Обмеженість l-індексу добутку Бляшке та добутку Нафталевича-Цудзі

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

Автореферат

Обмеженість l-індексу добутку Бляшке та добутку Нафталевича-Цудзі

математичний аналіз

Трухан Юрій Степанович

Львів -- 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі теорії функцій і теорії ймовірностей

Львівського національного університету імені Івана Франка

Міністерства освіти і науки України

Науковий керівник

доктор фізико-математичних наук, професор

Шеремета Мирослав Миколайович,

завідувач кафедри теорії функцій і теорії ймовірностей

Львівського національного університету імені Івана Франка

Офіційні опоненти

доктор фізико-математичних наук, професор

Заболоцький Микола Васильович,

завідувач кафедри математичного моделювання

Львівського національного

університету імені Івана Франка

доктор фізико-математичних наук, професор

Боднар Дмитро Ількович,

завідувач кафедри інтелектуальної власності,

комп'ютерного та інформаційного права

Тернопільського державного економічного університету

Провідна установа:

Інститут математики НАН України,

відділ комплексного аналізу та теорії потенціалу

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним з важливих напрямків у теорії аналітичних функцій є теорія цілих функцій обмеженого індексу. Поняття цілої функції обмеженого індексу ввів у 1968 р. Б. Лепсон у зв'язку з вивченням властивостей цілих розв'язків лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Дослідженню властивостей цілих функцій обмеженого індексу та їх застосуванню (в теоріях розподілу значень, диференціальних рівнянь, характеристичних функцій ймовірнісних законів та ін.) присвятили свої праці відомі математики У. Хейман, С. Шах, Г. Фріке, Ш. Стреліц та багато інших. У. Хейман та С. Шах довели що кожна ціла функція обмеженого індексу є функцією експоненційного типу.

Щоб вийти за межі класу цілих функцій експоненційного типу, М.М. Шеремета та А.Д. Кузик у 1986 р. ввели поняття цілої функції обмеженого l-індексу і в ряді праць отримали не тільки аналоги раніше відомих теорем про цілі функції обмеженого індексу, але й нові результати, пов'язані з наявністю в означенні функції l, вивчили можливе зростання цілих функцій обмеженого l -індексу, розподіл значень та поводження логарифмічної похідної. У 1993 р. М.М. Шеремета та С.М. Строчик ввели поняття аналітичної в крузі функції обмеженого l-індексу, вивчили її можливе зростання і отримали декілька аналогів теорем про цілі функції обмеженого l-індексу. Нарешті, у 1995 р. М.М. Шеремета та В.О. Кушнір ввели поняття обмеженості l-індексу аналітичної функції у довільній області комплексної площини, вивчили властивості та вказали застосування таких функцій. Так виникла теорія аналітичних функцій обмеженого l-індексу, основні положення якої викладені у монографії M.M. Sheremeta "Analytic functions of bounded index" - Lviv, VNTL, 1999. - 141p.

Вивчаючи властивості цілих функцій обмеженого l-індексу, дослідники часто звертали свою увагу до питання обмеженості l-індексу цілих функцій зі заданого класу. Так, С. Шах, М.М. Шеремета, А.А. Гольдберг і М.Т. Бордуляк присвятили свої праці дослідженню обмеженості l-індексу функції Міттаг-Леффлера, а обмеженість l-індексу цілих функцій, заданих канонічними добутками Вейерштрасса, вивчалась у працях Г. Фріке, М.М. Шеремети, М.Т. Бордуляк та І.Е. Чижикова.

Аналогами канонічних добутків для аналітичних в одиничному крузі функцій є добутки Бляшке та добутки Нафталевича-Цудзі. Тому природним стало дослідження обмеженості l-індексу аналітичних в функцій, зображених добутками Бляшке та Нафталевича-Цудзі. Розв'язанню цієї актуальної проблеми присвячена запропонована дисертаційна робота.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок дослiджень, обраний в дисертації, передбачений планами наукової роботи Львiвського нацiонального унiверситету iменi Iвана Франка.

