Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 512.53

Піднапівгрупова будова напівгруп стискуючих перетворень

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації

на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Стронська Ганна Олександрівна

Київ - 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі алгебри та математичної логіки Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук, доцент Ганюшкін Олександр Григорович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри алгебри та математичної логіки.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Протасов Ігор Володимирович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, провідний науковий співробітник кафедри дослідження операцій.

кандидат фізико-математичних наук, доцент Іщук Юрій Богданович, Львівський національний університет імені Івана Франка, доцент кафедри алгебри і логіки.

Захист відбудеться 22 жовтня 2007 року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д26.001.18 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою:03127, м. Київ, проспект акад. Глушкова, 6, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий 18 вересня 2007 року.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради В. В. Плахотник

АНОТАЦІЇ

Стронська Г. О. Піднапівгрупова будова напівгруп стискуючих перетворень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2007.

Дисертаційна робота присвячена дослідженню піднапівгрупової будови напівгруп стискуючих перетворень, зокрема, будови її нільпотентних піднапівгруп. нільпотентний множина ізоморфність

Описано структуру максимальних нільпотентних піднапівгруп даного ступеня нільпотентності для напівгрупи стискуючих перетворень довільної частково впорядкованої множини з найменшим елементом. Класифіковано з точністю до ізоморфізму максимальні нільпотентні піднапівгрупи напівгрупи стискуючих перетворень ланцюга. Описано групи автоморфізмів максимальних нільпотентних піднапівгруп нільпотентності напівгрупи стискуючих перетворень ланцюга. Отримано критерії ізоморфності двох максимальних нільпотентних піднапівгруп для напівгрупи стискуючих перетворень довільної частково впорядкованої множини з нулем та напівгрупи стискуючих перетворень булеану скінченної множини.

Ключові слова: нільпотентні напівгрупи, напівгрупа стискуючих перетворень, частково впорядковані множини, булеан.

Стронская A. А. Подполугрупповое строение полугрупп сжимающих преобразований. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2007.

Диссертационная работа посвящена исследованию подполугруппового строения полугрупп сжимающих преобразований, в частности, структуре ее нильпотентных подполугрупп.

Получено описание структуры максимальных нильпотентных подполугрупп данного класса нильпотентности для полугруппы сжимающих преобразований произвольного частично упорядоченного множества с наименьшим элементом, в частности, установлено взаимнооднозначное соответствие между максимальными нильпотентными подполугруппами данного класса нильпотентности полугруппы сжимающих преобразований произвольного частично упорядоченного множества с наименьшим элементом и упорядоченными разбиениями данного множества без наименьшего элемента на блоков специального типа. Получен критерий изоморфизма двух максимальных нильпотентных подполугрупп данного класса нильпотентности полугруппы сжимающих преобразований произвольного частично упорядоченного множества с наименьшим элементом.

Проведено исследование проблем изоморфизма максимальных нильпотентных подполугрупп данного класса нильпотентности полугруппы сжимающих преобразований луча (конечный и бесконечный случаи). Получен результат о неизоморфности максимальных нильпотентных подполугруп конечной степени нильпотентности полугрупп сжимающих преобразований лучей.

Описаны группы автоморфизмов максимальных нильпотентных подполугрупп данного класса нильпотентности полугруппы сжимающих преобразований луча - показано, что группа автоморфизмов максимальной нильпотентной подполугруппы полугруппы сжимающих преобразований луча степени нильпотентности больше может быть представлена в виде полупрямого произведения прямых сумм симметричных групп, что группа автоморфизмов максимальной нильпотентной подполугруппы полугруппы сжимающих преобразований луча степени нильпотентности изоморфна симметричной группе, и что группа автоморфизмов максимальной нильпотентной подполугруппы полугруппы сжимающих преобразований луча может быть представлена в виде прямых сумм циклических групп порядка .

