Прикладная тригонометрия

Понятие тригонометрии как раздела математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Применение науки в древности для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре. Особенности ее возникновения и стимул для развития.

Рубрика Математика
Вид реферат
Язык русский
Дата добавления 28.09.2014
Размер файла 16,7 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

по математике

Тема: «Прикладная тригонометрия»

студентки 13 группы

Филиной Полины

Москва 2013г.

Тригономемтрия (от греч. фсЯгпнп (треугольник) и греч. мефсейн (измерять), то есть измерение треугольников) -- раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии[1]. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (1561--1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре. тригонометрия математика геометрия наука

Возникновение тригонометрии связано с землемерием, астрономией и строительным делом.

Наибольший стимул для развития тригонометрии возник в связи с решением задач астрономии ( для решения задач определения местонахождения судна, предсказания затемнения и т.д.) Начиная с 17 в. Тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т.д.

Из истории тригонометрии

В 4-5 веках появился специальный термин в трудах по астрономии великого индийского учёного Ариабхаты, именем которого назван первый индийский спутник земли. Именно в его трудах используется понятие sinus. Слово косинус намного моложе. Косинус- это сокращение латинского выражения completely sinus, т.е. « дополнительный синус» cos =sin(90-)). Название «тангенс» происходит от латинского tanger ( касаться) и появился этот термин в 1583 году.

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника( 1473-1543), Тихо Браге( 1546-1601), Иогана Кеплера( 1571-1630) и Франсуа Виета( 1540-1603).

Учёные, которые внесли вклад в изучение тригонометрии:

Древнегреческие учёные Гиппарх ( 2 в. до н.э.) и Клавдий Птоломей ( 2 в. н.э.) использовали впервые способы решения треугольников, основанные на зависимостях между сторонами и углами треугольника.

Арабские учёные Аль-Батани(850-929) и Абу-ль-Вафа внесли значительный вклад в развитие тригонометрии. Мухамед-бен Мухамед (940-998) составил таблицы синусов и тангенсов через 10' с точностью до 1/604/.

Азербайджанский астроном и математик Насиреддин Туси Мухамед(1201-1274) и индийский учёный Бхаскара уже знали теорему синусов.

Математики Древней Греции - Евклид, Архимед, Апполоний Пергский использовали в своих трудах понятие синус (тригонометрические функции).

Определение высоты предмета

Предположим, что нам нужно определить высоту какого-нибудь предмета, например высоту телеграфного столба А1С1. Для этого поставим на некотором расстоянии от столба шест АС с вращающейся планкой и направим планку на верхнюю точку А1 столба. Отметим на поверхности земли точку В, в которой прямая А1А пересекается с поверхностью земли. Прямоугольные треугольники А1С1В и АСВ подобны по первому признаку подобия треугольников

Определение высоты предмета (продолжение)

Из подобия треугольников следует:

Измерив расстояния ВС1 и ВС и зная длину АС шеста, по полученной формуле определяем высоту А1С1 телеграфного столба. Если, например, ВС1=6,3 м, ВС=2,1 м, АС=1,7м, то

Определение расстояния до недоступной точки

Предположим, что нам нужно найти расстояние от пункта А до недоступного пункта В. Для этого на местности выбираем точку С, провешиваем отрезок АС и измеряем его. Затем с помощью астролябии измеряем углы А и С. На листе бумаги строим какой-нибудь треугольник А1В1С1, у которого и измеряем длины сторон А1В1 и АС1 этого треугольника. Так как треугольник АВС пропорционален треугольнику А1В1С1, то

По известным расстояниям АС, А1С1 и А1В1 находим расстояние АВ. Для упрощения вычислений удобно построить треугольник А1В1С1 так, чтобы А1С1:АС=1:1000. Например, если АС=130м, то расстояние А1С1 возьмём равным 130 мм. В этом случае

Определение расстояния до недоступной точки(продолжение)

поэтому, измерив расстояние А1В1 в миллиметрах, мы сразу получаем расстояние АВ в метрах.

ПРИМЕР. Пусть

Строим треугольник А1В1С1 так, чтобы

Измеряем отрезок А1В1. Он равен 153 мм, поэтому искомое расстояние равно 153 м.

Почему летом теплее, чем зимой?

Все дело в наклоне земной оси по отношению к плоскости земной орбиты ( рис.)

Зимой в умеренных широтах солнце невысоко поднимается над горизонтом, его лучи лишь скользят по земле. Летом в моменты наивысшего подъёма над горизонтом солнце приближается к зениту, его лучи падают почти отвесно на те же участки земного шара.

ПОТОК ЭНЕРГИИ, ИДУЩЕЙ ОТ Солнца, одинаков во все времена года. Но в зависимости от наклона солнечных лучей она по-разному распределяется по земной поверхности. Больше всего её приходится на заданный участок поверхности при отвесном падении света. Чем меньше угол, который образуют лучи с поверхностью, тем меньше их приходится на тот же участок.

Именно эту зависимость применяет курортник, загорающий под солнцем юга, когда он поворачивает свой топчан так, чтобы солнечные лучи как можно менее отклонялись от перпендикуляра к плоскости топчана.