Дослідження виконані в рамках держбюджетної теми Мг - 223Ф "Аналітичні функції, ряди Діріхле та їх узагальнення" (номер держреєстрації 0104 U 002127) функція індекс нуль бляшке

Мета i задачi дослiдження.

Метою дисертаційної праці є дослідження обмеженості l-індексу аналітичних в одиничному крузі функцій, зображених добутками Бляшке або добутками Нафталевича-Цудзі.

Об'єктом дослідження є аналітичні в одиничному крузі функції, зображені добутками Бляшке або добутками Нафталевича-Цудзі.

Предметом дослідження є зв'язок між поводженням нулів аналітичної в одиничному крузі функції, заданої добутком Бляшке або добутком Нафталевича-Цудзі, та обмеженістю її l-індекса з тією чи іншою функцією l.

Задачі дослідження:

1. Для аналітичної в одиничному крузі функції, заданої добутком Бляшке, встановити умови на послідовність її нулів, за яких вона є обмеженого l-індексу для тієї чи іншої функції l;

2. Для заданого добутку Бляшке обмеженого l-індексу вивчити умови на зсуви його нулів, за яких отриманий добуток Бляшке є також обмеженого l-індексу.

3. Для аналітичної в одиничному крузі функції, зображеної добутком Нафталевича-Цудзі, дослідити зв'язок між поводженням її нулів та обмеженістю l-індексу.

Методи дослiдження. Для розв'язання поставлених задач використовуються методи математичного і комплексного аналізу та деякі прийоми з праць М.М. Шеремети та І.Е. Чижикова.

Наукова новизна одержаних результатiв. Усi результати дисертацiї є новими і полягають у наступному.

1. Встановлено достатні умови на послідовність нулів аналітичної в одиничному крузі функції, що задається добутком Бляшке, за яких вона є обмеженого l-індексу з тією чи іншою функцією l. Вказані умови є або необхідними або близькими до необхідних.

2. Отримано загальну теорему про збереження обмеженості l-індексу аналітичної в одиничному крузі функції, зображеної добутком Бляшке при зсувах її нулів. Вказано ряд наслідків.

3. Вказано умови на нулі аналітичної в одиничному крузі функції заданої добутком Нафталевича-Цудзі, за яких вона є обмеженого l-індексу.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертації мають теоретичний характер і є певним внеском у теорію функцій обмеженого l-індексу. Вони можуть бути використані у теорії диференціальних рівнянь та прикладних проблемах математики.

Особистий внесок здобувача. Викладені в дисертації результати отримано автором самостійно. В опублікованих спільно з М.М. Шереметою статтях співавтору належать постановка задач та обговорення отриманих результатів.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiї доповiдались та обговорювались на

1) Міжнародній конференції "Комплексний аналіз і його застосування" (Львів, 26-29 травня 2003 року);

2) Міжнародній конференції "Analysis and Related Topics" (Львів, 17-20 листопада 2005 року);

3) Семінарі відділу комплексного аналізу і теорії потенціалу Інституту математики Академії наук України (керiвник Ю.Б. Зелінський - завідувач відділом, д-р фіз.-мат. наук);

4) Львiвському мiжвузiвському семiнарi з теорiї аналiтичних функцiй (керiвники проф. А.А. Кондратюк i проф. О.Б. Скаскiв);

5) Львiвському регiональному семiнарi з математичного аналiзу (керiвник проф. М.М. Шеремета);

Публiкацiї. Результати дисертацiї опублiковано у 7 статтях i наукових повiдомленнях (4 без спiвавторiв), з яких 5 (2 без спiвавторiв) опублiковано у виданнях, включених у перелiк ВАК України, в яких слiд опублiкувати результати дисертацiї.