Получены формулы для подсчета количества максимальных нильпотентных полугрупп степеней нильпотентности , и сжимающих отображений конечного линейно-упорядоченного множества.

В случае полугруппы сжимающих отображений булеана - упорядоченного по включению множества всех подмножеств конечного множества - по сравнению со случаем полугруппы сжимающих преобразований произвольного частично упорядоченного множества усилено критерий изоморфности двух максимальных нильпотентных подполугрупп данного класса нильпотентности. Кроме того, приведен пример двух различных изоморфных максимальных нильпотентных подполугрупп полугруппы сжимающих отображений булеана.

Ключевые слова: нильпотентные полугруппы, полугруппа сжимающих отображений, частично упорядоченные множества, булеан.

Stronska G. O. Structure of the subsemigroups of the order-decreasing transformations' semigroup. - Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences in speciality 01.01.06 - algebra and number theory. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2007.

Thesis is devoted to the study of subsemigroup construction of the order-decreasing transformations' semigroup and construction of its nilpotent subsemigroups in particular.

The structure of maximal nilpotent subsemigroups of a given nilpotency degree for the semigroup of order-decreasing transformations of an arbitrary poset with zero is described. Maximal nilpotent subsemigroups of the semigroup of order-decreasing transformations of a chain are classified to isomorphism. Groups of automorphisms of maximal nilpotent subsemigroups of the semigroup of order-decreasing transformations of a chain are described. Criteria for two maximal nilpotent subsemigroups to be isomorphic are derived for the semigroup of order-decreasing transformations of an arbitrary poset with zero and the semigroup of order-decreasing transformations of the power set of a finite set.

Keywords: nilpotent semigroups, semigroup of order-decreasing transformations, posets, power set.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. У дисертаційній роботі розглядаються напівгрупи перетворень частково впорядкованих множин. Вивчається будова піднапівгруп, зокрема, їх кількість, класифікація піднапівгруп із точністю до ізоморфізму. Головна увага зосереджується на будові нільпотентних піднапівгруп.

Дослідження у теорії напівгруп фактично почалися у 20-х рр. XX-го століття, дещо пізніше, ніж дослідження груп та кілець. Перший нетривіальний результат в області напівгруп - теорему про будову 0-простих напівгруп - отримав харківський математик Антон Сушкевич. В середині XX-го століття увага до теорії напівгруп зростає завдяки дослідженням Ріса, Гріна, Ляпіна, Кліфорда та Престона. Вихід біля 1960 р. монографій Ляпіна та Кліфорда-Престона остаточно виділив теорію напівгруп в окремий розділ алгебри.

На сьогоднішній день теорія напівгруп є актуальним і перспективним напрямком наукових досліджень. Вона має тісні зв'язки з багатьма розділами математики - як власне алгебраїчними (наприклад, теорією груп), так і іншими, наприклад, функціональним аналізом, диференційною геометрією, теорією автоматів. Зокрема, теорія напівгруп має важливе значення для теоретичних комп'ютерних наук завдяки зв'язку псевдо-многовидів напівгруп із многовидами формальних мов.

Дослідження в теорії напівгруп умовно можна розділити на два великі класи: 1) дослідження абстрактних властивостей напівгруп і класів напівгруп, що виділяються такими властивостями - інверсні напівгрупи, регулярні напівгрупи, напівгрупи зі скороченням та ін.; 2) дослідження конкретних напівгруп. Серед останніх найбільшу роль відіграють напівгрупи перетворень.

Це викликано кількома важливими причинами. По-перше, напівгрупи перетворень різних множин (можливо, із додатковими структурами, наприклад, частково впорядкованих множин) є невичерпним джерелом різних прикладів цікавих напівгруп. По-друге, загальні методи досліджень напівгруп найчастіше спочатку перевіряють саме на напівгрупах перетворень.

