Математика как учебная дисциплина в системе обучения инженеров-экономистов. Математика: математический анализ
Изложение теории математического анализа. Обзор тем курса: предел функции; основы дифференциального исчисления; исследование функции и построение графика; функции двух переменных; неопределённый и определённый интегралы; дифференциальные уравнения; ряды.
| Рубрика | Математика |
| Вид | методичка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.10.2014 |
| Размер файла | 1001,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
МИНОБРНАУКИ РОССИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Санкт-Петербургский государственный
инженерно-экономический университет
Кафедра высшей математики
МАТЕМАТИКА КАК УЧЕБНАЯ ДИСЦИПЛИНА В СИСТЕМЕ ОБУЧЕНИЯ ИНЖЕНЕРОВ-ЭКОНОМИСТОВ.
МАТЕМАТИКА: МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Методические указания к изучению дисциплины
и выполнению контрольных работ
для студентов заочной формы обучения
Санкт-Петербург
2014
1. Общие положения
Цель курса - дать необходимый математический аппарат и привить навыки его использования при решении инженерно-экономических задач. Для этого при изучении курса студенты осваивают методы математического моделирования экономических ситуаций, математические методы их исследования и решения, методы анализа полученных результатов. Это способствует также развитию логического и алгоритмического мышления.
Значительная часть материала выносится на самостоятельную проработку, что служит развитию навыков самостоятельного изучения литературы по математике и ее приложениям.
Математика как учебная дисциплина в системе обучения инженеров-экономистов опирается на школьный курс математики, используя все его разделы.
Изученные в курсе математики методы и алгоритмы используются во всех параллельных и следующих за ним курсах дисциплин. Формой контроля является экзамен.
дифференциальный график переменный интеграл
2. Методические указания к изучению дисциплины
Рекомендуется изучение методического пособия в порядке изложения материала. Возможно изучение отдельной темы. В качестве дополнительной литературы рекомендуется использовать издания, указанные в списке литературы.
В методических указаниях приведены краткие теоретические сведения по каждому типу задач с подробными пояснениями к их решению. Методические указания могут быть использованы студентами заочной формы обучения при выполнении контрольных работ, а также при подготовке к экзамену.
Контрольные работы включают задания по следующим темам:
1. предел функции (2 задания);
2. основы дифференциального исчисления (2 задания);
3. исследование функции и построение графика
(1 задание);
4. функции двух переменных (1 задание);
5. неопределенный интеграл (3 задания);
6. определенный интеграл (1 задание);
7. дифференциальные уравнения (3 задания);
8. ряды (2 задания).
Целостное представление о содержании курса дает Приложение 1. Содержание дисциплины (извлечение из рабочей программы дисциплины), где показаны принципы и логика построения дисциплины.
Необходимость выпуска настоящего пособия вызвана особенностями заочной формы обучения.
3. Методические указания к выполнению контрольной работы
Выполнение контрольных работ служит решению задачи получения студентами необходимых практических навыков по решению заданий из курса математики. Выполнение контрольных работ нацелено на получение студентами необходимых практических навыков решения задач из курса математического анализа. Прежде чем приступить к их выполнению, необходимо внимательно изучить соответствующие разделы Методических указаний, попробовав самостоятельно решить разобранные примеры.
В случае возникновения затруднений, а также при необходимости более глубокого изучения вопроса, следует обратиться к рекомендованной учебно-методической литературе.
Процесс работы над контрольной работой является важным этапом подготовки к зачету.
Номер выполняемой работы определяется путем деления шифра (номера зачетной книжки) на 20 и равен остатку, получающемуся при делении. Например, для зачетной книжки №1972 это вариант №12.
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Указания к заданию 1
ТЕМА 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
Областью определения функции называют те значения , для которых данное выражение имеет смысл и значения конечны.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки . Если для любого > 0 найдется такое число > 0, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство , то число называют пределом функции в точке , то есть A=.
Число называется левосторонним пределом функции в точке , если для любого > 0 найдется такое число > 0, что при всех , удовлетворяющих неравенству , будет выполнено неравенство . Левосторонний предел обозначают следующим образом: =.
Аналогично, число называется правосторонним пределом функции в точке , если для любого > 0 существует > 0, такое, что из неравенства следует и =.
Например, для функции в точке имеет смысл говорить только о левостороннем пределе, а для функции в точке - только о правостороннем.
Можно доказать, что для существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы существовали и были равны левосторонний и правосторонний пределы в этой точке.
Если для любого существует > 0, такое, что при всех из - окрестности будет выполнено условие , то предел функции в точке равен бесконечности: .
Если же для любого существует , такое, что при всех , то является пределом функции при , стремящемся к бесконечности: .