Структура і об'єм дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел, який займає 4 сторінки і включає 32 найменування. Загальний обсяг праці - 121 сторінка.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Основним об'єктом дослідження є добуток Бляшке

(1)

де -- послідовність чисел з , занумерована у порядку неспадання модулів і така, що

(2)

Добуток Бляшке (1) задає аналітичну і обмежену в функцію, яка має на принаймні одну особливу точку. Його можна вважати певним аналогом канонічного добутку Вейєрштрасса нульового роду

(3)

де тепер -- послідовність комплексних чисел така, що при і .

Для додатної неперервної на функції l ціла функція називається (див., наприклад, монографію М.М. Шеремети "Analytic functions of bounded index" - 1999. - Lviv: VNTL Publishers) функцією обмеженого l-індексу, якщо існує таке, що для всіх і

(4)

За умови з (4) отримуємо означення цілої функції обмеженого індексу, введене у 1968р. Б. Лепсоном.

Якщо ж l -- додатна і неперевна на функція і така, що для всіх

(5)

то аналітична в функція називається (див., наприклад, наведену вище монографію М.М.Шеремети) функцією обмеженого l-індексу в , якщо існує таке, що для всіх і правильна нерівність (4).

У першому розділі "Огляд літератури та основних результатів дисертації" наведено результати Г. Фріке, М.М. Шеремети, М.Т. Бордуляк та І.Е. Чижикова про обмеженість індексу чи l-індексу канонічних добутків нульового роду (3); результати М.М. Шеремети, М.Т. Бордуляк та А.А. Гольдберга про обмеженість l-індексу канонічних добутків першого роду та довільного роду ; результат А.А. Гольдберга про обмеженість l-індексу функції Міттаг-Леффлера, а також основні результати дисертації про обмеженість l-індексу добутків Бляшке та добутків Нафталевича-Цудзі.

Розділ 2 "Обмеженість l-індексу добутку Бляшке" складається з п'яти підрозділів. У першому з них наведено основні означення та допоміжні леми, а у другому досліджується обмеженість l-індексу добутку Бляшке (1) для двох елементарних функцій та з .

Доведено таку теорему.

Теорема 2.1. Для того, щоб добуток Бляшке був обмеженого l-індексу з , , досить, щоб

і у випадку додатних нулів необхідно, щоб

Жодна з наведених умов не є необхідною і достатньою для обмеженості l-індексу добутку Бляшке з , .

З умови (2) випливає, що . Близькою до цього співвідношення є умова . За цієї умови добуток Бляшке (1) є обмеженого l-індексу з , , тобто правильна наступна теорема.

Теорема 2.2. Якщо , то добуток Бляшке є обмеженого l-індексу з , .

У підрозділі 2.3 отримано результати, які вказують на обмеженість l-індексу добутку Бляшке у термінах функції l, тісно пов'язаної з лічильною функцією його нулів.

Позначимо через клас додатних неперервних на функцій l таких, що і нехай -- лічильна функція нулів канонічного добутку (3). М.М. Шеремета та І.Е. Чижиков ( Про обмеженість l-індексу цілих функцій нульового роду // Доповіді НАН України - 2003. - № 7. - С. 33-39) довели, що якщо то для того, щоб канонічний добуток (3) був обмеженого l-індексу з функцією такою, що необхідно і досить, щоб

Аналогом наведеної вище теореми Шеремети-Чижикова є наступна теорема.

Теорема 2.3. Нехай. Для того щоб добуток Бляшке був обмеженого l-індексу з такою функцією, , що при , досить, а у випадку додатних нулів і необхідно, щоб

Тоді добуток Бляшке (1) обмеженого l-індексу для функції , , яка для визначається рівністю (7).

Правильним є також наступний результат.

Твердження 2.2. Нехай , а функція () така, що

Тоді добуток Бляшке (1) є обмеженого l-індексу.

Наступне твердження уточнює теорему 2.2.

Твердження 2.3. Якщо , то існує функція () така, що при і добуток Бляшке (1) є обмеженого l-індексу.

