Определение случайной величины. Законы распределения случайной величины

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Определение случайной величины. Законы распределения случайной величины

1.1 Случайная величина. Дискретные и непрерывные случайные величины

Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение, неизвестное заранее какое именно. случайный величина вероятность числовой

Будем обозначать случайные величины прописными буквами X, Y, Z, и их возможные значения - соответствующими строчным буквами - x, y, z.

Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, возможные значения с определенной вероятностью. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным.

Пример.

1). Число появлений герба при трех бросаниях монеты: возможно 0; 1; 2; 3

2). Число самолетов, сбитых в воздушном бою: 0; 1; 2; …. N, где N - общее число самолетов.

Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Пример.

1) Абсцисса точки попадания при выстреле.

2) Время безотказной работы лампы.



1.2 Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями.

Способы задания: таблично, аналитически, графически.

1)

События x1, x2, …, xn - образуют полную группу, т.е. р1 + р2 + … + рn = 1.

Такую таблицу называют рядом распределения случайной величины X.

2) Графическое изображение.

Для наглядности точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения.

Пример. Игральная кость брошена 3 раза. Написать закон распределения числа появлений шестерки.

Решение. Вероятность появления шестерки при одном бросании p = 1/6, вероятность непоявления шестерки q = 1 - p = 5/6.

При трех бросаниях игральной кости шестерка может появиться либо 3 раза, либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения X таковы: x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3. Найдем вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:

.



, ,

, .

Искомый закон распределения:

X	x1	x2	x2	x3
P	125/216	75/216	15/216	1/216



2. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства

2.1 Определение функции распределения

Функцией распределения называют функцию F(х), определяющую вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньше x, т.е.

F(x) = P(X < x).

Геометрически: F(x) есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки x. Иногда вместо термина "Функция распределения" используют термин "Интегральная функция".

Случайную величину называют непрерывной, если её функция распределения есть непрерывная, кусочно - дифференцируемая функция с непрерывной производной.

2.2 Свойства функции распределения

1) Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:

0 F(x) 1.

2) F(x) - неубывающая функция, т.е. F(x2)F(x1), если x2 > x1.

3) Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале (a, b), равна приращению функции распределения на этом интервале:



P(a ? X < b) = F(b) - F(a).

4) Вероятность того, что непрерывная, случайная величина Х примет одно определённое значение, равна нулю. Тем самым имеет смысл рассматривать вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал, пусть даже сколько угодно малый.

5) Если возможное значение случайной величины Х принадлежит интервалу (a, b) ,то:

F(x) = 0, при x ? a;

F(x) = 1, при x b.

6) Если возможное значение непрерывной случайной величины расположены на всей оси, то

; .

2.3 График функции распределения

График функции распределения непрерывной случайной величины, возможные значения которой принадлежат интервалу (a, b) изображен на рис. 1.

Рис. 1



График функции распределения дискретной случайной величины X, возможные значения которой заданы таблицей, изображен на рис. 2.

X	1	2	3
P	0,3	0,3	0,4

Рис. 2

Пример. Построить график функции

Найти вероятность того, что в результате испытания случайная величина Х примет значение, заключенное в интервале (2; 3).

Решение. График функции изображен на рис. 3. Вероятность того, что случайная величина Х примет значение, заключённое в интервале (2, 3), равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(2 ? X < 3) = F(3) - F(2) = 1/2.

Рис. 3



Пример. Построить график функции распределения дискретной случайной величины X заданной таблицей:

X	2	6	10
P	0,3	0,6	0,1

Рис. 4



3. Плотность распределения вероятностей и ее свойства

Плотностью распределения вероятностей непрерывной, случайной величины Х называют функцию f(x) - первую производную от функции распределения F(x):

f(x) = F (x),

т.е. функция распределения является первообразной для плотности распределения.

Для дискретной, случайной величины плотность распределения неприменима.

Теорема. Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a, b) равна:

P(a < x < b) = .

Если f(x) - чётная функция, то P(- a < x < а) = P(|x| < a) .

Зная плотность распределения f(x), можно найти функцию распределения:

F(x) =.



3.1 Свойства плотности распределения

1) Плотность распределения неотрицательная функция: f(x) 0.

2) Несобственный интеграл от плотности распределения в пределах от -? до +? равен единице:

.

3) Если все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу (a, b), то

.

Функция f(x) определяет плотность распределения вероятности для каждой точки Х, аналогично плотности массы в точки.



4. Числовые характеристики случайных величин

4.1 Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Математическим ожиданием непрерывной, случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку [a, b], называют:

М(x) = .

Если возможные значения принадлежат всей оси Ох, то

М(x) = .

