Размещено на http://www.allbest.ru

Оглавление

• Введение
• Глава I. Основные определения и вспомогательные предложения
• 1.1 Фрактал и фрактальная размерность
• 1.2 Дифференциальные уравнения дробного порядка
• 1.3 Определение дробных производных Римана-Лиувилля
• Глава II. Модификация метода Шварца для уравнения диффузии дробного порядка
• 2.1 Постановка задачи
• 2.2 Численная схема алгоритма метода решения дифференциальных уравнений дробного порядка на основе модифицированного метода Шварца
• 2.3 Вычислительный алгоритм метода Шварца для уравнения диффузии дробного порядка
• 2.4 Параллельный алгоритм и оценка его эффективности
• Глава III. Двухсеточные параллельные алгоритмы для решения дробно-дифференциальных уравнений аномальной диффузии
• 3.1 Постановка задачи
• 3.2 Декомпозиция задачи на основе двухсеточного подхода
• 3.3 Обоснование алгоритма и оценка его эффективности
• 3.4 Параллельный алгоритм с декомпозицией по времени
• 3.5 Оценка эффективности параллельного алгоритма с декомпозицией по пространству
• 3.6 Оценка эффективности параллельного алгоритма с декомпозицией по времени
• 3.7 Численное решение метода
• Заключение
• Список литературы


Введение

Актуальность темы. Несмотря на значительные усилия исследователей до сих пор задача создания адекватных количественных моделей неравновесных процессов остается актуальной. Особенно это актуально, когда речь идет о системах с фрактальной структурой. При описании свойств систем с фрактальной структурой нельзя использовать представления евклидовой геометрии и необходимо привлечь представления геометрии дробной размерности. Особенность систем с фрактальной структурой в том, что для них существенны такие эффекты, как память, сложная природа пространственных корреляций и эффекты самоорганизации. Создание адекватных математических моделей для систем, где проявляются свойства самоорганизации, детерминированного хаоса, также требует привлечения нетрадиционных подходов, основанных на применении математического аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка.

В отличие от традиционного подхода, когда для количественного описания исследуемого явления используется одно соответствующее уравнение, имеющее заданный класс решений, применение аппарата дифференцирования дробного порядка позволяет использовать однопараметрический континуум дифференциальных уравнений. Это принципиально меняет подход к анализу экспериментальных данных, позволяя использовать новый параметр, который и представляет собой показатель дробности производной. В частности, открываются новые возможности для решения задачи прогноза. Традиционными методами, включая современные методы детерминированного хаоса и вейвлет анализа, задача прогноза не решается.

Применение аппарата дифференциальных уравнений дробного порядка позволяет глубже понять известные результаты и получить новый класс решений, позволяющий охватить широкий круг задач, ранее не объяснимых с позиций традиционных подходов.

Общая тенденция развития науки на современном этапе заключается в интеграции различных направлений естествознания. Образовалось новое научное направление - физика открытых систем, в рамках которого объединяются такие направления как синергетика, диссипативные структуры, детерминированный хаос, концепция фрактала с приложениями в физике, химии, биологии, геофизике, теории информации, математических основ экономики, социологии. Область приложений физики открытых систем все более расширяется, требуя при этом решения проблем как фундаментального, так и прикладного характера.

Множество вопросов, представляющих практический интерес и которые переросли в задачи, имеющие фундаментальное значение, связаны с природой релаксации сильнонеравновесных состояний к состоянию равновесия. К неравновесным процессам относятся процессы тепломассопереноса гидродинамики и газодинамики в сложных системах, как недра земли, поверхностный слой почвы, различные процессы, связанные с климатическими катастрофами. Особенностью неравновесных процессов в средах с фрактальной структурой является медленная релаксация корреляционных связей, когда многочастичные функции распределения не распадаются на произведения одночастичных функций распределения. В частности могут существовать неравновесные стационарные состояния, когда система в рассматриваемой задаче в принципе не достигает равновесного состояния. Все это приводит к тому, что традиционные методы «сокращенного» описания в статистической физике становятся не пригодными при исследовании свойств систем с фрактальной структурой.

Фрактальный подход вносит новый уровень понимания динамики соотношения обратимых и необратимых процессов, открывая тем самым, новое направление в развитии неравновесных процессов, в основе которых лежит самоорганизация. Ярким примером такого объекта является пылевая плазма, в которой проявляется процессы самоорганизации.

Таким образом, разработка методов моделирования физических процессов в средах с фрактальной структурой, основанные на математическом аппарате дифференцирования дробного порядка актуальна.

Цель дипломной работы:

Во-первых, исследование алгоритмов для решения краевых задач на основе математического аппарата дифференцирования дробного порядка для создания адекватных математических моделей в средах с фрактальной структурой. фрактал дифференциальный двухсеточный диффузия

Во-вторых, создание многозначного метода для численного решения задачи Коши для уравнения дробного порядка вида.

В-третьих, применение дробно-дифференциальных уравнений аномальной диффузии, позволяющие описывать как аномально медленные, так и аномально быстрые процессы переноса.

Задачи:

1) Провести анализ литературных источников по данной теме;

2) Исследовать двухсеточные параллельные алгоритмы для решения дробно-дифференциальных уравнений аномальной диффузии;

3) Изучить метод Шварца, адаптированный для решения уравнений переноса, содержащих частные производные дробного порядка по времени.

Научная новизна работы: Исследованы численные методы решения краевых задач для уравнений переноса с фрактальной структурой.

Теоретическая и практическая ценность. Предложенные математические модели и численные методы решения краевых задач могут служить основой для моделирования неравновесных процессов и построения численных алгоритмов решения задач в средах с фрактальной структурой. Область их применения - исследование процессов в открытых системах с учетом эффектов памяти, пространственных корреляций и самоорганизаций.

