Основи якісної теорії різницевих рівнянь з неперервним аргументом

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Різницеві рівняння, що беруть свій початок щез часів Евкліда, переживають в останні десятиліття період ренесансу. Сучасна теорія різницевих рівнянь є однією з основних складових м-тематичного апарату нелінійної динаміки ? міжгалузевої дисципліни, яка вивчає загальні закономірності складних нелінійних процесів найрізноманітнішої природи. Різницеві рівняння виявляються дуже добре пристосованими для моделювання багатьох реальних нелінійних систем у природознавстві і техніці, адекватний опис яких неможливий без залучення таких понять, як хаос, фрактал, каскадний процес утворення структур, перемішування. З фізичної точки зору це пояснюється тим, що різницеві рівняння у математичний спосіб віддзеркалюють одну з фундаментальних властивостей матеріального світу ? його дискретність.

Починаючи з середини 70-х років ХХ століття, нелінійні різницеві рівняння та породжувані ними динамічні системи (головним чином, саме останні) привертають значну увагу багатьох математиків, зокрема, Д.В. Аносова, В.І. Арнольда, А.Б. Катка, С. Смейла, А.Н. Шарковського, Л.С. Блока, Р. Боуена, М. Кучми, Г. Лядаса, Дж. Мілнора, М. Мішюревича, Г.П. Пелюха, С. ван Стриена, М.В. Якобсона. Різним аспектам теорії різницевих рівнянь присвячено велику кількість статей та монографій, засновано кілька міжнародних журналів, присвячених виключно цим рівнянням (найбільш відомий ? Journal on Difference Equations and Applications). При цьому зусилля спеціалістів зосереджувалися переважно на різницевих рівняннях з дискретним аргументом. Якісна теорія таких рівнянь (іншими словами, топологічна динаміка дискретних динамічних систем) розвинута досить глибоко і всебічно, особливо у розмірності один.

Що стосується різницевих рівнянь з неперервним аргументом (РРН), то ще на початку минулого століття створено завершену теорію лінійних рівнянь, головним чином в роботах Дж. Біркгофа і його учнів. Для нелінійних рівнянь також отримано багато важливих результатів, але для окремих класів рівнянь і для окремих класів розв'язків; загальної теорії не створено навіть для найпростішого рівняння x(t+1) = f(x(t)), t R+, ? неперервного аналога дискретного рівняння xn+1 = f(xn), n Z+ (яке, до речі, дало початок цілому напрямку в теорії динамічних систем ? топологічній динаміці одно- та маловимірних систем). Такий стан справ зумовлений, зокрема, тим, що принципова відмінність РРН від звичайних диференціальних рівнянь виявляється в повній мірі, коли рівняння нелінійні. Тому ефективне дослідження нелінійних РРН не може спиратись лише на класичну теорію диференціальних рівнянь, вивчення багатьох питань теорії РРН потребує істотно інших ідей. Звичайно, аналіз РРН в значній мірі ґрунтується на теорії дискретних різницевих рівнянь, але разом з тим зовсім не є її простим технічним розповсюдженням.

Побудова цілісної теорії нелінійних різницевих рівнянь з неперервним аргументом є актуальною задачею, нагальність якої викликана як потребами самої теорії різницевих рівнянь, так і потребами прикладного характеру, зокрема, потребами математичної фізики, теорії диференціально-різницевих рівнянь, теорії хаосу в розподілених еволюційних системах.

Дослідження дисертації зосереджено на таких задачах:

побудова основ якісної теорії нелінійних різницевих рівнянь:

x(t+1) = f(x(t)), t R+,

розповсюдження і узагальнення одержаних результатів на різного роду еволюційні задачі, в тому чи іншому сенсі близькі до різницевих рівнянь;

застосування різницевих рівнянь для моделювання явищ самоорганізації та детермінованого хаосу.

