Алгебраїчні та трансцендентні числа

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Головне управління освіти і науки

Черкаської облдержадміністрації

Уманське територіальне відділення МАН України

Відділення: «Математика»

Секція: «Математика»

Алгебраїчний трансцендентний число

Алгебраїчні та трансцендентні числа

Роботу виконала

Довгопола Ірина Романівна,

учениця 9 класу

Сушківської загальноосвітньої

школи І-ІІІ ступенів

Науковий керівник

Довгопола Оксана Василівна,

вчитель математики

Умань-2013



Сучасна математика в багатьох задачах оперує підмножиною дійсних чисел, що складається з підмножин раціональних і ірраціональних чисел, тобто з алгебраїчних чисел, які можна представити у вигляді кінцевого алгебраїчного дробу й трансцендентних чисел, тобто таких які не можна представити у вигляді кінцевого алгебраїчного дробу. В нашій роботі ми досліджуємо історію виникнення,означення, властивості та теореми, що охарактеризовують алгебраїчні та трансцендентні числа.

Робота складається з п'яти частин.

У розділі «Вступ» окреслюється тема, мета, прийоми, методи і завдання дослідження , визначаються актуальність, та його практичне застосування.

Перший розділ «Історія досліджень алгебраїчних та трансцендентних чисел» присвячений історичному розвитку числа, передумовам необхідності дослідження чисел, які привели до появи алгебраїчних чисел, а потім , на основі цього виділення трансцендентних.

В другому розділі наведені означення алгебраїчних чисел та основні теореми пов'язані з ними. Перша частина розділу - викладення поняття алгебраїчних чисел. Особливо виділяється той факт, що множина алгебраїчних чисел є полем і приводиться твердження про замкнутість цього поля, що є важливим.

В третьому розділі вводиться поняття трансцендентних чисел, того факту, що їх набагато більше ніж алгебраїчних. Потім розглядається теорема Ліувілля, яка дає змогу будувати конкретні приклади трансцендентних чисел,та приклади побудови таких чисел. Наприкінці розділу подано короткий екскурс в історію деяких відомих важливих констант, етапи дослідження на предмет їх трансцендентності. На основі отриманих результатів були написані «Висновки».



Вступ

Первісні елементи математики пов'язані з появою навичок рахунку, що виникають у примітивній формі на порівняно ранніх щаблях розвитку людського суспільства, у процесі трудової діяльності. Число є одним з основних понять математики. Поняття числа розвивалося в тісному зв'язку з вивченням величин; цей зв'язок зберігається і тепер. У всіх розділах сучасної математики доводиться розглядати різні величини і користуватися числами.

Існує велика кількість визначень поняття «число».Перше наукове визначення числа дав Евклід у своїх «Началах», яке він, очевидно, успадкував від свого співвітчизника Евдокса Книдского (близько 408 - близько 355 рр.. до н. е..): «Одиниця є те, відповідно до чого кожна з існуючих речей називається одиницею. Число є безліч, складене з одиниць ». Так визначав поняття числа і російський математик Магніцький у своїй «Арифметиці» (1703 р.).Ще раніше Евкліда Аристотель дав таке визначення: «Число є безліч, яке вимірюється за допомогою одиниць».Зі слів грецького філософа Ямвліха, ще Фалес Мілетський - родоначальник грецької стихійно-матеріалістичної філософії - вчив, що «число є система одиниць». Це визначення було відомо і Піфагору.У своїй «Загальній арифметиці» (1707 р) великий англійський фізик, механік, астроном і математик Ісаак Ньютон пише: «Під числом ми розумієм не стільки безліч одиниць, скільки абстрактне ставлення якої-небудь величини до іншої величини такого ж роду, взятої за одиницю. Число буває трьох видів: ціле, дробове і ірраціональне. Ціле число є те, що вимірюється одиницею; дробове - кратною частиною одиниці, ірраціональне - число, не сумірне з одиницею »

Розвиваючись, математика перейшла до більш складних питань, одним з яких стало питання теорії чисел про алгебраїчні та трансцендентні числа. Вивчення властивостей таких чисел становить зміст одного з найважливіших розділів сучасної теорії чисел, названого алгебраїчною теорією чисел. Вона пов'язана з вивченням різних класів алгебраїчних чисел.

