Метод інваріантних многовидів в теорії параболічних функціонально-диференціальних рівнянь та його застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

01.01.02 - диференціальні рівняння

Метод інваріантних многовидів в теорії параболічних функціонально-диференціальних рівнянь та його застосування

Бєлан Євген Петрович

Київ 2007

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Таврійському національному університеті ім. В.І. Вернадського Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант доктор фізико-математичних наук, професор, академік НАН України Самойленко Анатолій Михайлович, Інститут математики НАН України, директор.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Бібіков Юрій Миколаевич Санкт-Петербурзький державний університет, професор кафедри диференціальних рівнянь;

доктор фізико-математичних наук, професор Петришин Роман Іванович, Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича, перший проректор;

доктор фізико-математичних наук, професор Розов Микола Хрістович, Московський державний університет, ім. М. В. Ломоносова, декан факультету глобальних процесів.

Провідна установа Харьківський національний університет ім. В.Н.Каразіна.

Захист відбудеться 27 березня 2007 р. о 12 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ - 4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий "21" _лютого 2007 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г. П.

1. Загальна характеристика роботи

буферність параболічний дисипативний диференціальний

Актуальність теми.

Метод інваріантних многовидів широко використовується при якісному аналізі нескінченновимірних динамічних систем. Як відомо, метод центральних многовидів є основним інструментом у дослідженні критичних випадках теорії стійкості і в теорії біфуркацій. Розвиток методу інваріантних многовидів, його обґрунтування і застосування для якісного, біфуркаційного аналізу змістовних задач є актуальною проблемою.

Одним із основних предметів дослідження нелінійної динаміки є складні просторові структури. Питання про властивості середовищ, в яких формуються просторово-часові структури і про загальні закономірності їх виникнення і розвитку є одним з фундаментальних питань в сучасному природознавстві. При вивченні цієї проблеми широко використовуються системи параболічних рівнянь з малою дифузією. У роботах А. Ю. Колесова, Ю. С. Колесова, Є. Ф. Мищенка, М. Х. Розова, В. А. Садовнічого, вказаних, наприклад, в монографії, виявлена роль феномену буферності в динаміці складних систем і в процесах самоорганізації, розвинуті методи аналізу проблем існування і стійкості високомодових атракторів у системах параболічних і гіперболічних рівнянь з малою дифузією. Створення нових методів дослідження цих проблем та їх застосування до розв'язання змістовних задач нелінійної динаміки є актуальним.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Частина результатів дисертації отримана в процесі розробки наступних конкурсних тем, що фінансуються Міністерством освіти і науки України: "Розробка нових методів дослідження якісної поведінки розв'язків диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь" (номер державної реєстрації 0197U000441, 1997 - 1999 роки); "Дослідження якісної поведінки розв'язків диференціальних, різницевих і функціонально-диференціальних рівнянь" (номер державної реєстрації 0100U001358, 2000 - 2002 роки); "Дослідження якісної поведінки розв'язків диференціальних і функціонально-диференціальних рівнянь" (номер державної реєстрації 0103U001223, 2003 - 2005 роки).

Мета і задачі дослідження. Розвиток методу інваріантних многовидів тороїдального типу, методу центральних многовидів для параболічних рівнянь, диференціально-різницевих рівнянь. Дослідження на основі зазначених методів змістовних біфуркаційних задач. Побудова дисипативних структур, дослідження їх взаємодії та стійкості. Дослідження диференціально-різницевих рівнянь на торі.

Об'єкт дослідження - параболічні рівняння, функціонально-диференціальні параболічні рівняння, диференціально-різницеві рівняння.

Предмет дослідження - інваріантні многовиди як апарат якісного, біфуркаційного аналізу.

Методи дослідження. У даній роботі застосовуються методи функціонального аналізу, якісної теорії диференціальних рівнянь, теорії стійкості, теорії біфуркацій, асимптотичні методи нелінійної механіки, метод усереднення, КАМ-метод, метод Гальоркіна та ін..

Наукова новизна отриманих результатів.

Всі результати роботи є новими. Основні результати, представлені в дисертації, полягають у наступному:

- для абстрактного параболічного рівняння доведено: теорема про існування гладкого центрального многовиду, а також принцип зведення в теорії стійкості. Для параболічного рівняння довільного порядку, що розглядається у всьому просторі, доведено теорему про існування гладкого центрального многовиду, побудовано його асимптотичне розвинення, доведено принцип зведення в теорії стійкості. Доведено теорему про існування інерціального многовиду параболічного рівняння з монотонною нелінійною частиною;

- для абстрактного лінійного параболічного рівняння з швидко коливними коефіцієнтами доведено теореми про існування лінійних інваріантних многовидів, досліджено проблему експоненціального розщеплення. Для систем лінійних параболічних рівнянь довільного порядку, що розглядаються у всьому просторі, з квазіперіодичними, як за часом, так і за просторовими змінними, коефіцієнтами, доведено теорему про стійкість експоненціальної дихотомії відносно високочастотних збурень;

- обґрунтовано метод центральних многовидів для дослідження біфуркацій у параболічних функціонально-диференціальних рівняннях при різних припущеннях щодо гладких перетворень просторових змінних. Доведено теореми про біфуркацію народження періодичних за часом структур, їх асимптотичної форми та стійкість. Для параболічних функціонально-диференціальних рівнянь на колі досліджено питання про взаємодію бігучих хвиль, обертових хвиль, що виникають в результаті Хопф-Хопф біфуркації. Вперше доведено, що бігучий тор, обертовий тор має випрямлене векторне поле;

- для параболічного функціонально-диференціального рівняння з малою дифузією на колі запропоновано метод, у якому поєднуються метод Гальоркіна та метод центральних многовидів. На основі його застосування отримано новий критерій стійкості бігучих хвиль, пов'язаний з відкритим у результаті аналізу принципом 1:2 їх конкурентної взаємодії. Встановлено, що в розглянутій задачі має місце явище буферності. Для феноменологічного рівняння спінового горіння, що представляє сингулярно збурене параболічне рівняння на колі ван-дер-полівського типу, розвинуто метод, в якому сполучаються метод Гальоркіна і метод Крилова-Боголюбова-Митропольського. На основі його застосування, як і у попередньому випадку, отримано новий критерій стійкості бігучих хвиль, пов'язаний з відкритим у результаті аналізу принципом 1:2 їх взаємодії. Встановлено зв'язок розвинутого методу і методу квазінормальних форм Ю. С. Колесова. Доведено, що у вихідній задачі має місце явище високомодової буферності;

