Теория вероятности. История становления теории вероятности как науки

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Архангельской области

ГАОУ СПО АО “Архангельский торгово-экономический колледж”

Реферат на тему

“Теория вероятности. История становления теории вероятности как науки”

Выполнила:

студентка 1техА

Булыгина Мария

г. Архангельск, 2013г.



Содержание

Введение

События. Эксперимент. Исход

Типы события и действия над ними. Случайное событие, его виды

Классическая вероятность

Статическая вероятность

Геометрическая вероятность

Введение

Теория вероятностей -- раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Первоначально её основные понятия не имели строго математического вида, к ним можно было относиться как к некоторым эмпирическим фактам, как к свойствам реальных событий, и они формулировались в наглядных представлениях. Самые ранние работы учёных в области теории вероятностей относятся к XVII веку. Исследуя прогнозирование выигрыша в азартных играх, Блез Паскаль и Пьер Ферма открыли первые вероятностные закономерности, возникающие при бросании костей. Под влиянием поднятых и рассматриваемых ими вопросов решением тех же задач занимался и Христиан Гюйгенс. При этом с перепиской Паскаля и Ферма он знаком не был, поэтому методику решения изобрёл самостоятельно. Его работа, в которой вводятся основные понятия теории вероятностей (понятие вероятности как величины шанса; математическое ожидание для дискретных случаев, в виде цены шанса), а также используются теоремы сложения и умножения вероятностей (не сформулированные явно), вышла в печатном виде на двадцать лет раньше (1657 год) издания писем Паскаля и Ферма (1679 год).

Важный вклад в теорию вероятностей внёс Якоб Бернулли: он дал доказательство закона больших чисел в простейшем случае независимых испытаний. В первой половине XIX века теория вероятностей начинает применяться к анализу ошибок наблюдений; Лаплас и Пуассон доказали первые предельные теоремы. Во второй половине XIX века основной вклад внесли русские учёные П. Л. Чебышев, А. А. Марков и А. М. Ляпунов. В это время были доказаны закон больших чисел, центральная предельная теорема, а также разработана теория цепей Маркова. Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики. математика геометрический сложение умножение



События. Эксперимент. Исход

Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, содержит ряд основных понятий, на которых она базируется. Таковы, например, в геометрии понятия точки, прямой, линии; в механике - понятия силы, массы, скорости, ускорения и т.д. Естественно, что не все основные понятия могут быть строго определены, так как определить понятие - это значит свести его к другим, более известным. Очевидно, процесс определения одних понятий через другие должен где-то заканчиваться, дойдя до самых первичных понятий, к которым сводятся все остальные и которые сами строго не определяются, а только поясняются.

Такие основные понятия существуют и в теории вероятностей. В качестве первого из них введем понятие события.

Под «событием» в теории вероятностей понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Приведем несколько примеров событий:

А - появление герба при бросании монеты;

В - появление трех гербов при трехкратном бросании монеты;

С - попадание в цель при выстреле;

Под Экспериментом (опытом) в теории вероятностей принято понимать наблюдение какого-либо явления при соблюдении определенного комплекса условий, который должен каждый раз строго выполняться при повторении данного испытания. Если то же самое явление наблюдается при другом комплексе условий, то это уже другое испытание.

Когда речь идет о соблюдении комплекса условий данного эксперимента, имеется в виду постоянство значений всех факторов, контролируемых в данном испытании. Но при этом, как правило, имеет место большое число неконтролируемых факторов, которые трудно или невозможно учесть.

Результаты эксперимента можно охарактеризовать качественно и количественно.

Качественная характеристика заключается в регистрации какого-либо явления, которое может наблюдаться или не наблюдаться при данном испытании. Любое из этих явлений называется в теории вероятностей событием.

События делятся на:

невозможные (в результате опыта никогда не произойдут),	достоверные (в результате опыта происходят всегда),	случайные (в результате опыта событие может произойти или не произойти).

Теория вероятностей рассматривает именно случайные события. При этом предполагается, что испытание может быть повторено неограниченное (по крайней мере, теоретически) число раз. Например, выполнение штрафного броска в баскетболе есть испытание, а попадание в кольцо -- событие.

Другим примером события, часто приводимым в учебниках по теории вероятностей, является выпадение определенного числа очков (от 1 до 6) при бросании игральной кости.

События в теории вероятностей принято обозначать начальными прописными латинскими буквами А, В, С,...