Дисперсией непрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата её отклонения:

D(x) = ; D(x) = .

4.2 Числовые характеристики дискретных случайных величин

Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности.



Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

X	x1	x2	…	xn
P	p1	p2	…	pn

Тогда математическое ожидание M(X) определяется равенством

M(X) = x1p1 + x2p2 + … + xnpn.

Математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная величина (постоянная).

Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины:

.

На числовой оси возможные значения расположены слева и справа от математического ожидания. Поэтому его часто называют центром распределения.

4.3 Свойства математического ожидания

1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:



М(С) = С.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М(СХ) = С·М(Х).

3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

М(Х·Y) = М(Х)·М(Y).

4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:

М(Х + Y) = М(Х) + М(Y).

Теорема. Математическое ожидание М(Х) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытания при условии, что в каждом испытании вероятность появления события А равна р:

М(Х) = р·n.

Пример. Найти математическое ожидание числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 20 билетов, причем вероятность выигрыша по одному билету равна 0,3.

Решение. Число независимых испытаний n = 20. В каждом испытании вероятность выигрыша р = 0,3. Искомая математическое ожидание

М(Х) = 20·0,3 = 6.

Пример. Найти математическое ожидание произведения числа очков, которые могут выпасть при одном бросании двух игральных костей.

Решение. Обозначим число очков, которое может выпасть на первой кости, через X и на второй - через Y. Запишем закон распределения числа очков для первой игральной кости

X	1	2	3	4	5	6
P	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

Найдем математическое ожидание числа очков, которые могут выпасть на первой кости:

М(Х) = ·(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = = 3,5.

Очевидно, что и M(Y) = 3,5.

Искомое математическое ожидание

М(Х1·Х2) = М(Х1) ·М(Х2) = 3,5·3,5 = 12,25.



5. Биномиальный закон распределения

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появится либо не появиться, причем вероятность наступления события в каждом испытании постоянна и равна p, то закон распределения вероятностей определяется формулой Бернулли: , которое называют биноминальным распределением вероятностей.

Запишем биноминальный закон в виде таблицы:

X	n	n - 1	…	k	…	0
P	pn	npn-1q	…	pkqn-k	…	qn

Пример. См. предыдущий.



6. Распределение Пауссона

Если производится n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления события А равно p и n велико, то закон распределения вероятностей массовых (n велико) и редких (p мало) событий определяется:

Pn(k) = ke/k!, где л = рn.

Эта формула выражает закон распределения Пуассона.

Пример. Прядильщица обслуживает 1000 веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна 0,004. Найти вероятность того, что в течение 1 минуты обрыв произойдет на пяти веретенах.

Решение. По условию n = 1000, р = 0,004, k = 5. Найдем л: л = рn = 4.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

P1000(5) = 45e4/5! 0,15.

Рассмотрим события, которые наступают в случайные моменты времени.

Потоком событий называют последовательность событий, которые наступаю в случайные моменты времени.

Интенсивность потока л называют среднее число событий, которые появляются в единицу времени.

Если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона

Pt(k) = (t)k/k!.

Простейшим (пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Свойство стационарности характеризуется тем, что вероятность появления k событий на любом промежутке времени зависит только от числа k и от длительности t промежутка и не зависит от начала его отсчета; при этом промежутки времени предполагаются непересекающимися.

Свойство отсутствия последствия характеризуется тем, что вероятность появления k событий за промежуток времени длительности t есть функция, зависящая только от k и t.

Свойство ординарности характеризуется тем, что появление двух и более событий за малый промежуток времени практически невозможно, т.е. за бесконечно малый промежуток времени может появиться не более одного события.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 минуту, равно 5. найти вероятность того, что за две минуты поступит:

а) три вызова; б) менее трех вызовов.

Решение. Будем предполагать, что поток вызовов является простейшим.

а) По условию л = 5, t = 2, k = 3. Вероятность того, что за две минуты поступит два вызова найдем по формуле Пуассона:

P2(3) = 103e10 /3! 0,0076.

б) События не поступило ни одного вызова, поступил один вызов и поступило два вызова несовместны, поэтому по теореме сложения искомая вероятность того, что за две минуты поступит менее трех вызовов, равна

P2(k < 3) = P2(0) + P2(1) + P2(2) = e10 + 10e10 + 102e10/2! 0,0028.



7. Показательный закон распределения

Определение: Непрерывная случайная величина X, функция плотности которой задается выражением

называется случайной величиной, имеющей показательное, или экспоненциальное, распределение.

Величина срока службы различных устройств и времени безотказной работы отдельных элементов этих устройств при выполнении определенных условий обычно подчиняется показательному распределению. Другими словами, величина промежутка времени между появлениями двух последовательных редких событий подчиняется зачастую показательному распределению.