- для параболічного функціонально-диференціального рівняння з малою дифузією на колі досліджено задачу про біфуркації народження просторово неоднорідних стаціонарних розв'язків. Встановлено, що кожна структура, що народжується з просторово однорідного стаціонарного розв'язку має квазігармонічну форму, що потім трансформується і, коли дифузія наближається до нуля, прямує в контрастну структуру;

- для диференціально-різницевих рівнянь на торі в аналітичному випадку доведено теорему про звідність, що є розповсюдженням на зазначений випадок теореми В. І. Арнольда про звідність до чистого обертання диференціальних рівнянь на торі. Для гладких диференціально-різницевих рівнянь на торі доведено теорему про звідність, що є розповсюдженням теореми Самойленка-Мозера про звідність до чистого обертання диференціальних рівнянь на торі. Доведено теорему про існування, гладкість і стійкість інваріантного тора диференціально-різницевих рівнянь.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертація має в основному теоретичне значення. Розглянуті в дисертації змістовні задачі демонструють можливості використання отриманих результатів, розвинутих підходів для дослідження математичних моделей фізичних, хімічних, біологічних та інших динамічних процесів.

Особистий внесок здобувача. Всі результати, що містяться в дисертації, виконані автором самостійно і строго обґрунтовані. Співавтори спільних публікацій [1, 2, 4, 23, 21, 13, 16, 18], [22, 19] брали участь у обговоренні постановок задач і отриманих результатів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися на Міжнародній конференції "Нелінійні проблеми диференціальних рівнянь і математичної фізики" (Тернопіль, 1989); Міжнародній конференції "Нелінійні проблеми диференціальних рівнянь і математичної фізики - другі "Боголюбовські читання" (Київ, 1993); Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння і математичні проблеми фізики" (Москва, 1994); Спільні засідання семінару І. Г. Петровського і ММО (Москва, 1995); Міжнародних Кримських математичних школах "Метод функцій Ляпунова і його застосування" (Алушта, 1993, 1995, 1996, 1998, 2000, 2002, 2004, 2006); II, IV-XV Кримських осінніх математичних школах-симпозіумах: КРОМШ (Севастополь, Ласпі, 1990, 1997-2006); Міжнародній конференції "Диференціально-функціональні рівняння і їх застосування" (Чернівці, 1996); Міжнародній конференції "Асимптотичні і якісні методи у теорії нелінійних коливань" (Київ, 1997); International Conference "Nonlinear Partial Differential Equations" (NPDE) (Kyiv. 1995, 1997, Lviv, 1999, Alushta, 2005); Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння і суміжні питання" (Москва, 1998); Міжнародних конференціях "Моделювання і дослідження стійкості систем" (Київ, 1995, 1996, 1999, 2001, 2003, 2005); Українському математичному конгресі UMC-2001 (Київ, 2001)) (секція "Динамічні системи"); Міжнародній конференції "Диференціальні рівняння і нелінійні коливання" (Чернівці, 2001); The Forth International Conference on Differential and Functional Differential Equations ( DFDE-2005, Moscow, 2005); на науковому семінарі відділу звичайних диференціальних рівнянь Інституту математики НАН України (керівник - академік НАН України А. М. Самойленко); на науковому семінарі кафедри звичайних диференціальних рівнянь Київського національного університету ім. Т.Г. Шевченко (керівник - член-кореспондент НАН України М. О. Перестюк); на науковому семінарі відділу нелінійного аналізу Інституту математики НАН України (керівник - академік НАН України І. В. Скрипник); на науковому семінарі кафедри вищої математики Московського авіаційного інституту (керівник - проф. О. Л. Скубачевський); на науковому семінарі "Якісна теорія диференціальних рівнянь" (керівник - проф. М. Х. Розов, Московський державний університет ім М. В. Ломоносова); на науковому семінарі кафедри математичної фізики Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна (керівник - проф. І. Д. Чуєшов); на наукових семінарах кафедри математичного аналізу ТНУ (керівник - проф. М. Д. Копачевський); на наукових семінарах кафедри диференціальних і інтегральних рівнянь ТНУ (керівники - проф. С. К. Персидський, проф. О. В. Анашкін); наукових конференціях Таврійського національного університету ім. В. І. Вернадського (Сімферополь, 1972 - 2005).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 22 статтях [1] - [22] і в працях міжнародних конференцій [23], [24].

Структура й обсяг дисертації. Дисертація загальним обсягом 293 сторінки складається з вступу, шести розділів і висновків. У ній приведений список використаних джерел із 186 найменувань на 27 сторінках.

2. Основний зміст роботи

В дисертації викладено результати теоретичних досліджень за методом інваріантних многовидів і його застосування в параболічних рівняннях, функціонально-диференціальних параболічних рівняннях та функціонально-диференціальних рівняннях запізнюючого типу. В першому розділі міститься огляд літератури щодо теми дисертації, обґрунтовано актуальність розглянутих у дисертаційній роботі задач. Як відомо, основні результати дослідження інваріантних многовидів для станів рівноваги сідлового типу аналітичних систем звичайних диференціальних рівнянь належать А. Пуанкаре та А. М. Ляпунову. Ідея зведення вивчення розв'язків звичайних диференціальних рівнянь до вивчення відображень належить А. Пуанкаре. Він і ввів поняття інваріантного многовиду відображення. А. Пуанкаре довів існування стійких і нестійких многовидів для аналітичних відображень в околі стану рівноваги сідлового типу. Ряд фундаментальних результатів щодо інваріантних многовидів отримано Ф. Хартманом. У відомій книзі Ф. Хартмана наведено вказані вище результати та посилання на літературу.

Основи методу інтегральних многовидів нелінійної механіки були закладені у 1934 р. М. М. Криловим і М. М. Боголюбовим при якісному аналізі коливних систем другого порядку. Обґрунтування створеної М. М. Криловим і М. М. Боголюбовим методів нелінійної механіки було здійснено М. М. Боголюбовим у 1945 році. У третій теоремі М. М. Боголюбова методу усереднення встановлено відповідність між граничним циклом усередненого рівняння та інтегральним многовидом вихідного рівняння.