Оскільки клас напівгруп перетворень є досить широким, то доцільно вивчати його підкласи. Цим зумовлено те, що в останні роки неухильно зростає кількость робіт і навіть монографій, присвячених конкретним напівгрупам. Тому тема дисертації, в якій досліджується клас напівгруп стискуючих перетворень, є сучасною і актуальною.

Напівгрупи стискуючих перетворень фактично з'явились у монографії французького математика Піна у зв'язку з деякими питаннями формальних мов. Згодом ці напівгрупи привернули увагу класиків теорії напівгруп Хіггінса та Хав'є, які досліджували комбінаторні властивості таких напівгруп. Пізніше напівгрупи вивчаються у роботах Умара, Верніцького, Удомкаваніча, Юпапорн Кемпразіт, Сайто, Аокі та Каджіторі. Слід відмітити, що вивчався в основному випадок напівгрупи стискуючих перетворень скінченного ланцюга. Тому природньо постають задачі про дослідження напівгруп стискуючих перетворень інших частково впорядкованих множин.

При дослідженні конкретної напівгрупи виникає необхідність вивчення її піднапівгрупової будови. Оскільки нільпотентні напівгрупи являють собою потужний клас (для напівгруп скінченних порядків нільпотентність швидше є правилом, ніж винятком), то доцільність вивчення нільпотентних піднапівгруп різних напівгруп не викликає сумнівів. Оскільки множина нільпотентних піднапівгруп напівгрупи із нулем є частково впорядкованою за відношенням включення, цілком природнім є питання про вивчення будови максимальних елементів цієї множини. Ця проблема має початок, як мінімум, із роботи Грехема, в якій описується структура максимальних нільпотентних піднапівгруп 0-простої напівгрупи. У ряді недавніх робіт проблема досліджувалася для різних класів напівгруп перетворень. Те, що піднапівгрупова будова напівгрупи стискуючих перетворень і, зокрема будова її нільпотентних піднапівгруп, практично не вивчалася, і зумовлює актуальність теми дисертаційного дослідження.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційної роботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри алгебри та математичної логіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка, № 06БФ038 "Розробка алгебраїчних та геометричних методів дослідження з використанням комбінаторних та категорних підходів", що виконується на кафедрі алгебри та математичної логіки механіко-математичного факультету Київського Національного університету імені Тараса Шевченка (номер державної реєстрації № 0106U005862).

Мета i задачi дослiдження. Метою дослідження є вивчення піднапівгрупової будови напівгруп стискуючих перетворень.

Об'єкт дослідження - напівгрупи стискуючих перетворень частково впорядкованих множин.

Предмет дослідження - зв'язок будови частково-впорядкованих множин з будовою піднапівгруп, зокрема, нільпотентних піднапівгруп, напівгрупи стискуючих перетворень цієї множини.

Методи дослідження. У дисертаційній роботі використовуються методи комбінаторного аналізу та алгебраїчної теорії напівгруп. Зокрема, для опису структури нільпотентних піднапівгруп напівгрупи стискуючих перетворень використовується спеціальна техніка співставлення максимальних нільпотентних піднапівгруп із впорядкованими розбиттями. Для опису груп автоморфізмів максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи стискуючих перетворень променя використано стандартні конструкції теорії груп.

Наукова новизна одержаних результатiв. У дисеpтацiї вперше отримано нові теоретичні результати:

описано структуру піднапівгруп, що є максимальними серед усіх нільпотентних піднапівгруп даного ступеня нільпотентності у напівгрупі стискуючих перетворень довільної частково впорядкованої множини з найменшим елементом (встановлено взаємно однозначну відповідність між такими піднапівгрупами та спеціальними впорядкованими розбиттями даної частково впорядкованої множини);

класифіковано максимальні нільпотентні піднапівгрупи напівгрупи стискуючих перетворень променя (скінченний та нескінченний випадки);

для ступенів нільпотентності 3 та 4 підраховано кількість нільпотентних піднапівгруп, що є максимальними серед усіх нільпотентних піднапівгруп даного ступеня нільпотентності напівгрупи стискуючих перетворень скінченного ланцюга;

отримано необхідні умови ізоморфності двох нільпотентних піднапівгруп, що є максимальними серед усіх нільпотентних піднапівгруп даного ступеня нільпотентності у напівгрупі стискуючих перетворень довільної частково впорядкованої множини;

отримано необхідні умови ізоморфності двох нільпотентних піднапівгруп, що є максимальними серед усіх нільпотентних піднапівгруп даного ступеня нільпотентності у напівгрупі стискуючих перетворень булеану скінченної множини.

