Зростання та розподіл нулів цілих функцій скінченного лямда-типу

Размещено на http://allbest.ru

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Зростання та розподіл нулів цілих функцій скінченного -типу

1. Загальна характеристика роботи

функція нуль мажоранта квадратичний

Актуальність теми.

Цілі функції є безпосередніми узагальненнями поліномів і відіграють важливу роль в аналізі. Основи теорії таких функцій закладені в роботах Вейєрштрасса, Пікара, Лагера, Адамара, Бореля і Ліндельофа. Цій теорії присвячені відомі монографії Бореля, Валірона, Блюменталя, Картрайт, Боаса, Левіна, Рубела. Перша з них "Lecons sur les fonctiєns entieres" з'явилася в 1900 році.

Згідно з відомим принципом максимум модуля цілої функції, відмінної від сталої, в крузі зростає. В класичній теорії його зростання порівнюється зі степеневими або близькими до них функціями вигляду , де -- уточнений порядок Ліндельофа. Однак, в 60 - х роках минулого століття Л. Рубел і Б. Тейлор розробили метод рядів Фур'є, який дозволив глибоко вивчати класи цілих і мероморфних функцій з обмеженнями на зростання, що задаються довільними додатними, зростаючими, неперервними, необмеженими функціями . Такі класи вони назвали класами функцій скінченного -- типу.

В основі методу рядів Фур'є лежать формули для коефіцієнтів розвинення в ряд Фур'є функції , що узагальнюють класичну формулу Єнсена, яку можна розглядати як формулу для нульового коефіцієнта Фур'є. Ці формули встановлені, фактично, ще в оригінальній роботі Єнсена 1899 року.

Вперше метод рядів Фур'є застосував Н. Ахієзер, давши нове доведення класичної теореми Ліндельофа. Пізніше його використовували , окрім Л. Рубела і Б. Тейлора, також В. Азарін, Д. Майлз, Д. Ші, А. Кондратюк, А. Гольдберг, М. Содін, К. Малютін, Я. Васильків, В. Бергвайлер та інші.

Основними результатами Л. Рубела і Б. Тейлора для цілих функцій є критерій скінченності їх -- типу і опис множини нулів таких функцій.

Виникає питання, як формулюється критерій скінченності -- типу цілої функції у випадку скінченності порядку за Пойя функції зростання . Останнє еквівалентне до умови , звідки випливає скінченність порядку функції . Це є підставою називати такі функції функціями помірного зростання (of moderate growth).

В більшості робіт метод рядів Фур'є застосовувався для дослідження лише модулів цілих чи мероморфних функцій. Поза увагою залишалися їх аргументи. Цей недолік було усунуто в роботах Дж. Літтлвуда, Д. Таунсенда, А. Гольдберга, М. Строчика, А. Кондратюка, Я. Васильківа, А. Християнина. Ще у 1924 р. Дж. Літтлвуд узагальнив формулу Єнсена для логарифма модуля і аргумента мероморфної в прямокутнику функції і застосував її до вивчення нулів -- функції Рімана. Оскільки , то виникає задача встановлення критерію скінченності -- типу цілої функції в термінах коефіцієнтів Фур'є функції та її інтегральних середніх. Зокрема, коли , де -- уточнений порядок в сенсі Бутру.

Функцію зростання , яка для довільної послідовності з мажорує характеристику Неванлінни принаймні однієї цілої функції з послідовністю нулів назвемо мажорантою зростання для класу цілих функцій . Виникає проблема знаходження найкращих ( у певному сенсі найменших ) мажорант зростання для. Найкращі мажоранти зростання відіграють важливу роль в теорії цілих і мероморфних функцій, зокрема, в питаннях зображення мероморфної функції часткою двох цілих без спільних нулів.

Основні характеристики зростання цілих функцій опуклі відносно . Для довільної опуклої відносно функції зростання Клуні і Коварі побудували цілу функцію у вигляді степеневого ряду таку, що

N(r,f) ~ T(r,f) ~ logM(r,f) ~ л(r), r > ?.

Виникає задача побудови цілої функції із заданою асимптотикою не лише вищезазначених характеристик, а й, окрім того, інтегральних середніх і та конструкції послідовності нулів такої функції.

Існує безліч цілих функцій із заздалегідь заданою послідовністю нулів. Якщо -- одна з таких функцій, то інші мають вигляд , де ціла. Які з них зростають повільніше? Тут виникає два питання. Перше --- існування цілої функції у певному сенсі мінімального зростання з при довільній функції зростання . Друге --- чи для довільної послідовності Z з існує ціла функція мінімального зростання з ?

