Дослідження з теорії сильного підсумовування рядів фур'є та апроксимації функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Дослідження з теорії сильного підсумовування рядів Фур'є та апроксимації функцій

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Традиційним предметом досліджень теорії сильнго підсумовування рядів Фур'є по тих чи інших ортонормованих системах функцій є: поточкове представлення функцій лебеговых просторів L_p, p?1, тими чи іншими видами сильних середніх їх рядів Фур'є, швидкість збіжності таких середніх у рівномірній та інтегральній метриках на різних класах функцій (задачі сильної апроксимації функцій), а також обернені теореми теорії сильної апроксимації. Дана тематика бере свій початок у відомих роботах Г. Харді та Дж. Літтлвуда. У 1913 році ними було поставлене питання: чи буде для довільної функції fєL при деякому q>0 майже скрізь виконуватись рівність

де S_n(f; x) - частинна сума порядку n тригонометричного ряду Фур'є S[f]. Якщо виконане співвідношення (1), то кажуть, що ряд Фур'є S[f] сильно підсумовується з показником q>0 у точці x до значення f(x).

У зв'язку з результатами А.М. Колмогорова про розбіжні майже скрізь ряди Фур'є сумовних функцій (fєL), поняття сильного підсумовування виявилося досить ефективним і послужило основою нового напрямку в теорії рядів Фур'є. У вирішенні згаданої задачі, а також у її розвитку брали участь Г. Харді і Дж. Літтлвуд, Й. Марцинкевич, А. Зигмунд, К. Тандорі, О.Д. Габісонія, І.Я. Новіков і В.А. Родін та ін. Аналогічна тематика у випадку кратних рядів Фур'є досліджувалася в роботах Й. Марцинкевича, Л.Д. Гоголадзе, О.Д. Габісонія, М.І. Дьяченко, С.В. Конягіна, В.А. Родіна та ін.



Згодом постановка задачі розширилася, зокрема, у тому напрямку, що замість величин сильних середніх, що містяться в (1), розглядалися функціонали виду, які характеризують ц-сильне підсумовування рядів Фур'є, де б=б_k(v) - довільна послідовність невід'ємних функцій, що залежать від якого-небудь параметра vєVR, ц=ц(u) - довільна невід'ємна функція, задана на множині R₊=(0,?). Величини (2) при n=1 називаються б-середніми послідовності ц-відхилень функції f(x) сумами Фур'є.

У 1984 році В. Тотіком була сформульована гіпотеза: якщо ц (u)=expu-1, то для довільної функції fєL майже скрізь

Позитивне рішення цього питання і його подальший розвиток знайшов відображення в роботах К.І. Осколкова, Л.Д. Гоголадзе, Г.А. Карагуляна, В.А. Родіна та ін. Подібній тематиці у випадку рядів Фур'є по системах відмінних від тригонометричної, зокрема, по системі Уолша, присвячені роботи Ф. Шиппа (ц(u)=u^q, q>0), В.А. Родіна (ц(u)=exp u-1) та ін.

Величини (2), (3) можуть виступати в якості аппраксимаційних характеристик функції f(x) і бути у певному сенсі мірою швидкості збіжності її ряду Фур'є. На цьому шляху отримано багато цікавих результатів, що належать M. Kiнукаві, Г. Алексичу, Д. Кралику, Р. Taберському, Л. Лейндлеру, В. Тотіку, Л.Д. Гоголадзе, О.І. Степанцю і Н.Л. Пачуліа й ін. При цьому в роботах О.І. Степанця і Н.Л. Пачуліа було запропоновано розглядати задачі сильної апроксимації в екстремальній постановці, зокрема, на введених у 80-х роках ХХ сторіччя О.І. Степанцем класах функцій C^ш_вN, N і їх узагальненнях N, N, що включають у себе як окремі випадки відомі класи Вейля-Надя і Соболєва, а також класи функцій, що визначаються згортками з довільними сумовними ядрами.

Зв'язок між тими чи іншими структурними властивостями періодичних функцій і їх сильною апроксимацією встановлюють так звані обернені теореми сильної апроксимації функцій. Такі теореми містяться в роботах Г. Фройда, Л. Лейндлера, Е.М. Нікішина, В.Г. Кротова, К.І. Осколкова, Й. Сабадоша, В. Тотіка, Х.-Ю. Шмайсера і В. Зікеля та ін.

