Наближення операторами Валле-Пуссена функцій, визначених на дійсній осі

Размещено на http://allbest.ru

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Наближення операторами Валле-Пуссена функцій, визначених на дійсній осі

1.Загальна характеристика роботи

функція оператор валле пуссен

Актуальність теми. Традиційним апаратом наближення періодичних функцій є тригонометричні поліноми заданого степеня n, зокрема, поліноми, які породжуються лінійними методами підсумовування рядів Фур'є.

Для наближення функцій, які визначені на всій дійсній осі і не є обов'язково періодичними, природним апаратом апроксимації є цілі функції експоненціального типу <. Початки сучасної теорії наближення цілими функціями було покладено роботами С.Н. Бернштейна. Саме йому належить ідея побудови теорії наближення функцій, визначених на дійсній осі, в яку б входила і теорія наближення періодичних функцій. Ця ідея стала дуже важливою для обох теорій упродовж останніх десятиріч вони успішно розвиваються паралельно, взаємно збагачуючи і доповнюючи одна одну.

В 1983 році О.І. Степанець запровадив нову класифікацію періодичних функцій за допомогою мультиплікаторів та зсувів аргументів. Розвиваючи цей напрямок досліджень, О.І. Степанець у 1988 році запровадив класи функцій, локально сумовних на дійсній осі, які не є обов'язково періодичними і містять класи періодичних функцій як частинний випадок. У 1998 році О.І. Степанець розглянув класи функцій, локально сумовних на дійсній осі, які є узагальненням запроваджених у 1996 році множин -інтегралів 2-періодичних функцій .

На класах на цей час були розв'язані задачі теорії наближення майже в тому ж обсязі, що і на класах 2-періодичних функцій Природним чином постало питання отримання на нових класах неперіодичних аналогів результатів, які відомі для класів

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі математичного аналізу Слов'янського державного педагогічного університету згiдно з науково-дослiдною темою: "Класифікаційні методи теорії наближення функцій і теорії крайових задач", номер державної реєстрацiї .

Мета i завдання дослідження.

Метою роботи є знаходження асимптотичних формул для верхніх граней відхилень операторів Валле-Пуссена на класах неперервних функцій і , а також одержання асимптотичних законів спадання функціоналів, що характеризують задачу про одночасне наближення -інтегралів функцій з класів S і H за допомогою операторів Валле-Пуссена.

Об'єктом дослідження є класи і .

Предметом дослідження є апроксимативні характеристики операторів Валле-Пуссена на класах і , а також функціонали, що характеризують задачу про одночасне наближення -інтегралів функцій класів S і H за допомогою операторів Валле-Пуссена.

Задачі дослідження.

1. На класах у випадку, коли вони містять функції малої гладкості, отримати асимптотичні (при ) рівності для величин верхніх граней

(1)

де N-- це або одинична куля S простору істотно обмежених функцій, або клас H, V,c(f,) -- оператор Валле-Пуссена функції f.

2. Знайти асимптотичні (при h=h()) рівності для верхніх граней (1) у випадку, коли множини складаються з функцій скінченної гладкості, нескінченно диференційовних, аналітичних і, в тому числі, цілих функцій.

3. У згаданих вище випадках вказати умови, за яких знайдені для верхніх граней (1) асимптотичні рівності давали б розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для операторів V,c(f,) на класах i .

4. Знайти асимптотичні (при ) закони спадання функціоналів, які характеризують задачу про одночасне наближення -інтегралів функцій з класів S i H за допомогою операторів Валле-Пуссена.

Наслідуючи О.І. Степанця, будемо казати, що задача Колмогорова-Нікольського розв'язана для класу функцій і операторів V,c(f,), якщо в явному вигляді знайдена така функція:

для якої

При розв'язанні поставлених задач в дисертаційній роботі використовуються загальні методи теорії функцій дійсної змінної, а також нові методи дослідження інтегральних зображень відхилень тригонометричних поліномів, що породжуються лінійними методами підсумовування рядів Фур'є, від неперервних функцій, які розвинені у працях В.К. Дзядика, М.П. Корнєйчука, О.В. Єфімова, С.О. Теляковського, О.І. Степанця та інших.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими i полягають у наступному:

1. Для верхніх граней (1) у випадку, коли є класами функцій малої гладкості, знайдено асимптотичні рівності.

2. Знайдено швидкість збіжності операторів Валле-Пуссена на класах у випадку, коли множини складаються з функцій скінченної гладкості, нескінченно диференційовних, аналітичних і, в тому числі, цілих функцій.

3. Показано, що при деяких природних обмеженнях на параметри, які визначають клас і метод наближення, отримані асимптотичні рівності дають розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для операторів V,c(f,) на класах i .