Случайные события называются несовместными если появление одного исключает появление другого. В противном случае они называются совместными.

Если в результате опыта произойдет хоть одно из некой группы событий, то они образуют полную группу. Появление хотя бы одного события из полной группы - достоверное событие.

Если, по условиям испытания нет никаких оснований предполагать, что один из исходов появляется чаще других, то все исходы являются равновозможными.

Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности другого.

Количественная характеристика испытания состоит в определении значений некоторых величин, которыми интересуются при данном испытании (например, число подтягиваний на перекладине или время на беговой дистанции). В силу действия большого числа неконтролируемых факторов эти величины могут принимать различные значения в результате испытания. Причем до испытания невозможно предсказать значение величины, поэтому она называется случайной величиной.

Каждый из равновозможных результатов испытаний называется элементарным исходом или (элементарным событием). Всякий мыслимый результат эксперимента называют элементарным событием и обычно обозначают буквами.

Каждое случайное событие определяется как подмножество в множестве элементарных событий. При этом те элементарные события, при которых событие наступает, называют благоприятствующими событию. Говорят, что событие произошло (наступило, осуществилось, реализовалось), если результатом эксперимента явился элементарный исход. Каждый из равновозможных результатов испытаний называется элементарным исходом или (элементарным событием). Всякий мыслимый результат эксперимента называют элементарным событием и обычно обозначают буквами.

Каждое случайное событие определяется как подмножество в множестве элементарных событий. При этом те элементарные события, при которых событие наступает, называют благоприятствующими событию. Говорят, что событие произошло (наступило, осуществилось, реализовалось), если результатом эксперимента явился элементарный исход.



Типы события и действия над ними. Случайное событие, его виды

Противоположное событие (по отношению к рассматриваемому событию А) - это событие, которое не происходит, если А происходит, и наоборот. Например, событие А - «выпало четное число очков» и B - «выпало нечетное число очков» при бросании игрального кубика - противоположные.

Два события А и В называют совместными, если они могут произойти одновременно, при одном исходе эксперимента, и несовместными, если они не могут произойти одновременно ни при одном исходе эксперимента.

Пример. А - «идет дождь», В - «на небе нет ни облачка» - несовместные.

Пример. Коля и Саша играют в шашки. А - «Коля проиграл», В - «Саша выиграл», С - «Витя наблюдал за игрой» - совместные.

Действие над событием.

Суммой двух событий и называется событие , состоящее в выполнении события или события , или обоих вместе.

Например, если событие - попадание в цель при первом выстреле, событие - попадание в цель при втором выстреле, то событие есть попадание в цель вообще, безразлично при каком выстреле - при первом, при втором или при обоих вместе.

Если события и несовместимы, то естественно, что появление этих событий вместе отпадает, и сумма событий и сводится к появлению или события , или события . Например, если событие - появление карты червонной масти при вынимании карты из колоды, событие - появление карты бубновой масти, то есть появление карты красной масти, безразлично - червонной или бубновой.

Короче, суммой двух событий и называется событие , состоящее в появлении хотя бы одного из событий и .

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, если опыт состоит в пяти выстрелах по мишени и даны события:

- ни одного попадания,

- ровно одно попадание,

- ровно два попадания,

- ровно три попадания,

- ровно четыре попадания,

- ровно пять попаданий,

то

есть событие «не более двух попаданий», а

есть событие «не менее трех попаданий».

Произведением двух событий и называется событие , состоящее в совместном выполнении события и события .

Например, если событие - появление туза при вынимании карты из колоды, событие - появление карты бубновой масти, то событие есть появление бубнового туза. Если производится два выстрела по мишени и событие - попадание при первом выстреле, событие - попадание при втором выстреле, то есть попадание при обоих выстрелах.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Например, если по мишени производится три выстрела, и рассматриваются события

- промах при первом выстреле,

- промах при втором выстреле,

- промах при третьем выстреле,

то событие

состоит в том, что в мишень не будет ни одного попадания.

При определении вероятностей часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения событий.

Например, пусть по мишени производится три выстрела, и рассматриваются следующие элементарные события:

- попадание при первом выстреле,

- промах при первом выстреле,

- попадание при втором выстреле,

- промах при втором выстреле,

- попадание при третьем выстреле,

- промах при третьем выстреле.