Питання, пов'язані з поточковим сильним підсумовуванням рядів Фур'є-Лапласа при критичному показнику, а також з сильною апроксимацією функцій на сфері вивчалися в роботах С.Б. Топурії, В.В. Хочолави, Фенг Дайя, і K. Ванга, П. Занга, Л. Лі та ін.

Одним з найважливіших напрямів у теорії наближення функцій є прямі і обернені теореми типу Д. Джексона і С.Н. Бернштейна. У випадку наближення на сфері S^m-1 фундаментальні результати в цьому напрямку були отримані в роботах С.М. Нікольского і П.І. Лізоркіна в першій половині 80-х років ХХ сторіччя, у яких диференціальні властивості функцій виражені в термінах оператора Лапласа-Бельтрамі в просторах L_p(S^m-1), p?1, або градієнта на S^m-1. До даного кола питань відносяться роботи Р. Aскейя, С. Вейнжера, Г.Г. Кушніренка, Ар.С. Джафарова, С.Б. Топурії, С. Павелькі, Х.П. Рустамова, А.І. Камзолова, О.Г. Бабенка, В.Ф. Бабенка та ін.

У 2000 році О.І. Степанець запровадив простори S^p_ц елементів довільного лінійного простору X, що породжуються зліченними системами ц його елементів і поклав початок систематичному вивченню аппроксимационных властивостей таких просторів. За останні роки О.І. Степанецем і його учнями знайдені точні розв'язки ряду класичних екстремальних задач, що раніше ставилися для функціональних класів лебегових просторів L_p.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Абхазького державного університету в рамках науково-дослідної теми «Теорія функцій та її застосування».

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є одержання нових результатів у напрямку поточкового представлення функцій на множинах повної міри на відрізку б - середніми послідовностей ц-відхилень сумовних функцій частинними сумами їх рядів Фур'є по так званих системах функцій поліноміального виду; б-середніми послідовностей ц - відхилень сумовних на сфері функцій сумами Чезаро критичного показника їх рядів Фур'є-Лапласа з указанням характеристик точок відповідних представлень; знаходження оцінок величин б-середніх послідовності ц-відхилень індивідуальних функцій, та верхніх меж цих величин на тих чи інших класах функцій однієї і багатьох дійсних змінних у рівномірній і інтегральній метриках, на класах аналітичних функцій, на класах функцій, що задаються інтегралами типу Коші, а також на класах функцій, заданих на сфері в рівномірній та інтегральній метриках; встановлення обернених теорем сильної апроксимації функцій; встановлення властивостей деяких аппроксимационных характеристик просторів S^(p,q), що є сферичними аналогами просторів S^p, а також прямих і обернених теорем наближення функцій у просторах S^(p,q).

Об'єктом дослідження є аппроксимаційні властивості класів функцій однієї і багатьох дійсних змінних, класів аналітичних функцій, класів функцій, що задаються інтегралами типу Коші, а також класів функцій, заданих на багатовимірній сфері.

Предметом дослідження є поточкове представлення функцій лебеговых просторів L^(щ)(a, b), L_p(S^m-1), pЎЭ1, б-середніми послідовності ц-відхилень, швидкість ц-сильної апроксимації, наближення функціональних класів у конкретних лінійних нормованих просторах. При цьому основна увага приділяється встановленню як загальних оцінок величин б-середніх послідовностей ц-відхилень, так і точних порядкових оцінок точних верхніх меж цих величин на деяких класах функцій у тих чи інших функціональних просторах. У роботі також приділена увага дослідженню деяких аппроксимационных характеристик просторів S^(p,q) функцій, заданих на сфері.

Сформулюємо основні задачі дослідження:

Охарактеризувати множину точок повної міри на відрізку, у яких має місце сильне підсумовування рядів Фур'є сумовних з вагою функцій по рівномірно обмежених системах функцій поліноміального вигляду.

Встановити багатовимірні аналоги нерівностей типу Лебега на класах ш-диференційовних (в сенсі О.І. Степанця) функцій багатьох змінних в рівномірній та інтегральних метриках.