4. Отримано асимптотичні закони поведінки функціоналів, які характеризують задачу одночасного наближення -інтегралів функцій з класів S i H за допомогою операторів Валле-Пуссена в рівномірній метриці.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер і містить розв'язок ряду екстремальних задач теорії наближення функцій. Результати роботи і методика їх отримання можуть бути використані при вивченні різних питань математичного аналізу.

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку дослідження, а також постановка задач належать науковому керівникові -- доктору фізико-математичних наук, професору В.І.Рукасову. Результати другого та третього розділів одержано здобувачем спільно з науковим керівником. Внесок обох авторів є рівноцінним. Результати четвертого розділу отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН України, керівник семінару: член-кореспондент НАН України О.I. Степанець); на Мiжнароднiй науковій конференції "Шості Боголюбовські читання" (Чернівці, 26 - 30 серпня 2003 р.).

Публікації. Основні результати, які висвітлені в дисертації, опубліковано в роботах [1 - 5].

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з переліку умовних позначень, вступу, чотирьох розділів, висновків та списку із 85 використаних джерел. Повний обсяг роботи складає 127 сторінок машинописного тексту.

2.Основний зміст дисертації

У першому розділі дисертаційної роботи наведено огляд літератури за її темою. Висвітлюється історія розвитку теорії наближення різних функціональних класів операторами Валле-Пуссена, зазначається, які з питань залишилися ще не розв'язаними.

Другий розділ присвячено дослідженню апроксимативних властивостей операторів Валле-Пуссена при наближенні класів неперервних функцій малої гладкості.

Перший підрозділ другого розділу носить допоміжний характер. В ньому наводяться необхідні означення, формулюється задача дослідження.

Нехай -- множина функцій f які визначені на дійсній осі і такі, що мають скінченну норму

Позначимо через A множину неперервних при v0 функцій (v), які задовольняють умови: 1)(v)0, (0)=0, (v) зростає на [0,1); 2) (v) опукла донизу на [1,) і 3) '(v)='(v+0) має обмежену варіацію на [0,) Підмножину функцій (v) для яких позначають A'

Нехай, далі, та -- відповідно парне і непарне продовження функцій I=1,2. Для пари означаємо функцію

Тоді через наслідуючи О.І. Степанця, позначають підмножину неперервних функцій які можна подати у вигляді такої рівності:

(2)

де A -- деяка стала, інтеграл розуміємо як границю по симетричних проміжках, що розширюються, N (),

(3)

Якщо , , то перетворення сумовне на дійсній осі.

В ролі N будемо розглядати одиничну кулю S простору M істотно обмежених функцій: S={: esssup ||1} (в цьому випадку покладаємо ), а також класи H:

де -- підмножина неперервних функцій з простору , (t) -- фіксований модуль неперервності.

Функцію () в зображенні (2) називають -похідною функції f() і позначають . Функцію f(), відповідно, називають -інтегралом функції () і позначають

За апарат наближення для будемо використовувати функції

 де -- перетворення Фур'є вигляду (3) функції

О.І. Степанець довів, що за умови

(4)

V,c де -- множина цілих функцій експоненціального типу , які задовольняють нерівність (4). В періодичному випадку при =n? і c=n-p,p?, p<n оператори V,c(f;x) співпадають з відомими сумами Валле-Пуссена. Тому V,c(f;x) називають операторами Валле-Пуссена.

З кожною функцією М пов'яжемо таку пару характеристик:

Нехай

М0={: М, 0<(;t)K1<},

МC={: М, 0<K2(;t)K3<},

де K1, K2, K3 -- деякі сталі (які, можливо, залежать від функції (t)). Якщо A і при t М0 або МC, то кажемо, що A0 або AC відповідно.

В цьому ж підрозділі формулюється задача дослідження, яка полягає у вивченні асимптотичної (при ) поведінки верхніх граней (1) за умови, що 1A0, 2A'0,

В другому підрозділі другого розділу проводиться спрощення відхилень ,c(f;x)=f(x)-V,c(f;x) для функцій з класів шляхом виділення в інтегралах головних частин і оцінки залишків. Покладемо h=h()=-c,

Справедливе таке твердження.

Лема 2.1. Нехай 1A0, 2A'0, a(0,), 0<1. Тоді для довільних і h=h(),h=h(), >h1, в кожній точці виконується рівність

O(1) -- величина, рівномірно обмежена щодо

Третій підрозділ другого розділу присвячений отриманню асимптотичних рівностей для величин (1). Cпираючись на результати попереднього підрозділу, доводяться такі теореми.

Теорема 2.1. Нехай 1A0, 2A'0, a(0,), 0<1. Тоді для будь-яких іh=h(),h=h(), >h1, при виконується асимптотична рівність



де O(1) -- величина, яка рівномірно обмежена щодо .

