Розробка математичних методів і алгоритмів для розв’язування задач моделювання вимірювально-обчислювальних систем надвисокої роздільної здатності

Размещено на http://www.allbest.ru

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

УДК 519.6

Автореферат

дисертаційної роботи на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Розробка математичних методів і алгоритмів для розв'язування задач моделювання вимірювально-обчислювальних систем надвисокої роздільної здатності

01.05.02 - Математичне моделювання та обчислювальні методи

Заворотний Андрій Леонідович

Київ-2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теоретичної кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: Доктор фізико-математичних наук, професор Бєлов Юрій Анатолійович, завідувач кафедри теоретичної кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.

Офіційні опоненти: Член-кореспондент НАН України, доктор технічних наук, професор САМОЙЛЕНКО Юрій Іванович, головний науковий співробітник відділу комплексного аналізу та теорії потенціалу Інституту математики НАН України інтерпретація збурений статистичний

Кандидат фізико-математичних наук, доцент Матвієнко Володимир Тихонович, доцент кафедри моделювання складних систем Київського національного університету імені Тараса Шевченка

Провідна установа: Інститут кібернетики НАН України, відділ математичних методів дослідження операцій (м. Київ)

Захист відбудеться “15” червня 2006р. о 15:30 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.35 при Київському національному університеті імені Тараса Шевченка (03127, Київ, проспект Глушкова, 2, корпус 6, факультет кібернетики, ауд. 40).

З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, Київ, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розісланий “12“ травня 2006 року

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Зінько П.М.

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми дослідження. Багато важливих сучасних задач пов`язані із математичною обробкою результатів вимірювань та їх інтерпретацією. Чимало з них виникають на границі декількох наук і не завжди є чисто математичними. Особливо багато задач такого роду виникають у сферах гідро-, радіолокації, медичної діагностики, у теорії оптимального керування та ін. Останнім часом все частіше задачу обробки та інтерпретації результатів вимірювань доводиться ставити виходячи із особливостей проблем, що виникають на перетині з такими науками, як біологія, біофізика, гідрогеологія, фізхімія і т.п. Це змушує розробляти нові методи обробки та інтерпретації експериментальних даних.

Звісно, дана проблема залишається актуальною і для тих областей, у яких вона виникала первісно. Це зумовлено як науково-технічними, так і економічними факторами, оскільки такі характеристики приладу як “ефективний” та “дешевий” мають, зазвичай, протилежні тенденції до змін. Крім того, далеко не завжди є можливість фізично створити прилад з необхідними характеристиками.

Одне з можливих рішень проблеми побудови “ефективного” та “дешевого” приладу полягає у застосуванні математичних методів редукції вимірювань до обчислень. Мова йде про моделювання вимірювально-обчислювальної системи (ВОС) із розширеними можливостями за рахунок алгоритмів обробки інформації, що надійшла від реального вимірювального приладу. Частинним випадком цієї проблеми є задача з`ясування параметрів досліджуваної системи, або ж задача відновлення сигналу від системи.

Різноманітність сфер, в яких виникає проблема обробки та інтерпретації вимірювань, зумовила велику кількість постановок задачі моделювання вимірювально-обчислювальних систем (ВОС) надвисокої роздільної здатності. Зокрема, не завжди через ті чи інші причини вдається отримати всі результати вимірювань одразу, і тоді виникає потреба у методі уточнення побудованих оцінок виходу із заданого приладу при надходженні додаткових результатів вимірювань. Іноді необхідно будувати оцінки виходу із заданого приладу при невідомій структурі реального вимірювального приладу. Особливо важливим є випадок, коли неможливо зібрати необхідну статистичну інформацію про похибки у вимірюваннях, і для постановки задачі побудови ВОС використовують експертну інформацію в тому чи іншому вигляді.

В дисертаційній роботі ці проблеми формалізовані як задача оцінки значення заданого оператора Гільберта-Шмідта на невідомому елементі деякого гільбертового простору за збуреним значенням іншого лінійного обмеженого оператора на цьому ж невідомому елементі.

Дана задача у менш абстрактних постановках, чим це зроблено у дисертаційній роботі, здавна привертала увагу науковців і стала предметом великої кількості досліджень. Перші дослідження присвячені оцінюванню виходу із заданого приладу за даними, що не містять збурень і схема отримання яких може бути промодельована лінійними алгебраїчними рівняннями. Ці дослідження пов'язані з іменами таких вчених, як П.Л. Чебишев, А.А. Марков, Г. Герглотц, О. Тепліц, Ф. Рисс, Г. Пік та ін. В кінці тридцятих років ХХ сторіччя була створена теорія -проблеми моментів в абстрактному нормованому просторі, яка вже у кінці п'ятидесятих років була використана для розв'язку задач теорії оптимального керування системами з розподіленими та зосередженими параметрами (див. роботи М.М. Красовського, А.Г. Бутковського, Р.Е. Куліковського, Р.Ф. Габасова та Ф.М. Кирилової). У 70-х роках М.П. Жидков дослідив множину значень лінійних функціоналів для простору на множині функцій, норма Гільберта-Шмідта яких не перевищувала одиницю. Проте всі ці дослідження не враховували наявність похибок в даних, а в реальних процесах вимірювань дані, як правило, відомі неточно.

Серед методів обробки та інтерпретації експериментальних даних, відомих з похибками, слід згадати методи регуляризації некоректних задач А.М. Тіхонова, методи редукції вимірювань до обчислень Ю.П. Питьєва, а також багатокритеріальні методи оцінки значення функціоналу за скінченою кількістю спотворених значень інших функціоналів для простору , що були запропоновані Ю.А. Бєловим та В.С. Касьянюк.