При вивченні аргумента цілої функції виникає функція, яка характеризує розподіл нулів цієї функції за модулями та аргументами, і названа нами функцією розподілу послідовності. Знаючи її поведінку і поведінку ,(а асимптотичне поводження , як зазначалось вище, вивчене добре ) можна отримати більше інформації про . Тому дослідження такої функції заслуговує на увагу.

Розв'язанню зазначених вище задач і присвячується дана робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науковими дослідженнями, які проводяться в галузі математики у Львівському національному університеті імені Івана Франка. Матеріал дисертації є складовою частиною досліджень держбюджетної теми МА-80Б "Функціонально-аналітичні методи в комплексному аналізі і теорії операторів" (номер держреєстрації 0101U001436).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є дослідження асимптотичних властивостей цілих функцій скінченного - типу та розподілу їх нулів, що передбачає вирішення таких задач:

-- одержання критерію скінченності -типу цілої функції за умови, що порядок за Пойя функції зростання скінченний;

-- встановлення критерію скінченності -- типу цілої функції в термінах коефіцієнтів розвинення в ряд Фур'є функції ;

-- знаходження найкращих мажорант зростання цілих функцій з заданим обмеженням на кількість їх нулів;

-- побудова цілої функції із заздалегідь заданим зростанням її основних характеристик;

-- доведення існування і побудова цілої функції мінімального зростання із заданою послідовністю нулів;

-- встановлення оцінок на зростання відношень середніх квадратичних функцій розподілу послідовностей до лічильних функцій точок цих послідовностей.

Об'єктами дослідження є цілі функції скінченного - типу.

Предметом дослідження є асимптотичні властивості цілих функцій скінченного - типу, їх зростання та розподіл нулів.

Основними методами досліджень є метод рядів Фур'є, а також різноманітні методи теорії функцій комплексної змінної, методи математичного аналізу та деякі прийоми з робіт А.А. Гольдберга, Й.В. Островського, У.К. Хеймана, Л.А. Рубела, Б.А. Тейлора та А. А. Кондратюка.

Наукова новизна одержаних результатів. Усі одержані наукові результати дисертації є новими. У роботі вперше

-- узагальнено теорему Ліндельофа про тип цілої функції цілого порядку на цілі функції скінченного - типу за умови, що порядок за Пойя функції зростання скінченний;

-- встановлено критерій скінченності - типу цілої функції в термінах коефіцієнтів розвинення в ряд Фур'є функції ;

-- знайдено найкращі мажоранти зростання цілих функцій з послідовностями нулів заданого скінченного - типу за умови, що порядок функції зростання скінченний і показано, що вони мають скінченний порядок за Пойя;

-- побудовано цілу функцію із заздалегідь заданим зростанням її основних характеристик у вигляді нескінченного добутку з певним чином підібраними нулями;

-- за певних умов на функцію зростання побудовано цілу функцію мінімального зростання із заданою послідовністю нулів у вигляді канонічного добутку Вейєрштрасса;

-- введено поняття функції розподілу послідовності комплексних чисел і встановлено оцінки на зростання відношень середніх квадратичних функцій розподілу послідовностей до лічильних функцій точок цих послідовностей.

Практичне значення одержаних результатів. Результати, подані у дисертації, мають теоретичний характер і можуть знайти застосування у подальших дослідженнях із загальної теорії цілих та аналітичних функцій, теорії розподілу значень Неванлінни.

Особистий внесок здобувача. Основні результати роботи отримані здобувачем самостійно. У спільній роботі [2] Теорема 2 отримана у співпраці з А. Бридуном, Лема 2 --- у співпраці з Р.Мицик. Решта результатів цієї статті належать авторові дисертації. У спільній статті з Я.В.Васильківим [3] у дисертацію ввійшли лише результати,отримані автором дисертації. У спільній статті з Я.В.Васильківим [1] співавтору належить загальне керівництво роботою.

Апробація результатів дисертації. Усі основні результати дисертації доповідались та обговорювалися на науковій конференції "Математика і механіка у Львівському університеті (історія і сучасні проблеми)", присвяченій 255-ій річниці заснування кафедри математики в університеті (Львів, 24 - 27 листопада 1999 р.), міжнародному семінарі-конференції INTAS Starting meeting, INTAS prєject 99-00089 "New Trends in Cєmplex Analysis and Pєtential Theєry", (Львів, 6 - 9 жовтня 2000 р.), на міжнародній конференції з комплексного аналізу та теорії потенціалу (Київ, 7 - 12 серпня 2001 р. ), на Другій міжнародній конференції "Математичний аналіз та економіка" (Суми, 1 - 4 квітня 2003 р.), на міжвузівському семінарі з теорії аналітичних функцій у м. Львові (Львівський національний університет, керівники -- проф. А. A. Кондратюк і проф. О. Б. Скасків), на науковому семінарі з теорії функцій в університеті м. Вюрцбург (Universitt Wrzburg), Німеччина (керівник семінару -- професор С. Рушевай (St. Ruscheweyh)).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 7 роботах (4 без співавторів), з яких 5 (2 без співавторів) опубліковано у виданнях, включених до переліку ВАК України та 2 у тезах міжнародних конференцій.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, розділених на підрозділи, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації 115 сторінок. Список використаних джерел обсягом 8 сторінок включає 68 найменувань.

