Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.5

НАБЛИЖЕННЯ ДИФЕРЕНЦІЙОВАНИХ ФУНКЦІЙ

ЛІНІЙНИМИ МЕТОДАМИ ПІДСУМОВУВАННЯ ЇХ

РЯДІВ ТА ІНТЕГРАЛІВ ФУР'Є

01.01.01 -- математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

КАЛЬЧУК Інна Володимирівна

Київ-2007



Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Волинському національному університеті імені Лесі Українки, МОН України.

Науковий керівник кандидат фізико-математичних наук, доцент ХАРКЕВИЧ Юрій Іліодорович, Волинський національний університет імені Лесі Українки, завідувач кафедри диференціальних рівнянь та математичної фізики.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник СЕРДЮК Анатолій Сергійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу теорії функцій;

кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник НАЗАРЕНКО Микола Олексійович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, доцент кафедри математичного аналізу.

Захист відбудеться "12" лютого 2008 р. о 15 годинi на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий "25" грудня 2007 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А. С.



АНОТАЦІЇ

Кальчук І. В. Наближення диференційовних функцій лінійними методами підсумовування їх рядів та інтегралів Фур'є. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

В дисертації проведено дослідження питань про наближення диференційовних функцій лінійними -методами підсумовування їх рядів та інтегралів Фур'є, означеними сукупністю неперервних на функцій, залежних від дійсного параметра. інтеграл функція диференційовний гармонійний

Отримано повні асимптотичні розклади точних верхніх меж наближень гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона на класах Соболєва та на класах спряжених функцій,. Розв'язано задачу Колмогорова-Нікольського на класах -диференційовних -періодичних функцій при наближенні інтегралами Вейєрштрасса. Аналогічна задача розв'язана і для класів-диференційовних функцій, що задані на всій дійсній осі.

Ключові слова: гармонійний інтеграл Пуассона, бігармонійний інтеграл Пуассона, інтеграл Вейєрштрасса, повний асимптотичний розклад, асимптотична рівність,-похідна.



Кальчук И. В. Приближение дифференцируемых функций линейными методами суммирования их рядов и интегралов Фурье. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2007.

В диссертации проведено исследование вопросов о приближении дифференцируемых функций линейными -методами суммирования их рядов и интегралов Фурье, определенными совокупностью непрерывных на функций, зависящих от действительного параметра.

Получены полные асимптотические разложения точных верхних граней приближений гармоническими и бигармоническими интегралами Пуассона на классах Соболева, и на классах сопряженных функций. Найдено решение задачи Колмогорова-Никольского на классах-дифференцируемых -периодических функций при приближении интегралами Вейерштрасса в метриках пространств и. Аналогичная задача решена и для класов-дифференцируемых функций, заданных на всей действительной оси.

Приведем некоторые из результатов работы.

Ключевые слова: гармонический интеграл Пуассона, бигармонический интеграл Пуассона, интеграл Вейерштрасса, полное асимптотическое разложение, асимптотическое равенство, -производная.



Kalchuk I. V. Approximations of the differentiable functions by the linear methods of summation of their series and integrals of Fourier. - Manuscript.

Dissertation for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01.-- mathematical analysis. -- Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.

The Dissertation focuses on the investigation of questions of approximations of the differentiable functions by the linear -methods of summation of their series and integrals of Fourier, that are defined as the totality of continuous on functions, depending on the real parameter.

We found total asymptotic expansions for exact upper bounds of approximation by harmonic and beharmonic integrals of Poisson on the Sobolev's classes, and on the classes of conjugate functions,. We solved the problem of Kolmogororoff-Nikolsky on the classes of -differentiable -periodical functions on approximation by Weierstrass' integrals in metrics of spaces and. The analogical problem is solved for the classes of-differentiable functions given on the real axis.

Key words: Poisson's harmonic integral, Poisson's beharmonic integral, Weierstrass' integral, total asymptotic expansion, asymptotic equality,-derivative.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Робота присвячена дослідженню питань про наближення диференційовних функцій -методами підсумовування їх рядів та інтегралів Фур'є, заданими сукупністю неперервних на функцій, залежних від дійсного параметра . Зокрема, розв'язуються задачі наближення періодичних диференційовних функцій гармонійними, бігармонійними інтегралами Пуассона та інтегралами Вейєрштрасса, а також функцій, що задані на всій дійсній осі, за допомогою операторів Вейєрштрасса в рівномірній та інтегральній метриках.

Актуальність теми.