Перше узагальнення теореми III Н. Н. Боголюбова методу усереднення належить Ю. О. Митропольському. Ю. О. Митропольський поширив метод інтегральних многовидів на нестаціонарні процеси. Ідеї методу інтегральних многовидів були використані О. Б. Ликовою для побудови локальних інтегральних многовидів. Відкритий В. А. Пліссом загальний принцип зведення в теорії критичних випадків стійкості прояснив роль локальних інтегральних многовидів.

У 1961 році на Міжнародному симпозіумі з нелінійних коливань М. М. Боголюбов і Ю. О. Митропольський підвели підсумки і намітили шляхи розвитку методу інтегральних многовидів. У розвитку методу інтегральних, інваріантних многовидів заслуга декількох поколінь дослідників. Різні напрямки методу інваріантних многовидів, його застосування в теорії стійкості, теорії біфуркацій розробляли: В. І. Арнольд, В. С. Афраймович, А. В. Бабін, А. С. Бакай, Я. С. Баріс, Ю. М. Бібіков, Я. Й. Бігун, О. Д. Брюно, А. Б. Васильєва, М. І. Вішік, М. П. Вишневський, Ю. Л. Далецький, К. В. Задірака, Ю. С. Ільяшенко, С. О. Кащенко, І. І. Клевчук, А. Ю. Колесов, Ю. С. Колесов, М. Г. Крейн, В. Л. Кулік, О. Б. Ликова, Д. І. Мартинюк, Ю. О. Митропольський, Є. Ф. Міщенко, Ю. І. Неймарк, І. О. Парасюк, М. О. Перестюк, Р. І. Петришин, В. А. Плісс, О. В. Романов, М. Х. Розов, В. А. Садовнічий, А. М. Самойленко, Ю. C. Степановський, В. С. Соболєв, В. В. Стригин, Д. В. Тураев, О. М. Філатов, В. І. Фодчук, А. Л. Шильників, Л. П. Шильників, А. Н. Шошитайшвілі, І. М. Черевко, І. Д. Чуєшов, J. Carr, L. O. Chow, P. Constantin, W. A. Coppel, B. Fiedler, C. Foias, J. Hale, B. D. Hassard, A. B. Hausrath, D. Henry, M. Hirsch, N. D. Kazarinoff, A. Kelley, Y. A. Kuznetzov, M. S. Jolly, J. Mallet-Paret, J. F. Marsden, M. McCraken, N. W. Minch, J. Moser, D. Ruelle, B. Nicolaenko, R. J. Palmer, C. Pugh, B. Sandstede, A. Scheel, G. R. Sell, M. R. Schneider, M. Shub, F. Takens, R. Temam, Y. H. Wan, C. W. Wu, C. Wulf, S. Wiggins та інші.

Зупинимося на роботах безпосередньо пов'язаних з дисертацією. Теореми про інваріантні многовиди, центральні многовиди для широкого класу напівлінійних параболічних рівнянь доведено D. Henry. У відомій монографії цього автора для зазначеного класу рівнянь доведено принцип зведення в теорії стійкості. Тут же встановлено, що центральні многовиди можна обчислити, тобто побудувати їх асимптотичне розвинення. Поширення цих результатів на абстрактні параболічні рівняння, які відповідають енергетичним методам дослідження параболічних рівнянь, здійснено нами в [2] і викладено в другому розділі дисертації.

Для систем параболічних рівнянь другого порядку, розглянутих на площині, теореми про центральні многовиди і принцип зведення встановлено B. Sandstede, A. Scheel, C. Wulf. У 1998 р. опубліковано нашу роботу [4], в якій доведено незалежно від робіт зазначених авторів, причому іншим методом, теорему про існування центрального многовиду, встановлено принцип зведення для параболічного рівняння довільного порядку, розглянутого у всьому просторі.

При дослідженні динаміки нескінченновимірних дисипативних динамічних систем плідними виявилися ідеї, пов'язані з методом інтегральних многовидів і принципом зведення. Вони привели до виникнення і інтенсивного використання поняття інерціального многовиду нескінченновимірної динамічної системи. Інерціальні многовиди досліджувалися в роботах: О. М. Філатова, О. В. Романова; І. Д. Чуєшова; P. Constantin, C. Foias, B. Nicolaenko and Temam R.; C. Foias, G. R. Sell R. Temam; в роботах інших авторів. Задачу про інерціальні многовиди параболічного рівняння з монотонною нелінійною частиною в системах параболічних рівнянь типу реакції-дифузії було розглянуто нами в [5, 6, 20].

Проблему обґрунтування методу усереднення параболічних рівнянь з швидко коливною головною частиною було вирішено В. В. Жиковим для абстрактного лінійного параболічного рівняння. Зазначена проблема для параболічного рівняння довільного порядку, розглянутого у всьому просторі, вивчалася В. Б. Левенштамом. Використовуючи зазначені результати В. В. Жикова, нами в [1] була вивчена задача про існування лінійних інваріантних многовидів скінчених розмірностей та корозмірностей. Отримані результати про інваріантні многовиди були використані нами в [1] в задачі про експоненціальне розщеплення. Відзначимо, що в результаті проведеного аналізу теорему Ю. Л. Далецького і М. Г. Крейна про експоненціальне розщеплення було поширено на абстрактні параболічні рівняння. В наших роботах [21, 23] на системи параболічних рівнянь було розповсюджено результат В. Б. Левенштама про стійкість експоненціальної дихотомії для параболічного рівняння довільного порядку, що розглядається у всьому просторі, відносно високочастотних збурень. Ці результати викладені в третьому розділі дисертації.

Обґрунтування методу центральних многовидів і його застосування для біфуркаційного аналізу параболічних функціонально-диференціальних рівнянь з перетворенням просторових змінних вперше було дано в наших роботах [10, 12, 14, 15, 16]. Зазначений клас рівнянь було запропоновано С. О. Ахмановим, М. А. Воронцовим і В. Ю. Івановим як математичну модель для вивчення динаміки структур в оптичних резонаторах з двовимірним зворотним зв'язком. У регулярному випадку задача про біфуркації періодичних за часом розв'язків вивчалася в роботах О. В. Разгуліна; О. Л. Скубачевського; E. V. Grigorieva, H. Haken, S. A. Kashchenko and, A. Pelster; В. А. Чушкіна та О. В. Разгуліна. Отримані нами результати перетинаються, доповнюють і узагальнюють результати цих робіт. Вивчено також задачі біфуркації, що раніше іншими авторами не розглядалися. Зазначені результати викладено в четвертому розділі дисертації.