Попытаемся определить: какая доля солнечной энергии, приходящейся на некоторый участок плоскости при отвесном падении лучей, приходится на него при наклонном падении лучей под тем или иным углом?

На поставленный вопрос можно ответить, проследив эволюцию прямоугольного треугольника на приведенных чертежах. Гипотенуза, на которую падают солнечные лучи,- всюду одна и та же. Катет, через который входят падающие на нее лучи,- меняются по длине уменьшаясь вместе с углом, который образует с гипотенузой падающие на него лучи .

Интересующая нас доля энергии равна отношению указанного катета к гипотенузе. Если задан угол, под которым солнечные лучи встречаются с освещаемой поверхностью, нужно отложить его на круговой диаграмме, из точки пересечения его наклонной стороны с окружностью опустить перпендикуляр на горизонтальный диаметр и взять отношение противолежащего катета к гипотенузе. Полученное число и укажет интересующую нас долю солнечной энергии. Число, определённое таким образом и поставленное в соответствие углу, для которого оно определялось , называется синусом угла.

Измерение высоты предмета

Предположим, что требуется определить высоту АН какого-то предмета( рис.). Для этого отметим точку В на определённом расстоянии от основания Н предмета и измерим угол АВН:

По этим данным находим высоту предмета:

Если основание предмета недоступно, то поступим следующим образом. На прямой, проходящей через основание Н предмета, отметим 2 точки В и С на определённом расстоянии друг от друга и измерим углы АВН и АСВ:

Измерение расстояния до недоступной точки

Найти расстояние d от пункта А до недоступного пункта С (рис.)

На местности выберем точку В и измерим длину с отрезка АВ. Измерим углы А и В.

Тригонометрические вычисления применяются также: практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела. Большое значение имеет техника триангуляции, позволяющая измерять расстояния до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, контролировать системы навигации спутников. Также следует отметить применение тригонометрии в таких областях, как теория музыки, акустика, оптика, анализ финансовых рынков, электроника, теория вероятностей, статистика, биология, медицина (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтика, химия, теория чисел (и, как следствие, криптография), сейсмология, метеорология, океанология, картография, многие разделы физики, топография и геодезия, архитектура, фонетика, экономика, электронная техника, машиностроение, компьютерная графика, кристаллография.

Размещено на Allbest.ru


Подобные документы

  • История появления тригонометрии, роль Л. Эйлера в ее развитии. Тригонометрические функции плоского угла. Применение гармонических колебаний и волновых процессов. Преобразование Фурье и Хартли. Общее понятие про тригонометрическое нивелирование.

    презентация [12,2 M], добавлен 29.03.2012

  • Понятие тригонометрии, ее сущность и особенности, история возникновения и развития. Структура тригонометрии, ее элементы и характеристика. Создание и развитие аналитической теории тригонометрических функций, роль в нем академика Леонарда Эйлера.

    творческая работа [69,7 K], добавлен 15.02.2009

  • Развитие аналитического, логического, конструктивного мышления учащихся и формирование их математической зоркости. Изучение тригонометрии в курсе геометрии основной школы, методы решения нестандартных задач из курса 8 класса и из альтернативных учебников.

    курсовая работа [396,0 K], добавлен 01.03.2014

  • Понятия сферической геометрии, соответствие между сферической геометрией и планиметрией. Применение сферической тригонометрии в навигации. Углы сферического многоугольника, анализ планиметрических аксиом. Теорема косинусов для сферических треугольников.

    курсовая работа [761,7 K], добавлен 06.12.2011

  • Знакомство с особенностями возникновения тригонометрии, рассмотрение этапов развития. Анализ способов решения треугольников, основанных на зависимостях между сторонами и углами треугольника. Характеристика аналитической теории тригонометрических функций.

    презентация [654,4 K], добавлен 24.06.2014

  • История развития тригонометрии, характеристика ее основных понятий и формул. Общие вопросы, цели изучения и способы определения тригонометрических функций числового аргумента в школьном курсе. Рекомендации и методы решения тригонометрических уравнений.

    курсовая работа [257,7 K], добавлен 19.10.2011

  • Предмет и задачи планиметрии, как раздела геометрии, в котором изучаются такие фигуры на плоскости, как точка, прямая, параллелограмм, трапеция, окружность и треугольник. Аксиомы принадлежности, расположения, измерения, откладывания, параллельности.

    презентация [1,8 M], добавлен 22.10.2013

  • Исторический обзор формирования тригонометрии как науки от древности до наших дней. Введение понятия тригонометрических функций на уроках алгебры и начал анализа по учебникам А.Г. Мордковича, М.И. Башмакова. Решения линейных дифференциальных уравнений.

    дипломная работа [2,6 M], добавлен 02.07.2011

  • Перестройка структуры и содержания учебного курса математики в процессе проведения реформ математического образования. Определения косинуса, синуса и тангенса острого угла. Основные тригонометрические формулы. Понятие и основные свойства векторов.

    дипломная работа [328,2 K], добавлен 11.01.2011

  • Тригонометрические уравнения и неравенства в школьном курсе математики. Анализ материала по тригонометрии в различных учебниках. Виды тригонометрических уравнений и методы их решения. Формирование навыков решения тригонометрических уравнений и неравенств.

    дипломная работа [1,9 M], добавлен 06.05.2010

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.