Как видно из формулы, показательное распределение определяется только одним параметром m.

Найдем функцию распределения показательного закона, используя свойства дифференциальной функции распределения:

Графики дифференциальной и интегральной функций показательного распределения имеют вид:



Рис. 5



8. Равномерный закон распределения

На практике встречаются случайные величины, о которых заранее известно, что они могут принять какое-либо значение в строго определенных границах, причем в этих границах все значения случайной величины имеют одинаковую вероятность (обладают одной и той же плотностью вероятностей).

Например, при поломке часов остановившаяся минутная стрелка будет с одинаковой вероятностью (плотностью вероятности) показывать время, прошедшее от начала данного часа до поломки часов. Это время является случайной величиной, принимающей с одинаковой плотностью вероятности значения, которые не выходят за границы, определенные продолжительностью одного часа. К подобным случайным величинам относится также и погрешность округления. Про такие величины говорят, что они распределены равномерно, т. е. имеют равномерное распределение.

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет равномерное распределение на отрезке [а, в], если на этом отрезке плотность распределения вероятности случайной величины постоянна, т.е. если дифференциальная функция распределения f(х) имеет следующий вид:

Иногда это распределение называют законом равномерной плотности. Про величину, которая имеет равномерное распределение на некотором отрезке, будем говорить, что она распределена равномерно на этом отрезке.

Найдем значение постоянной с. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, равна 1, то



откуда

с=1/(b-a).

Теперь функцию f(x) можно представить в виде

Построим функцию распределения F(x), для чего найдем выражение F(x) на интервале [a, b]:

Графики функций f(x) и F(x) имеют вид:

Рис. 6



Найдем числовые характеристики.

Используя формулу для вычисления математического ожидания НСВ, имеем:

Таким образом, математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a, b] совпадает с серединой этого отрезка.

Найдем дисперсию равномерно распределенной случайной величины:

откуда сразу же следует, что среднее квадратическое отклонение:

Найдем теперь вероятность попадания значения случайной величины, имеющей равномерное распределение, на интервал (a,b), принадлежащий целиком отрезку [a, b]:



Рис. 7

Геометрически эта вероятность представляет собой площадь заштрихованного прямоугольника. Числа а и b называются параметрами распределения и однозначно определяют равномерное распределение.

Пример 1. Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию. Интервал движения 5 минут. Найти вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке. Будет ожидать очередной автобус менее 3 минут.

Решение:

СВ - время ожидания автобуса имеет равномерное распределение. Тогда искомая вероятность будет равна:

Пример 2. Ребро куба х измерено приближенно. Причем

Рассматривая ребро куба как случайную величину, распределенную равномерно в интервале (a, b), найти математическое ожидание и дисперсию объема куба.

Решение:

Объем куба- случайная величина, определяемая выражением У= Х3. Тогда математическое ожидание равно:



Дисперсия:



9. Нормальный закон распределения

Одним из наиболее часто встречающихся распределений является нормальное распределение. Оно играет большую роль в теории вероятностей и занимает среди других распределений особое положение. Нормальный закон распределения является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при часто встречающихся аналогичных условиях.

Если предоставляется возможность рассматривать некоторую случайную величину как сумму достаточно большого числа других случайных величин, то данная случайная величина обычно подчиняется нормальному закону распределения. Суммируемые случайные величины могут подчиняться каким угодно распределениям, но при этом должно выполняться условие их независимости (или слабой зависимости). При соблюдении некоторых не очень жестких условий указанная сумма случайных величин подчиняется приближенно нормальному закону распределения и тем точнее, чем большее количество величин суммируется.

Ни одна из суммируемых случайных величин не должна резко отличаться от других, т.е. каждая из них должна играть в общей сумме примерно одинаковую роль и не иметь исключительно большую по сравнению с другими величинами дисперсию.

Для примера рассмотрим изготовление некоторой детали на станке-автомате. Размеры изготовленных деталей несколько отличаются от требуемых. Это отклонение размеров от стандарта вызывается различными причинами, которые более или менее независимы друг от друга. К ним могут относиться: неравномерный режим обработки детали; неоднородность обрабатываемого материала; неточность установки заготовки в станке; износ режущего инструмента и деталей станков; упругие деформаций узлов станка; состояние микроклимата в цехе; колебание напряжения в электросети и т.д. Каждая из перечисленных и подобных им причин влияет на отклонение размера изготовляемой детали от стандарта. Таким образом, общее отклонение размера, фиксируемое измерительным прибором, является суммой большего числа отклонений, обусловленных различными причинами. Если ни одна из этих причин не является доминирующей, то суммарное отклонение является случайной величиной, имеющей нормальный закон распределения.