1. Завдання дисертації і стисла характеристика розглядуваних проблем, та виклад оригінальних підходів до аналізу динамічних (недисипативних) систем на некомпактних функціональних просторах, що становить основну методологію подальших досліджень дисертації

Сформульовано задачі дисертації і окреслено загальні ідеї та методи їх розв'язання. Головне завдання ? побудова основ якісної теорії різницевих рівнянь з неперервним аргументом вигляду:

x(t+1) = f(x(t)), t R+. (1)

Друге важливе завдання ? застосування одержаних результатів до різного роду еволюційних задач.

На відміну від диференціальних, різницеві рівняння не обумовлюють ні гладкості, ні неперервності розв'язків. Ми розглядаємо розв'язки, неперерeвні на півосі R+ . Такі розв'язки породжуються тими і тільки тими початковими функціями, для яких виконуються умови узгодженості. Досліджувати рівняння (1) запропоновано методом переходу до індукованої ним нескінченновимірної (дискретної) динамічної системи.

Цей метод взагалі широко використовується в теорії еволюційних задач, але в даному випадку його застосування стикається з істотними труднощами, обумовленими некомпактністю фазового простору C([0,1],I). Некомпактність призводить до того, що у типових ситуаціях система не є дисипативною і її атрактор не можна описати, залишаючись у просторі C([0,1],I). Поняття глобального атрактора, загальновживане в математичній фізиці, стає неприйнятним, а стандартні методи теорії динамічних систем на компактних просторах не застосовні безпосередньо і потребують модернізації.

Дослідження спрямовано на вирішення цієї проблеми в загальній постановці. Паралельно обговорюються специфічні особливості динамічних систем, які гіпотетично можуть виникати через некомпактність фазового простору, наприклад, атрактор системи може містити фрактальні або випадкові функції. Нехай маємо динамічну систему:

{ C k(D,E), T, S t } (2)

Нехай у цієї системи є некомпактні траєкторії. В абстрактній теорії динамічних систем існує багато версій поняття атрактор. Що ж до динамічних систем на функціональних просторах, то досить розвинутою є теорія дисипативних систем, в якій під глобальним атрактором розуміють найменшу множину у фазовому просторі, що притягує всі траєкторії. Цей підхід бере початок в теорії крайових задач для рівнянь з частинними похідними параболічного типу, для яких наведене означення глобального атрактора є природним, оскільки таким задачам як правило відповідають динамічні системи з компактними траєкторіями, а їх атрактори є скінченновимірними підмножинами фазового простору. Коли у системи існують некомпактні траєкторії, таке означення глобального атрактора стає неприйнятним. Щоб побудувати глобальний атрактор, необхідно переходити у функціональні простори, ширші за простір гладких функцій і наділені метриками, які б забезпечували таке поповнення вихідного простору C k(D,E), що початкові функції C k(D,E) які породжують траєкторії, компактні у розширеному просторі, утворювали б у C k(D,E) масивну підмножину. Як-що такий ширший простір C * з метрикою с* відшукано, то можна запропонувати змістовне поняття глобального атрактора у просторі C *; наприклад, як аналога Generic Limit Set Дж. Мілнора для систем на некомпактних просторах. Означення. Під граничною множиною у просторі C * траєкторії S t [ ] системи (2) будемо розуміти множину:

щ *[] = { ш C *: t i > ? така, що с * (S ti [], ш) > 0 при i > ? }.

Означення A. Під глобальним атрактором у просторі C * системи будемо розуміти найменшу замкнену множину A * C * таку, що щ * [ ] A* для всіх C k(D,E) за виключенням, можливо, множини першої берівської категорії (у C k -топології).

Отже, глобальний атрактор ? це найменша замкнена множина у розширеному фазовому просторі C *, яка притягує резидуальну підмножину вихідного простору C k(D,E). В означенні атрактора слова “множина першої берівської категорії” можна замінити на будь-які інші, що виокремлюють певну мізерну підмножину початкових функцій ? мізерну у тому сенсі, що функціями з цієї множини можна знехтувати в рамках конкретної задачі. Наприклад, заміна на “множина міри нуль” дає аналог Likely Limit Set Дж. Мілнора. Наведені міркування ніяк не пов'язані з тим, що фазовим простором є простір C k-гладких функцій, і отже, формально є застосовними до систем з будь-якими фазовими просторами. Інша справа, чи будуть ці міркування змістовними.

