Методические особенности расширения числовых множеств в курсе алгебры девятилетней школы

Размещено на http://www.allbest.ru/

Методические особенности расширения числовых множеств

в курсе алгебры девятилетней школы

Первое расширение понятия о числе, которое учащиеся усваивают после ознакомления с натуральными числами, - это добавление нуля. Сначала 0 - знак для обозначения отсутствия числа. Почему же нельзя делить на нуль?

Разделить - значит найти

.

Два случая: 1) , следовательно, надо найти . Это невозможно. 2) , следовательно, надо найти . Таких сколько угодно, что противоречит требованию однозначности каждой арифметической операции.

Изучение нового числового множества идет по единой схеме:

· необходимость новых чисел;

· введение новых чисел;

· сравнение (геометрическая интерпретация);

· действия над числами;

· законы.

Сначала расширение числовых множеств происходит, пока множество не станет числовым полем. Не каждая из числовых систем является числовым полем. Например, система натуральных чисел не является числовым полем; система целых чисел тоже не числовое поле. Система рациональных чисел - числовое поле.

Поле (П) - множество, содержащее не менее двух элементов, на котором заданы две бинарные алгебраические операции - умножение и сложение, обе ассоциативные и коммутативные. Они связаны законом дистрибутивности. Кроме того, в П существует нулевой элемент: для любого

и для каждого противоположного

.

Существует единичный элемент:

.

(Если в некоторой числовой системе все основные действия (сложение, вычитание, умножение и деление, кроме деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел этой системы, такое множество называется числовым полем.) В системе рациональных чисел действия сложения, вычитания, умножения и деления (за исключением деления на нуль) выполнимы и однозначны относительно каждой пары чисел, т.е. определены так, что применение любого действия к паре рациональных чисел приводит к однозначно определенному рациональному числу. Этим же свойством обладает система действительных чисел.

Невыполнимость одного из основных действий приводит к расширению числового множества. В курсе математики 5-6 классов имеет место построение множества рациональных чисел. Следует отметить, что последовательность расширений не однозначна. Возможны варианты:

N, 0 Обыкновенные дроби Десятичные дроби Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

N, 0 Десятичные дроби Обыкновенные дроби Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

N, 0 Десятичные дроби Отрицательные числа Обыкновенные дроби Рациональные числа (целые и дробные, положительные и отрицательные)

N, 0 Целые числа Десятичные дроби (положительные) Обыкновенные дроби (положительные) Рациональные числа (введение отрицательных чисел)

У П.М. Эрдниева в "Математике 5-6":

N, 0 Дробные (обыкновенные и десятичные) Рациональные (введение отрицательных чисел)

Элементарное понятие о дробном числе дается уже в начальной школе как о нескольких долях единицы.

В основной школе дроби обычно вводятся методом целесообразных задач (С.И. Шохор-Троцкий), например, при рассмотрении следующей задачи: "1 кг сахарного песка стоит 15 рублей. Сколько стоят 4 кг песка? 5 кг? кг?" Ученики могут умножить 15 на 4, на 5, теперь им требуется найти от 15. Учащиеся могут разделить на 3 и умножить на 2. Поскольку одну и ту же задачу разумно решать одинаковым арифметическим действием, то они приходят к выводу, что эти два последовательных действия равнозначны умножению 15 на .

Рекомендуется располагать различные случаи умножения на правильную дробь в порядке возрастания трудности:

- умножение на целое число;

- умножение целого числа на смешанное число;

- умножение дроби на смешанное число;

- умножение на правильную дробь;

- умножение на дробь, в которой числитель равен знаменателю.

Для введения сложных случаев предлагается задача на вычисление площади прямоугольника.

Целесообразность введения отрицательных чисел может быть показана учащимся разными способами:

1. Через анализ ситуации, в которой действие вычитания невыполнимо.

Пример. Чебурашка, спасаясь от Шапокляк, проплыл вверх по реке км, но, оказавшись перед бродом, был вынужден плыть вниз по реке и проплыл км. Где он оказался по отношению к исходному месту входа в реку?