Задачі обробки та інтерпретації експериментальних даних, зокрема в теоретико-можливісній постановці, за певних умов можуть розглядатися як задачі оптимального оцінювання та прийняття рішень. В розв'язок такого типу задач значний внесок зробили М.Ф. Кириченко та О.Г. Наконечний.

Методи, запропоновані в дисертаційній роботі, також враховують наявність збурень в даних, а оцінка виходу із заданого приладу будується як розв'язок задач багатокритеріальної оптимізації. При цьому розглядається операторна модель ВОС. Запропоновані методи дозволили отримати параметричні класи оптимальних оцінок виходу із заданого приладу. Ці параметричні класи містять нові оцінки, які неможливо було отримати існуючими методами, і які забезпечують необхідний компроміс між обраними критеріями оптимізації.

Таким чином, тема дисертаційної роботи належить до актуальних питань дослідження методами математичного моделювання та чисельного аналізу сучасних проблем обробки та інтерпретації результатів експерименту, вирішення яких пов`язане із використанням апріорної інформації про похибки для побудови оптимальних в певному сенсі оцінок вимірювальної величини або її виходу із заданого приладу.

Зв`язок роботи з науковими темами.

Відображені в дисертаційній роботі результати досліджень щодо питань розробки алгоритмів для проведення обчислювального експерименту на моделях оптимального оцінювання та прийняття рішень були використані в планових наукових дослідженнях Київського національного університету імені Тараса Шевченка в рамках бюджетної теми 01БФ015-07 (№ ДР 0101U002163) та в учбовому процесі кафедри теоретичної кібернетики факультету кібернетики.

Мета і задачі дослідження.

Мета дослідження - розвинути теоретичні основи обробки та інтерпретації збурених результатів вимірювань на випадок операторної моделі процесу вимірювань та розробити нові практичні методи редукції вимірювань до обчислень при відомій та невідомій моделях процесу вимірювань, які можна було б застосовувати як у випадку наявності так і відсутності стабільності статистичних показників збурень.

Реалізація мети роботи обумовила необхідність постановки та вирішення наступних задач:

1) редукція вимірювань до виходу із заданого приладу за всією сукупністю результатів вимірювань при відомій операторній моделі процесу вимірювань;

2) уточнення результатів обробки експериментальних даних при надходженні додаткових результатів вимірювань у випадку відомої операторної моделі вимірювань;

3) парето-оптимальне оцінювання виходу із заданого приладу при невідомій операторній моделі процесу вимірювань шляхом використання вимірювань еталонних сигналів;

4) розробка методів обробки та інтерпретації результатів експерименту в рамках теоретико-можливісного підходу;

5) редукція вимірювань до обчислень при додаткових обмеженнях для вимірювального процесу, заданого системою лінійних алгебраїчних рівнянь спеціального вигляду.

Наукова новизна одержаних результатів дисертаційної роботи.

В роботі представлені нові методи обробки та інтерпретації результатів вимірювань, процес отримання яких з математичної точки зору описується лінійними операторними рівняннями першого роду в гільбертових просторах. Отримані результати є новими та такими, що узагальнюють існуючі. Побудовані алгоритми використовують ідеї багатокритеріальної оптимізації за Парето, диференціювання абстрактної функції, сплайн-апроксимації та використовують особливості ймовірносної та можливісної моделі вимірювань. Розроблені методи забезпечують отримання оцінок вимірювальної величини або її виходу із заданого приладу у випадках:

· відомої (або невідомої) операторної моделі вимірювань

· поступового (або одночасного) отримання даних вимірювань

· великих збурень отриманих результатів вимірювань

· недостатньої (або надлишкової) кількості даних вимірювань

· коли апріорна інформація про збурення має ймовірносний (або можливісний) характер

Практичне значення одержаних результатів.

Розробка методів побудови парето-оптимальних оцінок виходу із заданого приладу як розв'язку задачі багатокритеріальної оптимізації відкриває широкі можливості для розв'язання складних проблем обробки та інтерпретації результатів експериментів у різноманітних сферах, зокрема медицині, біології, гідро- і радіолокації, геодезії та ін.

Побудова таких методів для випадку невідомої моделі вимірювань чи у випадку нечітких похибок в даних дозволяє розв'язувати задачі редукції вимірювань до обчислень при складній або частково відомій структурі реального вимірювального приладу та у разі нестабільних статистичних характеристик збурень в даних.

Отримані в дисертаційній роботі результати можуть бути теоретичною основою для подальшого дослідження важливих аспектів проблеми моделювання ВОС надвисокої роздільної здатності. Вони також використовуються в учбовому процесі при викладанні спеціальних курсів з математичного моделювання ВОС.

Апробація результатів дисертаційної роботи.

Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на наукових семінарах в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка, Московському Державному університеті імені М.В. Ломоносова та Інституті фізики напівпровідників НАН України, а також на наукових і науково-технічних конференціях: Міжнародній конференції “Моделювання та оптимізація складних систем” (Київ, 2001); Міжнародній конференції “Моделювання динамічних систем та дослідження стабільності” (Київ, 2001); Х-ій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Київ, 2004); Міжнародному симпозіумі “Prediction and decision making under uncertainties PDMU-2004” (Тернопіль, 2004); European Conference on Mathematical and Theoretical Byology, (Dresden, Germany, 2005).

Публікації.

Основні результати дисертаційної роботи опубліковано у п'яти статтях в фахових наукових журналах [1-5] та у матеріалах доповідей і тезах чотирьох наукових та науково-технічних конференцій [6-9].

Особистий внесок здобувача.