Краткое содержание дипломной работы: Работа состоит из введения, трех глав, списка цитированной литературы и приложения. Нумерация формул ведётся по главам. Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формируется цель и задачи работы, излагается краткое содержание дипломной работы.

В первой главе рассматривается математическое и физическое определение фрактала. Рассмотрены дифференциальные уравнения дробного порядка, приведены примеры решений задач Коши. Дается интерпретация фрактала с позиции физических свойств и связи особенностей геометрии свойств объекта с их физическими свойствами.

Во второй главе предложены и исследованы двухсеточные параллельные алгоритмы для решения дробно-дифференциальных уравнений аномальной диффузии. В данной работе изложен подход к построению алгоритмов, основанных на использовании идеи двухсеточных методов.

В третьей главе представлен метод Шварца для уравнения диффузии дробного порядка. Метод может быть адаптирован для решения уравнений переноса, содержащих частные производные дробного порядка по времени.

Оба метода могут быть адаптированы для решения уравнений переноса, содержащих частные производные дробного порядка по времени. Хорошо исследованы виды таких уравнений, которыми являются дробно-дифференциальные уравнения аномальной диффузии, позволяющие описывать как аномально медленные, называемые субдиффузией, так и аномально быстрые, называемые супердиффузией, процессы переноса. Такие процессы наиболее часто наблюдаются в неоднородных сложных средах: пористых и трещиновато-пористых средах, перколяционных кластерах и самоподобных фрактальных структурах, турбулентных потоках жидкости, газа и плазмы и многих других. Как правило, аномальный перенос обусловлен эффектами памяти, пространственной нелокальности и перемежаемости.



Глава I. Основные определения и вспомогательные предложения

1.1 Фрактал и фрактальная размерность

Первоначальное определение фрактала, предложенное Мандельбротом:

Определение 1.1. Фрактальным множеством называется множество, у которого размерность Хаусдорфа-Безиковича строго больше его топологической размерности.

Однако данное определение при всей его правильности и точности было слишком ограничено и исключало многие фракталы, встречающиеся в физике и математике.

Для начала приведем математическое определение фрактала:

Определение 1.2. Фрактал - это функциональное отображение или множество, получаемое бесконечным рекурсивным процессом, и имеющее следующие свойства:

1) самоподобие, или масштабную инвариантность (бесконечный скейлинг), то есть фракталы на малых масштабах выглядят в среднем так же, как и на больших;

2) дробную размерность, называемую размерностью Хаусдорфа, строго большую, чем топологическая размерность;

3) недифференцируемость и оперирование дробными производными и интегралами.

Физическое определение фрактала:

Определение 1.3. Фракталы ? это геометрические объекты (линии, поверхности, тела), имеющие сильно изрезанную структуру и обладающие свойством самоподобия (скейлинга) в ограниченном масштабе.

В настоящее время применяется несколько принципиально различных определений размерности, важнейшие из которых: топологическая размерность, фрактальная размерность или размерность Минковского и размерность Хаусдорфа.

Определение 1.4. Топологическая размерность множества X равна нулю, если для любой точки множества X найдется малая окрестность, граница которой не пересекается с X. Топологическая размерность X равно n, если для любой точки этого множества найдется любая малая окрестность, граница которой пересекается с X по множеству размерности , и кроме того, есть наименьшее положительное число для которого это условие выполнено.

В отличие от топологической размерности, которая, как следует из определения, всегда выражается целым числом, фрактальная размерность может принимать дробное значение.Определение 1.5. Будем покрывать множество X в пространстве шаблонами размера и обозначим за минимальное число таких шаблонов, необходимых для полного покрытия множества X. Если существует предел

то его значение называют фрактальной размерностью или размерностью

Минковского множества

Для гладких множеств фрактальная размерность совпадает с топологической.

Определение фрактальной размерности хорошо приспособлено для вычислительных оценок, однако в некоторых случаях фрактальные свойства множеств, определенные с помощью данной размерности, являются результатом применения неподходящего определения. Недостаток определения фрактальной размерности заключается в том, что покрытие фрактального множества шаблонами одинакового размера оказывается чересчур грубым способом измерения. Более тонкий способ можно получить, если разрешить использование сколь угодно малых шаблонов, отказавшись при этом от необходимости наиболее экономного покрытия. Для определения размерности в данном случае необходимо ввести определение меры Хаусдорфа. Определение 1.6. Будем покрывать множество пространстве произвольными множествами , диаметры которых не превосходят , внешней мерой Хаусдорфа множества X называется предел

где точная нижняя граница берется по всевозможным покрытиям множества X множествами .

Внешняя мера Хаусдорфа неотрицательна и для нее существует некоторое критическое значение , такое что и при

Определение 1.7. Критическое значение называется размерностью Хаусдорфа множества

Для большинства фрактальных объектов размерности Минковского и Хаусдорфа имеют близкие значения или совпадают. В общем же случае выполняется неравенство

В реальности приходится иметь дело не просто с фрактальными множествами, а с распределенными на них мерами. Примерами таких мер

могут являться локальная концентрация влаги в облаке, распределение вероятностей роста для процессов ограниченной диффузией агрегации или

локальная скорость вязкостной диссипации энергии в турбулентном течении. Для описания подобных систем недостаточно отдельно взятой фрактальной размерности множества, и необходим целый спектр, дискретный или непрерывный, размерностей.

Определение 1.8. Пусть на множестве X распределена мера . Выберем

некоторую точку и накроем ее шаблоном диаметра . Если мера этого шаблона степенным образом зависит от его диаметра

то будем говорить, что в точке мера имеет сингулярность порядка .

Чем меньше , тем более сингулярным является распределение меры в точке x. При равномерном распределении . Предельное значение соответствует меры в одной точке.

