Теория вероятностей и математическая статистика
Определение вероятности случайного события. Закон распределения случайной величины и расчет числовых характеристик (математического ожидания и дисперсии). Точечные оценки математического ожидания. Оценка коэффициента корреляции, расчет линейной регрессии.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 26.10.2014 |
| Размер файла | 46,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://allbest.ru
Задание 1. Найти вероятность случайного события
вероятность математический дисперсия
Вероятность рождения мальчика 0,51. Найти вероятность, что в семье, имеющей четверо детей, три мальчика.
Решение.
Данные в задаче испытания удовлетворяют схеме Бернулли: они независимы, имеют два исхода (родился мальчик или родилась девочка), вероятность рождения мальчика постоянна и равна 0,51.
Так как число испытаний мало, то можно применить формулу Бернулли:
или
Вычислим вероятность того, что из четырех детей в семье окажется три мальчика. Вероятность данного события наступит ровно 3 раза из 4.
Имеем: n=4, k=3, p=0,51, q=1-p=1-0,51=0,49
Ответ: 0,26.
Задание 2. Составить закон распределения случайной величины и найти числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсию)
После ответа студента по билету экзаменатор задает дополнительные вопросы. Преподаватель прекращает задавать вопросы, как только студент обнаруживает незнание заданного вопроса. Число дополнительных вопросов не может быть более пяти. Вероятность, что студент знает ответ на вопрос, равна 0,7. Составить закон распределения случайной величины Х - число заданных вопросов. Найти числовые характеристики.
Решение
1. Случайная величина Х - число заданных вопросов, событие А - «студент не знает ответ на вопрос».
Производятся независимые испытания, в каждом из которых вероятность появления события А («студент не знает ответ на вопрос») равна р=0,3 (0<p<1) и вероятность его непоявления q=0,7. Испытания заканчиваются, как только появится событие A.
Случайная величина Х имеет геометрическое распределение. Вероятность события А определяется по формуле:
Р(Х=k) = qk-1•p,
Р(Х=k) = 0,7k-1•0,3
где k=1,2,3,4,5 - число вопросов.
Р(Х=1) = 0,70•0,3 = 0,3
Р(Х=2) = 0,71•0,3 = 0,21
Р(Х=3) = 0,72•0,3 = 0,147
Р(Х=4) = 0,73•0,3 = 0,1029
Так как сумма вероятностей в распределении равна 1, то
Р(Х=5) = 1- =1- (0,3+0,21+0,147+0,1029) = 1- 0,7599 = 0,2401
Закон распределения случайной величины Х имеет вид:
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
||
|
0,3 |
0,21 |
0,147 |
0,1029 |
0,2401 |
2.Найдем числовые характеристики случайной величины Х:
Математическое ожидание дискретной случайной величины Х:
Дисперсия дискретной случайной величины Х:
Ответ: ,
Задание 3. Построить гистограмму (полигон) частот. Найти точечные оценки математического ожидания и дисперсии. Построить доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии с доверительной вероятностью р=0,95
|
х |
8-12 |
12-16 |
16-20 |
20-24 |
24-28 |
|
|
n |
12 |
18 |
30 |
17 |
13 |
Решение
1. Вычисляем значения
,,,
,
Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладываем частичные интервалы, на каждом из них строим прямоугольники высотой hi.
Размещено на http://allbest.ru
2. Для нахождения точечных оценок построим статистический ряд, для которого найдем середины каждого интервала:
|
х |
10 |
14 |
18 |
22 |
26 |
|
|
n |
12 |
18 |
30 |
17 |
13 |
Точечная оценка математического ожидания - выборочная средняя. Находим выборочную среднюю:
Точечная оценка дисперсии - выборочная дисперсия. Находим выборочную дисперсию:
3. Построим доверительный интервал для математического ожидания и дисперсии с доверительной вероятностью р=0,95.
, .
По таблице распределения Стьюдента находим аргумент, соответствующий вероятности р=0,95, числу степеней свободы N-1=89:
1,98.
Значит,
Находим для математического ожидания доверительный интервал:
Ответ: точечная оценка математического ожидания - , оценка дисперсии -, доверительный интервал для математического ожидания (17,01;19,07).
Задание 4. По двумерной выборке найти оценку коэффициента корреляции, построить линейную регрессию
|
Х |
2 |
3 |
8 |
6 |
4 |
4 |
5 |
2 |
6 |
9 |
|
|
Y |
18 |
17 |
13 |
7 |
14 |
15 |
10 |
18 |
7 |
5 |
Решение
1. Вычисляем значения выборочных средних и выборочных квадратических отклонений:
Находим сумму произведений
Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:
,
2. Составим уравнение линейной регрессии.
Параметры уравнения определяем по формулам:
.
Уравнение линейной регрессии
2. Построим корреляционное поле и линию регрессии на графике:
Размещено на http://allbest.ru
Вывод
1) линейный коэффициент корреляции r = -0,82 показывает, что между указанными признаками существует тесная обратная корреляционная зависимость (с увеличением Х значение Y уменьшается и наоборот).
2) уравнение линейной регрессии
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Вычисление математического ожидания, дисперсии, функции распределения и среднеквадратического отклонения случайной величины. Закон распределения случайной величины. Классическое определение вероятности события. Нахождение плотности распределения.
контрольная работа [38,5 K], добавлен 25.03.2015Определение вероятности случайного события; вероятности выиграшных лотерейных билетов; пересечения двух независимых событий; непоражения цели при одном выстреле. Расчет математического ожидания, дисперсии, функции распределения случайной величины.
контрольная работа [480,0 K], добавлен 29.06.2010Нахождение вероятности события, используя формулу Бернулли. Составление закона распределения случайной величины и уравнения регрессии. Расчет математического ожидания и дисперсии, сравнение эмпирических и теоретических частот, используя критерий Пирсона.
контрольная работа [167,7 K], добавлен 29.04.2012Алгоритм определения вероятности события и выполнения статистических ожиданий. Оценка возможных значений случайной величины и их вероятности. Расчет математического ожидания, дисперсии и среднего квадратического отклонения. Анализ характеристик признака.
контрольная работа [263,8 K], добавлен 13.01.2014Сущность закона распределения и его практическое применение для решения статистических задач. Определение дисперсии случайной величины, математического ожидания и среднеквадратического отклонения. Особенности однофакторного дисперсионного анализа.
контрольная работа [328,2 K], добавлен 07.12.2013Длина интервала группирования. Гистограмма относительных частот. Кусочно-постоянная функция. Среднеквадратичное отклонение оценки математического ожидания случайной величины. Коэффициент корреляции. Границы доверительного интервала для ожидания.
курсовая работа [622,9 K], добавлен 18.02.2009Определение вероятности для двух несовместных и достоверного событий. Закон распределения случайной величины; построение графика функции распределения. Нахождение математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения случайной величины.
контрольная работа [97,1 K], добавлен 26.02.2012Определение вероятности определенного события. Вычисление математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения дискретной случайной величины Х по известному закону ее распределения, заданному таблично. Расчет корреляционных признаков.
контрольная работа [725,5 K], добавлен 12.02.2010Вычисление математического ожидания, дисперсии и коэффициента корреляции. Определение функции распределения и его плотности. Нахождение вероятности попадания в определенный интервал. Особенности построения гистограммы частот. Применение критерия Пирсона.
задача [140,0 K], добавлен 17.11.2011Определение вероятности наступления события, используя формулу Бернулли. Вычисление математического ожидания и дисперсии величины. Расчет и построение графика функции распределения. Построение графика случайной величины, определение плотности вероятности.
контрольная работа [390,7 K], добавлен 29.05.2014