Персональний внесок здобувача до робіт, опублікованих разом із співавторами слід визначити таким чином. У спільних працях Бєлов Ю.А. виконав загальну постановку задач та обговорював отримані результати, Касьянюк В.С. розробила метод парето-оптимального інтерполювання та метод калібровки невідомої інтегральної моделі вимірювань за еталонними сигналами, І.А. Кошець, З.І. Казанцева, Ю.М. Ширшов та В.І. Кальченко виконали реалізацію газоаналітичного аналізатора та фізхімічне обґрунтування принципів його роботи. Усі інші наукові та практичні результати одержані здобувачем особисто.

Структура та обсяг роботи.

Дисертаційна робота складається із вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що складає 49 найменувань. Загальний обсяг дисертаційної роботи - 108 сторінок. Робота включає 14 малюнків та 1 таблицю.

Основний зміст роботи

Вступ. У вступі аналізується стан наукової проблеми, обґрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи, визначається мета і задачі дослідження, а також викладається загальна ідея підходу для розв'язку поставленої задачі. Зокрема, наводиться математична модель вимірювань, яка описує процес вимірювань - лінійне операторне рівняння першого роду

, (1)

де - лінійний обмежений оператор, який моделює вимірювальний прилад, , - деякі гільбертові простори, причому - скінченовимірний, - спотворене шумом значення оператора на невідомому елементі , який є об'єктом вимірювань. Для побудови оцінки виходу із заданого гіпотетичного приладу, промодельованого оператором Гільберта-Шмідта , на невідомому елементі ( - деякий гільбертів простір), на абстрактному рівні використовується ідея Ю.П. Питьєва, згідно якої необхідно відшукати деяке перетворення даних (1), яке б дало оптимальні значення для обраних критеріїв оптимізації. Коротко викладається зміст дисертаційної роботи та її основні результати, визначається їх новизна.

Перший розділ. В першому розділі викладено загальний підхід до задачі парето-оптимального оцінювання виходу з заданого приладу, що промодельований відомим оператором Гільберта-Шмідта, за збуреними результатами вимірювання іншим приладом, за модель якого взято лінійний обмежений оператор. Розв'язана задача оцінювання виходу з заданого приладу за всією сукупністю отриманих результатів вимірювання та задача уточнення побудованої оцінки при надходженні додаткових результатів вимірювання. Досліджені властивості отриманих парето-оптимальних оцінок. Результати викладені в першому розділі, опубліковані у [3, 8].

У підрозділі 1.1 поставлено і розв'язано задачу оцінювання виходу із заданого приладу за даними (1) при відомій моделі процесу вимірювань за всією сукупністю результатів експерименту. Оцінювання відбувалося за рахунок побудови такого перетворення у вигляді оператора Гільберта-Шмідта , яке оптимальним чином згідно наведених нижче критеріїв оптимальності наближає до . При цьому в (1) вважалось, що є випадковим елементом простору з нульовим математичним сподіванням , а також з відомим коваріаційним оператором , що визначається згідно формули , і є невиродженим. Застосовуючи до (1) перетворення та віднімаючи від обох частин , приходимо до рівняння

,

з якого видно, що від відрізняється двома доданками - артефактом та шумовим фоном . Враховуючи, що елемент є невідомим будемо оператор знаходити як розв'язок наступної задачі

, (2)

де критерії в термінах фізики мають певну приладову інтерпретацію: - рівень шумового фону (дисперсія) оцінки , - операторна нев'язка. Всі норми в (2) є нормами Гільберта-Шмідта. Застосувавши принципи пошуку екстремумів та диференціювання за Фреше до опуклої згортки критеріїв задачі (2), отримуємо розв'язок, названий парето-оптимальним.

Теорема 1.1 Розв`язком задачі оптимізації за Парето (2) є континуальна множина операторів

, (3)

де - параметр парето-оптимізації. При цьому для критеріїв парето-оптимізації виконується “закон збереження” .

Отже, парето-оптимальною оцінкою виходу із заданого приладу на невідомому елементі за результатами вимірювань (1) є континуальна множина елементів простору вигляду

, , (4)

що залежить від параметра.

У підрозділі 1.2 досліджується поведінка критеріїв оптимізації задачі (2) в залежності від значення параметра парето-оптимізації на інтервалі . Встановлено, що вони мають протилежні тенденції при зміні параметра парето-оптимізації на . Причому рівень шумового фону монотонно спадає до нуля, а операторна нев'язка монотонно зростає до .

Запропоновано пошук значень параметра парето-оптимізації в операторному випадку згідно таких принципів багатокритеріальної оптимізації, як: “ельдорадо”, гарантований результат, рівномірна оптимальність, при обмеженні одного з критеріїв оптимізації.

У підрозділі 1.3 розглядається задача уточнення отриманих оцінок при надходженні нових результатів вимірювань (оператор, що описує процес вимірювань, вважається відомим). В основі запропонованого алгоритму лежить ідея Фробеніуса для обернення блочних матриць, з використанням якої в дисертаційній роботі розроблений метод для обернення оператора, що має блочний вигляд.

Якщо отримання перших вимірювань описується лінійним операторним рівнянням

, (5)

а надходження додаткових результатів описується рівнянням

, (6)

де , , , , , , та - випадкові вектори просторів та відповідно, для яких виконується та і відомі їх невироджені коваріаційні оператори та , то має місце наступна теорема

Теорема 1.2 Нехай, за спотвореним значенням оператора на невідомому елементі (5) згідно формули (4) було побудовано параметричний клас парето-оптимальних оцінок у вигляді , . Якщо відоме збурене значення оператора на невідомому елементі (5), то оцінки можна уточнити за допомогою рекурентного співвідношення , де , , , . При цьому буде отриманий параметричний клас парето-оптимальних оцінок, які співпадатимуть з оцінками , побудованими за допомогою формули (4) за всією сукупністю даних (5), (6).