Коли система (2) рівномірно неперервна відносно метрики с*, то вона індукує на C * за неперервністю систему, яку назвемо * ? розширеною системою. Множина A * є інваріантною відносно дії * ? розширеної системи, і отже, * ? розширена система задає рух на атракторі вихідної системи (3), що дозволяє охарактеризувати його будову.

При реалізації цього підходу слід зважати на такі “фізичні” міркування. Щоб дослідити функцію S t[ ](y) при t за наявності великих градієнтів по y і по t, зокрема, проаналізувати її в точці y = y*, треба приймати до уваги значення S t[ ](y) не лише в точці y = y*, але і в деякому околі цієї точки. Якщо йдеться про всі y D, то, зменшуючи, треба віднайти “оптимальне розрізнення” для конкретної задачі ? мале але скінчене значення. Це означає, що шукані метрики повинні здійснювати не потокове порівняння функцій, а порівнювати значення функцій в деяких “оптимальних” околах точок.

Для здійснення цієї “стратегії” пропонуються два ширші простори:

простір SC(D,2E) напівнеперервних зверху функцій з метрикою,

простір (D,E) функцій, заданих їх скінченновимірними розподілами (тобто простір, що складається з випадкових і вимірних детермінованих функцій), з метрикою.

Дозволяє легко зрозуміти топологічний сенс збіжності у просторі SCk(D,2E): збіжність послідовності функцій n до функції еквівалентна співвідношенню Lt n >? gr n = gr .

Сенс збіжності у просторі (D,E) є таким (підрозділ 3.3): якщо послідовність функцій n збігається до функції , то при n послідовність збігається до за мірою.

За розширений фазовий простір C * візьмемо простори C Д та C #, які є поповненнями простору C k(D,E) функціями з SC(D,2E) у метриці та функціями з (D,E) у метриці с* . Важливо зауважити, що простір C Д завжди “працює” : всі траєкторії системи (2) є компактними у C Д (відносно метрики сД), і отже, мають непорожні компактні граничні множини у C Д. Простір C # таких можливостей не надає.

Оскільки поповнення в метриці сД завжди ефективне, то для систем вигляду (2) типовою є ситуація, коли “точки” множини Д[ ] є розривними напівнеперервними зверху функціями. Це призводить, всупереч повній детермінованості, до неможливості на практиці точно визначити значення функції S t[ ](y) у деяких (або й у всіх) точках при великих t функція S t[ ](y) , як говорять, опиняється за горизонтом передбачуваності. Коли множина таких, “загоризонтних”, точок є масивною (в деякому розумному сенсі), то цією множиною не можна нехтувати і тоді слід говорити про хаотизацію поведінки функції S t[ ](y) із зростанням t і про необхідність залучення для її дослідження імовірнісних методів. В цьому випадку традиційне запитання:

“Яким є значення функції в точці?”

слід замінити на запитання:

“З якою ймовірністю значення функції в точці належатиме певній множині?”

Якщо для масивної множини станів C k(D,E) на останнє запитання можна дати відповідь, то в системі (2) має місце автостохастичність. Вимога масивності є істотною ? інакше комп'ютер майже напевно (з імовірністю 1) автостохастичності не виявить. Знайти згадані ймовірності дозволяє простір C #.

2. Дослідження з топологічної динаміки одновимірних відображень

Ініційовані потребами теорії різницевих рівнянь з неперервним часом. Разом з тим, результати розділу 2 мають самостійне значення з точки зору теорії одновимірних динамічних систем.

Розглядається динаміка околів точок під дією неперевного відображення f інтервалу . Асимптотична поведінка траєкторій зазвичай характеризується за допомогою граничних множин. Але у випадку розбігання близьких траєкторій цей підхід не дозволяє прогнозувати довгострокову динаміку як окремих траєкторій, так і системи в цілому, що, зокрема, призводить до необхідності розглядати поряд з траєкторіями точок і траєкторії околів точок. Для цієї мети запропоновано поняття множини точки і показано, що траєкторії околів нестійких точок є асимптотично періодичними ? їх динаміка, взагалі кажучи, значно простіша за динаміку траєкторій самих точок. Нехай D(f) ? розділювач відображення f.

