Вузькі оператори та геометрія просторів вимірних функцій

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

Вузькі оператори та геометрія просторів вимірних функцій

Попов Михайло Михайлович

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Чернівецькому національному університеті імені Юрія Федьковича.

Науковий консультант

доктор фізико-математичних наук, професор,

Маслюченко Володимир Кирилович,

Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, завідувач кафедри

математичного аналізу

Офіційні опоненти:

член-кореспондент НАН України,

доктор фізико-математичних наук, професор,

Горбачук Мирослав Львович,

Інститут математики НАН України, завідувач відділу

диференціальних рівнянь в частинних похідних;

доктор фізико-математичних наук, професор

Петунін Юрій Іванович,

Київський національний університет імені Тараса Шевченка,

професор кафедри обчислювальної математики;

доктор фізико-математичних наук, професор

Семенов Євген Михайлович,

Воронезький державний університет,

завідувач кафедри теорії функцій і геометрії.

Провідна установа

Львівський національний університет імені Івана Франка

Захист відбудеться 10.10.2006 року о 15 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики

НАН України за адресою: 01601, Київ-4, вул.Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики

НАН України.

Автореферат розісланий 07.09.2006 року.

Учений секретар

спеціалізованої вченої ради Романюк А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Одним із джерел функціонального аналізу була теорія просторів класів еквівалентності інтегровних за Лебеґом з -м степенем функцій на відрізку. Простір і, загальніше, при увів і систематично дослідив на початку XX століття Ф. Рісс; простори і фігурували у працях А. Лебеґа, а спряжений простір з вперше описав Г. Штейнгауз. Простори разом із просторами усіх послідовностей, абсолютно сумовних з -м степенем, і простором всіх неперервних на функцій стали тим конкретним матеріалом, на основі якого виникла теорія банахових просторів у працях С. Банаха, Г. Штейнгауза, Е. Геллі, Г. Гана, C. Мазура, В. Орлича, Н. Вінера та інших математиків у 20-х роках XX століття. Пізніше з'явилися нові простори вимірних функцій як узагальнення просторів (простори Орлича, Лоренца), які призвели до появи теорії симетричних просторів функцій в працях Д. Бойда, А. Кальдерона, М. Красносельського, С. Крейна, Г. Лоренца, В. Люксембурга, Ю. Петуніна, Є. Семенова та ін.

Простір і, загальніше, простори лежать в основі теорії просторів Кете та їх узагальнень, що вивчалися в роботах Ю. Грибанова, Ж. Д'єдонне, Ґ. Кете, В. Маслюченка, О. Тепліца та інших математиків. Специфічні властивості простору при виявив М. Дей. Його дослідження продовжили Н. Калтон, Н. Пек, Дж. Робертс, С. Ролевич та інші.

Незважаючи на велику кількість робіт, в цій галузі ще багато нерозв'язаних проблем, частина з яких вивчається в даній роботі, а інша - формулюється в останньому розділі.

М. Дей довів, що на просторі з немає нетривіальних лінійних неперервних функціоналів. Більше того, як незалежно встановили Д. Паляшке, П. Турпін і Н. Калтон, навіть не існує ненульових компактних операторів зі значеннями у топологічному векторному просторі; зокрема, не існує скінченновимірного факторпростору. Скористувавшись порадою А. Плічка, автор у своїй кандидатській дисертації довів, що для несепарабельної міри не існує сепарабельного факторпростору, давши негативну відповідь на наступну проблему Ролевича: чи в кожному нескінченновимірному -просторі існує замкнений підпростір такий, що факторпростір нескінченновимірний і сепарабельний? Основним технічним інструментом при цьому стало введене автором поняття багатого підпростору. Далі, в результаті аналізу поняття багатого підпростору з'явилося загальніше поняття вузького оператора, яке виявилося зручним при розв'язанні деяких інших задач (узагальнення властивості Даугавета, характеризації образів векторних мір, існування знаковкладення в деякий банахів простір, тощо). Оператори, які автор назвав вузькими, раніше зустрічалися лише епізодично в працях деяких авторів (Дж. Бургейн, Н. Ґосу, Х. Розенталь). Таким чином, виникла необхідність побудови цілісної теорії вузьких операторів. Основи такої теорії були розроблені автором дисертації і опубліковані в 1990 р. у спільній з А. Плічком праці [22]. В останні роки теорія вузьких операторів була розвинена у різних напрямках в працях як автора дисертації, так і деяких інших фахівців з функціонального аналізу і теорії функцій, зокрема, Д. Вернера, В. Кадеця, Н. Калтона, Р. Швидкого.