Для випадку, коли випадкові елементи та є незалежними, отримано формулу уточнення значення у вигляді рекурентного співвідношення , де , , - тотожній оператор. Доведено, що співпадатиме з оцінками , побудованими за допомогою формули (4) за всією сукупністю даних (5), (6). Показано, що можна з'ясувати, чи матиме сенс уточнення вже отриманих оцінок , обрахувавши оператор . Якщо цей оператор буде співпадати з відповідним нуль-оператором , то уточнена оцінка не буде відрізнятись від вже отриманої оцінки . Множник характеризує вплив значення оператора на величину зміни парето-оптимальної оцінки.

Другий розділ. У другому розділі викладено підхід до задачі парето-оптимального оцінювання виходу із заданого приладу, що промодельований оператором Гільберта-Шмідта, на невідомому сигналі за збуреними результатами вимірювань цього сигналу іншим приладом, про який відомо тільки те, що він може бути представлений лінійним обмеженим оператором. Результати розділу 2 опубліковані у [2, 3, 6].

У підрозділі 2.1 розв'язана задачу оцінювання виходу із заданого приладу за даними (1) при невідомій операторній моделі процесу вимірювань за всією сукупністю результатів експерименту. Такі задачі виникають, коли модель процесу вимірювань або відома неточно, або невідома зовсім, або занадто складна. В таких випадках запропоновано проводити серію вимірювань відомих “еталонних сигналів”, результати яких тим чи іншим чином можна використати в алгоритмах обробки.

Під еталонними вимірюваннями розуміємо дані вигляду

, , . (7)

Тут , - серія “еталонних сигналів” (еталонних елементів), , - відомі збурені результати вимірювань на “еталонних сигналах”, , - випадкові похибки з нульовим середнім та відомими невиродженими коваріаційними операторами, що співпадають з .

В даному підрозділі запропонований підхід, що використовує вимірювання (7) безпосередньо для методу обробки, обминаючи стадію оцінювання моделі. Оцінка , як і раніше, супроводжується шумовим фоном рівня . Першою умовою оптимізації є мінімізація рівня шумового фону. Другою умовою оптимізації оцінки є мінімізація математичного сподівання середньоквадратичного відхилу від на еталонних елементах , , тобто . Будемо шукати як розв`язок задачі одночасної мінімізації за Парето

, (8)

де , .

Отримані результати відображені у наступній теоремі.

Теорема 2.1 Розв`язком задачі оптимізації за Парето (8) є континуальна множина операторів

, , (9)

при цьому для критеріїв парето-оптимізації виконується “закон збереження” .

Проведений порівняльний аналіз швидкості запропонованих в даному розділі алгоритмів з алгоритмами, що виконують апроксимацію моделі вимірювань і, використовуючи побудовану апроксиманту, оцінюють вихід із заданого приладу.

У підрозділі 2.2 досліджується поведінка критеріїв оптимізації задачі (8) в залежності від значення параметра парето-оптимізації на інтервалі . Встановлено, що вони мають протилежні тенденції при зміні параметра парето-оптимізації на . Причому рівень шумового фону монотонно спадає до нуля, а середньоквадратичне відхилення від на еталонних елементах монотонно зростає до .

Досліджена поведінка критеріїв оптимізації при необмеженому зростанні кількості еталонних вимірювань. Встановлено, що при фіксованому значенні параметра парето-оптимізації та за умови збіжності рядів та , рівень шумового фону прямуватиме до нуля, а середньоквадратичне відхилення від на еталонних елементах прямуватиме до суми квадратів норм виходів заданого приладу на цих елементах.

Показано, що для пошуку конкретного значення параметра парето-оптимізації можуть бути використані ті ж самі принципи, що і в підрозділі 1.2.

Третій розділ. В третьому розділі в рамках теоретико-можливісного підходу розв'язується задача парето-оптимального оцінювання виходу з заданого приладу, що промодельований оператором Гільберта-Шмідта, за нечітко збуреними результатами вимірювання іншим приладом, що описаний відомим лінійним обмеженим оператором. Отримана множина парето-оптимальних розв'язків задачі редукції вимірювань до виходу із заданого приладу, а також отримані оцінки невідомого сигналу від об'єкту, що був поданий на вхід реального приладу. Проведено дослідження переконливості отриманих оцінок та запропоновано метод знаходження оцінки невідомого сигналу із заданою точністю. Результати, викладені в розділі 3 опубліковані у [5].

У підрозділі 3.1 поставлено і розв'язано задачу оцінювання виходу із заданого приладу за нечіткими даними (1) при відомій моделі процесу вимірювань. Вважається, що статистична інформація про похибки в даних (1) відсутня, а відомий лише розподіл можливостей нечіткого елементу , що моделює похибки в даних (1), заданий експертом у вигляді функції L - шкала на сегменті [0;1] з двома правилами композиції: додаванням та множенням, що інтерпретуються як max та min відповідно, і з заданим порядком , що відповідає природному.

Припустимо, що функція є монотонно незростаючою відносно норми аргументу.

Введено поняття “необхідності коректності оцінювання” Поняття введено за аналогією, запропонованого Ю.П. Питьєвим, поняттю необхідності помилки оцінювання: . Тут - стратегія оцінювання; - можливість відсутності похибки, що виникає при виборі як значення для кожного значення (нечітке відношення коректності); - інволюція - дуальний ізоморфізм з в , такий що , і для довільних відношення , та еквівалентні (тут - шкала на дуальна до з операцією додавання, що інтерпретується як , операцією множення, що інтерпретується як , та відношенням порядку оберненим до природного).

Задача пошуку оптимального перетворення розглядається як задача:

. (10)

Отримано розв`зок задачі (10) у вигляді , який максимально мінімізує критерій оптимізації .