Значний інтерес представляє динаміка бігучих хвиль параболічного функціонально-диференціального рівняння з перетворенням повороту і малою дифузією. Вперше критерій стійкості бігучих хвиль, зазначеного рівняння було отримано А. Ю. Колесовим і М. Х. Розовим. Для дослідження цього ж випадку в нашій роботі [19] було запропоновано та строго обґрунтовано новий метод, в якому формалізм методу центральних многовидів використано в поєднанні з методом Гальоркіна. Він привів також до нового критерію стійкості бігучих хвиль.

Якщо поворот раціонально сумірний , то для зазначеного вище рівняння має місце біфуркація народження просторово неоднорідних стаціонарних структур, кількість яких необмежено збільшується при прагненні коефіцієнта дифузії до нуля та фіксованих інших параметрах. Цей випадок принципово відрізняється від попереднього нелінійною зміною форми кожної виділеної структури. Народжуючись, вона має квазігармонічну форму, що потім трансформується і, коли дифузія наближаеться до нуля, прямує в контрастну структуру. Ці результати викладені в третьому підрозділі п'ятого розділу.

У 80-х роках для теоретичного аналізу спінового горіння А. П. Алдушіним, Я. Б. Зельдовичем і Б. А. Маломедом було запропоновано математичну модель - сингулярно збурене параболічне рівняння ван-дер-полівського типу. Для зазначеного рівняння з періодичними умовами цими авторами було побудовано асимптотики бігучих хвиль, а також отримано необхідні умови їх стійкості. Динаміку бігучих хвиль зазначеного рівняння було досліджено

А. Ю. Колесовим і М. Х. Розовим методом квазінормальних форм Ю. С. Колесова. В нашій роботі [24] було запропоновано і обґрунтовано новий метод дослідження динаміки бігучих хвиль, у якому метод Гальоркіна поєднується з методом Крилова-Боголюбова-Митропольського. Відзначимо, що в работі [24] було встановлено зв'язок нового методу і методу квазінормальних форм Ю. С. Колесова.

Заключний шостий розділ присвячений квазіперіодичним розв'язкам диференціально-різницевих рівнянь. Для дослідження задачі про збурення квазіперіодичних розв'язків функціонально-диференціальних рівнянь запізнюючого типу на -ому торі в роботі [22] було застосовано КАМ-метод. У результаті на зазначений клас рівнянь розповсюджено відомий результат В. І. Арнольда про зведення до чистого обертання диференціальних рівнянь на -ому торі в аналітичному випадку. Теорему Самойленка-Мозера про зведення до чистого обертання диференціальних рівнянь на -ому торі в гладкому випадку поширено нами на диференціально-різницеві рівняння. Задача про збурення експоненціально стійких інваріантних тороїдальних многовидів систем диференціально-різницевих рівнянь досліджувалася нами в [3].

Перейдемо тепер до систематичного викладу результатів дисертації.

Центральним многовидам абстрактного параболічного рівняння присвячено п. 2.1.

Введемо необхідні означення. Нехай гільбертів простір зі скалярним добутком . Рефлексивний простір Банаха з спряженим називається вкладним, якщо має місце неперервне і щільне вкладення , причому білінійна форма , де , збігається з скалярним добутком на , якщо . Лінійний оператор називається коерцитивним, якщо для будь-якого виконується нерівність , де , . .

Нехай лінійний оператор є коерцитивним. Розглянемо нелінійне параболічне рівняння

(1)

при наступних припущеннях: для всіх і , причому узагальнений власний підпростір оператора , що відповідає спектральній множині , є -вимірним; у точці 0 оператор є обмежене диференційованим (у сенсі Фреше), при цьому , ; оператор , та в деякому околі нуля є обмежено диференційованим.

Позначимо і нехай спектральному розвиненню

,

відповідає розвинення

.

на інваріантні підпростори.

Це розвинення простору породжує розвинення , .

Означення 2.1.1 Многовид M у просторі називається локально інваріантним многовидом рівняння (1), якщо для всякої точки існує розв'язок рівняння (1) такий, що для всіх , де . Якщо M локально інваріантний многовид рівняння (1) у нулі, що дотикається у нулі, то тоді - центральний многовид рівняння (1) у нулі. M - інваріантний многовид рівняння (1), якщо не залежить і.

Доведено наступну теорему.

Теорема 2.1.2. Існує ліпшіцьовий локально інваріантний многовид рівняння (1)

Потік у може бути представлений диференціальним рівнянням

(2)

де проектор . Якщо нуль стійкий, асимптотично стійкий щодо потоку на , то тоді він стійкий, асимптотично стійкий відповідно на H ; якщо нуль нестійкий щодо потоку на , то тоді він нестійкий і на H .

Другий підрозділ присвячений центральним многовидам параболічних рівнянь порядку 2m , що розглядаються у всьому просторі. Нехай m , n - натуральні числа, - -вимірний дійсний простір, x - довільна точка в . Позначено відповідно відображення , . Функція визначена і неперервна на , де - число частинних похідних функції по до порядку включно. На , де замикання деякого околу нуля в , функція і її частинні похідні задовольняють умову Гельдера по з показником рівномірно відносно та умову Ліпшица по рівномірно по . Цим же умовам задовольняють і функції . Припускається, що має місце умова параболічності: існує стала така, що

Нехай у просторі A оператор задовольняє умову . Позначимо . Нехай власний підпростір оператора у , що відповідає , є r -вимірним. Рівняння (2) запишемо у вигляді

(3) ,

Позначимо , . Нехай , - спектральні проектори в , відповідні спектральному розвиненню

Теорема 2.2.9. Існує гладкий локальний центральний многовид рівняння (3)

, .., ,

дотичний до в нулі. Потік на S може бути представлено диференціальним рівнянням на :

Якщо - стійка, асимптотично стійка, нестійка інваріантна множина щодо потоку на S , то тоді - відповідно стійка, асимптотично стійка, нестійка інваріантна множина рівняння (3) на E

Третій підрозділ другого розділу присвячений задачі про інерціальні многовиди параболічного рівняння з монотонною нелінійною частиною. В області , із гладкою границею розглядається рівняння

На області визначення оператора визначимо норму за формулою . Позначимо . Нехай напівгрупа, що відповідає рівнянню (4). Виберемо . має - поглинаючу множину , обмежену в . Позначимо . Припустимо, що . Нехай ортонормальний базис в такий, що