Ответом служит разность , но при действие невозможно.

2. В связи с рассмотрением величин, которые имеют противоположный смысл.

3. Как характеристика изменений (увеличений и уменьшений) величин.

4. На основе графических представлений, отрицательные числа как отметки точек на оси.

5. Через задачу об изменении уровня воды в реке в течение двух суток.

Пример. Во время сильного дождя уровень воды в реке за сутки поднялся на см, в течение следующих суток уровень воды в реке упал на см. Каким стал уровень воды в реке по истечении двух суток?

6. Как средство изображения расстояний на температурной шкале.

Появление нового числового множества сопровождается введением правил сравнения (равенства и неравенства) чисел и арифметических операций над ними. Средством обоснования правил сравнения нередко служит координатная прямая.

Получив числовое поле, дальнейшее расширение уже не может быть продиктовано невыполнением действий. Расширение понятия числа было вызвано геометрическими соображениями, а именно: отсутствием взаимно однозначного соответствия между множеством рациональных чисел и множеством точек числовой прямой. Для геометрии необходимо, чтобы каждая точка числовой прямой имела абсциссу, т.е. чтобы каждому отрезку при данной единице измерения соответствовало число, которое можно было бы принять за его длину. Эта цель достигается после того, как поле рациональных чисел (с помощью присоединения к нему системы иррациональных чисел) подвергается расширению до системы действительных чисел, которая является числовым полем.

К необходимости этого расширения приводит и невозможность извлечения корня из положительного числа, нахождения логарифма положительного числа при положительном основании.

В девятилетней школе стараются избежать вопросов, связанных с непрерывностью и бесконечностью, хотя полностью достичь этого нельзя. Не затрагивается вопрос о недостаточности рациональных чисел для решения алгебраических задач, для измерения (каждый отрезок имеет длину, каждая фигура - площадь), построения графиков (должны быть неразрывными). Интуитивные представления учащихся естественны, так как практически нельзя обнаружить существование несоизмеримых отрезков. Не надо строить строгую теорию, достаточно создать верные представления о сущности вопроса. бинарный алгебраический дробный

Если ввести иррациональные числа как неизвлекаемые корни, то у учащихся сформируется представление об иррациональных числах только как о неизвлекаемых корнях, поэтому целесообразно указать школьникам на несоизмеримость отрезков.

Периодичность бесконечной десятичной дроби, выражающей рациональное число, вытекает из деления натуральных чисел, так как при таком делении может получиться только конечное число различных остатков, непревосходящих делителя. Следовательно, при бесконечном делении какой-то остаток должен повториться, а за ним повторятся и соответствующие остатки числа частного - получится периодическая дробь.

В большинстве учебников иррациональное число рассматривается как бесконечная непериодическая десятичная дробь (как и в теории Вейерштрасса). В некоторых учебниках - как длина отрезка, несоизмеримого с единицей масштаба, а затем показывается, как находятся приближения этого числа в виде десятичных дробей.

Далее необходимо установить, что существует взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел. Поскольку иррациональные числа вводятся для измерения отрезков, несоизмеримых с единицей длины, то сразу получается, что для каждого отрезка можно найти действительное число, выражающее его отношение к единице длины. Обратное положение есть аксиома непрерывности прямой. В большинстве не формулируется, а подчеркивается это взаимно однозначное соответствие. В некоторых учебниках (Д.К. Фаддеева и др.) используется подход Кантора: для всякой стягивающейся последовательности вложенных друг в друга промежутков на прямой существует точка, принадлежащая всем промежуткам последовательности. Отсюда и следует непрерывность множества действительных чисел.