Ця теорія молода і не так розвинута, як інші математичні теорії, але її поява дозволила розв'язати деякі математичні питання, вирішення яких не було можливим до того; теорія отримала досить широке практичне застосування. Цей факт і став вирішальним при виборі теми дослідження «Алгебраїчні та трансцендентні числа».

Метою та завданням цього дослідження є:

вивчити та викласти історію виникнення алгебраїчних та трансцендентних чисел;

особливу увагу звернути на появу перших теорем про трансцендентнічисла;

розглянути теореми про алгебраїчні числа, дослідити різні види доведення цих теорем та їх практичне застосування;

викласти твердження про трансцендентність деяких важливих математичних сталих і доведення цих тверджень;

побудувати приклади трансцендентних чисел на основі дослідженого

матеріалу.

Для досягнення мети було опрацьовано літературу по історії математики та теорії чисел, а також по теорії чисел, щоб на основі цих теоретичних даних провести дослідження алгебраїчності та трансцендентності деяких чисел, а також побудувати приклади трансцендентних чисел на основі теореми Ліувілля. Всі отримані результати оформлені в даній роботі.

Апробація дослідження: робота апробована на позакласному заході з математики у 9 класі «Ірраціональні та трансцендентні числа»



Розділ 1.Історія досліджень алгебраїчних та трансцендентних чисел

Якщо прослідкувати історію виникнення та розвитку знань людства про числа, то виявиться доволі парадоксальний факт ? протягом майже всієї багато столітньої історії люди використовували на практиці та досконало вивчали лише малу частину множини чисел, які «живуть» в природі. Вони довгий час абсолютно не підозрювали про існування, як пізніше виявилося, величезної кількості дійсних чисел, які мають дивовижні та загадкові властивості і названими зараз як трансцендентні. Прослідкуємо разом орієнтовні етапи розвитку поняття дійсного числа:

Крокуюча з глибини століть геніальна абстракція натурального числа. Геніальність цієї абстракції вражає, а її значення для розвитку людства більше, мабуть, за винахід колеса. Ми звикли до неї настільки, що перестали захоплюватися цим самим видатним досягненням людського розуму. Але спробуйте, для прикладу уявивши себе не сучасною, а первісною людиною, сформулювати точно, що спільного мають між собою три банани, три корови та три ями. Пояснити «не математику», що таке натуральне число «три» - майже безнадійна справа, однак уже п'ятиліть. Людська дитина внутрішньо відчуває цю абстракцію і в змозі вправно оперувати з нею, випрошуючи у мами три цукерки, замість двох.

Дроби, тобто додатні раціональні числа.

Дроби звичайно виникли при розв'язуванні питань з розділом майна, вимірюванні земельних ділянок, розрахунку часу і т. д. В древній Греції раціональні числа взагалі були символом гармонії навколишнього світу і виявом божественного начала, а всі відрізки, вважалися спів вимірними, тобто відношення їх довжин обов'язково повинно було виражатися числом раціональним.

Від'ємні числа і нуль.

Від'ємні числа спочатку трактувалися як борг при фінансових та бартерних розрахунках, однак потім вияснилося, що без від'ємних чисел і в інших областях людської діяльності нікуди не подінешся. Число нуль , на думку деяких відомих дослідників історії теорії чисел, спочатку слугувало не символом порожнього місця і відсутністю будь-якої кількості, а символом рівності і завершеності процесу розрахунків.

Ірраціональні алгебраїчні числа.