Крім того, в теорії просторів вимірних функцій на сьогодні залишилося багато актуальних нерозв'язаних проблем, над якими працюють сотні математиків в усьому світі.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Тематика дисертації пов'язана з науково-дослідною бюджетною програмою кафедри математичного аналізу Чернівецького національного університету <<Нарізні і сукупні властивості функцій багатьох змінних та геометрія функціональних просторів>> (номер держ. реєстрації - 0103Y001103). У виконанні цієї програми автор дисертації займає одну з головних позицій завдяки його дослідженням геометрії функціональних просторів.

Мета і задачі дослідження. Метою дисертації є побудова теорії вузьких операторів на симетричних -просторах вимірних функцій та встановлення взаємозв'язку з геометричною теорією цих просторів.

Задачами дослідження є:

- узагальнення умови компактності операторів на просторах вимірних функцій зі збереженням деяких основних властивостей компактних операторів;

- дослідження ідеальних властивостей вузьких операторів;

- встановлення та узагальнення даугаветівської властивості вузьких операторів на просторі;

- порівняння множини вузьких операторів з іншими відомими класами операторів;

- вивчення метричних властивостей вузьких операторів в симетричних просторах;

- дослідження зв'язку між вузькими операторами та векторними мірами;

- виділення підпросторів простору з деякими спеціальними властивостями;

- дослідження диференціальних та інтегральних властивостей функцій зі значеннями у -просторах;

- дослідження базисних властивостей послідовностей в просторах вимірних функцій;

- вивчення можливостей узагальнення теореми Пітта про компактність операторів з в при на загальні банахові простори.

Об'єктом дослідження є геометричні властивості просторів вимірних функцій і операторів, визначених на цих просторах.

Предметом дослідження є симетричні -простори і банахові простори вимірних функцій, а також простори операторів, визначених на цих просторах.

Методи дослідження. В дослідженнях використовуються методи геометричної теорії банахових просторів.

Наукова новизна одержаних результатів. В дисертаційній роботі вперше отримано такі результати:

- систематично вивчено новий клас операторів на симетричних просторах функцій, для яких запропоновано назву <<вузькі оператори>>; ці оператори, які лише епізодично зустрічалися у працях декількох математиків, незалежно були введені автором, як розвиток концепції багатого підпростору, що була предметом розгляду його кандидатської дисертації;

- на основі розробленої техніки вузьких операторів встановлено псевдо-даугаветівську властивість класичних банахових просторів при для класу вузьких операторів;

- розроблено метод доведення деякого послаблення псевдо-даугаветівської властивості симетричних просторів на відрізку, за допомогою якого автор спільно з Б. Рандріанантоаніною встановили цю властивість для класу просторів Лоренца, - часткова відповідь на запитання Є. Семенова;

- доведено, що якщо норма проектора на підпростір простору при близька до , то підпростір ізоморфний простору, - часткова відповідь на запитання Д. Олспаха;

- в термінах вузьких операторів отримано характеризацію банахових просторів , для яких кожна -значна міра із скінченною варіацією має опукле замикання образу;

- узагальнено властивість Даугавета (DP) в просторі у таких напрямках: а) встановлено DP для багатих підпросторів, розширивши клас просторів з DP; б) встановлено нерівність, яка узагальнює DP на випадок, коли замість одиничного оператора розглядається ізоморфне вкладення;

- доведено, що система Гаара є сильно умовним базисом в просторі - відповідь на питання Я. Цейтліна;

- введено у розгляд і досліджено нові типи базисів в банахових просторах:

а) фінітні базиси, як узагальнення трансфінітних базисів і базисів Енфло-Розенталя (вивчені деякі властивості і питання взаємозв'язку з іншими типами базисів);

б) опуклі базиси (так, банахів простір є суперрефлексивним тоді і тільки тоді, коли в ньому кожна квазінормована базисна послідовність є опуклою), які виявляються корисними при дослідженні властивостей простору;

- досліджено можливість узагальнення теореми Пітта про компактність операторів з в при у таких напрямках: а) теорема не узагальнюється на простори, насичені просторами і б) узагальнюється на асимптотичні банахові простори;

- побудовано насичений простором підпростір простору без властивості Шура (після прикладів Бургейна, Азімі і Геґлера спеціальних банахових просторів з такими властивостями конструкція в межах класичного простору виявилася дещо несподіваною);

- доведено, що будь-який ненульовий оператор, який визначений на просторі при, є знаковкладенням на деякому підпросторі з підмножиною додатної міри;

- показано, що для функцій, які набувають значень у не локально опуклих -просторах, наступні класичні теореми не мають місця: а) теорема про почленне диференціювання; б) теорема Дарбу про похідні.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертація носить теоретичний характер. Її результати можуть бути використані в загальній теорії функцій, функціональному аналізі та теорії операторів. Усі наукові положення і висновки дисертації є цілком обґрунтованими і достовірними.

