Теория вероятностей

Размещено на http://www.allbest.ru/

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

Теория вероятностей

Задача 1

Три контролера проверяют стандартность однотипных деталей. Один из них успевает проверить вдвое больше, чем остальные (поровну) вместе. Вероятности допустить ошибку у них соответственно равны 0.5, 0.1, 0.2. Пропущенная деталь оказалась с браком. Какова вероятность, что ее пропустил первый контролер.

Решение

Для решения данной задачи применим формулу Байеса:

Где Р(Нi) - вероятность гипотезы Нi, Р(А|Нi) - условная вероятность события А при этой гипотезе.

Событие А - проверенная деталь оказалась бракованной.

Обозначим гипотезы:

Н1 - бракованная деталь проверялась первым контролёром,

Н2 - бракованная деталь проверялась вторым контролёром,

Н3 - бракованная деталь проверялась третьим контролёром.

Априорные вероятности этих гипотез по условию:

Р(Н1) = 50% = 0,5 ; Р(Н2) = 25% = 0,25 ; Р(Н3) = 25% = 0,25 ,

Так как первый контролёр проверяет деталей столько же, сколько второй и третий вместе взятые. А второй и третий проверяют одинаковое количество деталей.

Условные вероятности для детали оказаться бракованной при этом по условию соответственно равны:

Р(А/Н1) = 0,5 ; Р(А/Н2) = 0,1 ; Р(A/Н3) = 0,2 .

Тогда, по формуле Байеса, апостериорная вероятность того, что бракованная деталь проверялась первым контролёром равна:

Ответ: вероятность того, что бракованная деталь проверялась первым контролёром равна

вероятность дисперсия случайный величина

Задача 2

Производится два независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,7. Случайная величина X - разность между числом попаданий и числом промахов. Составить закон распределения случайной величины X и вычислить числовые характеристики.

Решение

При двух промахах разность между числом попаданий и числом промахов:

X = 0 - 2 = -2

Вероятность этого: P1(-2)= (1 - 0,7)*(1 - 0,7) = 0,09 .

При первом попадании и втором промахе разность между числом попаданий и числом промахов: X = 1 - 1 = 0

Вероятность этого: P2(0)= 0,7*(1 - 0,7) = 0,21 .

При первом промахе и втором попадании разность между числом попаданий и числом промахов: X = 1 - 1 = 0

Вероятность этого: P3(0)= (1 - 0,7)*0,7 = 0,21 .

При двух попаданиях разность между числом попаданий и числом промахов:

X = 2 - 0 = 2

Вероятность этого: P4(2)= 0,7* 0,7 = 0,49 .

Условие полной вероятности событий выполняется: 0,09 + 0,21 + 0,21 + 0,49 = 1.

При этом понятно, что вероятности P2(0) и P3(0) это - вероятности одного и того же события и должны быть сложены: P(0)= 0,21 + 0,21 = 0,42.

Таким образом, получили закон распределения вероятностей:

Найдём математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение этого распределения.

Математическое ожидание:

М(Х) = [Хi*Р(Хi)] = -2*0,09 + 0* 0,42 + 2* 0,49 = -0,18 + 0 + 0,98 = 0,8.

Дисперсия (разброс около математического ожидания):

D(X) = [Хi - М(Х)]2*Р(Хi) = (-2 - 0,8)2*0,09 + (0 - 0,8)2*0,42 + (2 - 0,8)2*0,49 = 0,7056 + 0,2688+ 0,7056 = 1,68.

Среднеквадратическое отклонение:

= D(X) = 1,68 1,296.

Задача 3

Известно, что 3/5 рабочих никелевого завода имеет среднее образование. Для некоторого обследования наудачу выбирается 1500 человек Найти вероятность того, что 920 человек из них имеют среднее образование.

Решение

1) При достаточно большом числе независимых опытов n > 100 и достаточно малой вероятности р, так что np < 10, вероятность появления события А вычисляется по

формуле Бернулли

где а = np.

При достаточно большом числе независимых опытов n и не слишком малых р и q, вероятность появления события А вычисляется по формуле Муавра-Лапласа:

Функция (х) табулирована (приложение 1), причём в силу чётности (-х)=(х).