Ірраціональні числа відкрили ще в піфагорійській школі при спробі порівняти діагональ квадрата з його стороною, але зберігали це відкриття в великій таємниці. В це відкриття посвячувалися тільки найдосвідченіші та перевірені учні, а пояснювалось воно як явище, яке порушує гармонію світу. Але нужденність та війни заставили людство розв'язувати алгебраїчні рівняння не тільки першого степеня з цілими коефіцієнтами. Після Галілея снаряди стали літати по параболах, після Кеплера планети полетіли по еліпсах, механіка і балістика стали точними науками і всюди потрібно було розв'язувати рівняння, коренями яких були ірраціональні числа. Вперше алгебраїчні числа та алгебраїчні поля став розглядати Гаусс. При обґрунтуванні теорії біквадратичних вирахувань він розвинув арифметику цілих гауссових чисел, тобто чисел виду a + b i , Де a і b - цілі числа. Далі, вивчаючи теорію кубічних розрахунків, Якобі і Ейзенштейн створили арифметику чисел виду a + bс , де p= - кубічний корінь з одиниці, а a і b - цілі числа. У 1844 році Ліувілль довів теорему про неможливість занадто точного наближення коренів многочленів з раціональними коефіцієнтами раціональними дробами, і, як наслідок, ввів формальні поняття алгебраїчних і трансцендентних (тобто всіх інших дійсних) чисел. Спроби довести велику теорему Ферма привели до вивчення полів розподілу кола, введенню поняття ідеалу і створенню елементів теорії алгебраїчних чисел. У роботах Дирихле, Кронекера, Гільберта та інших теорія алгебраїчних чисел отримала свій подальший розвиток. Великий внесок у неї внесли російські математики Золотарьов (теорія ідеалів), Вороний (кубічні ірраціональності, одиниці кубічних полів), Марков (кубічне поле), Сохоцький (теорія ідеалів) та інші. Тому з існуванням ірраціональних коренів довелося змиритися, якими б відразливими вони не були. Більше того, методи розв'язування кубічних рівнянь та рівнянь четвертого степеня, відкриті в XІV столітті італійськими математиками Сципіоном дель Ферро та Нікколо Тарталья, Людовиком Феррарі та Рафаелем Бомбеллі привели до винаходу вже зовсім «неймовірних» комплексних чисел, яким довелося отримати визнання аж у XIX столітті. Алгебраїчні ірраціональності стійко ввійшли в людську практику уже з XІV столітті.

В цій історії розвитку поняття числа не знайшлося місця для трансцендентних чисел, тобто чисел які не є коренями ніякого алгебраїчного рівняння з раціональними показниками. Правда ще древні греки знали число ??, яке , як вияснилося з часом, виявилось трансцендентним. Але знали вони його тільки як відношення довжини кола до його діаметра. Питання про істинну природу цього числа мало кого цікавило до тих пір, поки люди вдосталь і безрезультатно не «нарозвязувались» древньогрецької задачі про квадратуру круга, а саме число «повилізало» в різних розділах математики.

Тільки в 1844році Жозеф Ліувілль побудував історично перший приклад трансцендентного числа, а математичний світ здивувався самому факту існування таких чисел. Він довів теорему про те, що алгебраїчне число неможливо доволі добре наблизити раціональним дробом. У 1873 Шарль Ерміт довів трансцендентність числа e (основи натуральних логарифмів). У 1882 Фердинанд фон Ліндеманн довів теорему про трансцендентність степеня числа e з ненульовим алгебраїчним показником, тим самим довівши трансцендентність числа р і нерозв'язність завдання квадратури круга. І тільки в XIX столітті геніальний Георг Кантор зрозумів, використовуючи поняття щільності множини, що на числовій прямій трансцендентних чисел переважна більшість.

У 1900 на II Міжнародному Конгресі математиків Давид Гільберт в числі сформульованих ним проблем сформулював сьому проблему: «Якщо а ? 0, а-- алгебраїчне число і b -- алгебраїчне, але ірраціональне, чи вірно, що ab -- трансцендентне число?» Зокрема, чи є трансцендентним число 2. Ця проблема була вирішена в 1934 А. О. Гельфондом, який довів, що всі такі числа дійсно є трансцендентними.



Розділ 2. Алгебраїчні числа

2.1 Означення алгебраїчних чисел

Алгебраїчні числа - це числа, які є коренем хоча б одного многочлена з цілими коефіцієнтами. Тобто число є алгебраїчним, якщо існує многочлен

,

де ? ? і

У даному означенні можна було вимагати, щоб коефіцієнти многочлена були раціональними числами, оскільки, помноживши ліву та праву частини рівняння на ціле число, яке є спільним кратним знаменником всіх коефіцієнтів, ми отримаємо рівняння з цілими коефіцієнтами, коренем якого буде наше число.