Автору дисертації належить поняття вузького оператора, яке введено в [6] та [7]. Завдяки поняттю вузького оператора вдається здійснити принципово новий підхід до деяких задач при дослідженні властивості Даугавета, питань ізоморфної класифікації просторів, оцінки знизу відносної проекційної константи деяких підпросторів в симетричних просторах, достатніх умов ізоморфності підпросторів тощо.

Подальший розвиток теорії вузьких операторів, вивчення яких розпочав автор дисертації, спостерігається в роботах Д. Білика (США), Д. Вернера (Німеччина), В. Кадеця (Україна), Н. Калтона (США), Т. Оіхберга (США), Б. Рандріанантоаніни (США), Ч. Руіса (Іспанія), Г. Сіроткіна (США), Дж. Флореса (Іспанія) та Р. Швидкого (США). Підрозділи, присвячені вузьким операторам, з'явилися в двох книгах Ю. Абрамовича та С. Аліпрантіса (видавництва Американського Математичного Товариства) 2001 та 2002 рр. з теорії операторів. Інші результати дисертації використовувалися в роботах С. Асташкіна (Росія), Л. Вейца (Німеччина), О. Владимирської (Україна), Д. Вернера (Німеччина), Ж. Ґодефруа (Франція), Л. Древновського (Польща), В. Кадеця (Україна), Н. Калтона (США), Д. Лі (Франція), З. Ліпецького (Польща), Є. Семенова (Росія), К. Франчетті (Італія), І. Червоньової (США), Р. Швидкого (США) та М. Ямпольського (Україна). Крім того, на матеріали дисертації є посилання в монографіях Й. Кастільо і М. Ґонзалеса (видавництва Springer-Verlag), І. Новікова і Є. Семенова (видавництва Kluwer), С. Ролевича (Польське Видавництво Наукове), та в дисертаціях Дж. Альвареса (Іспанія) і Р. Швидкого (США).

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати, включені в дисертацію, одержані здобувачем особисто. В роботах, написаних у співавторстві, автору дисертації належать:

- [1]: теорема 1;

- [2]: лема 3, лема 4, лема 6;

- [5]: твердження 1 і твердження 2;

- [6]: розділи 8-11;

- [8]: теорема 2;

- [10]: теорема 4.7, теорема 4.9, наслідок 4.10;

- [12]: розділ 5;

- [13]: теорема 3.1, лема 3.1, лема 3.2, лема 3.3, лема 3.4;

- [17]: наслідок 1;

- [18]: розділи 4, 5, 6, 8;

- [23]: наслідок 1, теорема 3.

Теорема 4.1.1 (в оригіналі - теорема 1 з [8]) була одержана автором дисертації і одночасно і незалежно В. Кадецем. Після обміну препринтами було вирішено написати спільну роботу [8].

Автор засвідчує, що він не включав до тексту дисертації будь-яких результатів, які були одержані його співавторами, або включені в дисертації його співавторів.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися:

- регулярно на семінарі В. Маслюченка з функціонального аналізу в Чернівецькому національному університеті;

- на Всесоюзній Воронезькій математичній школі в 1987, 1988 та 1989 рр.;

- на семінарі Є. Ґордона та Й. Беньяміні в Техніоні (Хайфа, Ізраїль) в 1990 р.;

- на XV Всесоюзній школі з теорії операторів у функціональних просторах в Ульяновську в 1990 р.;

- на Банахівському семестрі в науковому центрі ім. С. Банаха (Варшава, Польща) в 1991 р.;

- на міжнародній конференції до 100-річчя С. Банаха (Львів) в 1992 р.;

- на Другій міжнародній конференції, присвяченій пам'яті Г. Гана (Чернівці) в 1994 р.;

- на міжнародній конференції до 110-річчя С. Банаха (Львів) в 2002 р.;

- на об'єднаному зібранні Американського математичного товариства та Математичної асоціації Америки (Балтімор, США) в 2003 р.;

- на Третій міжнародній конференції, присвяченій пам'яті Г. Гана (Чернівці) в 2004 р.;

- на семінарі відділу математичного аналізу ІМ НАН України (керівник - О. І. Степанець) (Київ) у 2004 і 2006 рр.;

- на київському міському семінарі з функціонального аналізу (керівник - Ю. М. Березанський) (Київ) у 2004 і 2006 рр.;

- на львівському семінарі з функціонального аналізу (керівники - А. А. Кондратюк і О. Б. Скасків) (Львів) у 2005 р.

