряжения в узлах схемы замещения. Здесь матрица представляет собой напряжения узлов относительно базисного

.

Решение матричного уравнения состояния двумя способами (методом обратной матрицы и методом Гаусса).

Для схемы представленной на рисунке 2.2 определить токи в ветвях схемы, напряжение в узлах. Сеть трехфазная. Токи нагрузки равны =120 А; =40 А ; =50 А. =2 Ом ; Ом ; = 5 Ом ; =4 Ом.

Узел 4 источнок питания ,выбираем его в качестве балансирующего узла (базисного). = 6кВ.



Рис 2.2

Для данной схемы отметим участки участок 1-2 обозначим ,участок 1-4 обозначим , участок 3-4 обозначим , участок 2-3 обозначим .

1) Составляем первую и вторую матрицы инциденций (, N)для нашего графа.

=

Первая матрица инциденций без балансирующего узла будет иметь вид:

М=

В нашей схеме замещения всего один независимый контур, в соответствии с этим вторая матрица будет иметь вид:

N=

Запишем сопротивление ветвей в виде матрицы:

=

Матрица задающих токов примет вид:

F=

2) Запишем для нашей схемы обобщенное уравнение состояния:

* I = F

I=* F

3) Запишем произведение второй матрицы инциденции на сопротивление ветвей:

N₌* =

4) Найдем обратную матрицу

=



Обратная матрица равна:

==

5) Подставим получившиеся значения в обобщенное уравнение состояния:

I=* F

I= * =

= (-0.4) * (-100) + (-0.4) * (-115) + (-0.3) * (-60) + (-0.1)*0= 104 А

= (-0.6) * (-100) + (-0.4) * (- 115) + (-0.3 ) * (-60) + (-0.1)*0=124 А

= (-0.4) * (-100) + (-0.6) * (-115) + (-0.7) * (-60) + 0.1* 0= 151 А

= (-0.4) * (-100) + (-0.6) * (-115) + 0.3 * (-60) + 0.1 * 0 = 91 А

Найденные токи принимают значения =104 А; = 124А; = 151 А; = 91 А.

Решение матричного уравнения методом Крамера в системе MATLAB.

>> MNZ=[1 -1 0 0;-1 0 0 -1;0 0 -1 1;-2 -4 3 1]

MNZ = 1 -1 0 0

-1 0 0 -1

0 0 -1 1

-2 -4 3 1

>> inv(MNZ)

ans = 0.4000 -0.4000 -0.3000 -0.1000

-0.6000 -0.4000 -0.3000 -0.1000

-0.4000 -0.6000 -0.7000 0.1000

-0.4000 -0.6000 0.3000 0.1000

>> F=[-100;-115;-60;0]

F = -100

-115

-60

0

>> I=[inv(MNZ)* F]

I = 24.0000

124.0000

151.0000

91.0000

Сравнение полученных результатов , найденных разными способами.

>> I=[inv(MNZ)* F]

I = 24.0000

124.0000

151.0000

91.0000

I= * =

= (-0.4) * (-100) + (-0.4) * (-115) + (-0.3) * (-60) + (-0.1)*0= 104 А

= (-0.6) * (-100) + (-0.4) * (- 115) + (-0.3 ) * (-60) + (-0.1)*0=124 А

= (-0.4) * (-100) + (-0.6) * (-115) + (-0.7) * (-60) + 0.1* 0= 151 А

= (-0.4) * (-100) + (-0.6) * (-115) + 0.3 * (-60) + 0.1 * 0 = 91 А

Вычисление узловых напряжений аналитически.

По закону Ома определяем падение напряжения на ветвях схемы.

==* ==

Используя уравнение * = получим:

*=

Перемножая матрицы в матричном уравнении, получаем 4 уравнения с 3 неизвестными, т.е. данная система переопределена. В нашем случае можно выбросить любое уравнение переопределённой системы и решить её также каким-либо методом решения систем линейных алгебраических уравнений. В результате получаем:

Нахождение узловых напряжений с помощью MATLAB

>> Z=[2 0 0 0;0 4 0 0;0 0 3 0;0 0 0 1]

Z = 2 0 0 0

0 4 0 0

0 0 3 0

0 0 0 1

>> I=[104;124;151;91]

I = 104

124

151

91

>> U=[Z*I]

U = 208

496

453

Сравнение полученных результатов, найденных разными способами.

>> U=[Z*I]

U = 208

496

453

91

==* ==



3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Краткие теоретические сведения.

Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений можно разделить на две группы :

· точные методы;

методы последовательных приближений. Система линейных алгебраических уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения. Для определения совместности системы можно использовать теорему Кронекера - Капелли, смысл которой состоит в следующем: для того, чтобы система линейных алгебраических уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы коэффициентов системы был равен рангу ее расширенной матрицы коэффициентов.