Важным частным случаем последнего определения является предел числовой последовательности. Если функция задана на множестве натуральных чисел, то такую функцию называют числовой последовательностью (=), а ее предел - пределом последовательности Таким образом, число является пределом последовательности, если для любого существует , такое, что при выполняется неравенство .
Отметим следующие свойства пределов:
1. Если существует, то он единственный.
2. (постоянное число);
3.
4.
5. ().
Дадим несколько определений, важных для дальнейшего.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если. Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если. Функция называется ограни-ченной в окрестности точки , если существует число , такое, что при всех из этой окрестности.
Для вычисления пределов важны следующие свойства бесконечно малых величин. Пусть и - бесконечно малые, а - ограниченная функция в окрестности точки . Тогда верны утверждения:
1. - бесконечно малая величина в окрестности точки ;
2. - бесконечно малая величина в окрестности точки ;
3. - бесконечно малая величина в окрестности точки ;
4. Если существует, то это равносильно тому, что в окрестности точки , где - бесконечно малая величина в окрестности этой точки;
5. Для монотонно возрастающей функции ( при ) или монотонно убывающей ( при ) в окрестности точки всегда существует , который конечен, если ограничена в окрестности точки .
Рассмотрим две бесконечно малые величины и в окрестности точки . Если , то говорят, что - величина более высокого порядка малости, чем . Записывают это следующим образом:
. Если, то и называют эквивалентными бесконечно малыми величи-нами в окрестности точки , то есть ~.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример1. Вычислить предел.
Решение. Очевидно, что числитель дроби при стремится к . Аналогично знаменатель стремится к . Тогда вся дробь будет стремиться к . Таким образом, .
Здесь мы использовали свойства пределов, о которых говорилось выше.
Пример2. Вычислить предел.
Решение. Очевидно, , а при . Таким образом, дробь будет стремиться к бесконечности, так как знаменатель - бесконечно малая величина, а обратная ей величина - бесконечно большая.
Поскольку числитель в окрестности точки ограничен, получаем: .
Пример3. Вычислить предел.
Решение. Если подставить в рассматриваемую функцию, получим ноль в числителе и знаменателе. Без дополнительных преобразований трудно сказать, к чему будет стремиться подобное выражение. Поэтому такие выражения называют неопределенностью вида . Встречаются также неопределенности вида ,, ,, для каждой из которых существуют свои способы вычисления пределов, то есть раскрытия неопределенности.
Вернемся к примеру. Разложим числитель на множители:
.
Рассмотрим , где и - многочлены степени и :
Пусть Разделим числитель и знаменатель почленно на
Нетрудно видеть, что при все слагаемые числителя, кроме последнего, стремятся к нулю, а в знаменателе все слагаемые стремятся к нулю. Таким образом, по аналогии с примером 2.
Если , то , а дробь в знаменателе имеет уже степень числителя большую, чем степень знаменателя и, согласно только что рассмотренному случаю, стремится к бесконечности. Тогда имеем:
так как величина, обратная бесконечно большой, есть бесконечно малая величина.
Рассмотрим теперь случай Поделив числитель и знаменатель почленно на , получим:
Таким образом,
Рассмотрим два предела: и .
С помощью несложных оценок можно показать, что Вычисление второго предела требует бульших усилий, но можно доказать, что он равен числу (основанию натурального логарифма): Доказательства можно найти в учебниках по математическому анализу.
В силу важности этих пределов их называют замечательными пределами. Используя замечательные пределы, можно получить следующие результаты:
; ; ;
; .
Поэтому можно утверждать, что при ~, ~, ~, ~, ~, где знак ~ означает эквивалентность соответствующих бесконечно малых величин. При вычислении пределов можно использовать эти соотношения эквивалентности, заменяя, например, отношения бесконечно малых на отношения эквивалентных им бесконечно малых величин.
Пример4. Вычислить предел:
.
Решение.
Очевидно, что все подкоренные выражения при стремятся к единице, а вторые слагаемые в скобках - к нулю. Поэтому последний предел равен следующему:
Пример5. Вычислить предел .
Решение. Подставив в заданную функцию , убеждаемся, что имеем дело с неопределенностью вида . Известно, что если - корень многочлена , то , где - многочлен степени .
Следовательно, . Проще всего узнать вид многочлена , разделив на . Это можно сделать, выполнив деление «столбиком», как делят числа:
0
Следовательно, . Тогда, разлагая на множители разность кубов в знаменателе, получим:
Пример6. Вычислить предел .
Решение. Это неопределенность вида . Домножим функцию, стоящую под знаком предела, на сопряженную сумму :
Пример7. Вычислить предел .
Решение. В данном случае имеем дело с неопределенностью вида . Преобразуем выражение в скобках, выделив единицу и бесконечно малую функцию:
Тогда
Так как при - бесконечно малая величина,
то
Поскольку , получаем:
Пример8. Найти предел
Решение. При рассматриваемая функция имеет неопределенность вида . Введем новую переменную . Когда переменная , переменная . Тогда рассматриваемый предел принимает вид:
так как ~, а .