Природним апаратом наближення періодичних функцій є тригонометричні поліноми заданого степеня , найбільш простим прикладом яких виступають частинні суми Фур'є порядку . Оскільки, як добре відомо, існують неперервні функції, ряди Фур'є яких розбігаються в окремих точках, то було розроблено лінійні процеси підсумовування рядів Фур'є. Серед лінійних методів підсумовування рядів Фур'є слід виділити такі, що визначаються числовими матрицями (методи Фейєра, Валле Пуссена, Зигмунда, Рогозинського, Рісса, Коровкіна та ін.) і такі, що визначаються множиною функцій (методи наближення гармонійними, бігармонійними інтегралами Пуассона, інтегралами Вейєрштрасса тощо).

Напрямок, пов'язаний з вивченням наближень -періодичних функцій за допомогою різних лінійних методів підсумовування рядів Фур'є, виник і одержав свій розвиток в роботах А. Лебега, Ш. Валле Пуссена, Л. Фейєра, А. М. Колмогорова, С. М. Нікольського, Б. Надя, В. К. Дзядика, М. П. Корнійчука, С. Б. Стєчкіна, О. В. Єфімова, О. І. Степанця, В. П. Моторного, С. О. Теляковського, О. П. Тімана та інших математиків.

Апроксимативні властивості гармонійного інтеграла Пуассона на класах Соболєва та класах спряжених функцій досліджувались в роботах багатьох математиків: І. П. Натансона, О. П. Тімана, Б. Надя, Е. Л. Штарка, В. О. Баскакова, Л. П. Фалалєєва та інших.

Апроксимативні властивості бігармонійних інтегралів Пуассона досліджувались на класах та в роботах С. Канієва, Т. І. Аманова, Л. П. Фалалєєва та інших.

Незважаючи на значний інтерес з боку багатьох дослідників, питання про знаходження повних асимптотичних розкладів для точних верхніх меж наближень функцій з класів та гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона при для довільних натуральних показників гладкості в рівномірній та інтегральній метриках не втратило своєї актуальності.

Поряд з гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона важливе місце в теорії наближень займають інтеграли Вейєрштрасса, апроксимативні властивості яких досліджені дещо менше. Тут слід відмітити роботи таких математиків, як П. П. Коровкін, Л. І. Баусов, В. О. Баскаков та Л. П. Фалалєєв.

В 1983 році О. І. Степанцем був запропонований новий підхід до класифікації періодичних функцій, що базуються на понятті -похідної, внаслідок чого було введено класи . Це дозволило класифікувати весь спектр сумовних функцій і в той же час враховувати більш тонкі властивості кожної окремої функції.

У 1988 році О. І. Степанець означив класи функцій, визначених на всій дійсній осі, які в загальному випадку не є періодичними і містять згадані вище класи періодичних функцій як частинний випадок. До теперішнього часу відомо багато результатів, що є розв'язками важливих екстремальних задач теорії наближення на класах та, зокрема, задач про наближення операторами типу Фур'є, Валле Пуссена, гармонійними, бігармонійними операторами Пуассона тощо.

Водночас апроксимативні властивості інтегралів (операторів) Вейєрштрасса на класах з тих чи інших причин до теперішнього часу ще не були досліджені. Тому тематика, пов'язана з вивченням цих властивостей, представляє науковий інтерес.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у Волинському національному університеті імені Лесі Українки згідно з планом наукових робіт за науковою темою "Теорія функцій та диференціальні рівняння" на кафедрі диференціальних рівнянь та математичної фізики.

Мета і завдання дослідження.

Метою роботи є знаходження повних асимптотичних розкладів точних верхніх меж відхилень гармонійних та бігармонійних інтегралів Пуассона від функцій з класів та, а також одержання асимптотичних рівностей для величин наближень за допомогою інтегралів та операторів Вейєрштрасса відповідно на класах та.

Об'єктом дисертаційного дослідження є класи.

Предметом дослідження є апроксимативні властивості гармонійних та бігармонійних інтегралів Пуассона на класах та інтегралів і операторів Вейєрштрасса відповідно на класах і.

Завдання дослідження:

1. Отримати повні асимптотичні розклади величин наближень гармонійними інтегралами Пуассона на класах та в рівномірній метриці, а також на класах та в інтегральній метриці.

2. Записати повні асимптотичні розклади для верхніх меж наближень бігармонійними інтегралами Пуассона на класах, в метриці простору та на класах, в метриці простору.

3. Одержати асимптотичні рівності для верхніх меж наближень інтегралами Вейєрштрасса на класах та відповідно в рівномірній та інтегральній метриках.