Исследование систем линейных алгебраических уравнений на совместимость.

Процесс решения по методу Гаусса состоит из двух этапов: прямой ход метода и обратный ход. На первом этапе (прямой ход) система приводится к треугольному виду, на втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из этой треугольной системы. Будем считать, что коэффициент , который называют ведущим элементом первого шага, отличен от нуля (в случае, если , нужно поменять местами первое уравнение с - тым уравнением, в котором ). Разделим теперь почленно первое уравнение системы на коэффициент . Введем множители

.



Прибавим теперь к каждому - тому уравнению системы первое уравнение, умноженное на . Проделав эту операцию, мы исключим неизвестное из всех уравнений, начиная со второго.

Здесь индекс означает новые значения коэффициентов и правых частей, которые получаются после выполнения первого шага прямого хода метода Гаусса.

Переходя, к выполнению второго шага прямого хода метода Гаусса предположим, что элемент , который называют ведущим элементом второго шага, не равен нулю. Разделим второе уравнение на коэффициент . Введем множители

Прибавим к -тому уравнению системы (3), второе уравнение, умноженное на , в результате исключим неизвестное из всех уравнений , кроме первых двух.

Аналитечкое решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.

В начале исследуем заданную систему на совместимость . Для этого вычислим ранг матрицы коэффициентов А и ранг расширенной матрицы коэфицентов. Для этого воспользуемся системой MATLAB.

A=[0 1 -3 4;1 0 -2 3;3 2 0 -5; 4 3 -5 0]; rank(A)

ans =

>> A1=[0 1 -3 4 -5;1 0 -2 3 -4;3 2 0 -5 12; 4 3 -5 0 5]; rank(A1)

ans =

Получили, что ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы коэффициентов, отсюда следует, что система совместна и имеет единственное решение (ранги матриц равны порядку системы).

Проведем преобразования по прямому ходу метода Гаусса

На главной диагонали, преобразованной матрицы коэффициентов, стоят 1. Теперь проведем преобразования в соответствии с обратным ходом метода Гаусса. В результате получаем вектор-столбец искомых неизвестных

Решение систем линейных алгебраических уравнений в системе MATLAB

>> A=[0 1 -3 4;1 0 -2 3;3 2 0 -5;4 3 -5 0];B=[-5;-4;12;5];

>> AB=[A B]

AB = 0 1 -3 4 -5

1 0 -2 3 -4

3 2 0 -5 12

4 3 -5 0 5

>> rref(AB)

ans =1 0 0 0 1

0 1 0 0 0

0 0 1 0 -3

0 0 0 1 -2

Сравнение полученных результатов, найденных разными способами.



Применение вероятностно - статистических методов в задачах электроснабжения.

Краткое теоретическое сведение.

Теория вероятностей - это математическая наука, изучающая закономерности случайных событий, случайных величин и случайных функций. В теории вероятностей рассматривается следующая модель изучаемых явлений реальной жизни: проводится опыт (испытание) в результате чего происходят случайные события (обозначения событий).

Событие называется достоверным, если оно обязательно происходит в результате опыта (обозн. ).

Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате рассматриваемого опыта (обозн. ).

Два и более событий называются невозможными, если они не могут произойти одновременно в рассматриваемом опыте.

Событие благоприятствует событию , если из того что произошло событие следует также, что произошло и событие . Записывается это так .

Множество событий рассматриваемого опыта, одно из которых в результате опыта обязательно происходит, а любые два из которых несовместны, называются множеством исходов опыта.

При этом говорят, что события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Вычисление числовых характеристик случайных величин аналитически.



П	12	15	16	17	15	13	14	15	18	17
W	41	42	43	45	47	48	50	52	55	50

= 25

М[П] = = 15,2

М[W] = = 47,3

Д [П] =

+ = 3,16

Д[W]=

+ = 18,81

= 4,33

=

12,24

W = 12,24 * (25 - 15,2) + 47,3 = 339,98

Вычисление числовых характеристик случайных величин в системе MATLAB

>> A=[12 15 16 17 15 13 14 15 18 17]

A = 12 15 16 17 15 13 14 15 18 17

>> W=[41 42 43 45 47 48 50 52 55 50]

W = 41 42 43 45 47 48 50 52 55 50

>> mean(A)

ans = 15.2000

>> mean(W)

ans = 47.3000

>> std(A,1)

ans = 5…….

>> std(W,1)

ans = 2.6851

>> corrcoef(A,W)

ans = 1.0000 0.8036

0.8036 1.0000

Вычисление прогнозируемого значения электропотребления промышленного предприятия с помощью уравнения линейной регрессии.

W = 0.78 * (65 - 31,29) + 17,2 = 17.53

При увеличении выработки продукции до 65 единиц в год из системы будет потребляется 17.53 МВт.ч.

Размещено на Allbest.ru