Всі раціональні числа є алгебраїчними.

Дійсно,число є, наприклад, коренем рівняння .

Також значення кореня будь-якого степеня з раціонального числа є алгебраїчним числом, адже , де , і натуральні числа, являється коренем рівняння - = 0.

Існують й інші алгебраїчні числа, ніж вказані вище.

Приклад:

Чиcло

=+ (2.1.1)

є числом алгебраїчним.

Доведення:

піднесемо до квадрату обидві частини рівності (2.1.1) отримаємо

=2+2+3

звідки

= 2+5

= 2

знову піднесемо ліву і праву частини рівності до квадрату, отримаємо

-10+25=24

звідки можна зробити висновок , що число є коренем наступного рівняння:

-10+1=0

Будь-яке число , у якого компоненти і b - раціональні числа, являються алгебраїчними. Доведемо це.

Нехай .

Із рівності , отримуємо .

Звідси, коли піднесемо до квадрату, ми отримаємо

.

Отже, z являється коренем рівняння:

,

всі коефіцієнти якого є цілі числа.

В подальшому ми будемо розглядати тільки дійсні алгебраїчні числа, не нагадуючи про це кожного разу.

Для будь-якого алгебраїчного числа з усіх многочленів зазвичай розглядають многочлен найменшого степеня. Якщо - алгебраїчне число, то серед всіх многочленів з раціональними коефіцієнтами, для яких є коренем, існує єдиний многочлен найменшого степеня із старшим коефіцієнтом, рівним 1. Такий многочлен є незвідним, він називається мінімальним многочленом алгебраїчного числа.

Мінімальним многочленом для являетьсяx3 -2, оскільки корінь цього многочлена не є коренем якого-небудь многочлена більшого степеня з раціональними коефіцієнтами.

Степінь мінімального многочлена називається степенем алгебраїчного числа .

Інші корені мінімального многочлена називаються спряженими до.

Висотою алгебраїчного числа називається найбільший з коефіцієнтів в незвідному многочлені з цілими коефіцієнтами, для якого є коренем .

Мінімальний многочлен числа ?? має коефіцієнти цілі числа тоді і тільки тоді, коли - ціле алгебраїчне число.

Раціональні числа, і лише вони, є алгебраїчними числами 1-го степеня.

Уявна одиниця ?? так само як є алгебраїчним числом 2-го степеня. Спряженими до цих чисел є відповідно -?? та -.

При будь- якому натуральному , є алгебраїчним числом -го степеня.

Означення: Число називається степенем алгебраїчного числа , якщо число є коренем деякого многочлена -го степеня з раціональними коефіцієнтами і не існує тотожного не рівного нулю многочлена з раціональними коефіцієнтами степеня, меншого чим , коренем якого є .

Якщо корінь многочлена -го степеня з цілими раціональними коефіцієнтами не є коренем жодного тотожно нерівного нулю многочлена з цілими коефіцієнтами степеня меншого чим , то не може бути коренем тотожно нерівного нулю многочлена з раціональними коефіцієнтами степеня меншого чим, тобто - алгебраїчне число степеня .

Раціональні числа являються алгебраїчними числами першого степеня. Будь-яка квадратична ірраціональність представляє з себе алгебраїчне число 2-го степеня, адже, являючись коренем квадратного рівняння з цілими коефіцієнтами, воно не являється коренем якого-небудь рівняння 1-го степеня з цілими коефіцієнтами.

Алгебраїчні числа 3-го степеня часто називають кубічними ірраціональностями, а 4-го степеня біквадратними ірраціональностями.

Приклад:

- алгебраїчне число 3-го степеня, тобто кубічна ірраціональність. Дійсно, це число є коренем многочлена 3-го степеня з цілими коефіцієнтами x 3 -2=0 і не є коренем якого-небудь многочлена 1-го чи 2-го степеня з цілими коефіцієнтами.