Висновки

У дисертаційній роботі розв'язано ряд актуальних задач теорії цілих функцій, які стосуються зростання цілих функцій скінченного - типу та розподілу їх нулів. Зміст основних результатів роботи полягає у наступному:

- знайдено необхідні і достатні умови на розподіл нулів і коефіцієнти тейлорового розвинення в околі логарифма цілої функції , за яких є функцією скінченного -типу, де - довільна функція зростання скінченного порядку за Пойя. Ця теорема узагальнює відому теорему Ліндельофа про тип цілої функції цілого порядку. У випадку , де - коливний уточнений порядок, одержані результати уточнюють її за умов не лише на порядок за Пойя, а й на нижній порядок за Пойя;

- введено поняття найкращої мажоранти зростання для класу цілих функцій з послідовностями нулів заданого скінченного - типу. Знайдено найкращу мажоранту, якщо порядок функції зростання скінченний і показано, що вона є функцією скінченного порядку за Пойя;

- для довільної функції зростання , що задовольняє певні слабкі умови, подано просту конструкцію цілої функції у вигляді нескінченного добутку з певним чином підібраними нулями таку, що

N(r,f) ~ T(r,f) ~ log(r,f) ~ logM(r,f) ~ (r,log|f|) ~(r), .

Таким чином розв'язано задачу з теорії зростання та розподілу нулів цілих функцій, що є спорідненою з класичним результатом Клуні та Коварі, які побудували цілу функцію у вигляді певного степеневого ряду із заданим зростанням логарифма її максимуму модуля , неванлінової характеристики і неванлінової лічильної функції - точок для довільного cє C.

- введено поняття цілої функції мінімального зростання з заданою послідовністю нулів. Подана проста конструкція цілої функції мінімального зростання з послідовністю нулів Z такою, що , при довільній функції зростання ;

- показано, що для довільної послідовності скінченного - типу певним чином побудований канонічний добуток Вейєрштрасса є функцією мінімального зростання за певних умов на функцію зростання нескінченного порядку;

- введено нове поняття функції розподілу послідовності комплексних чисел і встановлено оцінки на зростання відношень середніх квадратичних функцій розподілу послідовностей до лічильних функцій точок цих послідовностей.

Результати подані у дисертації мають теоретичний характер і можуть знайти застосування у подальших дослідженнях із загальної теорії цілих та мероморфних функцій.

Список опублікованих праць за темою дисертації

функція нуль мажоранта квадратичний

Всі основні результати дисертаційної роботи опубліковані у наступних статтях і наукових повідомленнях:

1. Васильків Я.В., Лизун О.Я. Зростання середніх квадратичних функцій розподілу послідовностей // Математичні методи та фізико-механічні поля -- 1999. -- Т. 42, 194 3 -- С. 12 -- 16.

2. Бридун А., Лизун О., Мицик Р. Узагальнення теореми Ліндельофа для цілих функцій// Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична -- 2000. -- Вип. 56 -- С. 20 -- 27.

3. Васильків Я., Лизун О. Про мажоранти зростання цілих функцій// Вісник Львівського університету. Серія механіко-математична -- 2001. -- Вип. 59 -- С. 51 -- 56.

4. Лизун О.Я. Зображення цілих функцій мінімального зростання канонічним добутком // Математичні методи та фізико-механічні поля -- 2002. -- Т. 45, 194 1 -- С. 38 -- 41.

5. Lyzun Є. Entire functions with prescribed growth // Математичні методи та фізико-механічні поля -- 2004. -- Т. 47, 194 2 -- С. 50 -- 59.

6. Lyzun Є. Ya. Representation of entire functions єf minimal growth by canonical product// International Conference on Complex Analysis and Potential Theory: Abstracts. - Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine. - 2001. - P. 34.

7. Lyzun O. The existence of entire functions of minimal growth// Second International Conference "Mathematical Analysis and Economics": Book of abstracts.- Sumy-Kharkiv-Kiev. - 2003. - P. 30.

Размещено на Allbest.ru