Означення 2.1. Під множиною точки z I будемо розуміти множину:

щ f,е (z) = { J 2 I: n i > ? така, що J = Lt n >? f ni (U е (z)) }.

Отже, розглядати множини доцільно, взагалі кажучи, лише для нестійких точок. Твердження 2.1-2 дозволяє поставити у відповідність кожній нестійкій точці z D(f) ціле число, яке дорівнює періоду її області впливу Q f (z). Назвемо це число псевдоперіодом точки (для періодичної точки її псевдоперіод, взагалі кажучи, не збігається з її періодом, точніше, він є дільником періоду).

Теорема 2.1-1. Нехай z D(f) і p -- псевдоперіод точки z. Тоді при будь-якому >0 множина складається з невиродженних інтервалів Jj (е) = Lt n > ? f 2pi+j (U е (z)), j=0,1, 2p-1, які циклічно переставляються відображенням f.

Розглянуто півгрупу < f > = { f, f 2, . . . }. Введено поняття граничної пів-групи, яке дозволяє охарактеризувати поведінку ітерацій f n при n. Розглянуто зв'язок цього поняття з поняттям півгрупи Еліса. Вказано умови існування та побудовано граничні півгрупи в просторах неперервних та напівнеперервних зверху функцій; показано, що гранична півгрупа є періодичною або майже періодичною, тобто значно простішою за вихідну півгрупу < f >.

Ситуація є простою, коли півгрупа < f > скінчена, і зовсім нетривіальна в іншому випадку.

Теорема 2.2-1. Півгрупа < f > є скінченною, якщо і тільки якщо існує m1, для якого ацій f 2m = f m.

В типовій ситуації, коли півгрупа < f > нескінченна, спробуємо описати її властивості за допомогою іншої, простішої, півгрупи.

Означення 2.2-1. Нехай простір C(I,I) вкладено у наділений метрикою простір H (I, E) відображень h: I E, де E ? компакт. Якщо існує півгрупа < h >, h H, для якої (f n, h n) 0 при n, кажемо що < f > допускає граничну півгрупу < h > у просторі H.

Півгрупа < f > може допускати в H лише одну граничну півгрупу. Вибираючи за H той чи інший простір, можемо “відтворити” за допомогою граничної півгрупи асимптотичні властивості < f > з більшою або меншою інформативністю. Чи може < f > допускати граничну півгрупу у “своєму власному” просторі C(I,I) ? Може, але у виключних ситуаціях.

Теорема 2.2-2. Півгрупа < f > допускає граничну півгрупу в C(I,I) , якщо і тільки якщо півгрупа < f > скінчена.

Коли півгрупа < f > нескінченна, виберемо за H (компактний) простір SC(I ,2I) напівнеперервних зверху відображень з метрикою сД. Границю у SC(I, 2I) позначимо Lim. Знайдемо відображення f Д SC(I, 2I) таке, щоб f ? f Д було породжуючим елементом шуканої граничної півгрупи. Тоді < h > складатиметься з відображень f n ? f Д, n = 1,2.

Назвемо f Д резольвентним відображенням і запишемо, поки що формально,

f Д = Lim n > ? f n!

Теорема 2.2-3. Якщо f не має щ-інтервалів, для яких щ-гранична множина відмінна від циклу та замикання майже періодичної траєкторії, то резольвентне відображення існує.

Наведемо основні властивості f Д.

(1) Як функція з I в 2 I, функція f Д є напівнеперервною зверху.

(2) Як функція з I в I, функція f Д є.

? однозначною і неперервною на множині I \ D(f), і дорівнює константі всередині кожного щ - інтервалу відображення f;

? багатозначною на множині D(f) і її значення у кожній точці D(f) утворюють невироджений замкнений інтервал.