Встановити оцінки величин б-середніх послідовності відхилень частинними сумами рядів Фабера аналітичних функцій в областях з кусково-гладкою межею в термінах мажорант їх модулів неперервності. Одержати оцінки б-середніх послідовності ц-відхилень інтегралів типу Коші Kf(z) частинними сумами їх рядів Фабера в термінах найкращих наближень узагальнених ш-похідних функцій f*(w)=f (Ш(w)), |w|=1, за допомогою тригонометричних поліномів.

Охарактеризувати множину точок повної міри на сфері, у яких має місце ц-сильне підсумовування методом б рядів Фур'є-Лапласа при критичному показнику функцій класів L_p(S^m-1), p>1, і L(S^m-1) відповідно.

Установити загальні оцінки в метриках просторів C(S^m-1) і L(S^m-1) відповідно величин б-середніх послідовності ц-відхилень функцій fєC(S^m-1) (L(S^m-1)) сумами Чезаро критичного показника і вказати точний порядок верхніх меж цих величин у метриці C(S^m-1) на функціональних класах С.Б. Стєчкіна, а також встановити деякі обернені теореми сильної апроксимації функцій на сфері.

Встановити оцінки наближення сумами Фур'є-Лапласа в просторах L_p(S^m-1), p?1, на класах функцій, що задаються на основі перетворень їх рядів Фур'є-Лапласа за допомогою мультиплікаторів у термінах найкращих наближень поліномами по сферичних гармоніках.

Встановити прямі і обернені теореми наближення функцій у просторах S^(p,q) - сферичних аналогах просторів S^p.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають у наступному:

1. Охарактеризовано множину точок повної міри на відрізку, у яких має місце сильне підсумовування рядів Фур'є сумовних з вагою функцій по рівномірно обмежених системах функцій поліноміального вигляду.

2. Встановлено багатовимірні аналоги нерівностей типу Лебега а також нерівності для середніх Валле Пуссена послідовності ц-відхилень на класах ш-диференційовних (в сенсі О.І. Степанця) функцій багатьох змінних в рівномірній та інтегральних метриках.

3. Встановлено оцінки величин б-середніх послідовності відхилень частинними сумами рядів Фабера аналітичних функцій в областях з кусково-гладкою межею в термінах мажорант їх модулів неперервності. Одержано оцінки зверху б-середніх послідовності ц-відхилень інтегралів типу Коші Kf(z) частинними сумами їх рядів Фабера в термінах найкращих наближень узагальнених ш-похідних функцій f*(w)=f (Ш(w)), |w|=1, за допомогою тригонометричних поліномів.

4. Охарактеризовано множину точок повної міри на сфері, у яких має місце ц-сильне підсумовування методом б рядів Фур'є-Лапласа при критичному показнику функцій з просторів L_p(S^m-1), p>1, і L(S^m-1) відповідно.

5. Встановлено загальні оцінки в метриках просторів C(S^m-1) і L(S^m-1) відповідно величин б-середніх послідовності ц-відхилень функцій fєC(S^m-1) (L(S^m-1)) сумами Чезаро критичного показника і вказано точний порядок верхніх меж цих величин у метриці C(S^m-1) на функціональних класах С.Б. Стєчкіна, а також встановлено деякі обернені теореми сильної апроксимації функцій на сфері.

6. Встановлено оцінки наближення сумами Фур'є-Лапласа в просторах L_p(S^m-1), p?1, у термінах найкращих наближень поліномами по сферичних гармоніках на класах функцій, які задаються на основі перетворень їх рядів Фур'є-Лапласа за допомогою мультиплікаторів у термінах найкращих наближень поліномами по сферичних гармоніках.

7. Встановлено прямі і обернені теореми наближення функцій у просторах S^(p,q) - сферичних аналогах просторів S^p.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи і розвинені в ній методи можуть бути використані при вивченні деяких питань математичного аналізу, теорії наближення функцій, теорії рядів Фур'є, а також ряду інших питань математики.

Особистий внесок здобувача. Результати підрозділів 1.1-1.3, 2.3 та пункту 4 підрозділу 2.1 встановлені разом з науковим консультантом. Внесок обох авторів у результати, що містяться у зазначених підрозділах є рівноцінним. Всі інші результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на:

- Семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівник семінару: член-кореспондент НАН України О.І. Степанець).