Публікації Основні результати дисертації опубліковані в 32 наукових працях, з них 13 статей в українських журналах ([4], [8], [11], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [21], [22], [23], [33]), 6 статей в російських журналах ([1], [2], [3], [5], [7], [10]), 3 статті в європейських журналах ([6], [9], [19]), 2 статті в американських журналах ([12], [20]) та 9 тез конференцій ([24], [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32]).

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається зі вступу, восьми розділів (з нумерацією від 2 до 9), висновків, списку умовних позначень і термінів та списку використаних джерел, який містить 217 найменування і займає 21 сторінку. Повний обсяг роботи - 292 сторінки.

Висловлюю велику подяку В. К. Маслюченку за математичне натхнення та підтримку протягом багатьох років, А. М. Плічку за виховання професійного підходу до математики, В. М. Кадецю та М. Й. Островському за постійну допомогу в роботі, Б. Рандріанантоаніна, співпраця з якою була для автора першим поштовхом до роботи після тривалої перерви. Крім цього, автор вдячний всім учасникам маслюченківського семінару з функціонального аналізу за підтримку, особливо своїм співавторам О. В. Маслюченку і В. В. Михайлюку, без співпраці з якими написання цієї дисертації відклалося би на деякий час, та своїй дружині за розуміння.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі до дисертації, який має нумерацію першого розділу, наводяться стандартні відомості про актуальність теми та інші, які, фактично, відображені у цьому авторефераті. Огляд літератури і результатів дисертації здійснюється в межах другого розділу. Тут наводяться загально прийняті означення термінів; означення, які належать автору дисертації (вузькі оператори, фінітні базиси, опуклі базисні послідовності, тощо), викладаються протягом основного тексту, починаючи з наступного розділу. Крім того, ми робимо огляд сучасного стану геометричної теорії класичного банахового простору і формулюємо проблеми, які були поставлені автором дисертації у своїх працях, а також робимо супутні коментарі відносно тих проблем, які на сьогодні розв'язані повністю або частково. Постановки цих проблеми були опубліковані автором в працях [32] і [19].

Розділ 3 присвячений теорії вузьких операторів, появу і розвиток якої автор вважає основним своїм здобутком. Спочатку з'явилося поняття багатого підпростору простору як інструмент, за допомогою якого автор дисертації у 1984 р. розв'язав проблему С. Ролевича про існування нескінченновимірного -простору, який не має сепарабельного факторпростору. Ідея полягала в тому, що в однорідному просторі якщо факторпростір має меншу розмірність, ніж, то підпростір є багатим (неформально кажучи, має багато функцій-"знаків"). З іншого боку, при єдиний багатий підпростір - це весь. Після цього за допомогою поняття багатого підпростору автор одержав ще декілька результатів, які лягли в основу кандидатської дисертації. Далі в результаті аналізу цього поняття автор дисертації винайшов коротке і елементарне доведення теореми Калтона-Паляшке-Турпіна про відсутність ненульових компактних операторів, визначених на просторі при [7]. У цій роботі вперше з'явився термін "вузький оператор". Стало зрозумілим, що поняття вузького оператора (на неформальній мові - оператор, не обмежений знизу на знаках) загальніше, і до того ж більш природне, ніж поняття багатого підпростору. Таким чином, багатий підпростір простору - це такий підпростір, що факторвідображення з в є вузький оператор. В тому ж 1990 р. вийшла велика стаття у співавторстві з А. М. Плічком [6], в якій викладено основи теорії вузьких операторів. Тут вже вузькі оператори визначалися на симетричних -просторах з абсолютно неперервною нормою, а не тільки на просторах. Відомо декілька робіт до 1990 р., де епізодично розглядалися оператори, для яких автор запропонував назву "вузькі оператори". У статтях Ґосу і Розенталя у 1983-1984 рр. розглядалися оператори з, які в точності є не вузькими; такі оператори називалися нормо-знако-зберігаючими ("norm-sign-preserving"). Крім того, один з результатів Джонсона, Море, Шехтмана і Цафрірі фактично стосується вузьких операторів, хоча і був сформульований в інших термінах. Ми визначаємо клас операторів в симетричних -просторах, які ми називаємо вузькими та які, в певному сенсі, узагальнюють поняття компактного оператора, а у випадку простору - оператора Данфорда-Петіса, абсолютно підсумовуючого оператора, репрезентовного оператора.