У підрозділі 3.2 проведено пошук розв'язків задачі (10), які краще оптимізують значення “коректності оцінювання” , ніж розв'язок знайдений в попередньому підрозділі. З аналізу другого критерію задачі (10) було встановлено, що є певна залежність між розмірністю ядра оператора та значенням цього критерію оптимізації. Враховуючи вигляд знайденого розв'язку задачі (10) - , поставлено задачу

. (11)

Тут оператор такий, що та на будь-якому елементі , - тотожній оператор, - деякий ортогональний проектор.

Результат розв'язку задачі (11) сформульований у вигляді теореми.

Теорема 3.1 Якщо всі значення рівноможливі, то парето-оптимальними розв`язками задачі (10) є множина операторів

. (12)

Відповідно парето-оптимальними оцінками значення за нечітко спотвореними результатами експерименту (1) є елементи простору вигляду . Побудовані оцінки містять відхилення , а “необхідність коректності оцінювання” дорівнює , де . При цьому за умовою побудови оператора маємо , де .

Дослідження результатів теореми для оператора , який має обернений, відображені у наслідку.

Наслідок 3.1 Якщо в рівнянні (1) оператор такий, що , то парето-оптимальними розв'язками задачі (10) є множина операторів (12), і при цьому норма операторної нев`язки дорівнює , а величина “необхідності коректності оцінювання” обчислюється за формулою

, де , , , . , .

Проведений аналіз значення “коректності оцінювання” для будь-якого обмеженого лінійного оператора , який встановлює, що величина “необхідності коректності оцінювання” знаходиться в межах від до , де ,

. (13)

Крім того, якщо існує непорожня множина , то оптимальна оцінка невідомого аргументу буде належати множині , інакше оптимальною оцінкою невідомого аргументу буде оцінка (13) і при цьому .

У підрозділі 3.3 запропоновано метод визначення оцінювання переконливості отриманих оцінок виходу та входу заданого приладу без побудови самих оцінок. Він базується на тому факті, що з умови випливає, що , оскільки за умовою функція є не зростаючою відносно норми аргументу.

Наведено алгоритм пошуку такого наближеного елементу , норма якого буде відрізнятись від норми оптимальної оцінки елементу не більше ніж на , .

Показано, що парето-оптимальні оцінки (3), які отримані в першому розділі при максимальному зменшенні норми операторної нев`язки (і відповідно максимальному значенні енергії шуму в оцінці), будуть прямувати за нормою до оцінки (12) при , за умови, що коваріаційний оператор (визначений в розділі 1) співпадає з тотожнім.

Четвертий розділ.

В четвертому розділі розглядаються три прикладні задачі: задача моделювання роботи газоаналітичної сенсорної системи, задача побудови контурів за збуреними координатами їх точок та задача синтезу лінійної випромінюючої системи в умовах нечіткості. Для розв'язку цих задач використовуються теоретичні результати, які отримані в попередніх розділах. Результати, викладені в розділі 4, опубліковані у [1, 4, 7, 9].

У підрозділі 4.1 розв'язана задача моделювання роботи газоаналітичної сенсорної системи (ГСС), яка була представлена як проблема моделювання ВОС надвисокої роздільної здатності при невідомій моделі процесу вимірювання, яка розглянута у другому розділі. В експерименті використовувалась дані, отримані від ГСС “ЕН-1”, що були надані фахівцями ІФН НАН України. Для дослідження газового середовища в даній системі використовується ідея кварцового мікро-балансу, що ґрунтується на пропорційності між масою, адсорбованої на поверхні кварцової пластини, і частотою її коливань. Ця система надає інформацію про реакцію рецепторів на пари в динаміці. Розроблений метод за реакцію рецептора на одорант приймає скалярне значення - частоту коливань, що є усередненням реакції рецептора на проміжку часу від початку інжекції аналіту до моменту стабілізації реакції рецептора (“полички”). Враховуючи кількість невідомих одорантів, використаних в експерименті, та кількість використаних рецепторів, можна сказати, що в даному випадку простори , а , тобто вони є десяти- та восьмивимірними евклідовими просторами. Тоді невідомий елемент є восьмивимірним дійсним вектором кількісних характеристик одорантів, а результат вимірювань - десятивимірний дійсний вектор усереднених частот коливань кварців з чуттєвими покриттями. Аналогічні усереднені значення на більш вузьких проміжках часу були використані для розрахунку статистики , та коваріаційного оператора . Елементи десятивимірного випадкового вектора похибок вважались незалежними, тобто коваріаційний оператор був діагональною матрицею розмірності 10, на головній діагоналі якої стояли дисперсії випадкових елементів вектора похибок . У якості еталонних елементів , були використані виміри ГСС для всіх 10 одорантів по одному разу, тобто . Потім на вхід рецепторів подавалися по одному одоранту в довільному порядку, і не було відомо, який саме одорант поданий на вхід рецепторів. Результатом розпізнавання, тобто оцінкою , був вектор кількісних характеристик одорантів, отже оператор в даному випадку був одиничною матрицею розмірності 10. Використовуючи отриману формулу (9) для побудови оцінки , можна бачити, що по суті проводиться оцінювання входу ГСС ваговою обробкою даних - , . Для визначення входу масиву рецепторів з результуючого вектора обирався максимальний компонент. Результати експерименту показали ефективність запропонованих методів і алгоритмів обробки та інтерпретації вимірювань в задачі моделювання роботи ГСС.