Рассмотрим более сложное событие, состоящее в том, что в результате данных трех выстрелов будет ровно одно попадание в мишень. Событие можно представить в виде следующей комбинации элементарных событий:

.

Событие , состоящее в том, что в мишень будет не менее двух попаданий, может быть представлено в виде:

.

Такие приемы представления сложных событий часто применяются в теории вероятностей.

Непосредственно из определения суммы и произведения событий следует, что

Если событие есть частный случай события, то

При пользовании понятиями суммы и произведения событий часто оказывается полезной наглядная геометрическая интерпретация этих понятий.

Рис. 1.1



Рис. 1.2

На рис. 1.1 наглядно иллюстрированы понятия суммы и произведения двух событий. Если событие есть попадание точки в область, соответственно событие - попадание в область, то событие есть попадание в область, заштрихованную на рис. 1.1, а), а событие- в область, заштрихованную на рис. 1.1, б). На рис. 3.1.2 аналогично показаны сумма и произведение трех событий.

Классическая вероятность

Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Возникновение теории относится к середине XVII века и связано с именем Гюйгенса, Паскаля, Ферма, Я. Бернулли.

Неразложимые исходы ,,..., некоторого эксперимента будем называть элементарными событиями, а их совокупность

(конечным) пространством элементарных событий, или пространством исходов.

Пример 21. а) При подбрасывании игральной кости пространство элементарных событий состоит из шести точек:



б) Подбрасываем монету два раза подряд, тогда

где Г - "герб", Р - "решетка" и общее число исходов

в) Подбрасываем монету до первого появления "герба", тогда

В этом случае называется дискретным пространством элементарных событий.

Обычно интересуются не тем, какой конкретно исход имеет место в результате испытания, а тем, принадлежит ли исход тому или иному подмножеству всех исходов. Все те подмножества , для которых по условиям эксперимента возможен ответ одного из двух типов: "исход " или "исход ", будем называть событиями.

В примере 21 б) множество = {ГГ, ГР, РГ} является событием, состоящим в том, что выпадает по крайней мере один "герб". Событие состоит из трех элементарных исходов пространства , поэтому

Суммой двух событий и называется событие , состоящее в выполнении события или события .

Произведением событий и называется событие , состоящее в совместном исполнении события и события .

Противоположным по отношению к событию называется событие , состоящее в непоявлении и, значит, дополняющее его до .

Множество называется достоверным событием, пустое множество - невозможным.

Если каждое появление события сопровождается появлением , то пишут и говорят, что предшествует или влечет за собой .

События и называются равносильными, если и .

Определение. Вероятностью события называется число, равное отношению числа элементарных исходов, составляющих событие , к числу всех элементарных исходов

Случай равновозможных событий , ( называется "классическим", поэтому и вероятность

называется "классической".

Элементарные события (исходы опыта), входящие в событие , называются "благоприятными".

Свойства классической вероятности:

0 1.

.

, если ( и - несовместные события).

.

Пример 22 (задача Гюйгенса). В урне 2 белых и 4 черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых 3 шаров будет ровно один белый. В каком отношении находятся шансы спорящих?

Решение 1 (традиционное). В данном случае испытание = {вынимание 3 шаров}, а событие - благоприятствующее одному из спорящих:

= {достать ровно один белый шар}.

Поскольку порядок вынимания трех шаров не важен, то

Один белый шар можно достать в случаев, а два черных - , и тогда по основному правилу комбинаторики . Отсюда а по пятому свойству вероятности Следовательно,

Решение 2. Составим вероятностное дерево исходов:



Пример 23. Рассмотрим копилку, в которой осталось четыре монеты - три по 2 руб. и одна в 5 руб. Извлекаем две монеты.

Решение. а) Два последовательных извлечения (с возвращением) могут привести к следующим исходам:

Какова вероятность каждого из этих исходов?

В таблице показаны все шестнадцать возможных случаев.

Следовательно,

К тем же результатам ведет и следующее дерево:



б) Два последовательных извлечения (без повторения) могут привести к следующим трем исходам:

В таблице покажем все возможные исходы:

Следовательно,

К тем же результатам ведет и соответствующее дерево:

Пример 24 (задача де Мере). Двое играют в "орлянку" до пяти побед. Игра прекращена, когда первый выиграл четыре партии, а второй - три. Как в этом случае следует поделить первоначальную ставку?