В данном случае: р = 3/5 = 0,6; q = 1 - p =1 - 0,6 = 0,4; n = 1500.

nр = 0,6*1500 = 900 > 10, поэтому воспользуемся формулой Муавра-Лапласа:

Ответ: вероятность того, что 920 человек из них имеют среднее образование приблизительно равана 0,0127.

Задача 4

Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

Решение

Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины является производной функции распределения:

,

Математическое ожидание непрерывной случайной величины:

Дисперсия непрерывной случайной величины:

Задача 5

Известны математическое ожидание а и среднее квадратическое отклонение нормального распределения случайной величины X. Найти вероятность попадания этой величины в заданный интервал (, ):

а= 7, = 2, = 3, = 10.

Решение

Если плотность распределения случайной величины описывается нормальным законом

То вероятность попадания нормально распределённой случайной величины Х в промежуток от б до в вычисляется по формуле:

где а - математическое ожидание случайной величины Х,

- среднеквадратическое отклонение случайной величины Х,

Ф(Х) - нечётная табличная функция (интеграл Лапласа).

Отсюда, по таблице для интеграла Лапласа:

Ответ: вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал [3, 10] равна 0,1835.

Задача 6

Дисперсия каждой из 400 независимых случайных величин не превышает 0,25. Какой величины не должен превышать модуль разности средней арифметической этих случайных величин и средней арифметической их математических ожиданий, чтобы вероятность такого отклонения превышала 0,99.

Решение

Вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической группы случайных величин отличается от средней арифметической их математических ожиданий на величину вычисляется по формуле:

Где Хген - среднее арифметическое математических ожиданий;

ХВ - среднее арифметическое группы случайных величин,

исправленное среднеквадратическое отклонение,

интеграл Лапласа - нечетная табличная функция.

Итак, выборочное значение среднеквадратического отклонения:

Исправленное значение среднеквадратического отклонения вычислим по формуле:

здесь N - количество объектов в генеральной совокупности ( n = 400, N). Так как N >> n, то:

По условию:

или

По таблице для интеграла Лапласа (приложение 2) находим:

или 2,575 0, 025 0,0644

Ответ: для того, чтобы абсолютная величина отклонения средней арифметической 400 случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий превышала 0,99 , это отклонение должно быть не меньше, чем 0,0644.

Задача 7

Дана двумерная дискретная случайная величина (X.Y). Найти ее корреляционную матрицу.

Решение

Коэффициентом корреляции случайных величин X и Y называется величина rXY:

где КXY - ковариация: КXY = cov(X,Y);

- средние квадратические отклонения случайных величин ( = D )

D - дисперсии (разброс) случайных величин.

КXY удобнее вычислять по формуле : КXY = 1,1 - 1,0 0,1 ,

где начальные моменты первого порядка 1,0, 0,1 есть не что иное, как математические ожидания компонент X и Y : 1,0 = mX, , 0,1 = mY .

Итак, законы распределения компонент X и Y :

Очевидно, что компоненты X и Y являются зависимыми, т.к.

p11 = 0,1 ( pi1)( p1j) = 0,3 0,3 = 0,09.

mX, = xi p(xi) = -30,3 +10,7 = -0,2; mY = yi p(yi )= -10,3 + 10,4+ 20,3 = 0,7.

DX = М(Х2) - [М(Х)]2 = (-3)2 0,3 + 12 0,7 - (-0,2)2 = 3,36 ;

DY = М(Y2) - [М(Y)]2 = (-1)2 0,3 +12 0,4 + 22 0,3 - 0,72 = 1,41 ;

X = DX = 3,36 1,833 ; Y = DY = 1,41 1,19 ;

1,1 = -3(-1)0,1 -310,15 +320,05 -110,2 + 110,25 + 120,25 = 0,7.

КXY = 1,1 - 1,0 0,1 = 0,7 -(-0,2) 0,7 = 0,84.

Отсюда, корреляционная матрица:

Приложение 1

Значения функции

Приложение 2

Значения функции

(интеграл Лапласа)

Размещено на Allbest.ur