Пример9. Найти предел
Решение. Неопределенность вида . При ~. Поэтому ~.
Далее, ~ .
Поэтому
Пример10. Найти предел .
Решение. Неопределенность вида . Введем новую переменную Тогда получим:
Здесь учтено, что ~ при .
Контрольные задания
Найти следующие пределы.
1.1 а) б)
1.2. а) б)
1.3. а) б)
1.4. а) б)
1.5. а) б)
1.6. а) б)
1.7. а) б)
1.8. а) б)
1.9. а) б)
1.10. а) б)
1.11. а) б)
1.12. а) б)
1.13. а) б)
1.14. а) б)
1.15. а) б)
1.16. а) б)
1.17. а) б)
1.18. ) б)
1.19. а) б)
1.20. а) б)
Указания к заданию 2
ТЕМА 2. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
Пусть на интервале задана функция . Возьмем некоторое число и придадим аргументу приращение . Тогда значение функции получит приращение . Рассмотрим отношение . Если при существует конечный предел дроби , то этот предел называют произвoдной функции в точке и обозначают символом (или ):
.
Нахождение производной называют дифференцированием функции.
Функцию называют дифференцируемой в точке , если в окрестности этой точки ее приращение может быть представлено в виде:
.
Можно доказать, что для дифференцируемости функции необходимо и достаточно, чтобы существовала и была конечной ее производная, при этом .
Выражение называют дифферен-циалом функции и обозначают . Приращение аргумента называют дифференциалом независимой переменной и обозначают . Таким образом, .
Геометрически дифференциал есть приращение касательной, проведенной к графику функции в точке , и может быть как меньше, так и больше приращения функции . Для линейной функции
Если производная существует для всех из интервала , то тем самым производная определена как функция в этом интервале, и можно говорить о производной от этой функции, называемой второй производной функции : Аналогично вводится понятие высших производных (третья производная и т.д.)
Для освоения техники дифференцирования, то есть нахождения производных, необходимо использовать правила дифференцирования и таблицу производных наиболее часто встречающихся функций.
Основные правила дифференцирования
1. .
2. (- постоянная) .
3.
4. .
5. Производная сложной функции: если , то , где производные функций в правой части равенства берутся по аргументам и соответственно.
Приведем таблицу производных наиболее часто используемых функций:
1. (- постоянная)
2.
3.
4. (- постоянная)
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Логарифмической производной функции называется производная от логарифма этой функции: , при y > 0. Нахождение производных от многих функций значительно упрощается, если эти функции предварительно прологарифмировать, а затем воспользоваться логарифмической производной. При этом логарифмическую производную применяют формально, не учитывая, что формула имеет смысл лишь при y > 0.
Функция y(x) называется неявной, если зависимость между х и у выражена уравнением F(x,y)=0, неразрешенным относительно у.
Чтобы найти производную от неявной функции, надо данное уравнение продифференцировать, считая у функцией от х, а затем полученное уравнение решить относительно производной .
Рассмотрим примеры вычисления производных.
Пример1. Найти производную функции .
Решение. Применяя правила 4,1 и таблицу производных, получим:
.
Пример2. Найти , если .
Решение. Последовательно применяя правило дифференцирования сложной функции, получим:
Пример3. Найти производную функции .
Решение. Применим логарифмическую производную:
Пример4. Найти производную функции .
Решение. В случае произведения нескольких сомножителей применение логарифмической производной также эффективно:
.
Пример5. Найти производную функции , если .
Решение. Применим правило дифференцирования неявной функции:
Контрольные задания
Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде.
2.1.
2.2.
2.3.
2.4.
2.5.
2.6.
2.7.
2.8.
2.9.
2.10.
2.11.
2.12.
2.13.
2.14.
2.15.
2.16.
2.17.
2.18.
2.19.
2.20.
Указания к заданию 3
ТЕМА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА
Внутренняя точка интервала называется точкой максимума (минимума) функции , если существует такое , что для всех из интервала , содержащегося внутри интервала , выполняется неравенство (). Точки максимума и минимума называют точками экстремума (локального экстремума) функции. Точки, в которых производная обращается в ноль, называют стационарными точками.
Приведем формулировки теорем, используемых при исследовании функций.
Достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции.
Если () в интервале , то строго возрастает (убывает) в этом интервале.
Промежутки, в которых функция возрастает (убывает), называются промежутками монотонности функции. Чтобы найти промежутки монотонности функции необходимо:
1. найти область определения функции;
2. найти производную функции;
3. приравнять производную к нулю и определить ее корни (стационарные точки), а также найти точки, в которых производная не существует, а функция определена;
4. определить знак производной в каждом из промежутков, на которые разбивается полученными точками область определения функции.