Якщо число є коренем многочлена зі старшим коефіцієнтом рівним одиниці, то це число називається цілим алгебраїчним числом.

Уявна одиниця, число є алгебраїчним, оскільки вона є коренем рівняння .

Числа е, р, не є алгебраїчними. Статус числа невідомий.

2.2 Поле алгебраїчних чисел

Однією з найважливіших властивостей алгебраїчних чисел є той факт, що вони утворюють поле, тобто, якщо ?? і ?? - алгебраїчні числа, то їх обернені елементи -?? і , а також сума ??+?? і добуток ???? також є алгебраїчними числами.

Доведення:

Спершу доведемо алгебраїчність -??:

якщо - многочлен з цілими коефіцієнтами для якого ?? є коренем, то -?? буде коренем многочлена . Тобто -?? алгебраїчне число.

2) Якщо ?? - корінь многочлена ? ? то -?? є коренем многочлена ? ?, отже теж є алгебраїчним числом.

3) Доведемо тепер алгебраїчність ??+??. Припустимо ?? є коренем многочлена ? ? і ?? є коренем многочлена ? ?. Нехай , - всі корені (враховуючи їхню кратність, так що степінь рівний і нехай - всі корені . Розглянемо многочлен:. Множина є комутативним кільцем. З теореми Вієта випливає, що коефіцієнти є симетричними многочленами від чисел , . Тому, якщо ,,…, - елементарні симетричні многочлени від

б1= б, б2, ..., бn і A -- деякий коефіцієнт (при xk) многочлена F(x), тоді з фундаментальної теореми про симетричні многочлени випливає, що A = B(у1, у2, ..., уn, в1, в2, ..., вm) для деякого многочлена B з цілими коефіцієнтами. Проте коефіцієнти F(x) також є симетричними многочленами від чисел в1, в2, ..., вm. Нехай ?=? і у1', у2', ..., уm' -- елементарні симетричні многочлени від в1= в, в2, ..., вm тому з фундаментальної теореми про симетричні многочлени A = B'(у1, у2, ..., уn, у1', у2', ..., уm') для деякого многочлена B' з цілими коефіцієнтами. З теореми Вієта випливає, що всі у1, у2, ..., уn, у1', у2', ..., уm' є раціональними і тому раціональним є також коефіцієнт A. Тому ??(х)=?(Х) і оскільки б + в є коренем F(x), це число є алгебраїчним.

Алгебраїчність числа бв доводиться аналогічно до випадку б + в, розглядаючи многочлен:



2.3 Властивості алгебраїчних чисел

Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.

Для довільного алгебраїчного числа існує таке натуральне ?, що ?( )-- ціле алгебраїчне число.

Алгебраїчне число -го степеня має різних спряжених чисел (включаючи саме число).

і ?? спряжені тоді і тільки тоді, коли існує автоморфізм поля , що переводить у ??.

В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами.

Два результати, що прояснюють суть цього твердження

Теорема Ліувіля: якщо ???? є коренем многочлена ? ?

степінь якого рівний n, тоді існує число А залежне від ?? що , для довільного раціонального числа .

Теорема Туе-Зігеля-Рота: якщо ???? є алгебраїчним число, тоді для

довільного е > 0 існує лише скінченна кількість пар цілих чисел де> 0 для яких .



Розділ 3. Трансцендентні числа

3.1 Існування трансцендентних чисел

Трансцендентні числа -- це числа, які не задовольняють жодне алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами.

Довгий час в математиці залишалося невирішеним питання: Чи існують неалгебраїчні дійсні числа? Тільки в 1844 році Ліувілль вперше навів приклад трансцендентного (неалгебраїчного) числа. Побудова цього числа і доведення його трансцендентності дуже складні. Довести ж існування трансцендентних чисел можна значно простіше, використовуючи міркування про еквівалентність та нееквівалентність числових множин. А саме, доведемо, що множина алгебраїчних чисел зліченна. Тоді, оскільки множина дійсних чисел незліченна, ми визначимо існування неалгебраїчних (трансцендентних) чисел. Побудуємо взаємно однозначну відповідність між множиною алгебраїчних чисел ??? і деякою підмножиною дійсних чисел ??. Це буде означати , що ?? ? або скінченна множина, або зліченна. Але оскільки ????, то ?? ?нескінченна, а отже зліченна.