Зафіксуємо ціле N . Для визначеності припустимо, що . Нехай - ортогональний проектор в на простір, якій утворено першими власними векторами оператора .Позначимо . Скористаємося далі рівністю . Модифікуємо тепер рівняння (4). Нехай - гладка функція , що задовольняє умови: . Позначимо .Розглянемо систему

Третій розділ дисертації присвячений лінійним інваріантним многовидам лінійних параболічних рівнянь зі швидко коливними коефіцієнтами. В підрозділі 3.1 розглядаються лінійні параболічні рівняння

(7)

при і наступних припущеннях: - обмежена функція в … і нерівність коерцитивності

виконується рівномірно по ; вкладення обмежене і щільне, причому вкладення є цілком обмеженим; простір має апроксимаційну властивість: існує послідовність лінійних операторів таких, що ; - компактна функція із середнім значенням

при цьому границя не залежить від і є рівномірною на R; спектр оператора допускає розвинення на спектральні множині .Нехай - розвинення простору H на -інваріантні підпростори, що відповідають зазначеному спектральному розвиненню, причому простір є - вимірним. Нехай розвиненню відповідає розвинення , .

Теорема 3.1.1. Існує таке , що при рівняння (7) має - вимірний лінійний інваріантний многовид вигляду

Теорема 3.1.13. Існує таке , що при рівняння (7) має лінійний інваріантний m-ковимірний многовид вигляду

Справедлива така теорема про експоненціальне розщеплення.

Теорема 3.1.14. Існує таке , що при ,можна вказати перетворення, що приводить рівняння (7) до діагонального вигляду.

Підрозділ 3.2 присвячений проблемі стійкості експоненціальної дихотомії лінійних систем параболічних рівнянь у всьому просторі щодо високочастотних збурень. Систему з параболічних рівнянь розглянемо разом з усередненою системою

Нехай: (C1) система (8) є рівномірно параболічною; (C2) система (9) - рівномірно параболічною; (C3) для кожного є обмеженою функцією є обмеженими по Гельдеру функціями x, t з показником рівномірно на , для кожного , квазіперіодичні від , відповідно.

При зазначених умовах доведено теорему, згідно з якою із експоненціальної дихотомії випливає при рівномірна експоненціальна дихотомія сімейства операторів .

Розділ 4. присвячений біфуркації народження періодичних розв'язків у параболічних функціонально-диференціальних рівняннях при різних припущеннях щодо перетворення просторових змінних.

У 4.1. зазначена задача розглядається при загальних умовах щодо перетворення просторових змінних. Рівняння

, (10)

В підрозділі 4.1. встановлено, що в гільбертовому просторі задача (10) - (11) породжує неперервну напівгрупу. Біфуркаційний аналіз задачі (10) - (11) в околі просторово однорідного стану рівноваги приводить до рівнянню в просторі H, де ., гладкі функції параметра . Власні значення , .., …, оператора задовольняють таку умову.

Умова 4.1.6 .i) для будь-якого цілого k; ii) існує одна і тільки одна пара власних значень ; , оператора така, що ; iii) .

Позначимо власну функцію оператора L(0)*,що відповідає власному значенню і нормовану умовою . Нехай s> 3. При зазначених умовах в п. 3.1 доведено, що рівняння (12} має в H локально інваріантний s-гладкий многовид .Позначимо

Теорема 4.1.16 .Припустимо, що . Тоді існує таке , що справедливі наступні твердження. 1. Якщо , то тоді розв'язок задачі (10) - (11) експоненціально стійкий. 2. Якщо , то тоді задача (10) - (11) має єдиний періодичний по t розв'язок …, де з точністю порядку задовольняють рівності

Розв'язок … є класичним розв'язком. Розв'язок …. експоненціально орбітально стійким. Розв'язок нестійкий. 3. Неблукаючих точок, відмінних від зазначених вище, задача ~(10) - (11) в околі не має.

Підрозділ 4.2 присвячений дослідженню біфуркації народження обертових структур для розглянутого в п. 4. 1 квазілінійного параболічного функціонально-диференціального рівняння на одиничному колі з центром на початку координат. Припускається, що перетворення є добуток перетворень радіального стиску і повороту. Для цього випадку обґрунтовано метод центральних многовидів для рівнянь інваріантних щодо групи обертань колу. Основним результатом цього підрозділу є теорема про існування, асимптотичну форму та стійкість обертової структури, що народжується з просторово однорідного стаціонарного розв'язку в результаті біфуркації Андронова-Хопфа.

Дослідженню біфуркації народження обертових структур одночастотним методом присвячено п. 4.3. Зазначений підхід дозволив розглянути більш загальний, ніж в п. 4.2, випадок.

В підрозділі 4.4 досліджена задача про біфуркації народження обертових хвильта та також повільно обертових хвиль. Біфуркаційний аналіз проводиться тут, використовуючи метод центральних многовидів для рівнянь інваріантних щодо групи обертань кола.

В підрозділі 4.5 вивчена задача про біфуркації народження періодичних розв'язків типу бігучих хвиль для параболічного рівняння на колі і перетворенням повороту кутової змінної. Досліджено випадок кутів повороту, що приводить до просторово неоднорідних стаціонарних структур.

Підрозділ 4.6 присвячений біфуркації народження бігучих хвиль та їх взаємодій у випадку Хопф-Хопф біфуркації.

Підрозділ 4.7 присвячений біфуркації народження обертових хвиль та їх взаємодії у випадку Хопф-Хопф біфуркації.

В п'ятому розділі розглядаються питання існування, асимптотичної форми, стійкості і взаємодії дисипативних структур в еволюційних рівняннях з малою дифузією. Встановлено, що в зазначених задачах реалізується явище буферності. З'ясовано механізм виникнення феномена буферності. Перейдемо до більш докладного викладу результатів цієї глави.

У підрозділі 5.1 на колі розглядається рівняння

(13)

де , , -одновимірний оператор Лапласа. Тут припускається, що, де натуральні числа p, q взаємно прості, а q>1 - непарне. Нехай натуральні , Рівняння (13) в околі виділеного просторово однорідного стаціонарного стану приводиться до вигляду

Оператор у просторі є діагональним:

Для рівняння (14) у фазовому просторі H реалізується критичний випадок стійкості нескінченної розмірності. Дійсно,

Відповідно до проведеного аналізу має місце нерівність

Теорема 5.1.2. Існує таке, що для всіх, ,рівняння (8) має періодичний по t розв'язок . З точністю порядку має місце наступна рівность

Розв'язок - експоненціальне орбітально стійкий тоді і тільки тоді, коли: і) для довільного s матриця стійка; ii) для довільного s матриця стійка.

