Властивості функцій, зображених степеневими рядами і рядами Діріхле

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

ВЛАСТИВОСТІ ФУНКЦІЙ, ЗОБРАЖЕНИХ СТЕПЕНЕВИМИ РЯДАМИ І РЯДАМИ ДІРІХЛЕ

Спеціальність: Математичний аналіз

Філевич Петро Васильович

Львів, 2007 рік

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з найважливіших в теорії аналітичних функцій є напрямок, який полягає у вивченні асимптотичних властивостей таких функцій.

Перші результати у цьому напрямку з'явились наприкінці XIX - на початку XX століть практично одночасно зі самою теорією аналітичних функцій в працях Ж. Адамара, Е. Бореля, А. Вiмана, Ж. Валiрона, Г. Пойя. У подальшому цій тематиці і її застосуванням свої роботи присвятили такі відомі фахівці як У. Хейман, Г.В. Віттіх, Й.В. Островський, А.А. Гольдберг, М.М. Шеремета.

Зацікавленість до досліджень асимптотичних властивостей аналітичних функцій обумовлена, з одного боку, внутрішніми проблемами самої теорії аналiтичних функцiї. З іншого боку, таке зацікавлення пояснюється також і тим, що певні класи аналітичних функції природно виникають в інших галузях науки (теорiї крайових задач, теорiї ймовiрностей, теорії iнтегральних та операторних рiвнянь, теорiї чисел, теорiї диференцiальних рiвнянь, радіофізиці і інш.).

Незважаючи на значну кількість праць, ряд важливих питань, які стосуються вивчення асимптотичних властивостей аналітичних функцій, залишалися відкритими або недослідженими.

Зупинимось коротко на деяких з них. Починаючи з праць А. Вiмана і Ж. Валiрона, активно досліджувалась задача про встановлення асимптотичних співвідношень між характеристиками аналітичних функцій, які виконуються зовні деякої виняткової множини. В застосуваннях таких співвідношень наявність в них виняткової множини чи її розміри доволі часто відіграють вирішальну роль.

У зв'язку з цим важливою є задача про встановлення умов виконання найзагальніших співвідношення без виняткових множин між різними характеристиками аналітичних функцій, а також задача про отримання точних оцінок величин виняткових множин у співвідношеннях, в яких такі множини є наявними.

Інший напрямок досліджень, який лежить на межі теорії аналітичних функцій і теорії ймовірностей, полягає у вивченні асимптотичних властивостей випадкових аналітичних функцій. Класичними у цьому напрямку стали результати Г. Штейнгауза, Р. Пелі та А. Зигмунда щодо асимптотичного продовження випадкових аналітичних функцій, П. Леві та П. Ердеша і А. Реньї щодо встановлення асимптотичних співвідношень між максимумом модуля і максимальним членом випадкових цілих функцій зовні виняткової множини, а також результати Дж.Е. Літлвуда та А.К. Оффорда про розподіл значень випадкових аналітичних функцій (з останніх робіт у цьому напрямку відзначимо роботу М. Содіна).

Такі питання, як встановлення співвідношень між абсцисами збіжності випадкових рядів Діріхле (дане питання у випадку класичних рядів Діріхле є актуальним в теорії їх гільбертових просторів, див. роботу Х. Хеденмальма і бібліографію в ній), встановлення асимптотичних співвідношень без виняткової множини між максимумом модуля і максимальним членом випадкових цілих функцій та ряд інших залишалися недослідженими.

Важливою класичною задачею, яка, як зазначено в роботі В.А. Осколкова і Л.І. Калініченко, все ще далека від повного розв'язання, є задача щодо описання зростання аналітичних функцій, зображених степеневими рядами чи рядами Діріхле, в термінах коефіцієнтів цих рядів.

В теорії аналітичних функцій, як і загалом у математичному аналізі, важливу роль відіграють так звані правильно змінні функції. Властивості таких функцій добре вивчені в монографії Е. Сенети.

Природним у зв'язку з цим є встановлення умов правильної зміни основних характеристик аналітичних функцій. Описані задачі, а також ряд інших задач, і є предметом досліджень у даній дисертації.

Особистий внесок здобувача. Основні результати отримані здобувачем самостійно. У спільно опублікованих з М.М. Шереметою статтях співавтору належать постановки окремих задач і ідея отримання умов правильної зміни логарифма максимального члена. У спільно опублікованій з О.М. Мулявою роботі співавтору належить постановка задачі.

У роботах співавтору С.І. Фединяку належать ідеї побудови прикладів. Результати спільної з М.М. Шереметою роботи належать співавторам в однаковій мірі.

Апробація результатів дисертації.