У підрозділі 4.2 розв'язана задача побудови контура за збуреними координатами скінченої кількості його точок

Відомо, що якщо наближати контур методом інтерполяції поліномами при великій кількості відомих точок контуру, буде отриманий поліном високого степеня, який може мати великі відхилення в решті точок контура. В роботі запропонований метод, що є поєднанням методів парето-оптимального оцінювання та сплайн-апроксимації. Розроблений ефективний алгоритм його реалізації.

Вважаючи, що на сегменті заданий впорядкований за координатою набір точок , , координата яких спотворена шумами, розіб`ємо цей сегмент на підсегментів сіткою , яка задовольняє двом умовам:

, , - відсутні порожні підсегменти;

- відомі точки контура знаходяться всередині підсегментів.

Розглянемо-й підсегмент , . Він містить точок з заданого набору - , . Задача полягає у побудові на кожному підсегменті полінома -го степеня, причому поліноми на сусідніх підсегментах зв`язувались з умовою гладкості степеня . Для точок, що належать до -го підсегменту, виконується наступне рівняння

, (14)

де - відомий вектор значень координати ; - вектор випадкових величин з нульовим математичним сподіванням і відомою коваріаційною матрицею ; - вектор невідомих коефіцієнтів полінома; . Оцінку вектора було побудовано ваговою обробкою даних (14), тобто у вигляді , де . Матрицю знаходимо як розв`язок двокритеріальної задачі мінімізації за Парето

, (15)

де - рівень шумового фону оцінки, а - величина операторної нев'язки. Записавши лінійну комбінацію критеріїв (15) по всіх підсегментах для додатних коефіцієнтів , , поставимо задачу мінімізації для всього сегмента

. (16)

Задамо в кінцевих точках сегмента значення для апроксиманти та її похідних до степеня и для лівої та правої границі відповідно. Нехай це будуть та . Розв`язуючи задачу (16), отримуємо вектор коефіцієнтів, що дає нам апроксиманту контура, яку назвали парето-оптимальним сплайном.

Має місце наступна теорема 4.1 Парето-оптимальними оцінками вектора коефіцієнтів парето-оптимального сплайну за відомими координатами точок , сегмента при розбитті його сіткою і вагами підсегментів , є континуальна множина векторів вигляду

, (17)

де , , ,

, , , , , , , -нуль матриця; , ; , , ; , , , ; , ; , , . На кінцях сегменту апроксимації отримана апроксиманта та її похідні до степеня та , для лівого та правого кінця сегменту відповідно, будуть приймати наперед задані значення та .

У підрозділі 4.3 представлені результати розв'язку задачі синтезу лінійної випромінюючої системи в умовах нечіткості із використанням методів, представлених в третьому розділі. Розглядається лінійна випромінююча система, що є антеною довжини , по якій протікає струм , що збурює електромагнітне поле. Це поле характеризується діаграмою напрямленості в дальній зоні, що пов'язана із збуджуючим струмом співвідношенням вигляду , . Задача синтезу лінійної антени за скінченою множиною значень її діаграми напрямленості в дальній зоні полягає в знаходженні такого струму в антені, який породжує діаграму напрямленості, що приймає в заданих точках , задані значення . Тобто, тут невідомий сигнал від об`єкту - це функція ; оператор , що задає модель вимірювань, є функціоналом вигляду , ; результати вимірювань - , . При цьому з умов технічного відтворення вимагається, щоб потужність омічних втрат була мінімальною. Вважається, що збурення в даних вимірювань промодельовані нечіткими величинами, розподіл можливостей яких відповідає принципу: чим більше збурення, тим менше його можливість. Оскільки необхідно оцінити невідомий струм , то для даної задачі оператор був обраний у вигляді , де . Тобто є функціоналом, що забезпечує побудову оцінки , усередненої у двосторонньому -околі значень функції . З умови мінімізації випливає, що , де , . Неважко переконатись, що функціонал матиме вигляд , тобто залишиться лише дійсна частина функціоналу .

В проведеному обчислювальному експерименті лінійна випромінююча система мала довжину , модель вимірювань мала вигляд , , а -окіл, на якому усереднював струм оператор , дорівнював . За модельні струми були обрані , та , . Результати засвідчили ефективність розроблених методів і алгоритмів моделювання ВОС надвисокої роздільної здатності в рамках теоретико-можливісного підходу.

висновки

У дисертаційній роботі в операторній формі поставлено та розв'язно задачу моделювання ВОС надвисокої роздільної здатності. Отримані результати дозволили систематизувати як різноманіття постановок задач обробки та інтерпретації результатів експериментів так і різноманіття відомих лінійних оцінок, а також розкрили тісні зв'язки між ними.

Основні наукові результати дисертаційної роботи, що виносяться на захист.

1. Для операторної моделі ВОС в рамках теоретико-ймовірносного підходу в ході розв'язку задачі багатокритеріальної оптимізації розв'язана задача редукції вимірювань до виходу із заданого приладу за всією сукупністю результатів вимірювань при відомій моделі реального вимірювального приладу. Результатом є побудована континуальна множина парето-оптимальних оцінок значень оператора, що моделює заданий прилад.

2. Для операторної моделі ВОС отримано рекурентні формули для уточнення парето-оптимальних оцінок виходу із заданого приладу при надходженні нових експериментальних даних.

3. В рамках теоретико-ймовірносного підходу для операторної моделі ВОС в ході розв'язку задачі багатокритеріальної оптимізації розв'язана задача редукції вимірювань до виходу із заданого приладу при невідомій моделі процесу вимірювань. В результаті розв'язку задачі побудована континуальна множина парето-оптимальних оцінок виходу із заданого гіпотетичного приладу.

4. Досліджена поведінка отриманих в рамках теоретико-ймовірносного підходу парето-оптимальних оцінок виходу із заданого приладу як для відомої, так і для невідомої моделі вимірювань в залежності від значення параметра парето-оптимізації.