Відповідно до цієї теореми для експоненціальної орбітальної стійкості бігучої хвилі достатньо виконання наступної нерівності

Якщо ж виконується строго протилежна нерівність, то бігуча хвиля -нестійка. Таким чином, при у розглянутій задачі реалізується феномен буферності, тобто необмежено збільшується кількість співіснуючих експоненціально орбітально стійких періодичних по t розв'язків рівняння (8) типу бігучих хвиль.

Встановлено, що взаємодії бігучих хвиль характеризуються за таким принципом.

Принцип 1:2 взаємодії бігучих хвиль. Характер стійкості бігучої хвилі сімейства рівнянь (8) цілком визначається її взаємодією з парами бігучих хвиль: точка означає диференціювання за часом, - одновимірний оператор Лапласа. Це рівняння є феноменологічним рівнянням спінових хвиль горіння на поверхні тонкостінного кругового циліндру радіуса r. Для аналізу автоколивань задачі (15) при збільшенні r розвинуто новий метод, заснований на поєднанні методу Гальоркіна і методу Крилова - Боголюбова - Митропольського. Вказаний метод при r<r_0, де r_0>0 фіксоване, приводить до скінченої сукупності шестивимірних систем звичайних диференціальних рівнянь, що і визначає динаміку бігучих хвиль задачі (15).

Основним результатом цього підрозділу є така теорема.

Теорема 5.2.1. Нехай $ для деякого цілого . Тоді існує таке , що для всіх задача (15) має періодичні по t розв'язки , , , де

Розв'язкі експоненціально орбітально стійкі тоді і тільки тоді, коли:

i) , , ;

іі) , , .

В п. 5.2 встановлено зв'язок розвинутого і обґрунтованого методу методу квазінормальних форм Ю.~С.~Колесова. Дійсно, відповідно о проведеного аналізу динаміки бігучих хвиль рівняння(15) відповідає динаміка стаціонарних дисипативних труктур наступного рівняння з дифузією для комплексного параметру порядку

Таким чином, задача (16) є квазінормальною формою задачі (15). Відзначимо, що квазінормальна форма задачі (15) при була побудована А.Ю.Колесовим і М.Х.Розовим.

Відповідно до теореми 5.2.1., якщо , тоді в задачі (15) реалізується високомодова буферність. Відзначимо, що в задачі (15) взаємодії бігучих хвиль характеризуються, як і раніше, принципом 1:2.

Підрозділ 5.3 присвячений рівнянню (13) на колі коли p ,q - взаємно прості натуральні числа, а p - непарне. В околі виділеного просторово однорідного стаціонарного стану рівняння (13) приводиться, як і раніше

Далі припускається, що . Приймемо тепер за біфуркаційний параметр . При зменшенні параметра і проходженні його через критичні значення , , щораз розмірність нестійкого многовиду нульового розв'язку рівняння (14) збільшується на два порядки. Для дослідження динаміки стаціонарних структур рівняння (14) розвинуто підхід, у якому метод Гальоркіна поєднується з формалізмом методу центральних многовидів.

Відповідно до проведеного аналізу, основні особливості динаміки стаціонарних розв'язків рівняння (14) полягають в тому, що: по-перше, у рівнянні ~(14) при реалізується явище буферності; по-друге, кожний, що народжується з нуля, стаціонарний розв'язок рівняння(14) має квазігармонічну форму. Коли зменьшується цей розв'язок еволюціонує та набуває за малих вигляд контрастної структури; в-третє, виникнення буферності пов'язано з особливим типом взаємодії стаціонарних структур. Зазначений вище тип взаємодії стаціонарних структур відображає такий принцип.

Принцип 1:3 взаємодії стаціонарних структур. Характер стійкості стаціонарного розв'язку . рівняння (14) визначається в результаті взаємодіїз трійками стаціонарних розв'язків .

Підрозділ 5.4 присвячений дослідженню взаємодії бігучих хвиль задачі

Шостий розділ присвячений квазіперіодичним розв'язкам диференціально-різницевих рівнянь.

В підрозділі 6.1 розглянуто задачу про квазіперіодичні розв'язки диференціально-різницевих рівнянь на торі в аналітичному випадку. Нехай в системі рівнянь

Теорема 6.1.1. Існує стала , яка залежить тільки від , така що: якщо в області виконана нерівність а в області , виконана нерівність існують сталий вектор дійсно-аналітичне перетворення де -періодична дійсно-аналітична в області функція, такі, що рівняння (18), в якому , приймає вигляд де . Отже, є квазіперіодичним розв'язком системи (18), де . Функція u задовольняє умову

Підрозділ 6.2 присвячений гладким диференціально-різницевим рівнянням на торі.

Позначимо клас вектор-функцій, що мають період за змінними ,..., і в який частині похідні порядку l задовольняють умову Гельдера з показником l - [l] ([l] - ціла частина l).

При цілому l позначимо - максимум похідних до порядку l. При нецілому l покладемо .

Теорема 6.2.1. Нехай і нехай вектор задовольняє нерівність . Тоді існує додатна стала що залежить тільки від , така, що при існують сталий вектор та перетворення координат , що зводить рівняння

Підрозділ 6.3 присвячений задачі про збурення інваріантних торів диференціально-різницевих рівнянь. Розглянемо систему рівнянь похідну, що задовольняє умову Ліпшиця. Параметр припускається малим. Припустимо, що функція (f,g)( ) є -періодичною по .

Розглянемо систему (20) при фіксованому значенні параметру .

Означення 6.3.7 Інваріантним тором системи рівнянь (20) називається поверхня

Зрозуміло, що - інваріантнийтор системи (20) при . Нехай тор є експоненціально стійким.