Практичне значення одержаних результатiв. Результати дисертації мають теоретичний характер. Вони можуть бути використані в спеціальних курсах і в дослідженнях з теорії напівгруп.

Особистий внесок здобувача. Усі результати дисертаційної роботи одержано самостійно.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Основні результати дисертації доповідались на:

- засіданнях семінару з теорії груп та напівгруп при кафедрі алгебри та математичної логіки механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (м. Київ, 2003-2006);

- четвертій Міжнародній алгебраїчній конференції (м. Львів, 2003);

- десятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (м. Київ, 2004);

- п'ятій Міжнародній алгебраїчній конференції (м. Одеса, 2005);

- одинадцятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М.Кравчука (м. Київ, 2006);

- засіданні Київського алгебраїчного семінару (Київ, 2007).

Публiкацiї. Основні результати дисертації опубліковані в 8 наукових роботах [1-8]. З них 4 статті у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України, та 4 тези доповідей на міжнародних математичних конференціях.

Структура та обсяг дисертацiї. Дисертація складається зі вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел, який містить 52 найменування. Повний обсяг роботи становить 110 сторінок, з них 5 сторінок використаних джерел.

Автор висловлює щиру подяку науковому керівнику Ганюшкіну О.Г. за постійну увагу, консультації та корисне обговорення результатів.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційного дослідження, визначено його мету та задачі.

У першому розділі наведено короткий історичний огляд літератури за тематикою дисертації та висвітлено сучасний стан вивчення проблем, схожих до тих, що розглядаються в дисертаційній роботі.

У другому розділі наведено необхідні означення та твердження, що використовуються у дисертаційній роботі.

У підрозділі 2.1 наводяться основні означення з теорії нільпотентних напівгруп та твердження, що використовується для опису структури максимальних нільпотентних піднапівгруп даного ступеня нільпотентності.

У підрозділі 2.2 наводиться означення напівгрупи стискуючих перетворень з пониженням порядку та основні результати досліджень цієї напівгрупи.

Означення 2.2.1. Перетворення на частково впорядкованій множині називається стискуючим перетворенням, або перетворенням з пониженням порядку, якщо для будь-якого m із виконується нерівність .

Множина всіх стискуючих повних перетворень множини є піднапівгрупою напівгрупи всіх стискуючих повних перетворень множини .

Третій розділ присвячено випадку напівгрупи стискуючих перетворень довільної частково впорядкованої множини з найменшим елементом. Розділ має допоміжний характер. У ньому наводяться деякі результати, що стосуються напівгруп стискуючих перетворень довільних частково впорядкованих множин із найменшим елементом, і які використовуються у подальших розділах при дослідженні конкретних напівгруп.

У підрозділі 3.1 описуються нільпотентні елементи стискуючих перетворень довільної частково впорядкованої множини з найменшим елементом.

Твердження 3.1.1. Нехай довжина максимального ланцюга з дорівнює n.

Елемент із є ніль-елементом тоді і тільки тоді, коли множина нерухомих точок відображення містить лише один елемент із , а саме 0;

ступінь нільпотентності довільного ніль-елемента строго менший за n;

всі ніль-елементи утворюють піднапівгрупу, зокрема, у існує єдина максимальна нільпотентна піднапівгрупа і її ступінь нільпотентності на одиницю менший за довжину максимального ланцюга у , тобто дорівнює n-1 .