Определение 1.9. Рассмотрим покрытие множества X, на котором определена мера , шаблонами диаметра . Обобщенной статистической суммой или моментной функцией порядка q называется функция

где точная нижняя граница берется по всевозможным покрытиям множества X множествами

Определение 1.10. Если при моментная функция степенным образом зависит от диаметра :

тогда показатель степени носит название скейлингового показателя, а величины , определяющиеся из выражения

называются обобщенными фрактальными размерностями. В общем случае фрактальные размерности являются монотонно невозрастающей функцией порядка

Из определения (1.6) - (1.7) следует, что обобщенная размерность нулевого порядка совпадает с фрактальной размерностью множества

Обобщенная размерность первого порядка носит название информационной размерности и показывает, как количество информации,

необходимое для определения местоположения точки, возрастает с уменьшением размера шаблона . Размерность называется корреляционной размерностью и в случае вероятностной (нормированной на единицу) меры выражает коэффициент корреляции между парой точек, находящихся на расстоянии не дальше друг от друга.

Численно фрактальную размерность можно оценить с помощью алгоритма, называемого реконструкцией аттрактора. Рассмотрим основную идею данного метода. Измерения некоторой характеристики объекта в единственной точке пространства представляются в виде дискретного множества. Интервал дискретизации выбирается порядка временного радиуса корреляции измерений. Из элементов множества последовательно формируются наборы векторов, для различных натуральных чисел N, называемых параметрами вложения. Затем для каждого набора векторов определяется корреляционный показатель. Если всего векторов М, то он равен



где число всех расстояний между точками в мерном пространстве, которые меньше . Если зависимость корреляционного показателя от параметра вложения стремится с ростом к константе, то это константа и будет оценкой размерности исследуемого объекта.

Фрактальную размерность иногда называют дробной размерностью. Однако дробность не является необходимым условием фрактальности. Существуют фрактальные объекты, размерность которых выражается целым числом. Ключевым в определении фрактала является условие Мандельброта, то есть фрактальная размерность больше, чем топологическая.

1.2 Дифференциальные уравнения дробного порядка

Краевые задачи для дифференциальных уравнений с дробными производными возникают при описании процессов переноса в средах с фрактальной размерностью. В таких уравнениях порядок дробной производной связан с фрактальной размерностью среды.

Определение 1.12. Уравнения, в которые неизвестная функция входит под знаком производной дробного порядка, то есть уравнения типа

где называются дифференциальными уравнениями дробного порядка.

По аналогии классической теорией дифференциальных уравнений среди дифференциальных уравнений дробного порядка выделяют линейные однородные и неоднородные уравнения с постоянными и переменными коэффициентами.

Часто возникает необходимость решать аналоги задач Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка. Так, если требуется найти решение уравнения (1.2.1), удовлетворяющее начальным условиям

следовательно, разыскивается решение задачи типа Коши для уравнения (1.2.1). Если же значения искомой функции или значения ее производных целого или дробного порядка заданы на концах некоторого отрезка [, тогда поставлена краевая задача или задача типа Дирихле.

Далее приведем постановки некоторых конкретных задач для дифференциальных уравнений дробного порядка, рассмотрим вопросы разрешимости данных задач в различных классах функций.

1°. Задачи типа Коши для дифференциальных уравнений и систем дробного порядка общего вида.

Пусть требуется найти функцию , удовлетворяющую уравнению

при начальных условиях

где заданная функция и постоянные величины.

Рассмотрим ряд теорем о существовании и единственности решения поставленной задачи.

Обозначим через следующее множество точек из области , лежащей в :

где некоторые постоянные.

Теорема 1 Пусть вещественнозначная, непрерывная в области функция, удовлетворяющая по условию Липшица

и ограничению

Тогда решение задачи Коши (1.2.2) и (1.2.3) для в области , существует непрерывно и единственно.

Теорема 2. Пусть удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, тогда решение задачи Коши (1.2.2) и (1.2.3) для в области существует, непрерывно и единственно.

Теорема 3. Пусть , вещественнозначные непрерывные в области функции, удовлетворяющие условиям



Тогда решение задачи Коши

в области

,

где существует, непрерывна и единственно.

Теорема 4. Пусть функция удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, тогда решение задачи Коши

в области

где



существует, непрерывно и единственно.

Теорема 5. Пусть непрерывные в интервале (0, h) функции, тогда решение задачи Коши

имеет единственное непрерывное на (0, h) решение.

Теорема 6. При условиях предыдущей теоремы задача Коши

имеет единственное непрерывное на (0, h) решение.

Доказательства теорем ненамного отличаются от доказательств соответствующих теорем для дифференциальных уравнений целого порядка. Поэтому полностью докажем лишь теорему 1.

Интегрируя уравнение (1.2.2), здесь , имеем



откуда, согласно условию (1.2.3), получим

Итак, задача (1.2.2), (1.2.3) приводится к уравнению (1.2.5). Покажем теперь, что непрерывная функция удовлетворяет (1.2.5), то она удовлетворяет и (1.2.2), (1.2.3). Действительно, применяя к последнему равенству , имеем

откуда

Условие (1.2.3) при n=k=1 получается, если к (1.2.5) применить оператор

затем положить

Из всего вышесказанного следует, что уравнение (1.2.5) в указанном смысле равносильно уравнению (1.2.2) с начальным условием (1.2.3).

Дальнейшее доказательство осуществим методом последовательных приближений. Пусть

Нужно, чтобы точки оставались в при Из условия

следует оценка

Нужно, чтобы , получим, что при

Теперь оценим разность Согласно (1.2.6), имеем

Из (1.2.5) при с помощью условия Липшица и предыдущей оценки находим



Повторив многократно такие же оценки, окончательно приходим к равенству

Отсюда следует, что последовательность равномерно относительно стремится к некоторой предельной функции . Эта функция при непрерывна и удовлетворяет неравенству

которое следует в пределе при из неравенства (1.2.6). Совершив теперь в (1.2.5) предельный переход при в силу непрерывности , легко получим равенство (1.2.4).