Матеріали дисертації були оприлюднені і обговорені на таких конференціях:

1) Міжнародній науковій конференції "Entire and meromorphic functions", присвяченій 70-річчю А.А. Гольдберга (23-25 травня 2000 р., м. Львів);

2) Міжнародній науковій конференції "Нові підходи до розв'язування диференціальних рівнянь" (1-5 жовтня 2001 р., м. Дрогобич);

3) Міжнародній науковій конференції з функціонального аналізу і його застосувань, присвяченій 110 річниці С. Банаха (28-31 травня 2002 р., м. Львів);

4) Міжнародній науковій конференції "Комплексний аналіз і його застосування" (26-29 травня 2003 р., м. Львів);

5) Міжнародному науковому семінарі з теорії потенціалу (19-27 серпня 2003 р., м. Київ);

6) Міжнародній науковій конференції "Шості Боголюбовські читання" (26-30 серпня 2003 р., м. Чернівці);

7) Міжнародній науковій конференції "Geometric topology: infinite-dimensional topology, absolute extensors, applications" (26-30 травня 2004 р., м. Львів);

8) Міжнародній науковій конференції, присвяченій 125 річниці Ганса Гана (27 червня - 3 липня 2004 р., м. Чернівці);

9) Міжнародній науковій конференції "Математичний аналіз і суміжні питання" (17-20 листопада 2005 р., м. Львів);

10) Міжнародній науковій конференції "Entire and subharmonic functions and related topics", присвяченій пам'яті Б.Я. Левіна (14-17 серпня 2006 р., м. Харків).

Публікації. За матеріалами дисертації у фахових журналах опубліковано 26 наукових статей (16 без співавторів).

Об'єм та структура. Дисертація складається зі вступу, переліку основних позначень, п'яти розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 155 джерел. Обсяг дисертації 317 сторінок, обсяг списку використаних джерел 16 сторінок.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У розділі 1 даної дисертаційної роботи наведено огляд літератури щодо вивчення асимптотичних властивостей аналітичних і випадкових аналітичних функцій, окреслено коло проблем, які залишалися нерозв'язаними, і сформульовано основні результати дисертації.

У розділі 2 встановлено умови виконання асимптотичних співвідношень без виняткових множин між характеристиками аналітичних функцій.

Метод, яким доводилась теорема B.1.1, передбачає виконання умови вгнутості функції In.

У зв'язку з цим М.М. Шеремета у цитованій роботі сформулював запитання про істотність даної умови в теоремі.

У розділі 3 встановлено асимптотичні співвідношення між середніми ряду Діріхле і наведено їх застосування для встановлення точності оцінок виняткових множин у деяких співвідношеннях між характеристиками ряду Діріхле (зокрема, отримано підтвердження однієї гіпотези О.Б. Скасківа), а також для посилення результату А.А. Гольдберга стосовно ефекту Пелі для лакунарних степеневих рядів.

Розділ 4 присвячено вивченню зростання аналітичних функцій в термінах узагальнених порядків, типів і класів збіжності. Класичними характеристиками зростання цілої функції є її порядок, нижній порядок, тип, клас збіжності. Поняття порядку і типу, а також відомі формули Коші-Адамара для їх обчислення через коефіцієнти степеневого розвинення цілої функції, є дієвими, в основному, у випадку цілих функцій скінченного додатного порядку. З огляду на це, велика кількість робіт присвячена узагальненню згаданих понять. Найзагальнішу шкалу зростання цілих функцій, яка практично містить усі раніше відомі шкали Діріхле.

Розділ 5 присвячено встановленню умов правильної зміни основних характеристик аналітичних функцій.

Додатна вимірна функція l називається повільно змінною, якщо:

Для довільного:

І правильно змінною порядку:

Де:

а - повільно змінна функція.

М.В. Заболоцький і М.М. Шеремета довели, що якщо одна з характеристик:

- є повільно змінною функцією, то:

Тобто повільно змінними є і дві інші характеристики, і встановили в термінах коефіцієнтів степеневого ряду необхідні і достатні умови їх повільної зміни. Крім того, в цитованій роботі поставлено задачу про повільне зростання vf(r). Ця задача розв'язана в роботі О.Б. Скасківа і О.М. Тракало, де отримано критерій повільної зміни центрального індексу в термінах коефіцієнтів.

Повільне зростання основних характеристик аналітичної в одиничному крузі функції вивчалось у роботі М.М. Шеремети і М.В. Заболоцького. Тут, зокрема, висловлено наступні гіпотези. функція теорема коефіцієнт

Гіпотеза E.5.1. Не існує аналітичної в одиничному крузі функції f такої, що:

- повільно змінна, але InMf(r) не є повільно змінною функцією.

Гіпотеза E.5.2. Існує аналітична в одиничному крузі функції f така, що:

- не є повільно змінною функцією.

У підрозділі 5.2 побудовано два приклади аналітичних функцій, перший з яких спростовує гіпотезу E.5.1, а другий підтверджує гіпотезу E.5.2.

Нарешті, у підрозділі 5.4 отримано умови правильної зміни основних характеристик цілих рядів Діріхле, а в підрозділі 5.5 - умови правильної зміни основних характеристик абсолютно збіжних у півплощині рядів Діріхле.