5. В рамках теоретико-можливісного підходу розв'язана задача обробки та інтерпретації нечітких результатів вимірювань при відомій моделі процесу вимірювань. Запропоновані методи визначення переконливості можливісних оцінок виходу із заданого приладу та розроблено алгоритм побудови апроксиманти невідомого входу цього приладу.

6. Проведено порівняльний аналіз результатів, що отримані в рамках теоретико-ймовірносного та теоретико-можливісного підходів.

7. Розв'язана задача обробки та інтерпретації результатів вимірювань при додаткових обмеженнях для вимірювального процесу, заданого матрицею спеціального вигляду.

8. Розроблені математичні методи і запропоновані алгоритми розв'язку важливих для практики прикладних задач редукції вимірювань до обчислень: моделювання роботи газоаналітичної сенсорної системи (розпізнавання запахів), відновлення контуру за скінченою множиною його точок, синтез лінійної випромінюючої системи.

На завершення окреслені можливі подальші напрямки досліджень, зокрема, побудова оптимальних нелінійних оцінок, розробка теоретико-можливісних методів калібровки непрямих вимірювань, постановка та розв'язок задачі моделювання ВОС для більш широких класів операторів та ін.

Основні результати дисертаційної роботи опубліковані в таких працях

1. Заворотний А.Л., Касьянюк В.С. Парето-оптимальний підхід в задачі побудови контурів зон підповерхневих аномалій // Київ, Вісник КНУ, серія фізико-математичні науки. - 2001. - №2. - С. 229-233.

(Заворотний А.Л.: метод сплайн-апроксимації для відновелння замкнених контурів за скінченою кількістю їх точок; Касьянюк В.С.: парето-оптимальний підхід до задач інтерполяції контурів за їх координатами, відомими з похибками)

2. Белов Ю.А., Заворотный А.Л., Касьянюк В.С. Об одном подходе к задаче обработки измерений с использованием калибровочных сигналов на основе многокритериальной оптимизации // Киев, Проблемы управления и информатики. - 2001. - №5. - С. 5-13.

(Белов Ю.А.: загальна постановка задачі; Заворотный А.Л.: порівняльний аналіз розроблених методів та вже існуючих, обчислювальний експеримент, аналіз впливу кількості калібровочних вимірювань на результат роботи методів; Касьянюк В.С.: парето-оптимальний метод безпосередньої оцінки виходу заданого приладу за калібровочними вимірюваннями для інтегральної моделі вимірювань)

3. Заворотний А.Л. Розв`язування задач моделювання ВОС надвисокої роздільної здатності на основі багатокритеріальної оптимізації // Київ, Вісник КНУ, серія фізико-математичні науки. - 2004. - №3. - С. 198-205.

4. Заворотный А.Л., Ю.А. Белов, И.А. Кошец, З.И. Казанцева, Ю.М. Ширшов Новый подход к распознаванию запахов с помощью математической обработки по данным от обонятельных рецепторов // Математическое моделирование. РАН - 2005. - том 17 - №3. - С. 75-82.

(Заворотный А.Л.: метод калібровки невідомої операторної моделі вимірювань та його адаптація до задачі моделювання газоаналітичної сенсорної системи, обчислювальний експеримент та аналіз його результатів; Белов Ю.А.: загальна постановка задачі; Кошец И.А., Казанцева З.И., Ширшов Ю.М.: реалізацію газоаналітичного аналізатора та фізхімічне обґрунтування принципів його роботи)

5. Заворотний А.Л. Теоретико-можливісний підхід до задачі редукції спотвореного значення лінійного оператора до значення іншого лінійного оператора // Київ, Вісник КНУ, серія фізико-математичні науки. - 2005. - №3. - С. 268-274.

6. Бєлов Ю.А., Заворотний А.Л., Касьянюк В.С. Парето-оптимальні оцінки лінійного функціонала за тестовими даними // Тез. доп. Міжнар. конф. "Моделювання та оптимізація складних систем (МОСС 2001)." присвячена 65-літтю з дня народження член-кореспондента НАН України Бублика Б.М., Київ: ВПЦ "Київський університет", 25-28 січня 2001. - С.14-16.

(Бєлов Ю.А.: загальна постановка задачі; Заворотний А.Л.: обчислювальний експеримент в задачі синтезу лінійної випромінюючої системи; Касьянюк В.С.: математичні алгоритми оцінки лінійного функціоналу за тестовими даними)

7. Белов Ю.А., Заворотный А.Л., Касьянюк В.С. Математическое моделирование контуров зон подповерхностных аномалий по данным зондирования // Тез. доп. Міжнар. конф. студ. та молодих вчених "Моделювання динамічних систем та дослідження стійкості." 22-25 травня 2001 - Київ: КНУ, 2001. - С.138-139.

(Белов Ю.А.: загальна постановка задачі; Заворотный А.Л.: обчислювальний експеримент по моделюванню контурів зон підповерхневих аномалій; Касьянюк В.С.: математичні алгоритми відновлення контурів зон підповерхневих аномалій)

8. Заворотний А.Л., Касьянюк В.С. Оцінки значення лінійного оператора за правою частиною лінійного операторного рівняння І роду в гільбертових просторах // Тези Х міжнародної наукової конференції імені академіка М. Кравчука, Київ, 13-15 травня 2004 р. - С. 379

(Заворотний А.Л.: метод парето-оптимальної оцінки значення лінійного оператора в гільбертових просторах за збуреними даними; Касьянюк В.С.: порівняльний аналіз з традиційними методами; розгляд частинних випадків)

9. Byelov Yu. A., Zavorotny A. L., Koshets I.A. Pareto-optimum method of organic vapors pattern recognition // European Conference on Mathematical and Theoretical Byology, Dresden, Germany, July 18-22, 2005 - p. 2-273

(Byelov Yu. A.: загальна постановка задачі; Zavorotny A. L.: адаптація методу калібровки невідомої операторної моделі вимірювань до задачі розпізнавання запахів, обчислювальний експеримент, аналіз результатів експерименту; Koshets I.A.: реалізацію газоаналітичного аналізатора та фізхімічне обґрунтування принципів його роботи)

Анотація

Заворотний А.Л. Розробка математичних методів і алгоритмів для розв'язування задач моделювання вимірювально-обчислювальних систем надвисокої роздільної здатності. - Рукопис.