Нехай ? деяке алгебраїчне число. Розглянемо всі многочлени з цілими коефіцієнтами, коренем яких є , і виберемо серед них многочлен Р мінімального степеня (тобто не буде коренем ніякого іншого многочлена з цілими коефіцієнтами меншого степеня). Наприклад, для раціонального числа таким степенем є 1, а для числа ? степінь 2. Розділимо всі коефіцієнти многочлена Р на їх найбільший спільний дільник. Отримаємо многочлен, коефіцієнти якого взаємно прості числа (їх найбільший спільний дільник дорівнює 1). Якщо старший коефіцієнтвід'ємний, помножимо всі коефіцієнти многочлена на -1. Отримали мінімальний многочлен числа, тобто многочлен старший коефіцієнт якого рівний 1, має мінімально можливий степінь, з цілими взаємно простими коефіцієнтами, коренем якого є число . Можна довести, що такий многочлен визначається однозначно: кожне алгебраїчне число має рівно один мінімальний многочлен. Кількість дійсних коренів многочлена не більше, чим його степінь. Отже можливо пронумерувати (наприклад в порядку зростання) всі корені такого многочлена. Тепер всяке алгебраїчне число повністю визначається своїм мінімальним многочленом (тобто набором його коефіцієнтів) і номером, який відрізняє від інших коренів цього многочлена:

>()

Отже, кожному алгебраїчному числу ми поставили у відповідність скінченний набір цілих чисел, причому по цьому набору відновлюється однозначно (тобто різним числам відповідають різні набори). Пронумеруємо в порядку зростання всі прості числа. Отримаємо нескінченну послідовність : =2, =3, =5,=7,…Тепер набору цілих чисел ( ) можна поставити у відповідність добуток

це число раціональне, але не завжди додатне, адже серед чисел , можуть бути від'ємні. Потрібно підмітити, що це число - нескоротний дріб, оскільки прості множники, які входять до розкладу числівника і знаменника, відмінні. Відмітимо, також, що два нескоротні дроби з додатними числівниками і знаменниками рівні тоді і тільки тоді, коли їх числівники рівні і знаменники рівні між собою.

Розглянемо сковзне відображення:

v

( )

v

Оскільки різним алгебраїчним числам ми поставили у відповідність різні набори цілих чисел, а різним наборам цілих чисел ? різні набори раціональних чисел, то ми таким чином встановили взаємно однозначну відповідність між множиною ?? і деякою підмножиною ?. Тому множина алгебраїчних чисел зліченна.

Оскільки множина дійсних чисел незліченна, то ми довели існування неалгебраїчних чисел, тобто трансцендентних.

Однак існування трансцендентних чисел не вказує як визначати, являється число алгебраїчним чи трансцендентним, а це питання іноді є досить важливим для математики.

3.2 Теорема Ліувілля

Формулювання теореми, на перший погляд, ніяк не пов'язане з існуванням трансцендентних чисел.

Теорема Ліувілля(1844р.).

Якщо ? алгебраїчне число -го степеня (2), то існує таке число с>0, що для довільних ???? і q??

Суть теореми полягає в тому, що ірраціональне алгебраїчне число не можна «досить добре» наблизити раціональними дробами, воно не буде алгебраїчним.

Доведення. Нехай - алгебраїчне число -го степеня (2). Тоді існує такий многочлен з цілими коефіцієнтами



=++…++ (0),

що =0.

Позначимо через Н найбільший з модулів чисел ,, … ,.

Покажемо, що число

с= має потрібні властивості. Відмітимо, в подальшому с<1. Візьмемо довільні ?? ? ? і . Тоді

Р==

Р?0 отже, ?0.

Оскільки ? ?, ми маємо 1. Отже

.

Так як Р( )=0, отримуємо

?

?

?

Якщо ?1, то?1?>.

Якщо ж <1, то <+1,

тоді для довільного 1????, ????, отримуємо:



??

.

З останнього випливає

?Н=.