Необходимое условие экстремума функции
Если функция дифференцируема в точке и достигает в этой точке максимума (минимума), то .
Точками экстремума могут быть только те точки, в которых производная равна нулю, либо не существует. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, называют точками, подозрительными на экстремум, или критическими точками.
Достаточные условия экстремума функции
Если при переходе через точку , подозрительную на экстремум, производная меняет знак, то точка является точкой экстремума. При этом если в некоторой окрестности точки для и для , то является точкой максимума. Если же в этой окрестности для и для , то - точка минимума.
Другим достаточным признаком существования экстремума в стационарной точке является условие (тогда это точка максимума) и (тогда это точка минимума). При этом считается, что имеет непрерывную вторую производную в некоторой окрестности точки .
График функции называется выпуклым в интервале , если он расположен ниже касательной проведенной в любой точке этого интервала (рис.1)
График функции называется вогнутым в интервале , если он расположен выше касательной, проведенной в любой точке этого интервала. (рис. 2)
Достаточные условия выпуклости (вогнутости) графика функции
Если в интервале , то график функции является выпуклым в этом интервале; если же , то в интервале график функции вогнутый.
Точка графика функции, отделяющая его выпуклую часть от вогнутой, называется точкой перегиба. Если - абсцисса точки перегиба графика функции , то вторая производная равна нулю или не существует в этой точке. Точки, в которых или не существует, называются критическими точками второго рода.
Если при переходе через критическую точку второго рода вторая производная меняет знак, то точка есть точка перегиба.
Прямая l называется асимптотой кривой y = f(x), если расстояние точки М(х,у) на кривой от прямой l стремится к нулю при неограниченном удалении этой точки по кривой от начала координат, (т.е. при стремлении хотя бы одной из координат точки к бесконечности).
Прямая является вертикальной асимптотой кривой y = f(x), если:
или .
Прямая является горизонтальной асимптотой кривой y = f (x), если существует или .
Прямая является наклонной асимптотой кривой y = f(x), если существуют пределы:
или .
При исследовании функции и построении ее графика удобно придерживаться следующего плана.
Найти область определения функции.
Определить четность (нечетность), периодичность
функции.
Найти точки разрыва.
Определить точки пересечения графика с осями
координат.
Найти точки экстремума и вычислить значения
функции в этих точках.
Определить интервалы возрастания и убывания
функции.
Найти точки перегиба, интервалы выпуклости и
вогнутости.
Определить асимптоты.
Найти предельные значения функции при аргументе,
стремящемся к границам области определения.
В процессе исследования функции не обязательно строго придерживаться приведенной схемы.
Пример. Исследовать функцию и построить ее график.
Решение.
Данная функция определена и непрерывна на всей оси ОХ, за исключением точки , где она терпит бесконечный разрыв. Следовательно, прямая является вертикальной асимптотой. Поскольку и , то рассматриваемая функция не является ни четной, ни нечетной, то есть это функция общего вида. Точка (0,0) является точкой пересечения функции с осями координат.
Вычислим производную:
.
Производная обращается в ноль при и .
Построим интервалы монотонности (рис. 3):
Рис. 3
Функция возрастает при и убывает при . Точка - точка максимума, а точка - точка минимума функции.
Найдем вторую производную:
.
Вторая производная в нуль нигде не обращается, но при переходе через точку меняет свой знак с минуса на плюс. Следовательно, в интервале график функции выпуклый, а в интервале - вогнутый. Точек перегиба функция не имеет.
Выясним, имеет ли функция наклонные асимптоты.
,
.
Следовательно, прямая является наклонной асимптотой при . Легко проверить, что эта же прямая является наклонной асимптотой при .
Построим график исследуемой функции:
Рис. 4
Контрольные задания
Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график.
3.1.. 3.2.
3.3. 3.4.
3.5. 3.6.
3.7. 3.8.
3.9. 3.10.
3.11. 3.12.
3.13. 3.14.
3.15. 3.16. .
3.17.. 3.18.
3.19. 3.20.
Указания к заданию 4
ТЕМА 4. ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
Рассмотрим функцию двух переменных , определенную в некоторой области , являющейся частью плоскости Частной производной от функции по независимой переменной х называется производная
вычисленная при постоянном у.
Частной производной по у называется производная
вычисленная при постоянном х.
Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.
При изменении и частные производные сами являются функциями, и можно вычислять частные производные от этих функций. Частные производные второго порядка обозначают следующим образом:
Последнюю из трех частных производных второго порядка называют смешанной производной. Если частные производные второго порядка непрерывны в точке , тогда , то есть не важно, в какой последовательности вычисляется смешанная производная.
Градиентом функции в точке называется вектор, составленный из частных производных:
Этот вектор указывает в точке М0 направление наискорейшего роста функции .