Докажем, что при достаточно малых решение единственно. Пусть и предположим, что имеются два решения и рассматриваемой задачи. Подставив их в (1.2.4), после вычитания получим



Если разность на промежутке допускает наибольшее значение при некотором . Тогда при из последнего неравенства следует или , что противоречит предположению. Этим и завершается доказательство теоремы 1.

Теорема 2 доказывается аналогично теореме 1, только в этом случае положим, что

Теоремы 3 и 4 являются распространением предыдущих теорем на систему дифференциальных уравнений дробного порядка. А теоремы 5 и 6 являются частными случаями теорем 3 и 4.

2. Задачи типа Коши для линейного дифференциального уравнения дробного порядка.

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение дробного порядка вида

где



очевидно, что а некоторые заданные функции. Требуется найти решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям

Для решения данной задачи Коши, начнем со случая

то есть рассмотрим уравнение

Теорема 1.7. Пусть функция представима в виде

где Тогда решение задачи типа Коши (1.2.9) и (1.2.10) существует, единственно и представимо в виде

Доказательство. Из формулы (1.2.8) очевидным образом вытекает, что

Следовательно, уравнение (1.2.10) можно переписать в виде

Или

Таким образом, уравнения (1.2.9) и (1.2.10) свелись к уравнению (1.2.13) с условиями (1.2.9), где Снова, применив к уравнению (1.2.13), аналогично предыдущему найдем

Теперь уравнения (1.2.9) и (1.2.10) свелись к задаче (1.2.14) с условиями (1.2.9), где . Продолжив этот процесс дальше, получим, что уравнение (1.2.10) сводится к эквивалентному уравнению

которое после учета формулы



приобретает вид

Покажем, что полученная функция удовлетворяет начальным условиям (1.2.9). Для этого к равенству (1.2.15) применим оператор

Положив здесь получим условие (1.2.9) при . Подействовав на (1.2.15) оператором и положив затем придем к условию (1.2.9) при Продолжив процесс дальше, убедимся в выполнении всех оставшихся условий (1.2.9). Из равенства (1.2.15) также следует и единственность решения рассматриваемой задачи типа Коши. Теорема доказана.

Перейдем к доказательству основной теоремы.

Теорема 8. Пусть функции на отрезке удовлетворяют условию Липшица, то есть условию Гельдера с показателем , а функция там непрерывна и допускает представление

где . Тогда если то задача типа Коши (1.2.7), (1.2.9) имеет единственное непрерывное на решение.

Доказательство. Положим Тогда (1.2.7) примет вид интегрального уравнения Вольтерра второго рода

Где

Из представления (1.2.18) видно, что ядро при имеет слабую особенность. Применив к (1.2.17) метод последовательных приближений, получим, что это уравнение допускает не более одного непрерывного на решения Отсюда, согласно теореме 1.7, вытекает единственность решения уравнения (1.2.7) и (1.2.9). Доказательство существования решения этой задачи также в силу теоремы 1.7 сводится к доказательству возможности представления

Действительно, поскольку уравнение (1.2.17) допускает не более одного решения то, согласно теореме 1.7, осталось установить, что функция



является решением уравнения (1.2.7) и (1.2.9). Таким образом, необходимо проверить выполнение условия (1.2.20), фигурирующего в теореме 1.7. Следует проверить.

Приняв во внимание условия и неравенства запишем нужные формулы для дальнейшего расчета

которые вместе с (1.2.16) дают возможность равенство (1.2.19) записать в виде

Теперь воспользуемся формулой, которая для любых функций существует единственная функция , удовлетворяющая равенству

На основе этого результата соотношение (1.2.21) можно переписать в виде

где некоторая функция из . Далее из (1.2.17) и (1.2.18) имеем

откуда, согласно (1.2.22), получаем

где

Таким образом, из (1.2.23) и (1.2.24) вытекает, что

Если теперь , то представление (1.2.20) доказано. Если же то, согласно (1.2.22), существует такое что и

откуда и следует утверждение теоремы.

3. Задача типа Коши для уравнения диффузии дробного порядка

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение порядка

с действительным положительным параметром . Здесь - так называемая частная производная Римана-Лиувилля порядка по t, определяемая формулой [18]:

где целая часть , а дробная часть гамма-функция.

В частном случае, если и , тогда

и поэтому уравнение (1.2.25) при совпадает с уравнением теплопроводности

а при с волновым уравнением

Уравнение (1.2.27) также известно как уравнение диффузии, и поэтому уравнение (1.2.25) называют уравнением диффузии дробного порядка.

Решение задачи Коши для уравнения (1.2.25) с и начальными условиями

было получено в [3]. В работах [4] - [5] были найдены фундаментальные решения этой задачи (когда есть дельта-функция), а также двух краевых задач теории сигналов для уравнения (1.2.25) с начальными условиями при и дополнительным условием при было дано решение задачи типа Коши для уравнения (1.2.3) при с краевыми условиями

Где

так называемый частный дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка

Следует рассмотреть решение задачи типа Коши для уравнения (1.2.25) при любом где , с условиями



Здесь определяется (1.2.26) при и , при этом предполагается, что а выражение понимается как предел

Для решения задачи (1.2.25), (1.2.32) применим преобразование Лапласа по t

и преобразование Фурье по x

Описание классов основных и обобщённых функций для которых эти преобразования определены, можно найти в монографиях [6-8].

Решение задачи типа Коши (1.2.25), (1.2.32) будет выражаться в терминах специальной функции определенной для действительных и комплексных интегралом Меллина-Барнса вида



где L - некоторый бесконечный контур [9]. Если a > -1, то, используя обычную технику вычисления интегралов Меллина-Барнса [9] и вычисляя вычеты подынтегральной функции в (1.2.35) в полюсах гамма-функции Г(s), мы придем к представлению в виде степенного ряда

Такая функция известна как функция Райта [10)]. Она является целой функцией от и любом [11].