Дисертаційна робота на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2006.

Дисертаційна робота присвячена розробці методів розв'язування задач моделювання вимірювально-обчислювальних систем (ВОС) надвисокої роздільної здатності. За модель вимірювань обрані лінійні операторні рівняння першого роду. В роботі побудовані нові методи парето-оптимального оцінювання виходу із заданого приладу за спотвореними результатами вимірювань іншим приладом тих самих вхідних даних у різних випадках. Зокрема, отримані оцінки при поступовому та одночасному надходженні результатів вимірювань; при невідомій моделі процесу вимірювань; для випадку нестабільних статистичних характеристик похибок в експериментальних даних; при додаткових обмеженнях для вимірювального процесу, заданого матрицею спеціального вигляду. Побудовані методи базуються на ідеях багатокритеріальної оптимізації за Парето, диференціювання абстрактної функції, сплайн-апроксимації та використовують особливості ймовірносної та можливісної моделі вимірювань. Проведено дослідження отриманих оцінок та їх порівняння із вже існуючими оцінками.

Розв'язані важливі та актуальні прикладні задачі редукції вимірювань до обчислень.

Ключові слова: парето-оптимізація, редукція вимірювань до обчислень, операторна модель вимірювально-обчислювальної системи, калібровка невідомої моделі вимірювань, нечіткі величини, сплайн-апроксимація.

Аннотация

Заворотный А.Л. Разработка математических методов и алгоритмов для решения задач моделирования измерительно-вычислительных систем сверхвысокого разрешения. - Рукопись.

Диссертационная работа на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и численные методы. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2006.

Диссертационная работа посвящена разработке методов решения задач моделирования измерительно-вычислительных систем (ИВС) сверхвысокого разрешения. В качестве модели измерений использованы линейные операторные уравнения первого рода. Проблема моделирования ИВС сверхвысокого разрешения интерпретировалась как задача оценивания значения заданного оператора Гильберта-Шмидта на неизвестном элементе некоторого гильбертового пространства по искаженным значениям другого линейного ограниченного оператора на этом же неизвестном элементе. Задачи поиска оптимальных оценок были поставлены как задачи многокритериальной оптимизации и были решены как задачи оптимизации по Парето.

В рамках теоретико-вероятностного подхода для операторной модели ИВС с были поставлены и решены следующие задачи:

1. редукция измерений к вычислениям по всей совокупности данных при известной модели процесса измерений;

2. рекуррентная обработка экспериментальных данных при поступлении дополнительных результатов измерений в случае известной модели процесса измерений;

3. парето-оптимальная калибровка неизвестной модели измерений с использованием измерений на эталонных сигналах;

4. обработка и интерпретация результатов измерений при дополнительных ограничениях для измерительного процесса, заданного матрицей специального вида.

Предполагалось, что про шумы в данных известна некоторая статистическая информация, а именно первые два момента. Построено и исследовано континуальное множество парето-оптимальных оценок, зависящих от параметра. Установлен "закон сохранения", который показал связь скоростей изменения критериев оптимизации при изменении параметра парето-оптимизации.

Поставлена и решена задача обработки и интерпретации результатов эксперимента в случае нестабильности статистических характеристик погрешностей в данных. Ошибки моделировались нечеткими величинами. Для полученных в этом случае оценок предложены процедуры проверки их состоятельности. Проведено сравнение оценок полученных в рамках теоретико-вероятностного и теоретико-возможностного подходов.

С помощью разработанных методов и алгоритмов решены задачи: моделирование работы газоаналитической сенсорной системы (распознавание запахов), восстановление контура по конечному множеству его точек, синтез линейной излучающей системы.

Ключевые слова: парето-оптимизация, редукция измерений к вычислениям, операторная модель измерительно-вычислительной системы, калибровка неизвестной модели измерений, нечеткие величины, сплайн-аппроксимация.

Abstract

Zavorotnyy A.L. Development of mathematical methods and algorithms for decision of super-resolution measuring-calculating systems modeling problems. - Manuscript.

Thesis for a Candidate of Physics and Mathematics Science Degree by speciality 01.05.02 - mathematical modeling and calculus of approximations. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2006.

The dissertation is dedicated to development of methods for super-resolution measuring-calculating systems modeling problems solving. Linear operator equations of first kind is used as measurements model. The new methods for pareto-optimum estimation of the given device's output by noised output of other device on the same input are developed in various cases. Specifically, the estimations are obtained for the cases: gradual and simultaneous receipt of measurements' results; unknown measurements process' model; unstable statistical characteristics of experimental data's errors; additional restrictions for measuring process specified by matrix of a special kind. The constructed methods are based on ideas of pareto-optimization, abstract function differentiation, spline approximation and uses possibility-theoretic and probability-theoretic approaches' features. The research of the received estimations and their comparison with already existing estimations is done.

The important and actual applied problems of measurements' reduction to calculations are solved.

Key words: pareto-optimization, measurements' reduction to calculations, operator model of measuring-calculating system, calibration of unknown measurements' model, fuzzy values, spline approximation.

Размещено на Allbest.ru