Для функции двух переменных вводится понятие производной по направлению, аналогичное понятию частной производной, когда приращение аргумента задается вдоль данного направления. Для любого направления, задаваемого вектором , производная функции в точке по направлению этого вектора может быть выражена следующим образом:
где знак модуля означает длину вектора градиента в точке , а - угол между градиентом и направлением .
Пример. Найти градиент функции в точке .
Решение. Рассматривая у как постоянную величину, дифференцируем функцию по переменной х.
.
Аналогично, рассматривая х как постоянную величину, получаем:
.
Находим значения частных производных в точке :
,
Таким образом,
Контрольные задания
Найти градиент функции Z в точке М.
4.1 .
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Указания к заданию 5
ТЕМА 5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Функция называется первообразной для функции на некотором промежутке, если для всех значений из этого промежутка выполняется равенство .
Например, функция является первообразной для функции , так как при любом .
Можно заметить, что первообразной для является не только, но и функция + С, где С - любая постоянная. Это справедливо для любой функции , имеющей первообразную.
Теорема. Пусть является первообразной для функции в некотором интервале ; тогда функция , где С - любая постоянная, также будет первообразной для .
Из теоремы следует, что любые две первообразные для одной и той же функции могут отличаться друг от друга только на постоянное слагаемое.
Если - первообразная для функции , то совокупность всех первообразных , где С - произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции и обозначается символом . Таким образом, =.
Функция называется подынтегральной функцией, произведение - подынтегральным выражением, переменная - переменной интегрирования, а символ - знаком интеграла.
Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием функции . Операция интегрирования является обратной к операции дифференцирования.
Свойства неопределенного интеграла
1.
2.
3.
4. , ,
5. Если первообразная для , тогда
,
Таблица основных неопределенных интегралов
1. ;
2.
3.
4.
5.
6.
7. ,
8.
9. ,
10. ,
11.
12.
13.
14.
Интегралы от некоторых элементарных функций не являются элементарными функциями, например:
Основные методы интегрирования
Непосредственное интегрирование. Непосредственным интегрированием называется вычисление интегралов путем использования таблицы основных неопределенных интегралов, их свойств, а также тождественных преобразований подынтегрального выражения.
Пример1. Найти .
Решение.
Пример2. Найти .
Решение. Воспользуемся свойством 5:
=.
Пример2. Найти. .
Решение Воспользуемся формулами тригонометрии:
=.
Интегрирование путем подведения под знак дифференциала
Все формулы таблицы основных интегралов справедливы, когда переменная интегрирования не является независимой, а представляет функцию от некоторой другой переменной: .
Тогда или .
Пример4. Вычислить интеграл .
Решение. Так как ,
то =.
Здесь мы применили формулу 1 таблицы интегралов.
Пример5. Вычислить интеграл .
Решение. Заметим, что , тогда имеем:
=.
Замена переменой в неопределенном интеграле. Замена переменной или метод подстановки, состоит в том что, при вычислении интеграла вместо переменной вводится новая переменная , связанная с определенной зависимостью: . При этом функцию следует выбирать так, чтобы подынтегральная функция становилась более удобной для интегрирования.
Введем новую переменную , где функция определена и дифференцируема. Тогда будет справедлива формула
=.
Пример6. Вычислить интеграл .
Решение. Применим подстановку , а затем продифференцируем это равенство: .
==.
Пример7. Вычислить интеграл .
Решение. Применяем подстановку , тогда .
=.
Интегрирование по частям в неопределенном интеграле. Теорема. Если функции и дифференцируемы на интервале , то .
Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Она позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым.
Метод интегрирования по частям применяется при вычислении следующих интегралов:
А) , , , где - многочлен степени n. В этих интегралах за принимается и интегрируется по частям n раз.
В), , , , .
В этих интегралах за принимается .
Пример8. Вычислить .
Решение. Положим , тогда ,
и по формуле интегрирования по частям получаем:
=.
Пример9. Вычислить .
Решение. Положим .
Отсюда . Используя формулу интегрирования по частям, имеем:
=.
Пример10. Вычислить .
Решение. Примем , тогда
. Окончательно получаем:
=.
Пример11. Вычислить .
Решение. Сделаем предварительные преобразования:
, отсюда
=.
Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется функция, равная отношению двух многочленов:
,
где, m, n - целые положительные числа, - действительные числа ().
Если , то называется правильной рациональной дробью, если - неправильной дробью.
Всякую неправильную дробь путем деления на можно представить в виде суммы некоторого многочлена и правильной дроби.
,
где , - многочлены; - правильная рациональная дробь
Интегрирование правильной рациональной дроби основано на следующей теории.
Каждая правильная рациональная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей следующих четырех видов:
где, A, a, M, N, p, q - действительные числа, k - натуральное число .