- Семінарі по теорії функцій дійсної змінної (Московський державний університет ім. М.В. Ломоносова, керівники семінару: академік РАН П.Л. Ульянов, член-кореспондент РАН Б.С. Кашин, професор Б.І. Голубов, професор М.І. Дьяченко, професор С.В. Конягін).

- Семінарах по теорії функцій (Абхазький державний університет, керівник семінару: професор Н.Л. Пачуліа).

- Міжнародній науковій конференції «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ» (Москва, Математичний Інститут ім. В.А. Стєклова РАН, 1995 р.).

- II школi «Ряди Фур'є: теорiя i застосування» (Кам'янець-Подiльський, 30 червня - 5 липня 1997 р.).

- Науковій сесії професорсько-викладацького складу Абхазького державного університету, присвяченій 20-річчю утворення АГУ, секції фізико-математичних наук (Сухум, 1-4 листопада 1999 р.).

- Науковій конференції Абхазького державного університету, присвяченій 20-річчю утворення АГУ, секції фізико-математичних наук (Сухум, 24-27 травня 2000 р.).

- Українському математичному конгресі - 2001, присвяченому 200-річчю з дня народження М.В. Остроградского, 10 секції «Теорія наближень і гармонійний аналіз» (Київ, 21-25 серпня 2001 р.).

- Наукових конференціях професорсько-викладацького складу Абхазького державного університету, секції фізико-математичних наук (Сухум, 2002-2006 р.).

- Міжнародній науковій конференції «Математичний аналіз і диференціальні рівняння і їх застосування» (Ужгород, 18-23 вересня 2006 р.).

- Третій міжнародній науковій конференції «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики» (Нальчик, 4-9 грудня 2006 р.).

- Семінарі по теорії функцій (Дніпропетровський національний університет керівники семінару: член-кореспондент НАН України В.П. Моторний, професор В.Ф. Бабенко, 2007 р.).

- Семінарі кафедри математичного аналізу (Київський національний університет імені Тараса Шевченка, керівник семінару: професор І.О. Шевчук, 2007 р.).

- Київському семiнарi з функцiонального аналiзу Iнституту математики НАН України (Київ, 2007).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в роботах [1-30].

Структура й обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, п'яти розділів, висновків, списку використаної літератури, що містить 229 найменувань. Повний обсяг роботи складає 354 сторінки машинописного тексту.

Основний зміст дисертації

лебег фур'є поліномінальний

Нехай L^(щ)_p(a, b) - множина вимірних функцій f(x), сумовних у p-му степені, p?1, на (a, b) з вагою щ(x).

Означення 1.1. Нехай fє L^(щ)(a, b)= L^(щ)₁(a, b), xє (a, b) і u_д(x) - окіл точки x, що цілком лежить на (a, b). При кожному натуральному n розіб'ємо u_д(x) на 2n рівних частин Д⁽ⁿ⁾_k= Д⁽ⁿ⁾_k=Д⁽ⁿ⁾_k(д) точками x_k=x+д_k/n, |k|=0,1,…, n, і при деякому p>1 розглянемо величину

Точку x назвемо h_p,щ - точкою функції f(x), якщо

Означення 1.2. Нехай {ц_k(t)} - довільна послідовність функцій, обмежених на сегменті [a, b]. Будемо говорити, що дана послідовність має властивість B в точці xє (a, b), якщо існує д>0 таке, що:

1) u_д(x)(a, b);

2) для будь-якого узагальненого полінома

коефіцієнти якого задовольняюють умову

справедлива нерівність

де Д⁽ⁿ⁾_k єD_n(д), |k|=1,2,… n, D_n(д) - множина усіх відрізків Д⁽ⁿ⁾_k, K - додатна стала, рівномірно обмежена по n.

Твердження 1.1. Нехай xє (a, b), 0<д<д₁, і околи u_д(x) і u_д1(x) лежать на (a, b). Тоді для будь-якої fє L^(щ)(a, b) співвідношення

і

можуть виконуватися тільки одночасно.

Твердження 1.1 вказує на локальний характер поведінки величини h^(щ)_m,p(f; x;д) в точці x.