Означення 2.2-2. Множину значень функції f Д(z) при z D(f) назвемо спектром стрибків резольвентного відображення і позначимо J(f Д).

(3) У типових ситуаціях спектр стрибків J(f Д) є скінченним ? так само, як і множина значень функції f Д(z) при z I \ D(f).

(4) Якщо фрактальний вимір розділювача D(f) додатний, то графік функції f Д(z) є фрак-талом (його фрактальний вимір > 1).

Існування резольвентного відображення f Д ще не гарантує того, що півгрупа < f n ? f Д > буде граничною для півгрупи < f >.

Назвемо умовами граничної півгрупи такі умови:

(LSG) Відображення f не має щ-інтервалів, у яких щ-гранична множина відмінна від циклу та замикання майже періодичної траєкторії;

Для відображення f мають місце співвідношення.

Ці умови мають досить загальний характер, зокрема, виконуються для структурно стійких відображень.

Теореми 2.2-4 та 2.2-5. За (LSG)-умов півгрупа < f ? f Д > є граничною півгрупою для півгрупи < f > у просторі SC(I ,2I) . При цьому півгрупа < f ? f Д > є періодичною або майже періодичною.

3. Розвиток якісної теорії різницевих рівнянь з неперервним часом вигляду (1) та породжуваних ними динамічних систем

Аналіз рівняння (1) будується на переході до динамічної системи (2), породжуваної рівнянням на (некомпактному) просторі C([0,1],I) початкових функцій . Для дослідження асимптотичної динаміки системи (2), що становить і самостійний інтерес, застосовано загальний підхід до побудови глобального атрактора.

Теорема. Траєкторія S i[ ] системи (2) компактна, якщо траєкторії всіх точок z ([0,1]) є стійкими при відображенні f.

Обґрунтовано перехід до Д-розширеної системи з компактним фазовим простором і траєкторіями, що мають непорожні компактні щ-граничні множини.

Твердження. Динамічна система є неперервним продовженням динамічної системи (2).

Теорема. Нехай C([0,1] ,I), щ Д [ ] , t* [0,1]. Значення (t*) є одно-точковою множиною, якщо точка x* = (t*) не належить розділювачу. Значення (t*) є невиродженим (замкненим) інтервалом в іншому разі.

Коли щД[] ? цикл або замикання майже періодичної траєкторії, функції з щД[] можна описати в термінах резольвентного відображення f Д. Найпростіші формулювання маємо для , що задовольняють умови:

(TVS) якщо (t) є константою в околі t = t* , то (t *) D(f); якщо (t) має екстремум при t = t* , то (t *) D* (f).

Нехай F -- клас відображень f C(I, I), що задовольняють (LSG)-умови.

Теорема. Нехай f F, (f). Тоді щ-гранична множина траєкторії S i[ ] системи (2) є циклом Д-розширеної системи, якщо гранична півгрупа < f ? f Д > періодична, і замиканням майже періодичної траєкторії, якщо гранична півгрупа < f ? f Д > майже періодична.

Теоpема показує, по-перше, що типові траєкторії системи (2) ведуть себе просто: притягуються до циклів Д-pозшиpеної системи, а, по-друге, що “асимптотична структура” (при i) самої “точки” траєкторії є досить складною: вона визначається, взагалі кажучи, розpивною функцією (f Д ? )(t).

Модернізуємо поняття глобального атрактора, оскільки у застосуваннях можуть бути цікавими функції тієї чи іншої гладкості.

Означення. Під - глобальним атрактором у просторі C Д системи (2), k 0, будемо розуміти найменшу замкнену множину AДk CД таку, що щД[] AДk для всіх C k([0,1], I) за виключенням, можливо, множини першої категорії Беpа.

Теоpема. Якщо f F і D* (f) ? множина першої категорії, то k-глобальний атрактор системи (2) при k 1 складається з циклів і майже періодичних траєкторій Д -розширеної системи.