Можно не доказывать непрерывность множества , но необходимо выяснить различие в структуре множеств рациональных и действительных чисел. Множество рациональных чисел плотно (между любыми двумя рациональными числами существует сколько угодно рациональных чисел), но не непрерывно. Множество разрывов имеет большую мощность. Н.Н. Лузин предложил такое сравнение: если представить, что рациональные точки не пропускают солнечные лучи, и поставить прямую на пути лучей, то нам покажется, что солнце пробивается почти сплошь. У С.И. Туманова: рациональные числа окрашены в черный цвет, а иррациональные - в красный. Тогда прямая представлялась бы сплошь красной.

Из всех теорий иррациональных чисел более доступной считалась теория Кантора - Мере, рассматривающая стягивающиеся последовательности вложенных в друг друга сегментов. Поэтому во многих учебниках результат действий над иррациональными числами рассматривается как число, заключенное между всеми приближенными результатами, взятыми по избытку, и всеми приближенными значениями, взятыми по недостатку. Такое определение не создает у учащихся представления о результате действий над иррациональными числами и вообще об иррациональном числе. В экспериментах В.К. Матушка (контрольная работа среди лучших учеников) школьники считают иррациональные числа неточными, колеблющимися, приближенными. Многие считают, что числа , , нельзя сложить. Причина и в неудачной терминологии: "точный" корень, "неточный" корень. Он советует использовать термины "приближенное значение корня" и "точное значение корня".

Действия с иррациональными числами лучше начинать с геометрического изображения суммы . Известно, что можно точно построить отрезки, имеющие такую длину.

Следует обратить внимание учащихся, что в результате действий над иррациональными числами могут получиться как рациональные, так и иррациональные. Для этого нужно предложить примеры на сложение непериодических дробей.

Дальнейшего расширения числовой системы потребовала алгебраическая задача извлечения четной степени (квадратного корня) из отрицательного числа. Поле действительных чисел расширено до системы комплексных чисел присоединением к нему множества мнимых чисел.

Методика введения понятия "иррациональное число"

Существует три подхода к введению понятия "иррациональное число".

I. При первом подходе можно выделить три основных этапа введения понятия: мотивационный, введение понятия, первичное закрепление.

1. Мотивационный этап. На этом этапе можно предложить решить следующую задачу: "Найти сторону квадрата, площадь которого равна 2". Алгебраической моделью ситуации является уравнение . Решением этого уравнения (с учетом того, что длина выражается положительным числом) является арифметический квадратный корень из 2. Это число. Встает вопрос: "Какому числовому множеству принадлежит это число?"

2. Этап введения понятия. Проиллюстрировать этот этап можно, выполнив лабораторную работу.

Примеры.

1) Является ли целым числом?

Ответ. Рассмотрим квадраты последовательных натуральных чисел:

, . 1 < 2 < 4.

Вывод. Среди целых чисел значения нет.

2) Является ли рациональным числом?

Ответ. Рассмотрим приближенные значения с точностью до 0,01; 0,001 и т.д.

1,12 = 1,21

1,22 = 1,44

1,32 = 1,69

1,42 = 1,96

1,52 = 2,25

, тогда .

Выполняя аналогичную работу на отрезке , получим:

.

Увеличивая точность приближения, можно показать: . Уже на этом этапе можно увидеть, что - бесконечная непериодическая дробь.

С использованием микрокалькулятора получим: = 1,4142135623….

Вывод (предположение) на этом этапе. - не рациональное число.

3) Приведите строгое математическое доказательство предположения, сформулированного на предыдущем этапе.

Утверждение. Не существует рационального числа, квадрат которого равен двум. Далее приводится доказательство. (Перед доказательством должна быть проведена подготовительная работа).

4) Существует ли число ?

Ответ. Решим исходное уравнение графически.

Как видно из рисунка, существует положительное значение абсциссы точки пересечения графиков. Значит, существует число . А это, в свою очередь, требует расширения числового множества.

5) Дайте определение иррационального числа.

Ответ. Числа, представляемые бесконечными десятичными непериодическими дробями, называются иррациональными.

Далее приводятся примеры иррациональных чисел: ; ; и т.д.

Введение понятия "иррациональное число" завершается расширением множества рациональных чисел до множества действительных чисел, структуру которого можно изобразить с помощью кругов Эйлера (швейцарский математик 1707-1773).