Теорема 6.3.1. Припустимо, що в системі (20) функція (f,g):задовольняє сформульовані вище умови. Припустимо, що інваріантний тор системи (20) при є експоненціально стійким.Тоді існує таке , що для кожного рівняння (20) має інваріантний тор . Функція є обмежено диференційованою за обома змінними, причому задовольняє умову Ліпшица по . Інваріантний тор системи (20) є -стійким, тобто існують додатні сталі , , такі, що для довільного розв'язку системи (20) справедлива нерівність

Ці результати використані в задачі про періодичні іквазіперіодичні розв'язки рівнянь вигляду де а функція F є гладкою за всіма змінними, періодичною по t.

Висновки

Основні результати, що отримані в дисертації і виносяться на захист полягають у наступному.

1. Доведено теорему про існування гладкого центрального многовиду абстрактного параболічного рівняння, доведено принцип зведення. Ці результати встановлено також для розглянутого у всьому просторі параболічного рівняння довільного порядку.

2. Для лінійних параболічних рівнянь зі швидко коливними коефіцієнтами доведено теореми про існування лінійних інваріантних многовидів. Отримані результати використано при дослідженні проблеми експоненціального розщеплення. Доведено теорему про збереження експоненціальної дихотомії для широкого класу параболічних операторів при високочастотному збуренні їх коефіцієнтів.

3. Теорему про існування інерціального многовиду доведено для параболічного рівняння з монотонною нелінійною частиною.

4. Обґрунтовано метод центральних многовидів для параболічних функціонально-диференціальних рівнянь нелінійної оптики. Методом центральних многовидів досліджено біфуркації народження дисипативних структур у зазначеному класі рівнянь.

5. Запропоновано і обґрунтовано новий метод дослідження динаміки бігучих хвиль та стаціонарних структур для параболічних функціонально-диференціальних рівнянь на колі з малою дифузією. Отримано критерій стійкості бігучих хвиль, стаціонарних структур. Досліджено характер взаємодії бігучих хвиль та стаціонарних структур. Встановлено, що для зазначеного класу рівнянь реалізується явище буферності.

6. Запропоновано і обґрунтовано новий метод дослідження динаміки бігучих хвиль феноменологічного рівняння спінового горіння. Встановлено зв'язок нового методу і методу квазінормальних форм Ю. С. Колесова. Отримано критерій стійкості спінових хвиль горіння, встановлено характер їхньої взаємодії. Доведено, що буферність у цьому сімействі рівнянь є високомодовою.

7. На диференціально-різницеві рівняння на торі розповсюджено результат В. І. Арнольда про квазіперіодичні розв'язки звичайних диференціальних рівнянь на торі. Теорему Самойленка-Мозера про зведення до чистого обертання гладких систем диференціальних рівнянь на торі поширено на диференціально-різницеві рівняння.

8. Теорему про збереження при малих збуреннях інваріантного тору доведено для системи диференціально-різницевих рівнянь. Отримано умови існування періодичних і квазіперіодичних розв'язків диференціально-різницевих рівнянь.

Література

[1] Белан Е.П., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия и экспоненциальное расщепление параболических уравнений с быстро меняющимися коэффициентами }// Укр. мат. журн. - 1995 - Т. 47,№12. - С.~1593 - 1608.

[2] Белан Е. П., Лыкова О. Б.} Теорема о центральном многообразии нелинейного параболического уравнения. // Укр. мат. журн., -1996, Т.~48, №8. - С.~1021-1036.

[3] Белан Е. П. Глобальные решения и инвариантные торы дифференциально-разностных уравнений // Укр. мат.журн. - 1997. - Т.~49, №1. - C.~11-24.

[4] Белан Е. П., Лыкова О. Б. Центральные многообразия квазилинейного параболического уравнения. // Укр. мат. журн., -1998. - Т.50, №3. - С. 315-328.

[5] Белан Е. П. Построение инерциального многообразия параболического уравнения с монотонной нелинейной частью// Динамические системы. - 1998. - Вып.~14. - С.~156-163.

[6] Белан Е. П.} Инерциальные многообразия систем уравнений реакции-диффузии//Ученые записки СГУ- 1998. - 7(46). - С. 57-59.

[7] Белан Е. П. Существование счетного числа бегущих волн функционально-дифференциальных уравнений//Ученые записки ТНУ. -2000. - 13(52). - С. 68-73.

[7] Белан Е. П. Вращающиеся волны в параболической задаче с преобразованным аргументом //Динамические системы. -Симферополь: "КФТ" - 2000.- Вып.16. - С. 160-167.

[8] Белан Е. П. О бифуркации бегущих волн в сингулярно возмущенной параболической задаче с преобразованным аргументом}//Динамические системы. - Симферополь: "КФТ"2001.- Вып.17. - С. 179-184.

[9] Белан Е. П. {Бифуркация периодических решений в параболической задаче с преобразованным аргументом}//Ученые записки ТНУ, сер. матем., мех., информатика и кибернетика - 2001.- Т. 14. 1. - С. 24-33.

[10] Белан Е. П. Об автоколебаниях в сингулярно возмущенном параболическом уравнении с преобразованным аргументом}//Доповiдi НАНУ - 2002. - 7. - С. 7-12.

[11] Белан Е. П. О бифуркации периодических решений впараболическом функционально-дифференциальном уравнении// Ученыезаписки Таврического национального университета им.

В. И. Вернадского, сер. Математика. Механика. Информатика и Кибернетика.} - 2002 - 2. - C. 11-23.

[12] Белан Е. П., Лыкова О. Б. О бифуркации вращающихся волн в параболической задаче с преобразованным аргументом~// {ДоповiдiНАНУ - 2003. - 1. - С. 7-12.

[13] Белан Е. П. О динамике периодических решений в резонансной системе дифференциальных уравнений//Динамические системы.- Симферополь: "КФТ" - 2004. - Вып. 18. - С. 23-29.

[14] Белан Е. П. О взаимодействии бегущих волн в параболическом функционально-дифференциальном уравнении}// {Дифференциальные уравнения.}- 2004. - Т. 40, №5. - C. 645-654.

[15 ] Белан Е.П., Лыкова О. Б. Вращающиеся структуры впараболическом функционально-дифференциальном уравнении}//Дифференциальные уравнения.- 2004. - Т. 40, №10. -С. 1348-1357.

[16] Белан Е. П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной// Ж. мат. физ.,анал., геом.- 2005. - Т.1, №1. - С. 3-34.

[17] Белан Е. П., Лыкова О. Б. Бифуркации вращающихся структур в параболическом функционально-дифференциальном уравнении//Нелiнiйнi коливання. -2006. - Т.9, №2. - С. 155-169.