Нехай - симетричний -простір з абсолютно неперервною нормою на просторі з безатомною мірою; - довільний -простір.

Означення 3.1.1. Оператор називатимемо вузьким, якщо для будь-яких та існує елемент такий, що і.

У розділі 3 після встановлення критерію вузькості оператора та зручної достатньої умови вузькості ми доводимо наступну теорему.

Теорема 3.1.4. Кожний компактний оператор є вузьким.

Хоча й обернене твердження не має місця, але, в певному розумінні, вузькі оператори не далеко відійшли від компактних.

Для симетричного банахового простору покладемо

Теорема 3.1.6. Нехай - симетричний банахів простір на з абсолютно неперервною нормою. Якщо - вузький оператор, то для довільного існує підпростір, ізометричний та доповняльний в, такий, що є компактний оператор, причому.

Питання про вузькість суми двох вузьких операторів не просте і має неоднозначну відповідь. Так, ми доводимо, що якщо симетричний простір має безумовний базис, то сума двох вузьких операторів на не зобов'язана бути вузькою (більш того, будь-який оператор з подається у вигляді суми двох вузьких операторів). Якщо взяти за найвідоміший простір без безумовного базису -- то вже тут сума двох вузьких операторів є вузький оператор. Вперше про цю властивість зазначено автором у [6, c. 69], але доведення було помилкове. Вірне доведення цієї теореми є в дисертації Р. Швидкого та спільній статті В. Кадеця і автора [13]. Ми не наводимо в дисертації доведення з [13] тому, що воно належить В. М. Кадецю, але показуємо пізніше, як цей факт випливає з узагальнення теореми Розенталя про розклад операторів у векторних ґратках. Зауважимо, що на сьогодні залишається нерозв'язаною проблема, чи для довільного банахового простору сума двох довільних вузьких операторів з є вузьким оператором? Далі ми наводимо зовсім невеличкий список позитивних результатів типу наступного.

Твердження 3.2.1. Нехай - вузький оператор та - компактний. Тоді сума є вузький оператор.

Один з підрозділів присвячений побудові різних прикладів. Так, ми будуємо приклад вузького, але не компактного оператора з простору в довільний нескінченновимірний банахів простір, а також в довільному симетричному банаховому просторі будуємо некомпактні вузькі оператори. Крім того, має місце наступний факт.

Теорема 3.3.3. Нехай - симетричний банахів простір на з абсолютно неперервною нормою. Якщо існує некомпактний оператор з в банахів простір, то існує вузький некомпактний оператор з в.

Нарешті ми доводимо, що добуток вузького оператора (зліва) на обмежений (справа) не обов'язково вузький, в той час як, очевидно, добуток обмеженого оператора (зліва) на вузький (справа) є вузьким оператором. Далі вивчаються питання взаємозв'язку між вузькістю оператора та його спряженого. Так, спряжений до вузького оператора не зобов'язаний бути вузьким. Наведено характеризацію операторів, які є спряженими до вузьких (такі оператори ми називаємо -вузькими). Принципова відмінність понять вузького та -вузького операторів полягає у наступному: -вузькість оператора є властивістю образу замкненої одиничної кулі. Проте властивість вузькості оператора неможливо сформулювати в термінах образу. Цей факт є наслідком такого результату.

Теорема 3.4.16. Нехай - симетричний банахів простір з абсолютно неперервною нормою на. Існує доповняльний підпростір простору, ізометричний, на який існують два проектора, один з яких вузький, а другий - ні.

Далі ми одержуємо результат про відсутність ненульових компактних операторів в певному класі просторів з найкоротшим доведенням.

Теорема 3.5.1. Нехай - симетричний -простір на з абсолютно неперервною нормою, яка має властивість:

Тоді для будь-якого -простору якщо - вузький оператор, то.

Якщо цю теорему порівняти з теоремою Калтона, то, з одного боку, клас просторів, для яких діє теорема, в Калтона ширший. Але, з другого боку, відсутність ненульових компактних операторів ще не гарантує відсутності ненульових вузьких операторів.