3. Этап первичного закрепления. На этом этапе целесообразно решать задачи на установление взаимосвязи известных числовых множеств, сравнение чисел, изображение чисел точками координатной прямой.

II. При втором подходе к ведению понятия "иррациональное число" ("Алгебра-8" под ред. С.А. Теляковского) можно предложить ученикам следующие задания.

Примеры. 1) Найдите длину отрезка при выбранной единице измерения .

Эта задача иллюстрирует, что процесс измерения может быть бесконечным, а отрезки несоизмеримыми.

2) Вычислите длины отрезка, если он составляет единичного отрезка.

Ответ. .

3) Приведите геометрическое доказательство того, что отношение площади квадрата, построенного на диагонали данного квадрата, к площади данного равно 2.

Ответ. Длина диагонали квадрата равна числу, квадрат которого равен 2; при измерении длины диагонали (при условии, что единица измерения - длина стороны данного квадрата) получается бесконечная непериодическая десятичная дробь.

4) Приведите строгое доказательство, что не существует рационального числа, квадрат которого равен двум.

5) Дайте определение иррационального числа.

6) Постройте множество действительных чисел.

III. При третьем подходе к введению понятия (Ш.А. Алимов и др. "Алгебра-8") можно привести формулировку определения и проиллюстрировать его примерами.

Методика введения понятия "комплексное число"

При первом подходе к введению понятия "комплексное число" можно воспользоваться следующей методикой.

1. Устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек числовой прямой. Утверждается (с привлечением теории геометрии), что существует взаимно однозначное соответствие между парами чисел и точками координатной плоскости. И как следствие: каждую пару действительных чисел, записанных в определенном порядке, логично рассматривать как некоторое новое число, изображаемое некоторой точкой координатной плоскости.

Определение. Пара действительных чисел, заданных в определенном порядке, называется комплексным числом.

2. Выделяется подмножество изображаемое точками оси абсцисс, которое является геометрическим образом множества действительных чисел. Устанавливается соответствие между множеством действительных чисел и множеством комплексных чисел. Комплексное число вида - действительное число.

Определение. Комплексное число вида , где , называется мнимым числом.

Комплексное число вида , где , называется чисто мнимым числом.

Для числа вида вводятся понятия: (а) - действительная часть комплексного числа, () - мнимая часть комплексного числа.

Далее определяются действия на множестве комплексных чисел, заданных парами. И только затем вводится мнимая единица, алгебраическая и тригонометрическая формы записи комплексного числа и правила выполнения действий с учетом формы записи.

При подходе Ш.А. Алимова к введению понятия "комплексного числа" рекомендуется следующая методика работы.

1. Мотивационный момент: нахождение корней уравнения ; введение i как значения квадратного корня из - 1.

Определение. Комплексными числами называют выражения вида , где а и - действительные числа, а i - некоторый символ такой, что .

2. Здесь же определяются сопутствующие понятия: действительная и мнимая части комплексного числа.

3. Далее вводятся действия с комплексными числами в алгебраической форме, дается геометрическая интерпретация комплексного числа, тригонометрическая форма записи и действия с комплексными числами в тригонометрической форме записи.

Н.Я. Виленкин предлагает другой подход к введению понятия "комплексного числа". Он дает определение комплексного числа (вариант первого подхода). Далее сразу вводится мнимая единица, алгебраическая форма записи и действия в алгебраической форме записи и т.д. в той же последовательности, что в подходе Ш.А. Алимова.

Выводы

Расширение числовых систем осуществляют с учетом принципа перманентности. В учебниках математики реализуются различные последовательности расширения множества натуральных чисел до множества рациональных чисел.

Иррациональные числа отражают несоизмеримость отрезков. Пополнение рациональных чисел иррациональными приводит к непрерывному множеству действительных чисел.

Комплексные числа можно вводить на основе разного сочетания алгебраического и геометрического подходов.

Размещено на Allbest.ru