.

Теорема доведена.

Теоремі Ліувілля можна надати й іншу форму, в якій не ставиться умова до степеня (deg?2). Довести її також можна, вивчивши різницю за допомогою теореми Лагранжа.

3.2.1 Приклади побудови трансцендентних чисел

Розглянувши теорему Ліувілля, отримали засіб для побудови трансцендентних чисел. Ми задамо таке число в вигляді нескінченого десяткового дробу:

=0, , де

=

Наприклад:

====== … 1

==== … === … === … =0



Тоді для будь-якого 1

=0,…+0,…= + , де

=…,

=,

=0,…...,

0<=·1,…<2·=

Таким чином,

0<<, де =1, 2, … ,

а це означає, що допускає наближення скільки завгодно порядку і тому не може бути алгебраїчним, що означає трансцендентність цього числа.

Ще один приклад для побудови трансцендентного числа :

=

.

3.3 Відомі трансцендентні константи

Користуючись теоремою Ліувілля можливо побудувати нескінченну множину трансцендентних чисел, безпосередньо довести за допомогою неї трансцендентність таких відомих чисел, як р, e ,, до цієї пори не вдавалось. В той же час інтерес до цих чисел існує вже давно.

Особливо відомим являється число р. Справа в тому, що ще математики Стародавньої Греції поставили знамените питання про квадратуру круга: з допомогою циркуля та лінійки побудувати квадрат, площа якого дорівнювала б площі круга з заданим радіусом. Ця задача зводиться до побудови відрізка довжини р, якщо заданий відрізок одиничної довжини. Розв'язати цю задачу намагалися протягом двох тисячоліть. З часом було встановлено, що для доведення неможливості рішення цієї задачі достатньо довести трансцендентність числа р (насправді, достатньо довести, що р не є алгебраїчним числом деякого виду). Трансцендентність числа р була доведена в 1882 році профессором Кьонінгзбергського, а пізніше Мюнхенського університету Ліндеманом. Доказ спростив Феликс Клейн в 1894 році.

Число e -- математична константа, основа натурального логарифма також трансцендентне число. Іноді число e називають числом Ейлера або числом Непера на честь шотландського вченого Джона Непера, автора роботи «Опис дивовижної таблиці логарифмів» (1614). Проте ця назва не зовсім коректна, оскільки у нього логарифм числа x дорівнював

·

Вперше константа неявно з'явилася в додатку до перекладу англійською мовою вищезазначеної роботи Непера, опублікованому в 1618. Неявно, тому що там міститься тільки таблиця натуральних логарифмів, саму ж константу не визначено. Схоже, автором таблиці був англійський математик Вільям Отред. Саму ж константу вперше вивів швейцарський математик Якоб Бернуллі при спробі обчислити значення наступної границі:

Ця границя виникла внаслідок розв'язування задачі про складні відсотки, спрощений варіант якої формулюється таким чином:

Ви ставите на депозит в банку 1 гривню під 100% річних, причому відсоток нараховується в кінці терміну. В результаті ви отримаєте 2 гривні. А яку суму ви отримаєте, якщо відсотки нараховуватимуться періодично і ви матимете змогу докладати нараховані відсотки до основного депозитного рахунку ?

Якщо відсоток нараховується двічі на рік, то в кінці першого періоду ви отримаєте 50%, які зразу ж покладете до депозиту. В результаті в кінці терміну в вас буде 1.00Ч1.52 = 2.25 гривні. Якщо виплата відсотків буде поділена на 4 однакові частини, то ви матимете відповідно 1.00Ч1.254 = 2.4414 гривні. Якщо виплата буде щомісячною, то результат буде $1.00Ч(1+1/12)12 = 2.613035. Для довільного n результуюча сума буде 1.00Ч(1 + 1/n)n. Загальнішу задачу з довільною відсотковою ставкою p та початкової сумою s легко звести до вже існуючої.

Перше відоме використання цієї константи, де вона позначалася літерою b, зустрічається в листах Ґотфріда Лейбніца Христіану Гюйґенсу, 1690 і 1691 рр.