На основании может быть также представлена в виде так называемой H-функции [12]:

Применяя преобразование Лапласа (1.2.32) к обеим частям уравнения (1.2.25), учитывая формулу преобразования Лапласа дробной производной [2]:

и начальные условия (1.2.32), получим



Применяя преобразование Фурье к обеим частям этого равенства и учитывая формулу преобразования Фурье производной [7] , с , приходим к соотношению

Лемма 1. Имеет место следующая формула преобразования Фурье функции

Доказательство. Применяя формулу [1] соотношение с и равенство с , имеем

Согласно (1.2.38) с и поэтому равенство (1.2.37) можно представить в виде



В силу теоремы о преобразовании Фурье свёртки [6]:

Лемма 2. При верна следующая формула

Доказательство. Используем представление (1.2.35) для , где контур L выбран так, чтобы Тогда , что обеспечивает сходимость встречающихся ниже несобственных интегралов. Согласно (1.2.33) и (2.3.35) имеем



Используя обычную технику вычисления интегралов Меллина-Барнса, вычисляя вычеты подынтегральной функции в полюсах гамма-функции Г(s) и используя асимптотическое равенство (s, находим

Используя (1.2.40), перепишем равенство (1.2.39) в виде

и применяя обратное преобразование Лапласа мы получаем решение исходной задачи типа Коши (1.2.25), (1.2.32):

Отсюда вытекает следующий результат:

Теорема 1. Если то задача типа Коши (1.2.25), (1.2.32) имеет решение даваемое формулой (1.2.33), при условии, что интегралы в (1.2.3) сходятся.

Следствие 1. Если то задача типа Коши (1.2.25), (1.2.30) имеет решение

при условии, что интеграл в (1.2.30) сходится.

В частности, если =1, то и поэтому задача Коши для уравнения теплопроводности (1.2.27) с начальными условиями (1.2.29) имеет решение

Следствие 2. Если , то задача типа Коши для уравнения (1.2.25) с начальными условиями

имеет решение

при условии существования интегралов в правой части (1.2.32).

1.3 Определение дробных производных Римана-Лиувилля

Определение 1.13. Для функции , заданной на отрезке , каждое из выражений

называется дробной производной порядка , соответственно левосторонней и правосторонней.

Дробные производные и называют обычно производными Римана-Лиувилля.

Заметим, что дробные производные определены пока только для порядка Прежде чем перейти к случаю , определим простой достаточный признак существования дробных производных.

Лемма 1. Если , то функция имеет почти всюду производные и , причем и их можно представить в виде

Пример функции , на которой определена и непосредственное вычисление с учетом свойств бета-функции и гамма - функции приводит к формуле Эйлера:

в частности

Дробная производная (1.3.4) будет интегрируемой функцией, если . Эта ситуация будет характерна в том смысле, что функция с интегрированной особенностью будет иметь интегрируемую дробную производную , если порядок особенности меньше чем .

Утверждение (1.3.5) означает, что функция играет для дробной производной ту же роль, что и постоянная для обычного дифференцирования.

Перейдем, наконец, к дробным производным больших порядков . Будем пользоваться стандартными обозначениями: [ целая часть числа дробная часть числа так что

Если целое число, то под дробной производной порядкам будем понимать обычное дифференцирование:



Если же не целое число, то естественно ввести по формулам

Таким образом,

Будем пользоваться также обозначениями

где левосторонний дробный интеграл Римана-Лиувилля, правосторонний интеграл Римана-Лиувилля.

Понимая под каждым из них производную (1.3.1), (1.3.10), аналогично истолковываются и символы . Отметим, что иногда вместо используется обозначение

Достаточное условие существования производных (1.3.10) и (1.3.11) состоит в том, чтобы



Где класс, введенный следующим определением.

Определение 1.14. Через , где отрезок, обозначим класс функций , непрерывно дифференцируемых на до порядка , причем

Для выполнения этого условия достаточно, чтобы

Нетрудно проверить, что формула (1.3.4) имеет место при произвольных и аналогично (1.3.5)



Глава II. Модификация метода Шварца для уравнения диффузии дробного порядка

2.1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу Коши для уравнения диффузии дробного порядка

где функция ограничена в коэффициент аномальной диффузии,

левосторонняя частная производная дробного порядка типа Римана-Лиувилля.

2.2 Численная схема алгоритма метода решения дифференциальных уравнений дробного порядка на основе модифицированного метода Шварца

Разобьем область на две, возможно неперекрывающиеся, подобласти и . Обозначим приближение к искомой функции в подобласти через , а в области через . Распишем задачу (3.1.1) отдельно для каждой области:

Схема декомпозиции области

Решение задачи (2.1.1) может быть получено композицией решений . Поставим на внутренних границах областей и следующие граничные условия:

где оператор имеет вид, соответствующей аномальному диффузионному потоку: , а некоторые линейные операторы, действующие по переменной и подлежащие определению.

Для системы (2.2.1) и (2.2.2) можно записать следующий итерационный процесс:



Операторы должны выбираться так, чтобы гарантировать сходимость итерационного процесса.