Лема 1.2. Для будь-якої функції fє L^(щ)(a, b), при довільних p>1 і д>0 майже скрізь на [a, b] справедлива рівність

У роботі приведені достатні умови того, що ортонормована система {ц_k(t)}_щ має B-властивість у точці x. Доводиться, що тригонометрична система на R, система ортонормованих алгебраїчних поліномів на відрізку її рівномірної обмеженості володіють В-властивістю.

У підрозділі 1.3 приводиться характеристика точок сильного підсумовування рядів Фур'є сумовних з вагою функцій по обмежених всередині відрізка ортогональності систем функцій поліноміального виду, що володіють В-властивістю. Покладемо

де S_n(f; x) - частинні суми порядку n ряду Фур'є fє L^(щ)(a, b), по ортонормованих з вагою щ(x) на [a, b] системах функцій {ц_k(x)}_щ,

б=||б⁽ⁿ⁾_k||, k, n=0,1,…, - нескінченна прямокутна матриця дійсних чисел.

Теорема 1.1. Нехай {ц_k(t)}_щ,

- ортонормована з вагою щ(t) на відрізку [a, b] система функцій поліноміального виду, що на множині рівномірно обмежена:

Нехай, далі, x - довільна точка інтервалу (c, d), у якій дана система має властивість B. Тоді, якщо fєL^(щ)(a, b), на множині E=[a, b]\[c, d] сумовний її квадрат з вагою щ(t) (fєL₂^(щ)(E)) і в даній точці x має скінченне значення, то для будь-якого д>0, що входить в означення B-властивості точки x, при будь-якому q?2 справедлива нерівність



де H^(q)_n(f;ц; x) і h^(щ)_n,p(f; x;д) - величини, що визначаються відповідно рівностями (8) і (4); p=q/(q-1), K - величина, рівномірно обмежена по n.

Наслідок 1.2. Нехай система {ц_k(t)}_щ, точка xє (c, d) і функція f(t) задовольняють усім вимогам теореми 1.1 і, крім того, дана точка х є h_p,щ - точкою функції f(t). Тоді для кожного q₁є (0, q), q?2, 1/p+1/q=1,

Подібні результати мають місце для величини, що означається рівністю (9), у якій матриці чисел б=||б⁽ⁿ⁾_k||, k, n=0,1,… визначають широкий спектр класичних методів підсумовування рядів.

Добре відомо, що тригонометричний ряд Фур'є довільної сумовної функції є (C, б>0) - сумовним майже скрізь (А. Лебег, Г. Харді, М.Рісс). В свій час Г. Алексичем було відмічено, що аналогічне твердження для рівномірно обмежених систем ортогональних алгебраїчних поліномів невідоме навіть у випадку підсумовування методом Абеля-Пуассона. Наступне твердження дає відповідь на зазначену проблему Г. Алексича.

Наслідок 1.10. Нехай {P_k(t)}_щ - ортонормована на [a, b] з вагою щ(t) система алгебраїчних поліномів рівномірно обмежених на і для кожного tє [c, d] щ(t)ЎЭщ_o>0. Нехай, далі, fєL^(щ)(a, b) і fєL₂^(щ)(E), де E=[a, b]\[c, d]. Тоді для довільного xєH^(щ)₂?(c, d), тобто майже скрізь на (c, d), при кожному б>0 виконується рівність



Нехай H_щ*=H_щ*(0,2р) позначає простір функцій, що задовольняють умову

з узагальненою гьольдеровою нормою

де щ*(t) - деяка неспадна невід'ємна при t?0 функція. У підрозділі 1.4 досліджуються апроксимаційні властивості величин б - середніх послідовності відхилень (9) у метриці простору H_щ*, коли fєH_щH_щ*, а також приводиться уточнений варіант однієї теореми про порядок наближення функцій із класу H_щH_щ* лінійними середніми частинних сум їхніх рядів Фур'є в метриці простору H_щ*.

У 80-роки ХХ століття О.І. Степанець розглянув класи N, а дещо пізніше - їх узагальнення N.

Висновки

1. Охарактеризовано множину точок повної міри на відрізку, у яких має місце сильне підсумовування рядів Фур'є сумовних з вагою функцій по рівномірно обмежених системах функцій поліноміального вигляду.