У підрозділі 3.2 досліджується структура максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи стискуючих перетворень частково впорядкованих множин з найменшим елементом.

Нехай k>2. Позначимо через множину впорядкованих розбиттів множини на k непорожніх блоків

Через позначимо множину всіх піднапівгруп напівгрупи , які є максимальними серед всіх нільпотентних піднапівгруп ступеня цієї напівгрупи.

Нехай - найбільший з індексів p, для яких множина непорожня. З того, що напівгрупа T має ступінь нільпотентності k, ми одержуємо рівність . Легко бачити, що для будь-яких i, j, менших за k,Визначимо розбиття множини як сукупність блоків

Теорема 3.2.1. Відображення та , визначені наступним чином є взаємно-оберненими і визначають взаємно-однозначну відповідність між множиною розбиттів множини на k блоків, що задовольняють умови (1)-(2), та множиною напівгруп, що є максимальними серед всіх максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи ступеня нільпотентності k.

У підрозділі 3.3 дано означення та описано властивості спеціального відношення еквівалентності , яке використовується при доведенні багатьох результатів в цьому і подальших розділах.

У підрозділі 3.4 доведено ряд лем загального характеру, які використовуються у подальших розділах. Виділено ряд так званих абстрактних властивостей довільної напівгрупи із , тобто таких, що зберігаються при довільних ізоморфізмах цієї піднапівгрупи. Крім того, встановлено необхідні умови ізоморфності двох максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи стискуючих перетворень довільної частково впорядкованої множини з найменшим елементом.

Теорема 3.4.1 Нехай і - ізоморфні напівгрупи із відповідні розбиття із , - множина максимальних елементів. Тоді для всіх , множини та скінченні або нескінченні одночасно; якщо множини та скінченні, то виконується рівність У четвертому розділі розглянуто напівгрупу стискуючих перетворень ланцюга (скінченний та нескінченний випадки).

Підрозділ 4.1 присвячено допоміжним результатам, які використовуються в цьому розділі.

Підрозділ 4.2 присвячено дослідженню питань ізоморфізма піднапівгруп, що є максимальними серед усіх нільпотентних піднапівгруп даного ступеня нільпотентності. Основним результатом підрозділу є класифікація з точністю до ізоморфізму всіх максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгруп стискуючих перетворень ланцюгів (як скінченних, так і нескінченних).

Теорема 4.2.1. Елементи розбиття відновлюються з абстрактних властивостей напівгрупи T.

Теорема 4.2.2. Нехай - скінченна лінійно-впорядкована множина або зі звичайним відношенням порядку, k>2. Тоді всі напівгрупи із попарно неізоморфні.

Твердження 4.2.3. Нехай позначає множину всіх піднапівгруп напівгрупи стискуючих перетворень множини зі звичайним відношенням порядку, що є максимальними серед всіх нільпотентних піднапівгруп ступеня нільпотентності . Тоді всі напівгрупи із попарно неізоморфні.

Означення 4.3.1. Визначимо відношення еквівалентності на множині елементів .

Означення 4.3.2. Для кожного з блоків , визначимо розбиття де блоки розбиття визначаються наступним відношенням еквівалентності виконується рівність тоді і тільки тоді, коли для будь-яких виконується рівність порядок блоків визначається нерівностями.

У підрозділі 4.4 виведено формули підрахунку кількості максимальних нільпотентних піднапівгруп для напівгруп стискуючих перетворень скінченних ланцюгів малих ступенів нільпотентості - 2, 3 та 4.

У підрозділі 4.5 описано властивості максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи стискуючих перетворень скінченного ланцюга, які мають максимальний порядок серед піднапівгруп даного типу.

У п'ятому розділі розглянуто напівгрупу стискуючих перетворень булеану, тобто впорядкованої за включенням множини всіх підмножин скінченої множини з n елементів.