Обозначим через

соответствующие ошибка на итерации. В силу линейности всех операторов, для определения ошибок из (2.2.1) - (2.2.3) получаем следующий итерационный процесс:

Сходимость итерационного процесса (2.2.4) к нулю независимо от начального приближения гарантирует сходимость исходного процесса (2.2.3). Из данного условия и могут быть найдены операторы

Обозначим через преобразование Лапласа от функции по времени:

Будем предполагать, что преобразование Лапласа от Применив преобразование Лапласа по времени к задаче (2.2.3), получаем

Разрешая уравнения (2.2.5) с учетом ограниченности функций находим

Подставляя (2.2.6) в граничные условия из (2.2.5), приходим к соотношениям

где коэффициент, характеризующий сходимость итерационного процесса. При

обращается в нуль. Из (2.2.7) следует, что в этом случае , что с учетом (2.2.6) дает Таким образом, условие (2.2.8) обеспечивает сходимость итерационного процесса (2.2.4) за две итерации независимо от начального приближения и глубины перекрытия

Применяя к (2.2.8) обратное преобразование Лапласа, находим искомые операторы:

Можно показать, что при разбиении исходной области на подобластей такой способ выбора операторов гарантирует сходимость итерационного процесса за шагов.

2.3 Вычислительный алгоритм метода Шварца для уравнения диффузии дробного порядка

Рассмотрим численную реализацию метода декомпозиции для случая ограниченной области

Опишем следующую первую начально-краевую задачу для уравнения диффузии дробного порядка:

Для простоты будем полагать, что область разделяется на две разные подобласти без перекрытия:

Решение задачи в области обозначим через , а в области через . На внутренней границе подобластей ставим стыковочные граничные условия вида (2.2.2) с операторами (2.2.9).

Каждую подобласть разобьем равномерной конечно-разностной сеткой с шагом и числом узлов . Будем использовать локальную нумерацию узлов в пределах каждой подобласти Шаг по времени будем считать постоянным, временной слой обозначим через Значения сеточных функций обозначим

Производную дробного порядка по времени аппроксимируем на основе формулы [5]:

Аналогично (2.2.3), в каждой подобласти организуем итерационный вычислительный процесс. С учетом конечно-разностной аппроксимации, для имеем:

Здесь обозначено , В качестве начального приближения используем значение с предыдущего временного слоя: Отметим, что в (2.3.2) итерационный процесс организуется только для временного слоя На всех предыдущих временных слоях процесс считается сошедшимся, поэтому у сеточных функций на этих слоях индекс номера итерации отсутствует.

Аналогично (2.3.2), запишем итерационный процесс в области для функции .

Заметим, что (2.3.2) на каждом временном слое приводит к системе линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей

векторами и где

Данная система легко может быть решена методом прогонки.

Аналогичная система записывается в области для вектора неизвестных

2.4 Параллельный алгоритм и оценка его эффективности

Приведем формальное описание параллельного алгоритма, порождаемого численной схемой их предыдущего раздела.

Пусть имеется с вычислительных модулей (процессоров или ядер) одинаковой производительности. В этом случае расчетная область разбивается на с неперекрывающихся подобластей одинакового размера, и каждый вычислительный модуль отвечает за расчет своей подобласти. Так как внутреннее граничное условие содержит производную по пространству, каждый вычислитель на каждом временном слое со стороны каждой внутренней границы должен иметь две вспомогательные переменные для хранения значений, передаваемых с соседней подобласти. Важно отметить, что в отличие от классических уравнений переноса, при расчете аномальной диффузии необходимо сохранять значения вектора неизвестных на всех временных слоях. Алгоритм состоит из следующих шагов.

1. На основании исходных данных задачи и параметров сетки все вычислители параллельно рассчитывают коэффициенты матрицы А из (2.3.3) и неизменные составляющие прогоночных коэффициентов.

2. На каждом вычислителе организуется глобальный цикл по временным шагам. На нулевом шаге вектор искомых значений заполняется в соответствии с начальным условием.

3. Для произвольного временного шага выполняются следующие действия.

а) Вычисляются новые коэффициенты и .

б) На каждом вычислителе организуется внутренний итерационный процесс.

в) Вычислители, отвечающие за расчет соседних подобластей, обмениваются двумя приграничными значениями. При этом на первом итерационном шаге пересылаются значения с предыдущего временного слоя, а на последующих итерационных шагах значения с предыдущей итерации.

г) На первом итерационном шаге каждый вычислитель по формулам вида (2.3.4) параллельно вычисляет вектор правой части системы. На последующих итерациях пересчитываются только первый и последний элементы вектора Н, соответствующие внутренним границам.

д) Каждый вычислитель параллельно решает свою систему методом прогонки.

е) Если номер итерации меньше р, повтор с шага б), иначе переход на новый временной слой и повтор с шага 3.

Проведем теоретическую оценку эффективности этого алгоритма. Представим, что в задаче (2.3.1) и граничные условия постоянны. Если число узлов сетки в каждой подобласти равно , то расчет элементов вектора на временном слое на первом итерационном шаге требует для внутренней подобласти арифметических операций, а на последующих итерациях - только 8 операций, необходимых для пересчета первого и последнего элементов вектора, соответствующих внутренним границам. Трудоемкость решения системы методом прогонки с учетом неизменности матрицы составляет Тогда трудоемкость расчета j-ro временного слоя для с вычислителей за с итераций без учета затрат на передачу данных составит

Трудоемкость реализации алгоритма на одном вычислителе, в данном случае внутренние итерации отсутствуют, составит

В результате получим ускорение алгоритма:

Как правило, , поэтому и оценка упрощается. Тогда для больших временных слоев алгоритм имеет асимптотически линейное ускорение: в этом случае стремится к единице.



Глава III. Двухсеточные параллельные алгоритмы для решения дробно-дифференциальных уравнений аномальной диффузии

3.1 Постановка задачи

При описании процессов аномальной диффузии наиболее часто используются левосторонняя и правосторонняя производные дробного порядка б типа Римана-Лиувилля [5]:

где целая часть числа

В дальнейшем для иллюстрации предлагаемого подхода будем рассматривать уравнение аномальной диффузии дробного порядка следующего вида:

Для уравнения (2.1.3) поставим первую краевую задачу:

где заданные функции. Отметим, что постановка таких краевых условий предъявляет определенные дополнительные требования к виду функции , которые однако не являются важными для рассматриваемых алгоритмов и поэтому здесь не приводятся.