4. Знайти асимптотичні рівності для верхніх меж наближень функцій з класів за допомогою операторів Вейєрштрасса відповідно в метриках просторів та .

При розв'язанні поставлених в дисертаційній роботі задач застосовуються як загальні методи математичного аналізу, так і спеціальні методи теорії наближення функцій дійсної змінної. При відшуканні повних асимптотичних розкладів величин наближення гармонійними та бігармонійними інтегралами Пуассона на класах було використано і розвинуто методи Е. Л. Штарка. При знаходженні асимптотичних оцінок швидкості наближення за допомогою інтегралів та операторів Вейєрштрасса на класах та використовуються методи, що розроблені О. І. Степанцем, а також методи, розроблені Л. І. Баусовим.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають у наступному:

1. Для точних верхніх меж відхилень гармонійних інтегралів Пуассона від функцій з класів, та, одержано повні асимптотичні розклади відповідно у рівномірній та інтегральній метриках.

2. Знайдено повні асимптотичні розклади точних верхніх меж наближень бігармонійними інтегралами Пуассона на класах та , відповідно в рівномірній та інтегральній метриках.

3. Розв'язано задачу Колмогорова-Нікольського на класах -диференційовних періодичних функцій при наближенні інтегралами Вейєрштрасса в метриках просторів і.

4. Розв'язано задачу Колмогорова-Нікольського для верхніх меж наближень за допомогою операторів Вейєрштрасса на класах і функцій, заданих на всій дійсній осі, в метриках просторів і відповідно.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи, запропоновані в ній методи та прийоми можуть бути використані при подальшому вивченні питань теорії наближення функцій.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального напрямку дисертаційного дослідження, а також постановка задач належить науковому керівникові -- кандидату фізико-математичних наук, доценту Ю. І. Харкевичу. Результати розділів 2-4 отримано спільно з науковим керівником. Внесок обох авторів є рівноцінним. Результати п'ятого розділу отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідались на:

-- Семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівник семінару: член-кореспондент НАН України О. І. Степанець).

-- Семінарі "Сучасний аналіз" (механіко-математичний факультет Київського національного університету ім. Тараса Шевченка, керівники семінару: доктор фіз.-мат. наук, професор Ю. Г. Кондратьєв, доктор фіз.-мат. наук, професор І. О. Шевчук).

-- Міжнародній конференції пам'яті В. Я. Буняковського, Київ, 16-21 серпня 2004 року.

-- Конференції "Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці ІІ", присвяченій пам'яті А. Я. Дороговцева, Київ, 1-5 жовтня 2004 року.

-- Міжнародній науковій конференції "Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування", Ужгород, 8-23 вересня 2006 року.

-- International Conference on the occasion of the 150th birthday of A. M. Lyapunov, Kharkiv, June 24-30, 2007.

-- Міжнародній математичній конференції ім. В. Я. Скоробогатька, Дрогобич, 24-28 вересня 2007 року.

Публікації. Основні результати, які висвітлені в дисертації, опубліковано в роботах [1-10].

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел, що налічує 115 найменувань. Повний обсяг роботи складає 131 сторінку машинописного тексту.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У першому розділі дисертаційної роботи проводиться огляд літератури за її темою. Висвітлюються основні аспекти розвитку наукової думки за тематикою наближення різних функціональних класів гармонійними, бігармонійними інтегралами Пуассона, інтегралами Вейєрштрасса та визначається коло питань, які залишилися невирішеними при проведенні досліджень в даному напрямку.

Нехай . Величину називають гармонійним інтегралом Пуассона функції .

Через позначимо множину -періодичних функцій, які мають абсолютно неперервні похідні до -го порядку включно і, якщо . А -- клас функцій, спряжених до функцій із класу.

Формальний ряд називають повним асимптотичним розкладом або повною асимптотикою функції при .

Другий розділ дисертації присвячений знаходженню в явному вигляді повних асимптотичних розкладів для величин.

Відмітимо, що В. О. Баскаковим в явному вигляді були записані повні асимптотичні розклади величин у випадках При довільних натуральних ним були вказані лише загальні вирази, що дозволяють одержувати повні асимптотичні розклади величин таких величин.

Теорема 2.3. Якщо, , то при має місце повний асимптотичний розклад де коефіцієнти обчислюються за допомогою формули (1).

Теорема 2.4. При мають місце повні асимптотичні розклади де коефіцієнти обчислюються за допомогою формули (5).

Зазначимо, що при повний асимптотичний розклад величини за степенями був одержаний В. О. Баскаковим в дещо іншому вигляді. При ним були знайдені загальні вирази, що дозволяють одержувати асимптотичні розклади зазначених величин.