У наведеній вище теоремі Шеремети-Чижикова умову можна замінити умовою (-- фіксоване число), але, як показали ці автори, не можна замінити умовою , де -- повільно зростаюча функція. Подібна ситуація є і для добутків Бляшке.

Як було вище зазначено, умова, є природною як в теоремах 2.2 -- 2.3, так і в твердженнях 2.1 -- 2.3. Виникає питання, наскільки її можна послабити. Як показано у підрозділах 2.4 -- 2.5, цю умову можна замінити умовою, де -- фіксоване число, але, взагалі кажучи, не можна замінити умовою, де -- повільно зростаюча функція. Іншими словами, наступні два результати правильні.

Твердження 2.4. Висновок теореми 2.3 є правильним, якщо в цій теоремі замінити умову, на умову, де -- фіксоване число.

Теорема 2.4. Для кожної неперервно диференційовної на повільно зростаючої функції такої, що при, існує такий добуток Бляшке з додатними нулями , що:

У третьому розділі "Збереження обмеженості l-індексу добутку Бляшке при зсувах нулів", що складається з трьох підрозділів і висновків, досліджуються умови на послідовність комплексних чисел, за яких з обмеженості l-індексу функції , що задається рівністю (1), випливає обмеженість l-індексу добутку

Збереження обмеженості індексу цілих функцій досліджував М.М. Шеремета і показав (Problems in the theory of entire functions of bounded index and functions of sine type // Matem. Studii - 2001. - V. 15, № 2. - P. 217-224), що якщо нулі цілої функції обмеженого індексу лежать на скінченній кількості променів, які виходять з початку координат, а, , то функція з нулями є також обмеженого індексу. М.Т Бордуляк, М.М. Шеремета та І.Е. Чижиков ( Preservation of l-index boundedness under zeros shifts // Matem. studii - 2003. - V. 19, № 1. - P.21-30) показали, що обмеженість індексу в теоремі Шеремети можна замінити обмеженістю l-індексу, при цьому умову слід замінити умовою.

Для неспадної функції припустимо , що і клас таких функцій l позначимо через. Легко бачити, що до класу належить, наприклад, функція з і.

Основними результатами розділу 3 є такі теореми.

Теорема 3.1. Нехай функція, а добуток Бляшке (1) з додатними нулями є обмеженого l-індексу. Якщо послідовність комплексних чисел задовольняє умову, де і для деякого, то добуток Бляшке (8) з нулями є також обмеженого l-індексу.

Теорема 3.2. Нехай функція, а добуток Бляшке (1) є обмеженого l-індексу з комплексними нулями , що задовольняють умову для деякого і всіх. Якщо послідовність комплексних чисел задовольняє умову, де і, то добуток Бляшке (8) з нулями є також обмеженого l-індексу.

Зауважимо, що умова забезпечує належність до всіх та збіжність добутку (8).

Насправді теорема 3.1 є правильною також і у випадку, коли нулі добутку (1) не додатні, але лежать на скінченій кількості променів, що виходять з початку координат.

Умови теорема 3.2 також можна дещо послабити. Вона є правильною і у випадку, коли умова не виконується, але послідовність нулів добутку (1) складається з підпослідовностей, для кожної з яких

Якщо розглядати частковий випадок зсуву нулів добутку (4), а саме поворот кожного з на кут, то, оскільки при, умова має вигляд, причому, -- довільне додатне число. Власне, для добутку правильною є наступна теорема.

Теорема 3.3. Нехай функція, а добуток Бляшке (1) є обмеженого l-індексу з комплексними нулями , що задовольняють умову для деякого і всіх. Якщо послідовність дійсних чисел задовольняє умову, де, то добуток Бляшке (9) з нулями є також обмеженого l-індексу.

Умову у теоремах 3.1 та 3.2 не можна послабити. Виявляється, що, скажімо, для функції цю умову, взагалі кажучи, не можна замінити навіть на умову.