[18] Самойленко А.М., Белан Е.П. Динамика бегущих волнфеноменологического уравнения спинового горения//ДАН. - 2006.-406, №6. - С. 738-741.

[19] Belan E.P. Inertial manifolds of parabolic equations withmonotone nonlinear parts// Nonlinear Boundary Value Problems -1998 - V. 8. - P. 38-42.

[20] Belan E.P., Lykova O.B. Invariant manifolds of quasilinearparabolic equations//Нелинейные граничные задачи, НАНУ, Институт прикладной математики и механики. - 2001. - С. 3-8.

[21] Samoilenko A.M., Belan E.P. Quasiperiodic Solutions ofDifferential-Difference Equations on Torus //J.Dyn.\& Diff.Eqns.-2003-V.15, 2/3. - P. 305-325.

[22] Belan E.P., Lykova O.B. Averaging of parabolic equations withrapidly oscilating principal part// Spectral and EvolutionProblems. Simferopol. - 2000. - P. 90-93.

~[23] Белан Е. П. Бифуркация диссипативных структур впараболической задаче с преобразованным аргументом и малой диффузией}// - в кн. { Динамiчнi системи: Працi Украiнського математичного конгресу - 2001, Киiв, Iнститут математики НАНУ.}- 2003. - С. 20-33.

[25] Белан Е. П. О буферности в параболической задаче с преобразованным аргументом и малой диффузией.}// {Дифференциальные уравнения.} - 2003. - Т. 39, №11. - С. 1576- 1577.

[26] Белан Е. П. О динамике бегущих волн феноменологического уравнения спинового горения// Дифференциальные уравнения. - 2005. -Т.41, №5. - С. 857.

Анотація

Бєлан Є. П. Метод інваріантних многовидів в теорії параболічних і функціонально-диференціальних рівнянь та його застосування - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового степеня доктора фізико -математических наук з спеціальності 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Інститут математики НАН України, Київ, 2007.

Дисертація присвячена розвитку методу інваріантних многовидів ійого застосуванню для якісного і біфуркаційного аналізу деяких класів параболічних, параболічних функціонально-диференціальних та диференціально-різницевих рівнянь.

Розвинуто новий метод для дослідження динаміки дисипативних структур і явищу буферності в параболічних задачах з малою дифузією. Розглянуто застосування в нелінейній оптиці і теорії спінового горіння.

Ряд результатів: В. І. Арнольда: А. М. Самойленка і Ю. Мозера про квазіперіодичні розв'язки систем диференціальних рівнянь на торі поширено на системи диференційно-різницевих рівнянь.

Ключові слова: параболічні рівняння, параболічні функціонально-диференціальні рівняння, дифференційно-різницеві рівняння, інваріантні многовиди, центральні многовиди, стійкість, біфуркації, дисипативні структури, буферність, КАМ-метод.

Аннотация

Белан Е. П. Метод инвариантныхмногообразий в теории параболических ифункционально-дифференциальных уравнений и его применения. -Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 -дифференциальные уравнения. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2007.

Основные результаты диссертации состоят в следующем. Доказана теорема о существовании гладкого центрального многообразия абстрактного параболического уравнения, доказан принцип сведения. Эти результаты установлены и для рассматриваемого во всем пространстве параболического уравнения произвольного порядка. Для линейных параболических уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами доказаны теоремы о существовании линейных инвариантных многообразий. Полученные результаты использованы при исследовании проблемы экспоненциального расщепления. Доказана теорема о сохранении экспоненциальной дихотомии для широкого класса параболических операторов при высокочастотном возмущении ихкоэффициентов. Теорема о существовании инерциального многообразия доказана для параболического уравнения с монотонной нелинейнойчастью.

Обоснован метод центральных многообразий для параболических функционально-дифференциальных уравнений нелинейной оптики. Методом центральных многообразий исследованы бифуркации рождения диссипативных структур в указанном классе уравнений.

Для параболических функционально-дифференциальных уравнений на окружности и малой диффузией развит и обоснован новый метод исследования динамики бегущих волн, стационарных структур. Получен критерий устойчивости бегущих волн, стационарных структур.Исследован характер взаимодействия бегущих волн, стационарных структур. Установлено, что для указанного класса уравнений реализуется явление буферности. Развит и обоснован новый метод исследования динамики бегущих волн феноменологического уравнения спинового горения. Установлена связь нового метода и метода квазинормальных форм

Ю. С. Колесова. Получен критерий устойчивости спиновых волн горения, установлен характер ихвзаимодействия. Доказано, что буферность в этом семействе параболических уравнений ван-дер-полевского типа является высокомодовой.

На дифференциально-разностные уравнения на торе распространенрезультат

В. И. Арнольда о квазипериодических решенияхобыкновенных дифференциальных уравнений. Теорема Самойленко-Мозерао приводимости к чистому вращению гладких систем дифференциальных уравнений на торе распространена на дифференциально-разностные уравнения.

Доказана теорема о сохранении при малых возмущениях инвариантного тора системы дифференциально-разностных уравнений.

Ключевые слова: параболические уравнения, параболические функционально-дифференциальные уравнения, дифференциально-разностные уравнения, инвариантные многообразия, центральные многообразия, устойчивость, бифуркации, диссипативные структуры, буферность, КАМ-метод.

Summary

Belan E. P. Method of invariant manifolds in the theory of parabolic equations and functional differential equations and its applications.- Manuscript.

Thesis for adoctor's degree in Physics and Mathematics speciality 01.01.02- differential equations. - Institute of mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2007.

The dissertation is devoted to qualitative and bifurcationanalysis of some classes of parabolic equations, functional-differential parabolic and differential-difference equations. The study is based on the method of invariant manifolds and its extension.

A new method for investigation of dissipate structure dynamics is developed. The buffer phenomenon in the parabolic problems with small diffusion is considered as well.New approaches are applied to same models in nonlinear optics and the spin combustion theory.

Some well-known results of on properties of quasiperiodic solutions of ODE's are extended on functional-differentialequations. In particular, Arnold's result about the reducibilityof analytical systems of ODE's on an m-dimensional torus to a purerotation is extended on analytical systems ofdifferential-difference equations.

Keywords: parabolic equations, parabolic functionaldifferential equations, differential-difference equations, invariant manifolds, center manifolds, stability, bifurcation, buffer phenomenon, KAM-method.

Размещено на Allbest.ru