Нехай . Величину називають бігармонійним інтегралом Пуассона функції .

Третій розділ дисертації присвячений відшуканню повних асимптотичних розкладів за степенями при величин.

Зазначимо, що при повні асимптотичні розклади величин були знайдені Т. І. Амановим та Л. П. Фалалєєвим. При цьому розклад одночасно був записаний за степенями, і містив множник.

Порівнюючи теореми 2.1, 2.2 з теоремами 3.1, 3.2 та 3.3 робимо висновок, що при величини і є нескінченно малими вищого порядку ніж величини і відповідно.

Нехай і -- ряд Фур'є функції .

Нехай, далі, -- довільна фіксована функція натурального аргументу і -- фіксоване дійсне число. Якщо ряд є рядом Фур'є деякої сумовної функції , то цю функцію, услід за О. І. Степанцем, називають -- похідною функції і позначають через. Множину усіх функцій, котрі задовольняють таку умову, позначають через. Якщо, і крім того, , де -- деяка підмножина функцій із , то записують, що. Далі покладемо і. Якщо в якості виступають множини , то множину позначають через, а множину -- через.

Наслідуючи О. І. Степанця через позначимо множину неперервних опуклих донизу на спадних до нуля функцій, а через -- підмножину функцій з, що задовольняють умову Нехай, далі, де -- функція, обернена до функції, а константа може залежати від.

Нехай . Величину називають інтегралом Вейєрштрасса функції .

Четвертий розділ дисертації присвячений вивченню асимптотичної поведінки при величин.

Теорема 4.1. Нехай, функція опукла вгору або донизу на,. Тоді при має місце рівність.

Наслідок 4.1. Нехай виконуються умови теореми 4.1, і . Тоді при має місце асимптотична рівність

Прикладом функцій, які задовольняють умови наслідку 4.1.

Наслідок 4.2. Нехай, , функція опукла вгору або донизу на, Тоді при має місце асимптотична рівність.

Зазначимо, що умови наслідку 4.2 задовольняють, наприклад, функції вигляду.

Наслідок 4.3. Нехай, функція опукла донизу на і Тоді при має місце асимптотична рівність

Прикладом функцій, для яких має місце наслідок 4.3, є функції виду.

Зокрема, при із (6) одержуємо асимптотичну рівність, яка раніше була отримана Л. І. Баусовим.

Зауважимо, що при виконанні умов наслідків 4.1-4.3 рівності (13)-(15) дають розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для інтегралів Вейєрштрасса на класах в рівномірній метриці.

Нехай -- множина функцій, що задовольняють наступну умову: для довільної сталої, існує така точка, що при для функції виду (12) виконується нерівність.

Теорема 4.2. Нехай функція опукла донизу на, і Тоді при має місце асимптотична рівність де -- друга похідна функції.

У четвертому розділі також розглянуто наближення функцій з класів інтегралами Вейєрштрасса в метриці простору . При цьому виявилось, що форми результатів, одержаних в теоремі 4.1 та наслідках 4.1-4.3 для класів в рівномірній метриці та класів в інтегральній метриці співпадають.

Нехай -- простір локально сумовних функцій із скінченною нормою -- простір вимірних суттєво обмежених функцій, що задані на всій дійсній осі, із скінченною нормою, а -- простір неперервних, заданих на дійсній осі функцій із скінченною нормою.

Через позначимо множину функцій, які майже для всіх можна подати у вигляд де -- деяка стала і, а інтеграл слід розуміти як границю інтегралів по симетричних проміжках, що розширюються. Функцію називають-похідною функції і позначають. Якщо і при цьому , де -- деяка підмножина із, то покладають. Підмножини неперервних функцій із та позначають відповідно через та. Через прийнято позначати множину функцій у випадку, коли є одиничною кулею простору, тобто, а через -- множину функцій, коли є одиничною кулею простору, тобто.

Нехай -- множина додатних неперервних при функцій, які задовольняють умови 1);

2) опукла донизу на і;

3) є функцією обмеженої варіації на.

Підмножину функцій, для яких позначають через.

Нехай. Оператор, який діє на функцію за правилом будемо називати оператором Вейєрштрасса.

В п'ятому розділі встановлюється асимптотична поведінка при величин. Покладемо де -- неперервна при всіх функція. Надалі будемо вважати,15 що монотонно зростає, опукла донизу на і має неперервну другу похідну при всіх за виключенням точки. Множину функцій або, що мають вказані вище властивості позначимо відповідно через або.

Теорема 5.1. Нехай, функція опукла вгору або донизу на. Тоді при має місце рівність.