Решение. Пусть событие = {выиграть приз первым игроком}. Тогда вероятностное дерево выигрыша для первого игрока следующее:

Отсюда , и три части ставки следует отдать первому игроку, а второму - одну часть.

Покажем эффективность решения вероятностных задач с помощью графов и на следующем примере, который мы рассматривали в §1 (пример 2).

Пример 25. Является ли выбор с помощью "считалки" справедливым?

Решение. Составим вероятностное дерево исходов:

и, следовательно, при игре в "считалки" выгодней стоять вторым.

В последнем решении использованы интерпретации на графах теорем сложения и умножения вероятностей:

и в частности

, если и - несовместные события

и , если и - независимые события.



Статическая вероятность

Классическое определение при рассмотрении сложных проблем наталкивается на трудности непреодолимого характера. В частности, в некоторых случаях выявить равновозможные случаи может быть невозможно. Даже в случае с монеткой, как известно существует явно не равновероятная возможность выпадения "ребра", которую из теоретических соображений оценить невозможно (можно только сказать, что оно маловероятно и то это соображение скорее практическое). Поэтому еще на заре становления теории вероятностей было предложено альтернативное "частотное" определение вероятности. А именно, формально вероятность можно определить как предел частоты наблюдений события A, предполагая однородность наблюдений (то есть одинаковость всех условий наблюдения) и их независимость друг от друга:

где - количество наблюдений, а - количество наступлений события.

Несмотря на то, что данное определение скорее указывает на способ оценки неизвестной вероятности - путем большого количества однородных и независимых наблюдений - тем не менее в таком определении отражено содержание понятия вероятности. А именно, если событию приписывается некоторая вероятность, как объективная мера его возможности, то это означает, что при фиксированных условиях и многократном повторении мы должны получить частоту его появления, близкую к (тем более близкую, чем больше наблюдений). Собственно, в этом заключается исходный смысл понятия вероятности. В основе лежит объективистский взгляд на явления природы. Ниже будут рассмотрены так называемые законы больших чисел, которые дают теоретическую основу (в рамках излагаемого ниже современного аксиоматического подхода) в том числе для частотной оценки вероятности.



Геометрическая вероятность

Когда мы рассматривали классическое определение вероятности, мы имели дело всегда с конечным числом элементарных событий, т.е. число возможных исходов данного испытания было конечно. Однако, иногда результатов испытания -- событий -- может бесконечное число. Так, например, если испытание -- выбор точки из отрезка . В данном случае мы тоже можем определить вероятность наступления того или иного события, но несколько иначе, чем в классическом случае.

Замечание. В дальнейшем нам понадобится понятие меры множества. Если рассматривать множества на прямой, т.е. отрезки, то их мерой будет длина, на плоскости -- фигуры -- площадь, в пространстве -- тела -- объем.

Определение. Пусть -- множество в -мерном пространстве (), объем которого конечен. Множество событий состоит из всех измеримых (имеющих объем) подмножеств . Вероятность наступления события тогда определяется равенством

Определение. Предыдущее равенство называется геометрическим определением вероятности.

Замечание. В классическом случае для определения вероятности мы считали число элементарных событий, т.е. мощность множества, которую тоже можно считать мерой множества, так же, как и объем. Вероятность часто называют вероятностной мерой.

Замечание. От того, какую меру мы выберем, будет зависеть и вероятность интересующих нас событий. Так, известен парадокс Бертрана. Решается следующая задача. В круге случайным образом проводится хорда. Найти вероятность того, что ее длина будет больше длины стороны правильного вписанного треугольника.

Если мы считаем, что один конец хорды закреплен, а другой случайным образом попадает на окружность, то вероятность равна 1/3.

Если же считать, что проводим хорды перпендикулярно некоторому диаметру, то получим 1/2.

Для геометрической вероятности, как и в классическом случае, определяется условная вероятность , независимость событий (), справедливыми будут и теорема о вероятности суммы событий, и теорема умножения вероятностей, и формула полной вероятности, и теорема Байеса.

Докажем здесь теорему о вероятности суммы событий. В доказательстве ее в классическом случае мы пользовались классическим определением вероятности. Все остальные определения и теоремы были даны и доказаны уже безотносительно классической схемы.

Теорема. Для несовместных событий и

Доказательство. Действительно, так как события и несовместны, то по аддитивности объема (объем объединения двух непересекающихся фигур равен сумме их объемов). Тогда

откуда и следует утверждение теоремы.

Размещено на Allbest.ru