Теорема 2.2. Нехай 1A0, 2A'0, a(0,), 0<1. Тоді для будь-яких іh=h(),h=h(), >h1, при виконується асимптотична рівність

де [2/3,1]. Причому =1, коли (t) -- опуклий модуль неперервності, O(1) -- величина, що рівномірно обмежена щодо .

З теорем 2.1 і 2.2 одержуємо наслідки.

Наслідок 2.2. Нехай 1A0, 2A'0, a(0,), 0<1. Тоді для будь-яких іh=h(),h=h(), >h1, при виконується асимптотична рівність

(5)

де O(1) -- величина, що рівномірно обмежена щодо .

Наслідок 2.3. Нехай 1A0, 2A'0, a(0,), 0<1. Тоді для будь-яких іh=h(),h=h(), >h1, при виконується асимптотична рівність

(6)

де [2/3,1]. Причому =1, коли (t) -- опуклий модуль неперервності, O(1) -- величина, що рівномірно обмежена щодо

За умови =0 рівності (5) і (6) дають розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для операторів Валле-Пуссена на класах і .

Твердження, аналогічні до теорем 2.1 і 2.2, у випадку, коли c=-1 (наближення операторами Фур'є) були доведені О.І. Степанцем та І.В. Соколенком. В періодичному випадку, коли здійснюється наближення сумами Валле-Пуссена функцій з класів , аналогічні результати було отримано в роботі В.І. Рукасова і С.О. Чайченка. Для класів періодичних функцій , r>0 аналог рівності (2), за деяких умов, одержано О.В. Єфімовим. У випадку, коли =r, r>0, розв'язок аналогічної задачі Колмогорова-Нікольського отримано О.П. Тіманом.

В третьому розділі продовжується дослідження асимптотичної (при ) поведінки верхніх граней (1) у випадку, коли класи складаються з функцій скінченної гладкості, нескінченно диференційовних, аналітичних і, в тому числі, цілих функцій.

Перший підрозділ третього розділу має допоміжний характер і містить відомості, використані в подальшому викладі.

В другому підрозділі третього розділу отримуємо асимптотичні зображення відхилень ,c(f;x) для функцій з класів .

Лема 3.1. Нехай iA', I=1,2, та ai=ai(), i=1,2, -- довільні функції, неперервні при всіх 1, крім того, ai()ai(0)>0, I=1,2. Тоді при для будь-якого і довільних дійсних чисел >h1

де i=1,2,?;

(7)

Якщо ж то для будь-якого x і довільних дійсних чисел >h1 в кожній точці

де

(8)

У співвідношеннях (7) і () через O(1) позначені величини, рівномірно обмежені по x і .

В третьому підрозділі третього розділу, використовуючи лему 3.1, знаходимо асимптотичні рівності для верхніх граней відхилень ,-h(f;x) операторів V,-h(f;x) на класах . Наступне твердження стосується випадку, коли в ролі послідовностей ai(), i=1,2, взято величини

 функції 1,2 належать і виконана умова: знайдуться константи K1 i K2 такі, що

(9)

Множина означена О.І. Степанцем в такий спосіб:

Теорема 3.2. Нехай і виконана умова (9). Тоді для будь-яких дійсних чисел та h()=h,>h1, мають місце рівності:

(10)

(11)

де () -- це або (1;) або(2;); [2/3;1] причому =1 якщо (t)-- опуклий модуль неперервності, а O(1) -- величина, рівномірно обмежена щодо .

Для класів періодичних функцій аналог теореми 3.2 довели раніше В.І Рукасов і С.О. Чайченко. В цьому окремому випадку в рівностях (10) і (11) необхідно замінити на величину де яка співпадає з лише за умови

Означимо множину:



і оберемо числа h=h() таким чином, що виконується умова

(12)

Тоді з теореми 3.2 випливає наслідок.

Наслідок 3.1. Нехай , і виконані умови (9), (12). Тоді для будь-яких дійсних чисел та h()=h,>h1, при

(13)

(14)

де O(1) -- величини, які рівномірно обмежені щодо , () -- це або (1;) або(2;), нарешті, [2/3;1] причому =1 якщо (t)-- опуклий модуль неперервності.

Рівності (13) і (14) забезпечують розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для операторів Валле-Пуссена на класах і відповідно, за умови c=.

Якщо ж iAC, i=1,2, і , то співвідношення (13), (14) набирають вигляду

(15)

(16)

За умови, що =0, рівності (15) і (16) дають розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для операторів V,-h на класах i відповідно.