Перші достатні умови вузькості оператора були одержані ще до появи терміну <<вузький оператор>> зусиллями різних авторів. Далі ми одержуємо деякі наслідки відомих теорем, які також є зручними достатніми умовами при доведенні вузькості операторів. Серед інших результатів автора відзначимо такі.

Теорема 3.6.4. Кожний оператор з при та вузький.

Теорема 3.6.5. Нехай банахів простір має інфратип. Тоді для довільного кожний оператор з вузький.

Твердження 3.6.9. Нехай та. Тоді будь-який оператор вузький.

Після цього ми досліджуємо взаємозв'язок між трьома послабленнями поняття ізоморфного вкладення простору в довільний банахів простір : напіввкладення, -вкладення і знаковкладення, які, в свою чергу, мають певний зв'язок з вузькими операторами. Поняття знаковкладення та вузького оператора взаємно виключні, тобто вузький оператор не може бути знаковкладенням. Проте існує оператор з в, який не є вузьким і не є знаковкладенням. Як відомо, кожне напіввкладення є -вкладенням. На завершення розділу 3 ми будуємо приклади, які доводять хибність решти можливих імплікацій. Крім того, ми з'ясовуємо, що умова ін'єктивності, а також зрівноваженість знаків в означенні знаковкладень є істотними умовами.

У 2001 р. В. Кадець, Р. Швидкой і Д. Вернер ввели нове поняття вузького оператора, що діє між довільними банаховими просторами (вузькі оператори в розумінні нового означення ми називаємо (KSW)-вузькими). Цікаві результати відносно (KSW)-вузьких операторів одержуються лише для випадку операторів, заданих на банаховому просторі з властивістю Даугавета. Так, якщо має властивість Даугавета, то має властивість Даугавета відносно (KSW)-вузьких операторів; слабко компактні та -сингулярні оператори є (KSW)-вузькими; сума (KSW)-вузького та слабко компактного операторів є (KSW)-вузьким оператором, але сума двох (KSW)-вузьких операторів не зобов'язана бути (KSW)-вузьким оператором. Як у випадку із старим означенням вузького оператору, виникає природне поняття (KSW)-багатого підпростору банахового простору, якщо факторвідображення з на є (KSW)-вузький оператор. Цікаво, що (KSW)-багаті підпростори банахового простору з властивістю Даугавета також мають властивість Даугавета, як це було для багатих підпросторів. Щодо зв'язку зі старим означенням вузького оператора, зазначимо, що старе і нове поняття збігаються для просторів, а непростий випадок простору ми розглядаємо окремо. Легко перевіряється, що кожний вузький оператор є (KSW)-вузьким. Але, як було зазначено авторами нового поняття, невідомо, чи вірне обернене: чи кожний (KSW)-вузький оператор з в довільний банахів простір вузький. В. Кадець задав, у певному сенсі, проміжне запитання, яке, можливо, наблизить нас до розв'язання цієї проблеми. У підрозділі 3.8 ми даємо відповідь на це проміжне запитання а також робимо огляд узагальнень поняття вузького оператора, які були здійснені іншими математиками після 2001 р.

Розділ 4 присвячений застосуванням поняття вузького оператора до векторних мір. Класична теорема А. Ляпунова стверджує, зокрема, що образ довільної -значної міри є опуклою множиною, якщо. Обернене твердження також вірне. Якщо запитати, чи кожна -значна міра має опукле замикання множини значень, то відповідь буде не однозначною для класу нескінченновимірних просторів. Ми доводимо теорему, яка була одержана незалежно і практично одночасно автором дисертації та В. Кадецем, і надає характеризацію класу банахових просторів, для яких відповідь позитивна.

Теорема 4.1.1. Для банахового простору наступні умови еквівалентні:

(i) кожна -значна міра має опукле замикання множини значень;

(ii) кожний оператор є вузьким.

Крім того, розділ 4 містить наступне узагальнення теореми Ляпунова на несепарабельні простори з мірою. Нехай - простір з безатомною скінченною зліченно-аддитивною додатною мірою.

Теорема 4.2.1. Нехай - простір з безатомною скінченною зліченно-аддитивною додатною мірою і - банахів простір з. Тоді образ довільної -значної міри, заданої на, абсолютно неперервної відносно, опуклий.