У четвертому розділі "Обмеженість l-індексу добутку Нафталевича-Цудзі", що складається з трьох підрозділів і висновків, досліджено умови на нулі, за яких добуток Нафталевича-Цудзі є аналітичною в одиничному крузі функцією обмеженого l-індексу з тією чи іншою додатною неперервною на функцією l.

Як і раніше, нехай -- послідовність чисел з, занумерованих в порядку неспадання модулів, а -- її рід, тобто

Вивчаючи факторизацію мероморфних в функцій, А.Г. Нафталевич і М. Цудзі, побудували і використали канонічний добуток

-- первинний множник Вейєрштрасса. Добуток (10) абсолютно і рівномірно збіжний на кожному компакті з і, отже, функція є аналітичною в.

Основним результатом розділу 4 є аналог теореми 2.3.

Теорема 4.1. Нехай, а функція, така, що при, де --- лічильна функція послідовності. Для того щоб добуток (10) був обмеженого l-індексу , досить, а у випадку додатних нулів і необхідно, щоб

Переходячи до інтегралу Стілтьєса та інтегруючи частинами, можна показати, що умова (11) рівносильна умові

На завершення зауважимо, що умова, як у теоремі 4.1, так у твердженнях 4.1 -- 4.4 є природною, оскільки зі збіжності ряду випливає.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі вивчаються умови, за яких аналітична в одиничному крузі функція є обмеженого l-індексу. Власне, для аналітичної в одиничному крузі функції, заданої добутком Бляшке, встановлено умови на послідовність її нулів, за яких вона є обмеженого l-індексу для тієї чи іншої функції l.

Для заданого добутку Бляшке обмеженого l-індексу вивчено умови на зсуви його нулів, за яких отриманий добуток Бляшке є також обмеженого l-індексу.

Для аналітичної в одиничному крузі функції, зображеної добутком Нафталевича-Цудзі, досліджено зв' язок між поводженням її нулів та обмеженістю l-індексу.

Результати дисертації мають теоретичний характер і є певним внеском у теорію функцій обмеженого l-індексу та загальну теорію аналітичних функцій. Вони можуть бути використані у теорії диференціальних рівнянь, в теорії характеристичних функцій та розподілу значень, а також в інших розділах сучасної математики.

Більшість результатів мають форму критеріїв. При їх отриманні використовуються методи сучасної теорії аналітичних функцій.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Трухан Ю.С., Шеремета М.М. Обмеженість l-індексу добутку Бляшке // Математичні студії. - 2002. - Т. 17, № 2. - С. 127-137.

2. Trukhan Yu.S., Sheremeta M.M. On l-index boundedness of the Blaschke product // Математичні студії. - 2003. - Т. 19, № 1 - С. 106-112

3. Шеремета М.М., Трухан Ю.С. Обмеженість l-індексу добутку Нафталевича - Цудзі // Укр.мат.журн., 2004, T. 56, № 2. - C. 247 - 256.

4. Трухан Ю. До обмеженості l-індексу добутку Бляшке // Вісник Львів. ун-ту Серія мех-мат. - 2004. - Вип. 63. - С. 143-147

5. Трухан Ю. Збереження обмеженості l-індексу добутку Бляшке при зсувах нулів // Математичні студії. - 2006. - Т. 25, № 1. - C. 29-37

6. Трухан Ю. До обмеженості l-індексу добутку Бляшке // Міжнародна конференція "Комплексний аналіз і його застосування", Львів, 2003, тези доповідей, C. 72-73

7. Трухан Ю.С. Збереження обмеженості l-індексу добутку Бляшке при зсувах нулів // Міжнародна конференція "Математичний аналіз і суміжні питання", Львів, 2005, тези доповідей, C. 106-107

АНОТАЦІЯ

Трухан Ю.С. Обмеженість l-індексу добутку Бляшке та добутку Нафталевича-Цудзі. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 -- математичний аналіз. Львівський національний університет імені Івана Франка, Львів, 2006.