У підрозділі 5.1 вивчаються комбінаторні властивості напівгрупи стискуючих перетворень булеану скінченної множини, пораховано порядок цієї напівгрупи і описано зовнішні відношення Гріна на ній. Крім того, доведено, що серед нільпотентних піднапівгруп є найбільша, та пораховано її порядок.

У підрозділі 5.2 вивчаються проблеми ізоморфізму двох максимальних піднапівгруп серед нільпотентних піднапівгруп даного ступеня, зокрема, отримано більш сильний у порівнянні з випадком довільної частково впорядкованої множини критерій ізоморфності двох напівтруп.

Проте аналог теореми 4.2.2 для напівгрупи стискуючих перетворень булеану скінченної множини не має місця. Наведено приклад ізоморфних напівгруп, що відповідають різним розбиттям. У твердженні 5.2.2 для напівгрупи із, відповідне розбиття якої задовольняє спеціальним умовам, доведено існування ізоморфної напівгрупи. У прикладі 5.2.1 наведені розбиття, що задовольняють цим умовам , (жирним шрифтом виділено та в позначеннях твердження).

ВИСНОВКИ

В дисертаційній роботі досліджуються напівгрупи стискуючих перетворень частково впорядкованих множин з найменшим елементом. Вивчається структура піднапівгруп, що є максимальними серед нільпотентних піднапівгруп даного ступеня нільпотентності цієї напівгрупи. Окремо розглядаються випадки, коли частково впорядкована множина є лінійно-впорядкованим ланцюгом або булеаном - множиною всіх підмножин даної скінченної множини. В доведенні більшості результатів використовується зв'язок максимальних нільпотентних піднапівгруп частково впорядкованої множини зі спеціальними впорядкованими розбиттями цієї множини. Основними результатами дисертаційної роботи є:

- опис структури максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи стискуючих перетворень довільної частково впорядкованої множини з найменшим елементом;

- класифікація максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи стискуючих перетворень променя (скінченний та нескінченний випадок);

- отримання формул для підрахунку кількості максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи стискуючих перетворень скінченного ланцюга для ступенів нільпотентності та ;

- отримання критеріїв ізоморфізму для максимальних нільпотентних піднапівгруп напівгрупи стискуючих перетворень довільної частково впорядкованої множини та напівгрупи стискуючих перетворень булеану скінченної множини.

ПУБЛІКАЦІЇ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Stronska A. Nilpotent subsemigroups of the semigroup of order-decreasing transformation. // Математичні Студії. - 2004. - №. 22-2. - С. 184 - 197.

2. Стронська Г.О. Напівгрупа стискуючих перетворень булеану скінченної множини. // Вісник Київського Університету. Серія:Фізико-математичні науки. - 2006. - №2. - P. 57-62.

3. Stronska A. On automorphisms for nilpotent subsemigroups of an order-decreasing transformation semigroup. // Известия Гомельского государственного университета имени Ф.Скорины. - 2007. - №2. - С. 38-49.

4. Stronska A. Nilpotent subsemigroups of a semigroup of order-decreasing transformations of a rooted tree. // J. Algebra and Discrete Mathematics. - 2006. - №4. - P. 126-140.

5. Stronska A. Automorphisms of nilpotent subsemigroups of the order-decreasing transformations' semigroup // Тези доп. V-ї Міжнародної алгебраїчної конференції в Україні. - Одеса, 2005. - С. 205-206.

6. Stronska A. Semigroup of order-decreasing transformations // Тези доп. X Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ, 2004. - С. 521.

7. Stronska A. Nilpotent semigroups with 0-cancellation. // Тези доп. IV-ї Міжнародної алгебраїчної конференції в Україні. - Львів, 2003. - С. 205-206.

8. Stronska A. Nilpotent subsemigroups of the semigroup of order-decreasing transformations of the set of all the subsets of a finite set // Тези доп. XI Міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука. - Київ, 2004. - С. 521.

Размещено на Allbest.ru