Степенное преобразование
Ознакомление с особенностями определения, свойства и методологии нахождения степенного преобразования для заданной системы алгебраических и дифференциальных уравнений. Рассмотрение и анализ процесса степенного преобразования унимодулярной матрицы.
| Рубрика | Математика |
| Вид | статья |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.10.2014 |
| Размер файла | 42,0 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Самаркандский государственный университет
Степенное преобразование
Солеев А.С., Хакимов М.У.
e_mail: proff.khakimov@mail.ru
В последнее время степенное преобразование широко применяется для решения различных задач. Т.к оно линейно относительно логарифмов и многие свойства линейного отображения здесь сохраняются.
В данной работе для систем алгебраических и дифференциальных уравнений доказана теорема, которая посредством степенных преобразований снижает число неизвестных и после некоторого сокращения сильно упрощается. Для этого излагается определение, свойство и методология нахождения степенного преобразования для заданной системы алгебраических и дифференциальных уравнений.
Пусть квадратная матрица размера с вещественными элементами и . Преобразование
(1)
называется степенным преобразованием с матрицей . обратное преобразование
(2)
также является степенным преобразованием с матрицей . Если ввести векторы и , то степенные преобразования (1) и (2) суть линейные преобразование этих векторов. и
Пусть дана система вида
(3)
где вектор степень монома и . После степенного преобразования (2) система (3) перейдет в систему
(4)
где .
Свойство. Преобразование (1) взаимно однозначно отображает множество на множество тогда и только тогда, когда матрица унимодулярна. В общем использование степенных преобразований с унимодулярной матрицей удобно ввиду того, что они взаимно однозначны на целочисленных решетках и соответственно. степенной алгебраический уравнение унимодулярный
Пусть кроме (1) имеется степенное преобразование
с матрицей . Тогда координаты связаны с координатами степенным преобразованием с матрицей , т.е. степенные преобразования образуют группу, а степенные преобразования с унимодулярной матрицей образуют ее подгруппу.
Пусть в задано линейное подпространство размерности натянутое на целочисленные векторы , где . назовем размерностью системы.
Теорема. Если размерность системы (3) равно , то существует матрица такая, что степенным преобразованием (1) с матрицей и подходящим сокращениями эта система приводится к системе уравнений относительно переменных. Если в системе (3) все показатели целочисленные, то существует унимодулярная матрица .
Способ нахождения матрицы. Образуем матрицу . Как известно всякая квадратная матрица приводится к диагональной матрице при помощи элементарных операций над столбцами и строками, т.е. квадратная матрица с целыми элементами представима в виде , где и унимодулярные, а диагональная матрица с целыми коэффициентами. За матрицу можно взять унимодулярную матрицу .
Пример 1. Дано уравнение
.
Показатели степеней .
Унимодулярная матрица есть , , после степенного преобразования переходит в уравнение .
Литература
1. Брюно А.Д. Степенная геометрия в алгебраических и дифференциальных уравнениях. Физматлит, 1998.
2. Солеев А.С. Нахождение ветвей трехмерной алгебраической кривой. Известия АН УзССР, 1983.
3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. Наука, 1967.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Основные действия над матрицами, операция их умножения. Элементарные преобразования матрицы, матричный метод решения систем линейных уравнений. Элементарные преобразования систем, методы решения произвольных систем линейных уравнений, свойства матриц.
реферат [111,8 K], добавлен 09.06.2011Преобразования уравнений, нахождение соответствующих критериев подобия. Подобие стационарных и нестационарных физических полей. Масштабные преобразования алгебраических и дифференциальных уравнений. Моделирование задач с начальным и граничным условиями.
реферат [2,8 M], добавлен 20.01.2010Методика преобразования вращения и ее значение в решении алгебраических систем уравнений. Получение результирующей матрицы. Ортогональные преобразования отражением. Итерационные методы с минимизацией невязки. Решение методом сопряженных направлений.
реферат [116,3 K], добавлен 14.08.2009Общие определения, связанные с понятием матрицы. Действия над матрицами. Определители 2-го и 3-го порядков, порядка n, порядок их вычисления и характерные свойства. Обратные матрицы и их ранг. Понятие и этапы элементарного преобразования матрицы.
лекция [30,2 K], добавлен 14.12.2010Интервал сходимости степенного ряда, исследование его сходимости на концах этого интервала. Решение дифференциальных уравнений и частных решений, удовлетворяющих начальному условию. Нахождение неопределенных интегралов методом замены переменных.
контрольная работа [72,2 K], добавлен 08.04.2013Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Решение системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей боковое перемещение нестабильного самолета относительно заданного курса полета методом преобразования Лапласа. Стабилизация движения путем введения отрицательной обратной связи.
курсовая работа [335,8 K], добавлен 31.05.2016Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [462,6 K], добавлен 12.11.2010Геометрическая интерпретация методов Ньютона, итерации и спуска. Определение корня уравнения с заданной степенью точности. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений. Нахождение эквивалентного преобразования для выполнения условия сходимости.
курсовая работа [371,6 K], добавлен 14.01.2015Исследование функции, построение ее графика, используя дифференциальное исчисление. Вычисление неопределенных интегралов, используя методы интегрирования. Пределы функции. Определение области сходимости степенного ряда. Решение дифференциальных уравнений.
контрольная работа [592,7 K], добавлен 06.09.2015