Вивчаються умови, за яких аналітична в одиничному крузі функція є функцією обмеженого l-індексу. Для аналітичної в одиничному крузі функції, заданої добутком Бляшке, встановлено умови на послідовність її нулів, за яких вона є обмеженого l-індексу для тієї чи іншої неперервної функції l. Для заданого добутку Бляшке обмеженого l-індексу вивчено умови на зсуви його нулів, за яких отриманий добуток Бляшке є також обмеженого l-індексу. Для аналітичної в одиничному крузі функції, зображеної добутком Нафталевича-Цудзі, досліджено зв' язок між поводженням її нулів та обмеженістю l-індексу.

Ключові слова: аналітична функція обмеженого l-індексу, добуток Бляшке, добуток Нафталевича-Цудзі, логарифмічна похідна, розподіл нулів.

Trukhan Yu.S. l-index boundedness of the Blaschke product and Naftalevich-Tsuji product. -- Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the speciality 01.01.01 -- Mathematical Analysis, Ivan Franko Lviv National University, Lviv, 2006.

Conditions on zeros under which an analytic in the unit disc function is function of bounded l-index are investigated. For the Blaschke product, which is an analytic in the unit disc function, conditions on the sequence of its zeros under which it is function of bounded l-index for some continuous functions are found. For a given Blaschke product which is analytic in the unit disc function of bounded l-index conditions on zeros shifts under which it preserves -index boundedness are studied. For the Naftalevich-Tsuji product, which is an analytic in the unit disc function, connection between the behaviour of the sequence of its zeros and l-index boundedness of such function is invetigated.

Key words: analytic function of bounded l-index, Blaschke product, Naftalevich-Tsuji product, logarithmic derivative, distribution of zeros.

Трухан Ю.С. Ограниченность l-индекса произведения Бляшке и произведения Нафталевича-Цудзи. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. Львовский национальный университет имени Ивана Франко, Львов, 2006.

Диссертация состоит из введения, четырех разделов, разбитых на подразделы, выводов и списка использованных источников.

В первом разделе "Обзор литературы и основных результатов диссертации" приведены результаты Г. Фрике и М.Н. Шереметы о связи между последовательностью нулей канонического произведения и ограниченностью его индекса, а также результаты М.Н. Шереметы, М.Т. Бордуляк, И.Э. Чижикова и А.А. Гольдберга о связи между ограниченностью l-индекса целой функции и последовательностью её нулей (в частности для канонических произведений Вейерштрасса, функции Миттаг-Леффлера и функций типа синуса). Приведены основные результаты диссертации.

В разделе 2 "Ограниченность l-индекса произведения Бляшке" исследованы условия на последовательность нулей аналитической в единичном круге функции, задаваемой произведением Бляшке, при которых она является функцией ограниченного l-индекса с той или иной непрерывной функцией l. А именно, рассмотрена ограниченность l-индекса для элементарных функций и с , а также для функции , где -- считающая функция последовательности нулей произведения Бляшке. Также приведён один важный пример функции неограниченного l-индекса.

В разделе 3 "Сохранение ограниченности l-индекса произведения Бляшке при сдвигах нулей" исследованы условия на последовательность комплексных чисел , при которых из ограниченности l-индекса произведения Бляшке с нулями , следует ограниченность l-индекса произведения Бляшке с нулями .

Раздел 4 "Ограниченность l-индекса произведения Нафталевича-Цудзи" посвящен изучению условий на последовательность нулей аналитической в единичном круге функции, задаваемой произведением Нафталевича-Цудзи, при которых она является функцией ограниченного l-индекса с той или иной непрерывной на положительной функцией l.

Ключевые слова: аналитическая функция ограниченного l-индекса, произведение Бляшке, произведение Нафталевича-Цудзи, логарифмическая производная, распределение нулей.

Размещено на Allbest.ru