Із теореми 5.1 випливають наслідки, що є аналогами наслідків 4.1-4.3.

Нехай -- множина функцій, що задовольняють наступну умову: для довільної сталої, існує така точка, що при для функції виду (12) виконується нерівність.

Теорема 5.2. Нехай функція опукла донизу на і Тоді при має місце асимптотична рівність де -- друга похідна функції.

У п'ятому розділі досліджено також асимптотичну поведінку верхніх меж наближень за допомогою операторів Вейєрштрасса на класах в метриці простору і отримано результати, аналогічні до результатів отриманих для класів в метриці простору.



ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі отримано такі основні результати:

1. Для точних верхніх меж відхилень гармонійних інтегралів Пуассона від функцій з класів, та одержано повні асимптотичні розклади за степенями при відповідно у рівномірній та інтегральній метриках.

2. Знайдено повні асимптотичні розклади точних верхніх меж наближень бігармонійними інтегралами Пуассона на класах , за степенями при відповідно в рівномірній та інтегральній метриках.

3. Розв'язано задачу Колмогорова-Нікольського на класах -диференційовних періодичних функцій при наближенні інтегралами Вейєрштрасса в метриках просторів і.

4. Розв'язано задачу Колмогорова-Нікольського для верхніх меж наближень за допомогою операторів Вейєрштрасса на класах і функцій, заданих на всій дійсній осі, в метриках просторів і відповідно.



СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Харкевич Ю. І., Кальчук І. В. Асимптотичні розклади верхніх меж наближень диференційовних функцій їх гармонійними інтегралами Пуассона в рівномірній та інтегральній метриках // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Праці Ін-ту математики НАН України. -- Київ: Ін-т математики НАН України 2004. -- Т. 1, № 1. -- С. 389-412.

2. Харкевич Ю. І., Кальчук І. В. Повні асимптотики точних верхніх меж відхилень бігармонійних інтегралів Пуассона на класах диференційовних функцій // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Праці Ін-ту математики НАН України. -- Київ: Ін-т математики НАН України 2005. -- Т. 2, № 2. -- С. 311-335.

3. Харкевич Ю. І., Кальчук І. В. Наближення-диференційовних функцій інтегралами Вейєрштрасса // Укр. мат. журн. -- 2007. -- Т. 59, № 7. -- С. 953-978.

4. Харкевич Ю. І., Кальчук І. В. Асимптотика величин наближення в середньому класів диференційовних функцій за допомогою бігармонійних інтегралів Пуассона // Укр. мат. журн. -- 2007. -- Т. 59, № 8. -- С. 1105-1115

5. Кальчук І. В., Наближення -диференційовних функцій, заданих на дійсній осі, операторами Вейєрштрасса // Укр. мат. журн. -- 2007. -- Т. 59, № 9. -- С. 1201-1220.

6. Харкевич Ю. І., Кальчук І. В. Про асимптотичні розклади верхніх меж відхилів гармонічних інтегралів Пуассона від класу диференційовних періодичних функцій // Міжнародна наукова конференція пам'яті В. Я. Буняковського, Київ, 16-21 серпня 2004 р. -- Київ: Інститут математики НАН України, 2004. -- C. 128.

7. Харкевич Ю. І., Кальчук І. В. Повна асимптотика наближень диференційовних періодичних функцій гармонійними інтегралами Пуассона в інтегральній метриці // Конференція "Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці. II", присвячена пам'яті А. Я. Дороговцева, Київ, 1-5 жовтня 2004 р. -- Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2004. -- C. 128.

8. Харкевич Ю, І., Кальчук І. В. Про наближення класів функцій операторами Вейєрштрасса // Міжнародна наукова конференція "Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування", Ужгород, 8-23 вересня 2006 р. -- Ужгород: Ужгородський національний університет, 2006. -- C. 190.

9. Kalchuk I. V. On approximation of functions from the classes by the operators of Weierstrass // International Conference on the occasion of the 150th birthday of A. M. Lyapunov, Kharkiv, June 24-30, 2007. -- Kharkiv: Verkin Institute for Low Temperature Physics and Engineering of NASU, 2007. -- C. 60-61.

10. Кальчук І. В., Харкевич Ю. І. Асимптотичні розвинення верхніх меж відхилень бігармонійних інтегралів Пуассона від функцій з класів // Міжнародна математична конференція ім. В. Я. Скоробогатька, Дрогобич, 24-28 вересня 2007 р. -- Львів: Національний університет "Львівська політехніка", 2007. -- C. 119.

Размещено на Allbest.ru