Відправним пунктом досліджень у розділі 5 є теорема І. Даугавета, яка стверджує, що для кожного компактного оператора в просторі виконується наступна рівність

Ця теорема узагальнювалася у різних напрямках за останні роки багатьма авторами. Так, Г. Лозановський довів аналогічний результат для операторів в. Кажуть, що банахів простір має властивість Даугавета (DP), якщо (DE) виконується для кожного компактного (еквівалентно, -вимірного чи слабко компактного) оператора в просторі. Спочатку ми розв'язуємо питання, наскільки можна у (DE) для випадку простору одиничний оператор замінити на ізоморфне вкладення. Основний результат можна розглядати як узагальнення самої властивості Даугавета.

Теорема 5.1.5. Нехай - ізоморфне вкладення і - вузький оператор. Тоді

Далі ми узагальнюємо одну теорему Й. Беньяміні і П. Ліна, встановлюючи наступну властивість просторів.

Теорема 5.2.2. Нехай та - простір з безатомною мірою. Для кожного існує таке, що для довільного вузького оператора має місце нерівність

Крім того, встановлено достатні умови на симетричний простір на з абсолютно неперервною нормою для того, щоб існувала константа така, що для довільного вузького проектору у просторі мала місце оцінка

Використовуючи ці достатні умови, Б. Рандріанантоаніна у спільній роботі з автором дисертації [12] надала часткову відповідь на питання Є. Семенова.

Заключний підрозділ розділу 5 присвячений доведенню (DP) для довільного багатого підпростору простору по відношенню до ширшого класу операторів, ніж компактні оператори - класу вузьких операторів. Для цього ми надаємо коректне уточнення поняття вузького оператору, визначеному на багатому підпросторі простору. Нехай - багатий підпростір. Оператор називатимемо вузьким, якщо для довільної вимірної підмножини та будь-якого існують елемент такий, що та вектор такий, що та. Наступна теорема дає клас прикладів вузьких операторів на багатих підпросторах.

Теорема 5.4.2. Нехай - багатий підпростір. Кожний оператор, який не є ізоморфізмом на жодному підпросторі, ізоморфному, є вузьким.

Зазначимо також, що є цікаві нетривіальні приклади багатих підпросторів простору, які можуть бути ізоморфними до таких просторів: при довільному. Як наслідок з основного результату цього підрозділу, одержується такий факт.

Теорема 5.4.7. Нехай - банахів простір, який ізоморфно вкладається в. Тоді на просторі існує еквівалентна норма, в якій має властивість Даугавета по відношенню до -сингулярних операторів.

Розділ 6 присвячений базисам, в основному, простору. Так, один з основних результатів стверджує, що система Гаара в просторі є сильно умовним базисом, - відповідь на запитання Я. М. Цейтліна (Базис банахового простору називається сильно умовним, якщо для довільної послідовності чисел-знаків, існує елемент, який подається у вигляді, де, та для якого цей ряд збігається умовно).

У роботі [5] В. М. Кадецем, А. М. Плічком та автором дисертації було введено (і зроблено перший крок у дослідженні) поняття фінітного базису. Повну систему елементів банахового простору назвемо фінітним базисом в, якщо існує константа така, що

довільну скінченну підсистему можна впорядкувати таким чином, що базисна константа цієї системи стає обмеженою числом.

Фінітні базиси виявилися узагальненням понять трансфінітного базису, а також базису Енфло-Розенталя. Однак, кожний необмежений базис Маркушевича не є фінітним базисом. Нами встановлено, що, більш того, не кожний обмежений базис Маркушевича є фінітним базисом; контрприкладом є система Уолша в.

Автором дисертації в роботі [22] було введено поняття опуклої базисної послідовності. Розглянемо спочатку таку властивість нормованої базисної послідовності в банаховому просторі.

Нормовану базисну послідовність ми називатимемо опуклою, якщо. Наприклад, стандартний базис простору опуклий, причому, проте стандартний базис простору та система Гаара в - не опуклі, причому для всіх. Властивість опуклості, очевидно, стійка відносно переходу до еквівалентних базисних послідовностей. Використовуючи деякі відомі результати, ми наводимо наступну характеризацію суперрефлексивності банахового простору в термінах опуклих базисних послідовностей.

Теорема 6.3.4. Банахів простір є суперрефлексивним тоді і тільки тоді, коли кожна базисна послідовність в є опуклою.

Наведемо основний результат підрозділу 6.3.

Теорема 6.3.7. Нехай - нормована опукла базисна послідовність в, яка породжує доповняльний підпростір. Тоді не містить одностайно інтегровних нескінченних підпослідовностей (іншими словами, з кожної підпослідовності послідовності можна виділити підпослідовність, еквівалентну стандартному базису простору).