Підрозділ. присвячено математичному обґрунтуванню явища автостохастичності, гіпотетичне існування якого анонсоване у розділі 1 і пов'язане з переходом від системи (2) до # - розширеної системи, яка одержується поповненням підпростору несингулярних початкових функцій Cns([0,1], I) функціями з ([0,1], I) у метриці с#. Показано, що для кусково-монотонних несингулярних f # - розширена система дійсно є неперервним продовженням системи (2).

Постає питання: “Нехай mes D(f) > 0 (тоді траєкторії “потрапляють за горизонт передбачуваності”); за яких умов траєкторії # - розширеної (а отже, і вихідної) системи мають непорожні компактні - граничні множини ?”. Позначимо підмножину кусково-монотонних неперервних відображень f: I I таких, що (SIM) Відображення f є несингулярним;

Відображення f має ергодичну гладку інваріантну міру;

Носієм міри supp є (транзитивний) цикл інтервалів

, , , періоду ;

Міра еквівалентна мірі Лебега на ;

Відображення f p є перемішуючим відносно міри.

на кожному з інтервалів E i, i = 0,1, p-1;

, де ? границя басейну міри.

Відображення може мати не одну міру, що задовольняє (SIM)-умови. Характеристику структури множини таких мір дає таке твердження.

Висновки

детермінований різницевий асимптотичний недисипативний

В дисертації закладено основи нового напрямку в теорії різницевих рівнянь ? якісної теорії різницевих рівнянь з неперервним часом та її застосувань до диференціально-різницевих рівнянь і крайових задач математичної фізики; розвинуто нові підходи до моделювання просторово-часового хаосу. Дисертація також робить внесок у побудову теорії динамічних систем на некомпактних функціональних просторах.

Розвинуто загальний підхід до аналізу недисипативних динамічних систем на некомпактних функціональних просторах, який пропонує модифіковане означення глобального атрактора і включає побудову метрик сД та с#, що дозволяють поповнити фазовий простір напівнеперервними зверху функціями та випадковими функціями.

Введено поняття автостохастичності в детермінованих системах ? ситуації, коли атрактор містить випадкові функції. Показано, що це поняття є фізично реалізованим ? автостохастичність має місце в системах вигляду (2) на множині параметрів додатної міри.

Обґрунтовано можливість нового сценарію хаосу ? просторово-часовий хаос в розподілених системах, атрактори яких складаються з циклів, а хаотизація обумовлена складною внутрішньою структурою “точок” атрактора ? елементів певного функціонального простору.

Загальну схему дослідження асимптотичної динаміки систем на просторах C k-гладких функцій застосовано до систем вигляду (2), породжуваних різницевим рівнянням (1) та певними класами крайових задач для рівнянь з частинними похідними. Показано, що при поповненні в метриці сД глобальний атрактор завжди існує і в типових ситуаціях складається з періодичних та майже періодичних траєкторій розширеної системи. “Точки” атрактора ? напівнеперервні зверху функції ? у багатьох випадках мають дуже складну будову, зокрема, їх значення можуть бути інтервалами на канторовій множині або інтервалі. Застосування метрики с# дозволило дати математичне обґрунтування явища автостохастичності: при поповненні в метриці с# за досить загальних умов (головна ? наявність у f гладкої інваріантної міри) глобальний атрактор існує і складається з періодичних траєкторій, “точками” яких є випадкові функції.

Побудовано основи якісної теорії нелінійних різницевих рівнянь з неперервним часом x(t+1) = f(x(t)). Показано, що для типових рівнянь типовими є турбулентні розв'язки ? розв'язки, які прямують (у метриці Хаусдорфа для графіків) до напівнеперервних зверху функцій, що мають незліченну множину точок розриву на будь-якому інтервалі одиничної довжини. Дано їх класифікацію і вказано умови існування розв'язків того чи іншого типу. Описано низку нестандартних властивостей турбулентних pозв'язків: графіки їх граничних функцій є локально самоподібними, а за досить загальних умов ? і фрактальними; якщо f має гладку інваріантну міру, існують вкрай нерегулярні розв'язки, що асимптотично точно описуються випадковими процесами (явище автостохастичності). Детальніше розглянуто випадок, коли f ? унімодальне відображення з від'ємним шварціаном: виходячи із спектрального розкладу множини неблукаючих точок f, описано граничні функції розв'язків; дано прості критерії тієї чи іншої поведінки розв'язків та їх сД -стійкості.