Так как нормальному закону подчиняются только непрерывные случайные величины, то это распределение можно задать в виде плотности распределения вероятности.

Определение: Непрерывная случайная величина Х имеет нормальное распределение (распределена по нормальному закону), если плотность распределения вероятности f(x) имеет вид

где а и s -- некоторые постоянные, называемые параметрами нормального распределения.

Функция распределения F(x) в рассматриваемом случае принимает вид

Параметр а - есть математическое ожидание НСВХ, имеющей нормальное распределение, s - среднее квадратическое отклонение, тогда дисперсия равна



Выясним геометрический смысл параметров распределения а и s. Для этого исследуем поведение функции f(x). График функции f(x) называется нормальной кривой.

Рассмотрим свойства функции f(x):

1°. Областью определения функции f(x) является вся числовая ось.

2°. Функция f{x) может принимать только положительные значения, т. е. f(x}>0.

3°. Предел функции f(x) при неограниченном возрастании |х| равен нулю, т. е. ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика функции.

4°. Функция f{x) имеет в точке х = a максимум, равный

5°. График функции f(x) симметричен относительно прямой х = а.

6°. Нормальная кривая в точках х = а +s имеет перегиб,

На основании доказанных свойств построим график плотности нормального распределения f(x).

Рис. 8



Как видно из рисунка, нормальная кривая имеет колоколообразную форму. Эта форма является отличительной чертой нормального распределения. Иногда нормальную кривую называют кривой Гаусса.

При изменении параметра а форма нормальной кривой не изменяется. В этом случае, если математическое ожидание (параметр а) уменьшилось или увеличилось, график нормальной кривой сдвигается влево или вправо .

Рис. 9

При изменении параметра s изменяется форма нормальной кривой. Если этот параметр увеличивается, то максимальное значение функции f(x) убывает, и наоборот. Так как площадь, ограниченная кривой распределения и осью Ох, должна быть постоянной и равной 1, то с увеличением параметра кривая приближается к оси Ох и растягивается вдоль нее, а с уменьшением s кривая стягивается к прямой х=а.

Рис. 10



Использование формул f(x) и F(x) для практических расчетов затруднительно. Но решение задач по этим формулам можно упростить, если от нормального распределения с произвольными параметрами а и s перейти к нормальному распределению с параметрами а=0, s = 1.

Функция плотности нормального распределения f(x) с параметрами а=0, s =1 называется плотностью стандартной нормальной случайной величины и ее график имеет вид:

Рис. 11

Функция плотности и интегральная функция стандартной нормальной СВ будут иметь вид:

Для вычисления вероятности попадания СВ в интервал (a, b) воспользуемся функцией Лапласа:



Перейдем к стандартной нормальной случайной величине

Тогда

Значения функции Ф(u) необходимо взять из таблицы приложений "Таблица значений функции Ф(х)".

Пример. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой величины соответственно равны 30 и 10. Найти вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (10, 50).

Решение:

По условию: a =10, b=50, а=30, s =10, следовательно,

По таблице находим Ф (2) = 0,4772. Отсюда, искомая вероятность:

Р(10 < Х < 50) =2Ч0,4772=0,9544.



10. Правило трёх сигм

Преобразуем формулу

Введем обозначение

Тогда получим:

Если t=3, то

т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973.

Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027=1-0,9973. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм:

Если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.

На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.



11. Теорема Ляпунова

Часто приходится иметь дело с такими случайными величинами, которые являются суммами большого числа независимых случайных величин. При некоторых весьма общих условиях оказывается, что эта сумма имеет распределение, близкое к нормальному, хотя каждое из слагаемых может не подчиняться нормальному закону распределения вероятностей. Эти условия были найдены Ляпуновым * и составляют содержание теоремы, названной его именем.

Приведем без доказательства только следствие из теоремы Ляпунова.

Пусть последовательность попарно независимых. случайных величин с математическими ожиданиями и дисперсиями , причем эти величины обладают следующими двумя свойствами:

1) Существует такое число L, что для любого i имеет место неравенство , т, е. все значения случайных величин, как говорят, равномерно ограничены, относительно математических ожиданий;

2) Сумма неограниченно растет при .

Тогда при достаточно большом n сумма имеет распределение, близкое к нормальному.

Пусть a и - математическое ожидание и дисперсия случайной величины . Тогда



Так как по следствию из теоремы Ляпунова случайная величина для больших значений n имеет распределение, близкое к нормальному, то согласно формуле (32) имеет место соотношение

(56)

где Ф(х) - интеграл вероятностей.

Размещено на Allbest.ru