2. Встановлено багатовимірні аналоги нерівностей типу Лебега а також нерівності для середніх Валле-Пуссена послідовності ц-відхилень на класах ш-диференційовних (в сенсі О.І. Степанця) функцій багатьох змінних в рівномірній та інтегральних метриках.

3. Встановлено оцінки величин б-середніх послідовності відхилень частинними сумами рядів Фабера аналітичних функцій в областях з кусково-гладкою межею в термінах мажорант їх модулів неперервності. Одержано оцінки зверху б-середніх послідовності ц-відхилень інтегралів типу Коші Kf(z) частинними сумами їх рядів Фабера в термінах найкращих наближень узагальнених ш-похідних функцій f*(w)=f (Ш(w)), |w|=1, за допомогою тригонометричних поліномів.

4. Охарактеризовано множину точок повної міри на сфері, у яких має місце ц-сильне підсумовування методом б рядів Фур'є-Лапласа при критичному показнику функцій з просторів L_p(S^m-1), p>1 і L(S^m-1) відповідно.

5. Встановлено загальні оцінки в метриках просторів C(S^m-1) і L(S^m-1) відповідно величин б-середніх послідовності ц-відхилень функцій fєC(S^m-1) (L(S^m-1)) сумами Чезаро критичного показника і вказано точний порядок верхніх меж цих величин у метриці C(S^m-1) на функціональних класах С.Б. Стєчкіна, а також встановлено деякі обернені теореми сильної апроксимації функцій на сфері.

6. Встановлено оцінки наближення сумами Фур'є-Лапласа в просторах L_p(S^m-1), p?1, у термінах найкращих наближень поліномами по сферичних гармоніках на класах функцій, які задаються на основі перетворень їх рядів Фур'є-Лапласа за допомогою.

7. Встановлено прямі і обернені теореми наближення функцій у просторах S^(p,q) - сферичних аналогах просторів S^p.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Ласурия Р.А. О приближении периодических функций линейными средними сумм Фурье в обобщенной гёльдеровой метрике // Докл. АМАН. - 2000. - 5. - №1. - С. 24 - 39.

2. Ласурия Р.А. Оценки группы уклонений в обобщённой гёльдеровой метрике // Укр. мат. журн. - 2001. - 53. - №9. - С. 1210-1212.

3. Ласурия Р.А. Приближение функций в обобщенной гёльдеровой метрике. - Сухум: Изд-во АГУ, 2001. - 65 с.

4. Ласурия Р.А. Равномерные оценки группы отклонений - интегралов суммами Фурье и сильная суммируемость рядов Фурье // Теория приближений и гармонич. анализ: Труды Укр. мат. конгр. - 2001. - Киев: Ин-т математики НАН Украины, 2002. - С. 114 - 122.

5. Ласурия Р.А. Некоторые вопросы сильной суммируемости рядов Фурье - Лапласа на сфере // Сб. науч. трудов Абх. гос. ун-та, ч. I., Сухум: АГУ, 2002. - С. 17 - 27.

6. Ласурия Р.А. Об одной обратной задаче теории сильной аппроксимации // Докл. АМАН. - 2002. - 6. - №1. - С. 14 - 17.

7. Ласурия Р.А (ц, б) - сильная суммируемость рядов Фурье-Лапласа функций, непрерывных на сфере // Укр. мат. журн. - 2002. - 54. - №5. - С. 656 - 665.

8. Ласурия Р.А. (ц, л) - сильная суммируемость рядов Фабера внутри комплексной области // Теорiя наближення функцiй та сумiжнi питання - Киiв.: Iн-т математики НАН України, 2002. - С. 96 - 106.

9. Ласурия Р.А. Характеристика точек сильной суммируемости рядов Фурье-Лапласа функций класса L(S^m) при критическом показателе // Укр. мат. журн. - 2002. - 54. - №10. - С. 1437-1439.

10. Ласурия Р.А. Скорость сходимости в среднем рядов Фурье-Лапласа на классах L^шL₂(S^m) // Сб. тр. проф.-преп. сост. АГУ, Сухум. - 2003. - С. 26 - 32.

