Теория Фредгольма

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

1. Теория Фредгольма

2. Однородные уравнения

3. Неоднородные уравнения

4. Определитель Фредгольма и основные результаты

5. Уравнения Фредгольма 1-го рода

6. Уравнения Фредгольма 2-го рода

1. Теория Фредгольма

интегральный фредгольм математика

Теория Фредгольма -- раздел теории интегральных уравнений; в узком смысле -- изучающий интегральные уравнения Фредгольма, в широкой трактовке -- представляющий совокупность методов и результатов в спектральной теории операторов Фредгольма и использующих понятие ядер Фредгольма в гильбертовом пространстве.

Названа в честь основного разработчика -- шведского математика Эрика Ивара Фредгольма.

2. Однородные уравнения

Большая часть теории Фредгольма касается нахождения решений интегрального уравнения:

Данное уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики, как обращение дифференциального уравнения. То есть, ставится задача решить дифференциальное уравнение:

где функция f -- задана, а g -- неизвестна. Здесь L -- линейный дифференциальный оператор. Например, можно взять за L эллиптический оператор:

в таком случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона. Общий метод решения таких уравнений состоит в том, чтобы посредством функций Грина, то есть, не действуя впрямую, попытаться решить уравнение:

где - дельта-функция Дирака. Далее:

Данный интеграл написан в форме интегрального уравнения Фредгольма. Функция K(x,y) известна как функция Грина, или ядро интеграла. В общей теории, x и y могут принадлежать любому многообразию; вещественная прямая или m-мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали к заданному функциональному пространству: часто, пространству квадратично интегрируемых функций или пространству Соболева.

Фактически используемое функциональное пространство часто определяется в решении задачи на собственные значения дифференциального оператора; то есть по решениям:

Где -- собственные числа, а -- собственные векторы. Множество собственных векторов образует банахово пространство, а, где существует естественное скалярное произведение, то и гильбертово пространство, на котором имеет место теорема Рисса. Примерами таких пространств служат ортогональные многочлены, которые встречаются в виде решений класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Бамнахово пространство -- нормированное векторное пространство, полное по метрике, порождённой нормой. Основной объект изучения функционального анализа. Если задать гильбертово пространство, то ядро может быть записано в форме:

Где -- двойственен к . В данной форме, объект K(x,y) часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма. То, что это то же самое ядро, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно:

Поскольку обычно возрастает, то результирующие собственные значения оператора K(x,y) убывают к нулю.

3. Неоднородные уравнения

Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма:

может быть написано формально как:

Тогда формальное решение:

Решение в этой форме известно как резольвентный формализм, где резольвента определена как оператор

Заданному набору собственных векторов и собственных значений K можно сопоставить резольвенту конкретного вида:

с решением:

Необходимое и достаточное условие существования такого решения -- одна из теорем Фредгольма. Резольвента обычно раскладывается в ряд по степеням

,

в таком случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана. Тогда интегральное уравнение записывается как:

Ряд Лиувимлля -- Немймана в интегральном исчислении -- бесконечный ряд, соответствующий решению интегрального уравнения Фредгольма с непрерывным малым ядром.

Резольвента пишется в альтернативной форме:

4. Определитель Фредгольма и основные результаты

Определитель Фредгольма обычно определяется как:

, где

,

и так далее.

Соответствующая дзета-функция:

Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты. Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем; это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана, однако в случае теории Фредгольма соответствующее ядро неизвестно. Существование данного ядра известно как гипотеза Гильберта -- Пойа.

Классические результаты данной теории -- это теоремы Фредгольма, одна из которых альтернатива Фредгольма. Один из результатов теории это то, что указанное ядро -- это компактный оператор, где пространство функций -- это пространство равностепенно непрерывных функций. Выдающимся родственным результатом является теорема об индексе, относящаяся к индексу эллиптических операторов на многообразиях.

5. Уравнения Фредгольма 1-го рода

Уравнения Фредгольма 1-го рода выглядят так же, как и уравнение Фредгольма 2-го рода, только в них отсутствует часть, содержащая неизвестную функцию вне интеграла:

при этом ядро и свободный член удовлетворяют условиям, сформулированным для уравнений Фредгольма 2-го рода.

6. Уравнения Фредгольма 2-го рода

Уравнения Фредгольма 2-го рода -- это уравнения вида:

Пределы интегрирования могут быть как конечными, так и бесконечными. Переменные удовлетворяют неравенству: ,а ядро и свободный член должны быть непрерывными: , либо удовлетворять условиям:

Ядра, удовлетворяющие последнему условию, называют фредгольмовыми.

Если на , то уравнение называется однородным, иначе оно называется неоднородным интегральным уравнением.

Размещено на Allbest.ru