В алгебре устанавливается, что если знаменатель дроби представить в виде:
,
то в разложении самой дроби:
а) каждому множителю вида соответствует одна простейшая дробь вида ;
б) каждому множителю вида соответствует сумма простейших дробей вида: ;
в) каждому множителю соответствует одна простейшая дробь вида .
Пример12. Найти интеграл .
Решение. Разложим правильную рациональную дробь на сумму простейших дробей:
.
Приводя дроби к общему знаменателю и приравнивая числители, получим:
Так как данное тождество должно выполняться для любого , то зададим аргументу значение и получим . Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в тождестве, находим:
При :
При :
При :
При :
Подставив значение , находим: , , .
Поэтому:
Интегрирование тригонометрических функций. Рассмотрим интеграл типа , где R обозначает рациональную функцию своих аргументов и . Интеграл данного типа сводится к интегралу от рациональной функции с помощью так называемой универсальной постановки .
Действительно,
и
=.
Тогда, подставляя в данный интеграл вместо , и полученные выражения, будем иметь под знаком интеграла рациональную функцию.
Пример13. Вычислить интеграл .
Решение. Подстановка дает:
==
.
Универсальная подстановка нередко приводит к сложным вычислениям. Поэтому в указанных ниже случаях предпочтительней частные подстановки, также рационализирующие интеграл.
если , то применима подстановка ;
если , то применима подстановка ;
если , то применима подстановка .
Пример14. Вычислить интеграл .
Решение. Положим и найдем:
поэтому:
===.
Рассмотрим интеграл вида , где m и n-целые числа. Возможны следующие случаи:
1. Одно из чисел m или n - нечетное, например, тогда полагая , получим:
==
2. Оба числа m и n - четные. Тогда рекомендуется воспользоваться тригонометрическими формулами понижения степени:
.
Пример15. Вычислить интеграл .
Решение.
==.
Интегрирование некоторых иррациональных функций. Рассмотрим интеграл следующего вида:
,
где R - рациональная функция, - рациональные числа. Данный интеграл сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки , где k - общий знаменатель всех дробных показателей.
Пример16. Вычислить интеграл .
Решение. Положив , получим:
===.
Контрольные задания
Вычислить неопределенные интегралы.
5.1
5.2 .
5.3 .
5.4 .
5.5 .
5.6 .
5.7 .
5.8 .
5.9 .
5.10 .
5.11 .
5.12 .
5.13 .
5.14 .
5.15 .
5.16 .
5.17 .
5.18 .
5.19 .
5.20 .
Указания к заданию 6
ТЕМА 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот промежуток произвольным образом на n частей точками .
В каждом из полученных частичных промежутков , где , выберем произвольную точку . Вычислим значение функции и умножим его на разность , после этого составим сумму, которая называется интегральной суммой Римана для функции на отрезке .
Пусть , т.е. длина наибольшего частичного промежутка. Если существует конечный предел интегральной суммы при , не зависящий ни от способа разбиения промежутка на части, ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом функции на промежутке и обозначается символом . Таким образом,
.
Функция в этом случае называется интегрируемой в промежутке . Числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интеграла.
Выясним геометрический смысл суммы Римана , когда функция непрерывна и неотрицательна в промежутке , . В этом случае произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма равна сумме площадей прямоугольников с основанием и высотами (рис.).
Рис. 5
Таким образом, равна площади ступенчатой фигуры, а определенный интеграл равен пределу при , т.е. площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми и и отрезком оси .
Свойства определенного интеграла. Пусть все рассматриваемые функции являются непрерывными, так что определенные интегралы от них существуют. Тогда справедливы следующие соотношения:
1.
2.
3.
4.
5.
6. Если .
Если функции непрерывна на отрезке и - какая-нибудь первообразная для на этом отрезке, то справедлива формула Ньютона-Лейбница:
.
Правую часть формулы часто обозначают символом (знак двойной подстановки от до ).
Пример1. Вычислить определенный интеграл .
Решение.
.
Замена переменной в определенном интеграле. Пусть функция непрерывна на отрезке , а функция определена и непрерывна вместе со своей производной на отрезке , причем для любого и ,
Тогда:
Эта формула называется формулой замены переменной в определенном интеграле или формулой интегрирования подстановкой.
Пример2. Вычислить определенный интеграл .
Решение. Сделаем замену переменной .
Тогда . Пересчитаем пределы интегрирования: при , а при .
.
Заметим, что при вычислении определенного интеграла к старой переменной не возвращаются.
Интегрирование по частям в определенном интеграле. Теорема. Если функции и дифференцируемы на отрезке , то справедлива следующая формула .
Пример3. Вычислить .
Решение. Обозначим , .
Тогда , .
.