11. Ласурия Р.А. Характеристика точек ц-сильной суммируемости рядов Фурье-Лапласа функций класса L_p(S^m), p>1 // Укр. мат. журн. - 2003. - №5. - С. 45 - 54.

12. Ласурия Р.А. Кратные суммы Фурье на множествах - дифференцируемых функций (небольшая гладкость) // Укр. мат. журн. - 2003. - 55, №7. - С. 911 - 918.

13. Ласурия Р.А. Аппроксимационные характеристики пространств S^(p,q)(у^m) функций, заданных на сфере // Екстремальнi задачi теорii функцiй та сумiжнi питання. - Київ: Iн-т математики НАН Украiни, 2003 (Працi Iн-ту математики НАН України; т. 46). - С. 89 - 115.

14. Ласурия Р.А. Оценки группы отклонений сумм Фабера на классах ш-интегралов // Укр. мат. журн. - 2004. - 56. - №4. - С. 451 - 461.

15. Ласурия Р.А. Сильные средние типа Марцинкевича рядов Фурье-Лапласа // Укр. мат. журн. - 2004. - 56. - №6. - С. 763 - 773.

16. Ласурия Р.А. Приближение ш - дифференцируемых функций кратными суммами Фурье в интегральной метрике // Analysis Mathematica. - 2004. - 30. - №3. - С. 207 - 221.

17. Ласурия Р.А. Сильная суммируемость рядов Фабера и оценки скорости сходимости группы уклонений в замкнутой области с кусочно-гладкой границей // Укр. мат. журн. - 2005. - 57. - №2. - С. 187 - 197.

18. Ласурия Р.А. Суммирование рядов Фурье-Лапласа в пространстве L(S^m) // Укр. мат. журн. - 2005. - 57. - №4. - С. 496 - 504.

19. Ласурия Р.А. Приближение суммами Фурье-Лапласа функций классов L^шL_p(S^m-1) // Проблеми теорiї наближення функцiй та сумiжнi питання: Зб. праць Iн-ту математики НАН України. - 2005. - т. 2, №2. - С. 149 - 160.

20. Ласурия Р.А. Структурные свойства функций, заданных на сфере, на основе Ф - сильной аппроксимации // Укр. мат. журн. - 2006. - 58. - №1. - С. 20 -25.

21. Ласурия Р.А. Прямые и обратные теоремы приближения функций, заданных на сфере, в пространстве S^(p,q)(у^m) // Укр. мат. журн. - 2007. - 59, №7. - С.

22. Ласурия Р.А. О приближении функций, заданных на всей действительной оси, операторами типа Фейера в обобщенной гёльдеровой метрике // Мат. заметки. - 2007. - 181, В.4. - С. 547 - 552.

23. Степанец А.И., Ласурия Р.А. Сильная суммируемость ортогональных разложений суммируемых функций. I // Укр. мат. журн. - 1996. - 48, №2. - С. 260 - 277.

24. Степанец А.И., Ласурия Р.А. Сильная суммируемость ортогональных разложений суммируемых функций. II // Укр. мат. журн. - 1996. - 48, №3. - С. 393 - 405.

25. Степанец А.И., Ласурия Р.А. Кратные суммы Фурье и ц-сильные средние их уклонений на классах -дифференцируемых функций многих переменных // Укр. мат. журн - 2007. - 59, №8. - С. 1075-1093.

26. Степанец А.И., Ласурия Р.А. Характеристика точек сильной суммируемости рядов Фурье по системам функций полиномиального вида // Тез. докл. межд. конф. «Функциональные пространства и теория приближений, нелинейный анализ» (Москва, Роcсия, 1995). - М.: Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, 1995. - С. 158.

27. Ласурия Р.А. О скорости поточечной сходимости группы уклонений рядов Фурье на классах (ш, в) - дифференцируемых функций // II школа «Ряди Фур'є: теорiя i застосування»: Тези доп. - Київ: Iн-т математики НАН України, 1997. - с. 71-72.

28. Ласурия Р.А. Приближение функций, заданных на всей действительной оси, операторами типа Фейера в обобщенной гёльдеровой метрике // Тезисы докладов научной сессии проф.-препод. состава, посвящённой 20-летию образования Абхазского госуниверситета, Сухум, 1999. - С. 5-8.

Размещено на Allbest.ru