В четвертому підрозділі третього розділу знайдено асимптотичну формулу для верхніх граней відхилень операторів Валле-Пуссена на класах з точною константою біля головного члена у вигляді невласного інтеграла у випадку, коли оператори Валле-Пуссена забезпечують наближення, яке за порядком співпадає з величиною найкращого наближення визначених на дійсній осі неперервних функцій за допомогою цілих функцій експоненціального типу .

Справедливе наступне твердження.

Теорема 3.3. Нехай 0<<1, і iAC, i=1,2. Тоді при має місце асимптотична рівність

(17)

де



причому при

Рівність (17) завжди дає розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для операторів Валле-Пуссена на класах . Для класів така теорема доведена В.І. Рукасовим. В періодичному випадку на класах і аналогічні твердження одержано раніше С.О. Теляковським і В.І. Рукасовим відповідно.

В четвертому розділі дисертаційної роботи досліджуються величини, які характеризують задачу про одночасне наближення -інтегралів функцій з класів S та H за допомогою операторів Валле-Пуссена.

Нехай де -- довільні пари функцій такі, що

Нехай, далі, b=(b1 ,b2,…,bm) -- довільний вектор з дійсними координатами і

(18)

де N.

Для величини (18), яка означена на множині N, має сенс вираз

(19)

Задача одночасного наближення функцій і їх -інтегралів операторами Валле-Пуссена полягає в дослідженні величини (19). Постановка таких задач належить О.І. Степанцю. Аналогічні задачі для операторів Фур'є на різних класах функцій були розв'язані в роботах О.І. Степанця, В.В. Дрозда, І.В. Соколенка. Дослідженням задачі про одночасне наближення в періодичному випадку займалися О.І. Степанець, Н.М Задерей, В.А. Сорич, Н.М. Сорич, В.В. Дрозд, В.І. Рукасов, С.О. Чайченко.

Якщо m=1, b1=1 і то

Отже, задача про одночасне наближення узагальнює задачу дослідження величин в тому сенсі, що має місце рівність

Основним твердженням четвертого розділу є теорема 4.1.

Теорема 4.1. Нехай , j=1,2 дійсні числаh=h()< вибрані так, щоб , j=1,2, i нехай існують константи , , для яких виконується умова



b=(b1 ,b2,…,bm) -- довільний вектор з дiйсними координатами. Тоді при виконуються асимптотичні рівності

де

в якості величини ak() може виступати функція або , величини ak() впорядковані за зростанням і при цьому, якщо , то ak()</h, а якщо ,то ak()>/h, [2/3,1], причому =1 якщо (t) -- опуклий модуль неперервності; O(1) -- величина, яка рівномірно обмежена по .

В другому підрозділі четвертого розділу, відштовхуючись від одержаних в третьому розділі асимптотичних зображень відхилень ,-h(f;x), за допомогою розробленого О.І. Степанцем методу, який використовується тут з урахуванням особливостей розглядуваного випадку доводиться теорема 4.1.

Висновки

1. Знайдено асимптотичні (при ) формули відхилень операторів Валле-Пуссена на класах неперервних функцій і у випадках, коли ці класи охоплюють функції скінченної гладкості, нескінченно диференційовні, аналітичні і, в тому числі, цілі функції.

2. Вказано умови, за яких знайдено асимптотичні рівності дають розв'язок задачі Колмогорова-Нікольського для операторів V,-h(f;x) на класах i .

3. Знайдено асимптотичні (при ) закони спадання функціоналів, які характеризують задачу одночасного наближення -інтегралів функцій з класів S i H за допомогою операторів Валле-Пуссена.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Рукасов В.И., Силин Е.С. Приближение непрерывных функций операторами Валле-Пуссена // Укр. мат. журн. -- 2005. -- 57, №2. -- С. 230 - 239.

2. Рукасов В.И., Силин Е.С. Приближение непрерывных функций небольшой гладкости операторами Валле-Пуссена // Укр. мат. журн. -- 2005. -- 57, №3. -- С. 394 -400.

3. Рукасов В.И., Силин Е.С. Приближение непрерывных функций операторами Валле-Пуссена. Екстремальні задачі теорії функцій та суміжні питання : Праці Ін-ту математики НАН України. -- 2003. -- Т.46. -- С. 192 - 208.

4. Силин Е.С. Одновременное приближение функций и их -интегралов в равномерной метрике // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання. -- Київ, 2004. -- С. 337 - 348. -- (Збірник праць Ін-ту математики НАН України; Т. 1, №1).

Рукасов В.И., Силин Е.С. Приближение непрерывных функций операторами Валле-Пуссена // Міжнародна наукова конференція ”Шості Боголюбовські читання”: Тези доп. (Чернівці, 26 - 30 серпня ). -- Киів: Ін-т математики НАН України, 2003. -- С. 197.

Размещено на Allbest.ru