Геометрические приложения определенного интеграла. Площадь плоской фигуры. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком , осью и прямыми и (рис.6) вычисляется по следующей формуле:
Если часть кривой находится под осью (рис.7), то площадь заштрихованной фигуры равна:
.
Пусть фигура ограничена двумя кривыми ,
и , (рис. 8). Тогда ее площадь вычисляется по формуле .
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис.6
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 7
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Рис. 8
Пример4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной прямой и параболой .
Решение. Построим графики прямой и параболы (рис. 9).
Рис. 9.
Найдем точки пересечения параболы и прямой:
.
Тогда получим:
.
Объем тела вращения. Пусть функция непрерывна на отрезке . В этом случае объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , прямыми , и осью , вычисляется по формуле:
.
Если тело получено вращением кривой вокруг оси , то объем этого тела вычисляется по формуле:
.
Пример5. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями вокруг оси .
Решение. На рис.10 показана фигура, образующая тело вращения.
Рис. 10
.
Контрольные задания
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (2.1-2.10) .
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций, вокруг оси OX (2.11-2.15).
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций вокруг оси OY (2.16-2.20).
6.1. ; .
6.2. ; .
6.3. ; ; .
6.4. ; ; ; .
6.5. ; ; .
6.6. ; .
6.7. ; .
6.8.
6.9.
6.10.
6.11. ; .
6.12. ; .
6.13. ; .
6.14.
6.15. .
6.16. ; .
6.17. ; , .
6.18. ; , .
6.19.
6.20.
Указания к заданию 7
ТЕМА 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимые переменные, искомую функцию (или дифференциал) и ее производные. Обыкновенное дифференциальное уравнение имеет следующий вид:
(1)
Здесь независимая переменная, искомая функция и ее производные вплоть до производной порядка .
Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в уравнение (число в формуле (1)). Так, уравнение является дифференциальным уравнением второго порядка.
Решением дифференциального уравнения называется такая функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.
Общим решением дифференциального уравнения называется решение, содержащее столько произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид:
, (2)
где произвольные постоянные, или постоянные интегрирования.
Если решение уравнения (1) получено в неявном виде
, (3)
то такое решение называется общим интегралом уравнения (1).
Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего выбором конкретных значений произвольных постоянных.
Задачей Коши для дифференциального уравнения (1) называется задача отыскания решения этого уравнения, удовлетворяющего следующим начальным условиям:
(4)
Число начальных условий равно порядку уравнения, что позволяет определить все произвольные постоянные в общем решении (2).
График каждого частного решения в плоскости представляет линию, называемую интегральной кривой, а совокупность всех интегральных кривых образует семейство интегральных кривых.
Рассмотрим уравнение (1) в виде, разрешенном относительно старшей производной:
. (5)
Теорема. Если в некоторой окрестности точки функция определена и имеет непрерывные частные производные по переменным , то в этой окрестности задача Коши имеет единственное решение.
Особым решением дифференциального уравнения называется решение, в каждой точке которого нарушаются условия теоремы существования и единственности. Оно не может быть получено из общего подбором значений произвольных постоянных.
Линейным называется дифференциальное уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производных:
,
где , некоторые функции, непрерывные в некоторой области .
При уравнение называется однородным, в остальных случаях неоднородным.
При постоянстве коэффициентов уравнение называется уравнением с постоянными коэффициентами.
Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение с разделяющимися переменными. Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида:
Для его решения следует сначала разделить переменные, то есть разнести их в разные стороны уравнения:
( ),
а затем проинтегрировать обе части уравнения:
.
Следует иметь в виду, что полученные неопределенные интегралы могут различаться на произвольную постоянную .
Пример1. Решить задачу Коши: ,.
Решение. Поделим обе части уравнения на
Тогда и .
Вычисляя интегралы, находим: .
Отсюда общее решение.
Подставим в это решение начальное условие: ; Следовательно, и искомое частное решение, то есть решение задачи Коши.
Однородное уравнение первого порядка. Однородным уравнением первого порядка называется уравнение вида:
. (6)
Для его решения введем новую переменную . Тогда и . Подставляя эти соотношения в (6), получаем: или . Это уравнение с разделяющимися переменными, и оно легко интегрируется. Найдя , получаем искомое решение .
Пример2. Решить уравнение: .
Решение. Полагая и , получим:
, или .
Интегрируя обе части последнего уравнения, получим:
.
Произвольная постоянная здесь взята в виде для удобства. Тогда и окончательно общее решение принимает вид:
.
Пример3. Решить уравнение: .
Решение. Пусть . Тогда разделим обе части уравнения на :
.
После замены переменной это уравнение приводится к виду:
, или .
Вычислим интеграл в левой части последнего уравнения:
Тогда , и общее решение уравнения записывается в следующем виде:
.