Для нелінійного q-різницевого рівняння, з'ясовано при яких q розв'язки не успадковують, а при яких ? успадковують властивості розв'язків відповідного різницевого рівняння. Зокрема, отримано оцінку зверху тих значень q, при яких типовими є гладкі обмежені розв'язки, що прямують до напівнеперервних зверху функцій.

Досліджено клас диференціально-різницевих, коли вони повністю інтегровані. Вказано необхідні та достатні умови повної інтегровності пояснено такі специфічні особливості, як непродовжуваність, злипання та розгалуження розв'язків, градієнтна катастрофа. Показано виключність періодичних розв'язків і типовість асимптотично періодичних але асимптотично розривних розв'язків, які прямують до напівнеперервних зверху функцій.

Розглянуто два класи диференціально-q-pізницевих рівнянь, розв'язки яких демонструють специфічну поведінку в околі критичних точок. Перший клас ? лінійні рівняння зі степеневою особливістю при похідній. Для нього побудовано загальний розв'язок в околі критичної точки. Другий клас ? повністю інтегровані квазілінійні рівняння, які зводяться до однопараметричної сім'ї -різницевих. Показано, що існують розв'язки лише трьох типів: асимптотично сталі; осцилюючі без загасання але зі спадаючою до нуля похідною (у різницевих рівнянь таких розв'язків немає); асимптотично розривні розв'язки.

Визначено підхід до аналізу крайових задач для рівнянь з частинними похідними, який ґрунтується на поєднанні методу редукції до різницевих рівнянь з методом переходу до розширених динамічних систем. На прикладах показано, що він дозволяє описувати дуже складну просторово-часову динаміку за допомогою дуже простих (за формою) крайових задач.

Запропоновано математичний формалізм для опису процесів самоорганізації та детермінованого хаосу. Завершено математичне обґрунтування поняття “ідеальна турбулентність”.

Література

1. Шарковский А.Н., Майстренко Ю.Л., Романенко Е.Ю. Разностные уравнения и их приложения. ? Киев: Наук. думка ? 1986 ? 280с.

2. Sharkovsky A.N., Maistrenko Yu.L., Romanenko E.Yu. Difference Equations and Their Applications. ? Dordrecht: Kluwer Academic Publishers (Ser. Mathematics and its Applications), vol. 250 ? 1993 ? 358p.

3. Agarwal R.P., Romanenko E.Yu. Stable periodic solutions of difference equations // Appl. Math. Lett. ? 1998. ? 11, № 4. ? P. 81-84.

4. Derfel G.A., Romanenko E.Yu., Sharkovsky A.N. Long-time properties of simplest nonlinear -difference equations // Intern. J. Difference Equations and Appl. ? 2000. ? 6. ? P. 485-511.

5. Дерфель Г.А., Романенко Е.Ю., Шарковский А.Н. Асимптотическая разрывность гладких решений нелинейных -разностных уравнений // Укр. матем. журн. ? 2000. ? 60, № 12. ? c. 1615-1629.

6. Романенко Е.Ю. Быстро осциллирующие решения одного класса дифференциально-разностных уравнений // В кн.: Дифференциально-разностные уравнения и задачи математической физики. ? Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1984. ? С. 83-101.

7. Романенко Е.Ю. О предельных свойствах полугруппы отображений интервала // В кн.: Дифференциально-функциональные уравнения и их применение к нелинейным краевым задачам. ? Киев: Ин-т матем. АН УССР, 1987. ? С. 64-73.

8. Романенко Е.Ю. Асимптотика решений одного класса дифференциально-функциональных уравнений // Укр. матем. журн. ? 1989. ? 41, № 11. ? С. 1526-1532.

9. Романенко Е.Ю. Представление локального общего решения одного класса дифференциально-функциональных уравнений // Укр. матем. журн. ? 1990. ? 42, № 2. ? С. 206-210.

Размещено на Allbest.ru