При построении численных схем для дробно-дифференциальных уравнений используются различные конечно-разностные аппроксимации дробных производных. Для левосторонней дробной производной (3.1.1) в случае равномерной сетки все они могут быть представлены в следующем общем виде:

(здесь h - шаг сетки).

Аналогичная формула имеет место и для правосторонней дробной производной (3.1.2). При имеем наиболее часто используемую классическую аппроксимацию, получаемую из формулы Грюнвальда-Летникова и обеспечивающую первый порядок точности аппроксимации дробной производной для аналитических функций.

биномиальные коэффициенты.

Повысить порядок точности можно использованием полиномиальной интерполяции искомой функции между узлами расчетной сетки с последующим аналитическим вычислением соответствующих интегралов. Случай линейной межузельной интерполяции, обеспечивающий второй порядок точности, рассмотрен в [7].



3.2 Декомпозиция задачи на основе двухсеточного подхода

Введем в рассматриваемой пространственно-временной области равномерную конечно-разностную сетку с шагом по пространственной и по временной переменным:

Сетку (2.2.1) в дальнейшем будем называть грубой сеткой. Каждую ячейку, ограниченную смежными узлами грубой сетки, будем рассматривать как отдельную расчетную подобласть:

Для производные дробного порядка, входящие в уравнение (3.1.3), могут быть записаны следующим образом:

где введены следующие обозначения для интегралов:

где дробный интеграл Римана-Лиувилля, дробный интеграл ГрюнвальдаЛетникова.

Уравнение (3.1.3) в области может быть теперь переписано в следующем виде:

где

линейный интегральный оператор. Принципиально важным является тот факт, что вычисление в области производится по значениям функции при

Обозначим через сеточную функцию решения задачи на грубой сетке . В предлагаемом подходе ее значения используются для постановки начальных и граничных условий для уравнения (3.2.2), а также вычисления интегралов, входящих в .

После того, как задача для уравнения (3.2.2) замыкается с помощью начальных и граничных условий и указан способ вычисления по значениям U, численное решение задач в

каждой подобласти или соответствующим образом выбранной группе подобластей может выполняться параллельно. Для этого в каждой подобласти вводится точная сетка (для простоты считаем, что разбиение всех подобластей идентично):

С использованием аппроксимаций вида (2.1.5) на сетке строится конечно-разностная аппроксимация уравнений (2.2.2) требуемого уровня точности. Как и в случае классического уравнения диффузии, могут быть построены явные, неявные или полу-явные схемы. Сеточную функцию задачи на точной сетке будем обозначать через

Таким образом, точная сетка используется для параллельного решения задач в отдельных подобластях, которые могут выполняться параллельно, а грубая сетка используется для постановки краевых условий и вычисления дополнительной функции источника .

На основе такого двухсеточного подхода возможно построение алгоритмов двух видов. В алгоритмах первого вида счет ведется последовательно (например, по времени) и в узлы грубой сетки просто копируются значения, полученные при расчете на точной сетке. Затем эти значения рассылаются по всем подобластям, в которых они необходимы для вычисления соответствующих элементов. Второй вид алгоритмов в более полной мере реализует идею двухсеточного подхода и основан на схемах типа «предиктор-корректор». В этом случае каким-либо образом рассчитываются начальные приближения в узлах грубой сетки, а затем проводятся расчеты (параллельные) на точных сетках и уточняются приближения на грубой сетке.



3.3 Обоснование алгоритма и оценка его эффективности

Данный алгоритм относится к алгоритмам первого вида. Расчет по времени ведется последовательно, поэтому шаги по времени грубой и точной сеток совпадают: Характерными особенностями алгоритма, обеспечивающими требуемый уровень точности вычислений, являются:

1) использование кубической сплайн-интерполяции по значениям в узлах грубой сетки на одном временном слое;

2) использование полиномов второй и третьей степени для аппроксимации в окрестности границ подобластей производных дробного порядка по пространственной переменной.

Сохранение заданной точности вычислений производных дробного порядка по пространству после декомпозиции на подобласти является главной проблемой при разработке соответствующих параллельных алгоритмов. Использование классических аппроксимаций вида (3.1.5) (типа Грюнвальда-Летникова) для смещенных дробных производных, входящих в уравнение (3.2.2), может приводить к катастрофической потере точности вычислений в окрестности границ областей несмотря на сохранение общего порядка точности аппроксимации. Для подавления ошибки предлагается использовать следующие вычислительные приемы.

Во-первых, необходимо выполнить сдвиг вычисляемой функции на величину соответствующего граничного значения:

В результате основная составляющая производной оказывается вычисленной аналитически, а по приближенным формулам рассчитываются уже относительно небольшие поправки.

Во-вторых, при расчете левосторонней производной из правой части (3.3.1) в точке и правосторонней производной из правой части (3.3.2) в точке коэффициенты соответствующих аппрокcимаций вида (3.1.5) находятся на основе явного вычисления этих производных по трехузловой квадратичной интерполяции. Для следующих точек и используется четырехузловая кубическая интерполяция. Для остальных точек может быть использована классическая аппроксимация первого или второго порядка точности.

В-третьих, вычисление интегралов и производится аналитически для кубической сплайн-интерполяции, построенной по значениям на грубой сетке U. Известно, что оценка погрешности аппроксимации функции f(x) кубическим сплайном s(x) на равномерной сетке с шагом H имеет вид

где Тогда легко получается оценка точности вычисления интеграла

где

Аналогичная оценка справедлива для интеграла . Поскольку

множитель является общим множителем при вычислении дробных производных на точной сетке по аппроксимациям вида (3.1.5), то точность вычисления интегралов по сплайн-интерполяции в разностной схеме решения уравнения (3.2.2) на точной сетке имеет порядок . Если для аппроксимации дробных производных используется аппроксимация первого порядка точности по пространству, то для сохранения этого порядка у всей схемы для уравнения (3.2.2) необходимо выполнение следующего очевидного неравенства: . При использовании аппроксимации второго порядка точности неравенство становится более жестким: .