ВИСНОВКИ

У дисертації розв'язано ряд актуальних задач теорії аналітичних функцій, зокрема, отримано відповіді на декілька відкритих проблем. До основних результатів слід віднести наступні:

1. Встановлено необхідні і достатні умови виконання найзагальніших асимптотичних співвідношень без виняткових множин між характеристиками аналітичних функцій, зокрема, між максимумом модуля і максимальним членом та між середніми для рядів Діріхле, між максимумом модуля і максимумом дійсної частини для цілих функцій, зображених степеневими рядами. Розроблена при цьому методика за необхідності може бути використання для встановлення умов виконання асимптотичних співвідношень між іншими парами характеристик, які не розглядаються в дисертації. Наведено застосування отриманих результатів до встановлення точних оцінок виняткових множин в деяких співвідношеннях, що виконуються зовні таких множин;

2. Встановлено ряд нових властивостей випадкових аналітичних функцій. Наприклад, знайдено точні співвідношення між абсцисами збіжності і абсолютної збіжності для випадкових рядів Діріхле, отримано необхідні і достатні умови виконання асимптотичних співвідношень без виняткових множин між максимумом модуля і максимальним членом для випадкових цілих функцій, встановлено умови на коефіцієнти випадкової цілої функції скінченного порядку, за яких їх узагальнений індикатор Фрагмена-Лінлельофа тотожно дорівнює їх типу відносно відповідного уточненого порядку. В термінах берівських категорій отримано оцінку числа цілих функцій, для яких можна істотно уточнити класичну нерівність Вімана-Валірона;

3. Отримано необхідні і достатні умови, за яких в означенні узагалнених типу і нижнього типу цілої функції максимум модуля можна замінити максимальним членом і, як наслідок, виразити узагальнені типи через коефіцієнти її степеневого розвинення. Знайдено необхідні і достатні умови належності цілої функції до узагальненого класу збіжності. Встановлено необхідні і достатні умови на послідовність показників цілого ряду Діріхле, за яких такий ряд належить до класу збіжності;

4. В термінах коефіцієнтів степеневого розвинення чи розвинення в ряд Діріхле знайдено необхідні і достатні умови правильної зміни основних характеристик аналітичних функцій.

Результати отримано методами сучасних теорії функцій, теорії ймовірностей та функціонального аналізу.

Основні результати дисертації істотно посилюють раніше відомі результати. Отримані результати можуть бути застосованими як в теорії аналітичних функцій, так і в інших галузях математики, зокрема, в теорії диференціальних рівнянь, теорії ймовірностей.

Результати дисертації опубліковано в фахових журналах, вони були оприлюднені на багатьох міжнародних наукових конференціях і спеціалізованих наукових семінарах. Це підтверджує їх достовірність.

СПИСОК ПУБЛІКАЦІЙ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Філевич П.В. До теореми Лондона про співвідношення Бореля для цілих функцій // Укр. мат. журн. - 1998. - Т. 50, 194. - С. 1578-1580.

2. Филевич П.В. Об оценке величины исключительного множества в лемме о логарифмической производной // Мат. заметки. - 2000. - Т. 67, 194. - С. 603-607.

3. Filevych P.V. To the Sheremeta theorem concerning relations between the maximal term and the maximum modulus of entire Dirichlet series // Mat. Stud. - 2000. - V. 13, 194. - P. 139-144.

4. Філевич П.В. Про узагальнений індикатор Фрагмена-Ліндельофа для випадкових цілих функцій // Укр. мат. журн. - 2000. - Т. 52, 194. - С. 1431-1434.

5. Філевич П.В. Точна оцінка величини виняткової множини у співвідношенні Бореля для цілих функцій // Укр. мат. журн. - 2001. - Т. 53, 194. - С. 286-288.

6. Філевич П.В. Асимптотична поведінка цілих функцій з винятковими значеннями у співвідношенні Бореля. - 2001. - Т. 53, 194. - С. 522-530.

7. Филевич П.В. Неравенства типа Вимана-Валирона для целых и случайных целых функций конечного логарифмического порядка // Сиб. мат. журн. - 2001. - Т. 42, 194 3. - С. 683-692.

8. Filevych P.V. On the slow growth of power series convergent in the unit disk // Mat. Stud. - 2001. - V. 16, 194. - P. 217-221.

9. Filevych P.V., Fedynyak S.I. On belonging of entire Dirichlet series to convergence class // Mat. Stud. - 2001. - V. 16, 194 1. - P. 57-60.

10. Філевич П.В., Шеремета М.М. Аналітичні в одиничному крузі функції правильного зростання // Мат. методи та фіз. - мех. поля. - 2002. - Т. 45, 194. - С. 65-70.

11. Філевич П.В. Про зростання максимуму модуля цілої функції на послідовності // Укр. мат. журн. - 2002. - Т. 54, 194. - С. 1149-1153.

12. Филевич П.В. О влиянии аргументов коэффициентов степенного разложения целой функции на рост ее максимума модуля // Сиб. мат. журн. - 2003. - Т. 44, 194. - С. 674-685.

13. Мулява О.М., Філевич П. В. Про зростання цілого ряду Діріхле з невід'ємними коефіцієнтами // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех. - мат. - 2003. - Вип. 62. - С. 89-94.

14. Филевич П.В., Шеремета М.Н. Правильно растущие ряды Дирихле, абсолютно сходящиеся в полуплоскости // Изв. вузов. Мат. - 2003. - 194 2(489). - С. 59-67.

Размещено на Allbest.ru