Линейное уравнение первого порядка. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка можно с помощью введения двух новых искомых функций и , положив , и дополнительного условия на одну из них, выбираемую произвольно. Рассмотрим применение этого метода на следующем примере.
Пример4. Решить дифференциальное уравнение .
Решение. Будем искать решение в виде: ;
Тогда ; Подставляя выражения для искомой функции и ее производной в рассматриваемое дифференциальное уравнение, получим:
, или
. (7)
Поскольку одну из функций и мы вправе выбрать произвольно, выберем ее так, чтобы выполнялось условие: Тогда уравнение (7) запишется в виде: . Это уравнение легко интегрируется:
; .
Произвольную постоянную здесь можно положить равной нулю, так как мы выбираем частное решение. Тогда .
После подстановки в исходное уравнение получим (при ):
; ; .
Таким образом,
искомое общее решение.
Уравнение Бернулли. Уравнением Бернулли называется уравнение следующего вида:
. (8)
Здесь и , так как в этих случаях уравнение (8) превращается в линейное уравнение.
Уравнение Бернулли, как и линейное уравнение, решается с помощью представления этой функции в виде .
Пример5. Решить уравнение:
. (9)
Решение. Это уравнение Бернулли и . Положим . Тогда уравнение (9) запишется в виде:
. (10)
Будем искать функцию как решение уравнения:
.
Тогда и . Вычисляя интегралы, получим:
и
Подставляя полученное выражение в (10), получим:
.
Разделяя переменные и интегрируя, получим:
.
Выполняя интегрирование, приходим к выражению:
, или .
Окончательно получаем:
.
Дифференциальные уравнения второго порядка. Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид:
. (11)
Если уравнение (11) может быть разрешено относительно второй производной, то оно записывается в следующей форме:
.
Задача Коши для дифференциального уравнения второго порядка состоит в нахождении частного решения, удовлетворяющего начальным условиям:
Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Дифференциальные уравнения этого типа представляются в виде:
, (12)
где - постоянные числа.
Будем искать решение уравнения (12) в виде , где постоянное число. После подстановки этого выражения в (12) получим:
.
Поскольку , должно выполняться квадратное уравнение:
. (13)
Это уравнение называется характеристическим уравнением для уравнения (12). В зависимости от величины его дискриминанта возможны три случая:
а) .
Можно показать, что общим решением в этом случае является комбинация двух линейно-независимых решений, отвечающих двум различным корням характеристического уравнения:
Подобные документы
Функции нескольких переменных. Локальные экстремумы функции двух переменных. Производная по направлению. Двойные и тройные интегралы. Вычисление объемов тел и площадей плоских фигур. Тройной интеграл, криволинейные интегралы первого и второго рода.
учебное пособие [511,2 K], добавлен 23.04.2012Пределы функции, ее полное исследование с использованием дифференциального исчисления. Вычисление неопределенных интегралов с использованием методов интегрирования. Определенный и несобственный интегралы. Числовые ряды, их исследование на сходимость.
контрольная работа [713,2 K], добавлен 07.04.2013Определение наименьшего и наибольшего значения функции в ограниченной области и ее градиента; общего интеграла и общего и частного решения дифференциального уравнения. Исследование ряда на абсолютную сходимость с применением признаков Коши и Даламбера.
контрольная работа [107,2 K], добавлен 25.11.2013Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры. Методы построения графика функции. Предел и непрерывность функции. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Определители и системы уравнений. Построение прямой и плоскости в пространстве.
методичка [1,0 M], добавлен 24.08.2009Понятие функции нескольких переменных. Аргументы, частное значение и область применения функции. Рассмотрение функции двух и трех переменных. Предел функции нескольких переменных, теорема. Главная сущность непрерывности функции нескольких переменных.
реферат [86,3 K], добавлен 30.10.2010Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014Содержатся теоретические сведения и наборы заданий для аудиторных и индииндивидуальных заданий по следующим разделам: комплексные числа, неопределенные и определенные интегралы, функции нескольких переменных и обыкновенные дифференциальные уравнения.
книга [2,8 M], добавлен 26.02.2010Задания на установление заданных пределов без использования правила Лопиталя. Определение точек разрыва функции и построение ее графика. Правило вычисления производной, заданной неявно. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [570,8 K], добавлен 10.10.2011Системы линейных уравнений. Функции: понятия и определения. Комплексные числа, действия над ними. Числовые, функциональные, тригонометрические ряды. Дифференциальные уравнения. Множества, операции над ними. Теория вероятностей и математической статистики.
учебное пособие [4,7 M], добавлен 29.10.2013Нахождение производных функций, построение графика функции с помощью методов дифференциального исчисления, нахождение точки пересечения с осями координат. Исследование функции на возрастание и убывание, нахождение интегралов, установка их расходимости.
контрольная работа [130,5 K], добавлен 09.04.2010