Далее представлены основные шаги алгоритма при использовании явной схемы для дискретизации уравнений (3.2.2).

1. По заданному начальному условию задачи (3.1.4) каждый процессор параллельно вычисляет значения сеточной функции U на нулевом временном шаге.

Следующие шаги алгоритма являются едиными для временных слоев

2. По значениям U для временного слоя каждый процессор вычисляет коэффициенты соответствующего кубического интерполяционного сплайна.

3. На точной сетке все процессоры параллельно выполняют расчет на временном слое . При этом производная по времени аппроксимируется формулой Грюнвальда-Летникова

а производные по пространству аппроксимируются на м временном слое с учетом (3.3.1) и (3.3.2) по формулам

Коэффициенты Ar выбираются так, как описано выше. Интегралы вычисляются по аналитическим формулам для сплайн-интерполяции, построенной на втором шаге.

4. Процессор, отвечающий за расчет подобласти , пересылает процессору, отвечающему за расчет соседней подобласти значение приращения за временной шаг искомой функции в первом узле точной сетки: (здесь верхний индекс соответствует пространственному номеру области). Процессоры, получившие значения, вычисляют сеточную функцию в узлах грубой сетки на l-м временном слое по формуле

5. Выполняется взаимный обмен рассчитанными значениями сеточной функции U таким образом, чтобы полный вектор этих значений находился на каждом процессоре. Далее переход к следующему временному слою и повтор алгоритма со второго шага. Отметим, что условие устойчивости использованной явной конечно-разностной схемы имеет вид

3.4 Параллельный алгоритм с декомпозицией по времени

Алгоритм базируется на пространственно-временной декомпозиции расчетной области на основе грубой сетки , представленной в разделе 3.2, и двумерной сплайн-интерполяции решения по значениям сеточной функции U в узлах грубой сетки.

Пусть с использованием некоторого сеточного метода G, который в дальнейшем будем называть «грубым» построено приближенное решение U краевой задачи (3.1.3), (3.1.4) в узлах грубой сетки. Рассмотрим теперь задачу для уравнения (3.2.2) в области . Обозначим через функцию решения этого уравнения. С использованием сплайн-интерполяции по значениям U на временном слое можно записать начальное условие для уравнения (3.2.2) в виде

Пусть интерполяция по временной переменной поля значений U выполняется таким образом, что значения интерполяционных коэффициентов для произвольного слоя зависят только от значений U на этом и предыдущих временных слоях. Эта интерполяция

используется для вычисления интегралов . Тогда решение уравнения (3.2.2) с начальным условием (3.3.1) будет зависеть только от значений U на первых временных слоях:

Отметим, что для получения решений вида (3.3.2) необходимо, вообще говоря, на каждом временном слое решать систему уравнений вида (3.2.2) для всех подобластей, принадлежащих данному временному слою, с условиями сопряжения решений на границах подобластей. Однако, при численном решении этой задачи на мелкой сетке может быть эффективно использован алгоритм, приведенный в разделе 3.3.

Зная решения (3.4.2), можно записать уравнения для нахождения значений в узлах грубой сетки:

Система (3.4.3) является системой нелинейных уравнений относительно сеточной функции U и может быть решена методом Ньютона:

(здесь q - номер итерации метода Ньютона)

Ключевым моментом параллельного алгоритма является способ вычисления производных, входящих в (15):

где через G обозначено решение задачи на грубой сетке, получаемое с помощью «грубого» метода. Таким образом, для вычисления производных на каждом следующем временном слое используется разность «грубых» решений задачи, полученных по старым и новым, уже вычисленным на предыдущих временных слоях, значениям U.

Обозначим через численное решение задачи на точной сетке в области . Полагая , на основе (3.4.4), (3.4.5) получаем основную расчетную формулу параллельного алгоритма:

Данная вычислительная процедура позволяет параллельно по времени итерационно находить приближенные решения задачи в узлах грубой сетки, сопоставимые по точности со значениями, получаемыми при расчете на точной сетке во всей расчетной области.

В результате приходим к следующему параллельному алгоритму (полагаем, что имеется решетка и за вычисление каждой области отвечает свой процессор).

1. С использованием классической явной конечноразностной схемы G, построенной на основе аппроксимаций дробных производных вида (2.1.5), каждый процессор находит начальное приближение решения в узлах грубой сетки .

2. Организуется глобальная итерационная по q процедура метода Ньютона. На первом шаге .

3. По значениям каждый процессор строит двумерную кубическую по каждой переменной сплайн-интерполяцию поля грубого решения.

4. Все процессоры параллельно производят расчет каждый своей подобласти на точной сетке. При этом группы процессоров, отвечающие за расчет одинаковых временных слоев, реализуют алгоритм с декомпозицией по пространству, приведенный в разделе 3.3. Интегралы, образующие Lu в уравнениях (3.1.3), рассчитываются по аналитическим формулам, полученным по принятому виду сплайн-интерполяции.

5. Последовательно (по временным слоям) рассчитывается следующее приближение в узлах грубой сетки по формуле (3.4.6). При этом каждый процессор отвечает за вычисление одного значения и выполняет один дополнительный расчет «грубым» методом . После расчета каждого нового временного слоя полученные обновленные значения рассылаются каждому процессору.

6. Проверяется условие остановки итерационного процесса: Если условие не выполнено, то возврат ко второму шагу. При этом временной слой из расчета исключается (на нем уже получено решение, соответствующее решению на точной сетке, которое не может быть уточнено по (3.4.6)).