Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

• Задание 1. Решить задачу с экономическим содержанием, пользуясь вышеприведёнными схемами решений
• Задание 2. Найти какой-нибудь базис заданной системы векторов и разложить свободные векторы по этому базису. Выполнить однократное замещение базиса и разложить векторы по новому базису. Сделать проверку
• Задание 3. Для заданной квадратичной формы составить матрицу и проверить ее знакоопределенность по критерию Сильвестра-Якоби
• Задание 4. Определить тип кривых второго порядка и построить их на чертеже
• Задание 5. Решить задачу с экономическим содержанием, применяя уравнения линейной зависимости или уравнение кривых 2-го порядка. Все зависимости у=у(х) и другие функции, заданные или полученные в процессе решения задачи, изобразить графически.


Задание 1. Решить задачу с экономическим содержанием, пользуясь вышеприведёнными схемами решений

При изготовлении трикотажных изделий: детских костюмов и пуловеров используется пряжа трех цветов. Для детского костюма требуется 0,05 кг коричневой пряжи, 0,3 кг бежевой пряжи и 0,1 черной. Для пуловера соответственно: 0,1 кг, 0,1 кг и 0,2 кг. Составить сменный план выпуска детских костюмов и пуловеров, если сменный запас коричневой пряжи 20 кг, бежевой 50 кг и черной 40 кг и всю ее требуется использовать. (Указание: перед решением системы все уравнения умножить на 10).

Решение

Пусть - количество детских костюмов, - количество пуловеров согласно сменному плану.

(1 и 3 уравнения эквивалентны)

Ответ. 140 детских костюмов и 120 пуловеров.

Задание 2. Найти какой-нибудь базис заданной системы векторов и разложить свободные векторы по этому базису. Выполнить однократное замещение базиса и разложить векторы по новому базису. Сделать проверку

Решение

Составим матрицу из координат векторов и найдем ее ранг, применяя эквивалентные преобразования:

Rang = 3, что показывает линейную независимость векторов:

,

которые образуют базис. Разложим по этому базису векторы:

Пусть в этом базисе вектор имеет координаты (). Тогда связь координат этого вектора задается системой уравнений:

Решим систему методом Крамера.

Найдем главный определитель системы:

= 18 - 50 - 6 - (-5 - 24 +45) = -38 - 16 = -54

Найдем определители системы:

= 66 + 50 + 34 - (5 - 88 +255) = 150 - 172 = -22

= - 306 + 220 - 15 - (85 - 60 - 198) = -101 + 173 = 72

= 30- 425 - 132 - (-110 - 204 + 75) = -527 +239 = -288

==, = = , = = .

Таким образом, вектор имеет координаты: .

Пусть в этом базисе вектор имеет координаты (). Тогда связь координат этого вектора задается системой уравнений:

Решим систему методом Крамера.

-54

Найдем определители системы:

= 30 + 110 + 2 - (11 - 40 -15) = 142 - 44 = 98

= 18 - 33 +100 - (-5 - 132 - 90) = 85 + 227 = 312

= 66 + 25 - 60 - (-50 + 12 + 165) = 31 - 127 = -96

= = , = = , = = .

Таким образом, вектор имеет координаты: .

Задание 3. Для заданной квадратичной формы составить матрицу и проверить ее знакоопределенность по критерию Сильвестра-Якоби

Решение

Данную квадратичную форму можно представить в виде квадратичной формы с приведенными подобными членами:

q(x) =

q(x) =

отсюда:

- матрица данной квадратичной формы.

Согласно критерию Сильвестра-Якоби матрица А является положительно определенной в том и только том случае, если все ее угловые миноры положительны. При этом угловым минором матрицы А называется определитель матрицы, построенной из элементов матрицы А, стоящих на пересечении строк и столбцов с номерами.

- матрица положительно определенная.

Ответ.

Задание 4. Определить тип кривых второго порядка и построить их на чертеже

а) ,

б)

Решение

а)

=

- окружность с центром в точке О (2, -2) и радиусом 3.

б)

- эллипс с центром а точке О (-9, -2) и полуосями и .

Задание 5. Решить задачу с экономическим содержанием, применяя уравнения линейной зависимости или уравнение кривых 2-го порядка. Все зависимости у=у(х) и другие функции, заданные или полученные в процессе решения задачи, изобразить графически.

уравнение матрица квадратичный вектор

Урожайность 1 га поля возрастает прямо пропорционально квадрату количества используемых удобрений. Урожайность без использования удобрений 10 ц. Известно, что наибольшая урожайность достигается при использовании 2 кг удобрений на 1 га и она равна 20 ц. Составить аналитическую зависимость урожайности поля от количества использованных удобрений. Какое количество удобрений на 1 га надо использовать, чтобы получить урожайность 18 ц?

Решение

Урожайность поля зададим квадратичной функцией

y = ,

где - количество используемых удобрений на 1 га поля. По условию задачи, урожайность без использования удобрений 10 ц, математически это означает, что при = 0, у=10, следовательно, с=10. Найдем максимум функции, при котором достигается наибольшая урожайность:

=

По условию задачи, наибольшая урожайность достигается при использовании 2 кг удобрений на 1 га и она равна 20 ц. Следовательно,

.

= = 20, 4a - 8a = 10, a = - 2,5.

Тогда 10

Получим аналитическую зависимость урожайности поля от количества использованных удобрений:

y =

- график - парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем, какое количество удобрений на 1 га надо использовать, чтобы получить урожайность 18 ц

y = = 18

= 0

D = 100 - 42,5 = 100 - 80 = 20

= 2 1,1.

Ответ. 1,1.

Размещено на Allbest.ru