Літеру e почав використовувати Леонард Ейлер в 1727 р., а першою публікацією з цією літерою була його робота «Механіка, або Наука про рух, викладена аналітично» 1736 р. Відповідно, e іноді називають числом Ейлера. Хоча згодом деякі учені використовували літеру с, літера e застосовувалася частіше і в наші дні є стандартним позначенням.

Чому була вибрана саме літера e, точно невідомо. Можливо, це пов'язано з тим, що з неї починається слово exponential («показниковий», «експоненціальний»). Інше припущення полягає в тому, що літери а, b, c і d вже досить широко використовувалися в інших цілях і e була першою «вільною» літерою. Неправдоподібне припущення, що Ейлер вибрав e як першу літеру в своєму прізвищі (нім. Euler), оскільки він був дуже скромною людиною і завжди прагнув підкреслити значущість праці інших людей.

Позначається рядковою латинською буквою «e». Чисельне значення:



e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 352 662 497 757



Висновки

Виконуючи роботу було досліджено, що сучасна наука зустрічається з величинами такої складної природи, що для їх вивчення доводиться винаходити все нові види чисел. Одними з таких чисел стали алгебраїчні та трансцендентні числа. Розв'язуючи рівняння вчені давнини помітили, що не кожне число може бути коренем алгебраїчного рівняння.

Дослідивши це питання, ми дійшли до висновку, що множина дійсних чисел розбивається на дві підмножини: числа , які можуть бути коренем довільного многочлена з цілими коефіцієнтами, та числа, які не є коренями многочленів.

Алгебраїчні числа мають широке застосування в теорії чисел, алгебрі, геометрії й іншим розділам математики. Вони дозволяють розкрити варіантності алгебри для практичних додатків. Ознайомившись з властивостями алгебраїчних чисел можна виділити основні:

Множина алгебраїчних чисел є зліченною (Теорема Кантора).

Корінь многочлена коефіцієнтами якого є алгебраїчні числа, теж є алгебраїчним числом, тобто поле алгебраїчних чисел є алгебраїчно замкнутим.

Алгебраїчне число -го степеня має різних спряжених чисел (включаючи саме число).

В певному розумінні алгебраїчні числа, що не є раціональними не можуть бути достатньо добре наближені раціональними числами.

За допомогою теореми Ліувілля ми дізнались, що існують трансцендентні числа(в перекладі з грецької - ті , що виходять за межі), розглянули приклади побудови таких чисел. Цікавим виявився той факт, що відомі константи, як чила р і е, є числами трансцендентними.

Робота над темою «Алгебраїчні та трансцендентні числа» дозволила оволодіти новими поняттями. Сприяла розширенню кругозору, розвитку математичної мови та культури.

Докладне ознайомлення з багатьма посібниками, спеціальною літературою сприяло не тільки досягненню поставленої мети, але і впевненості в тому, що вивчення алгебраїчних та трансцендентних чисел і їх властивостей дійсно грає важливу роль і прикладів побудови трансцендентних чисел дуже багато.

Важливо, що на алгебраїчних та трансцендентних числах теорія чисел не закінчується. Виходячи за межі множини дійсних чисел, ця наука має в своєму арсеналі ще комплексні числа, гіперкомплексні числа і т. д. Множини цих чисел дуже зацікавили і була поставлена мета їх досліджувати.



Список використаних джерел

Бородін О.І. Теорія чисел.К.: Радянська школа, 1965. 262 с.

Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. - 384 с.

Звонкин А. Алгебраические и трансцендентные числа // Научнопопулярный журнал „Квант”. - М.:МЦМНО, -1978. - № 11, - с.5-9.

Беркович Е. Мировые константы р и e в природе // Журнал «7 искусств», 2009. -№11. -с.20-24.

Беркович Е. Мировые константы р и e в природе // Журнал «7 искусств», 2010. -№1. - с.23-25

Болтянский В. Экспонента // // Научнопопулярный журнал „Квант”. - М.:МЦМНО, -1984. - № 3, - с.15-19.

Кузьмин Е., Ширшов А. О числе е. // Научнопопулярный журнал „Квант”.

Размещено на Allbest.ru