Зазначимо, що в цій теоремі опуклість послідовності істотна.

В літературі використовують так звану лему Розенталя про розщеплення підпослідовності, посилаючись при цьому на роботу Розенталя, яка, як нам сповістив сам Х. Розенталь, ніколи не була опублікована. Сама лема формулюється так. Довільна обмежена послідовність в містить підпослідовність, яка подається у вигляді суми для кожного, де мають диз'юнктні носії, а послідовність є одностайно інтегровною (або, еквівалентно, слабко збіжною). Проте, з відомих автору дисертації джерел не можна дістати прозорого і безпосереднього доведення леми Розенталя про розщеплення. Ми наводимо доведення цієї леми Розенталя.

Розділ 7 присвячений узагальненням наступної класичної теореми Пітта: якщо, то кожний лінійний неперервний оператор компактний. Спочатку ми розв'язуємо питання, чи залишається теорема Пітта вірною для випадку насичених та банахових просторів замість самих просторів та. Ми показуємо, що взагалі кажучи, відповідь негативна. Точніше, для довільного існує насичений банахів простір такий, що для довільного існує некомпактний оператор. компактність оператор банаховий простір

Одне з завдань розділу було знайти загальний підхід до питання, для якої пари банахових просторів та кожний оператор є компактним. Основа такого підходу проходить через поняття асимптотичної структури банахового простору, яке було введено у 1993 р. Б. Море, В. Мільманом і Н. Томчак-Єґерман, і яке вивчалося деякими авторами в останні роки. Ми доводимо, що теорема Пітта узагальнюється на асимптотичні- банахові простори.

Наслідок 7.3.14. Нехай та - відповідно асимптотичний- та асимптотичний- банахові простори, де. Тоді кожний лінійний неперервний оператор з в є компактним.

У розділі 8 ми узагальнюємо дві теореми Розенталя про оператори в просторі. Спочатку ми наводимо два різні доведення першої з цих теорем, в якій йдеться про те, що для довільного банахового простору довільний лінійний неперервний оператор "майже" досягає норми на цілому додатному конусі деякого підпростору. Перше доведення базується на теоремі автора дисертації, яка може мати самостійний інтерес. Далі ми доводимо, що при не тільки теорема Розенталя не має місця, але в цьому випадку виконується дещо цілком протилежне до висновку теореми Розенталя. Друге доведення дозволяє отримати більше, ніж теорема Розенталя. А саме, ми надаємо опис множини, на якій даний оператор досягає норми.

Х. Розенталь у своїй статті 1984 р. формулює і використовує при доведенні основного результату наступну теорему, яку він називає переформулюванням теореми Калтона про зображення. В цій же роботі Розенталь зазначив, що його теорему можна формально одержати як наслідок самої теореми Калтона, нічого не зауважуючи, правда, про зворотній зв'язок між цими результатами. Але він пообіцяв колись в майбутньому опублікувати її безпосереднє доведення, не використовуючи теорему Калтона. Наскільки нам відомо, обіцяного доведення теореми Розенталь не публікував. Ми доводимо розенталівську версію теореми Калтона про зображення в загальному випадку векторних ґраток.

Нехай - підмножина порядково повної векторної ґратки. Позначимо через множину всіх сум абсолютно порядково збіжних рядів з елементів і через - найменшу компоненту в, яка містить.

Теорема 8.2.6. Нехай - тілесна підмножина порядково повної векторної ґратки.

Зокрема, - розклад на проекційні компоненти.

Доведення цілком просте, хоча отримання подальших аналогів цієї теореми для випадку простору регулярних операторів на векторних ґратках, а також згаданої теореми Розенталя для операторів в потребує деяких додаткових зусиль. Усвідомлення того факту, що множина всіх чисто неперервних операторів (вона ж - множина всіх вузьких операторів) є компонентою (це не випливає ні з теореми Калтона, ні з її версії Розенталя), яке стає тривіальним завдяки новому підходу, дає нове доведення того, що сума вузьких операторів в є вузький оператор.

Розділ 9 присвячений продовженню списку відомих незвичайних властивостей не локально опуклих просторів функцій. Розглянемо класичні означення похідної і інтегралу Рімана для векторнозначних функцій, де - деякий -простір. Перший несподіваний відомий факт для векторнозначних функцій: у просторі при існує відмінна від константи функція на з нульовою похідною (у цьому легко переконатися безпосередньо). Інтегральні властивості векторних функцій так само не завжди звичайні: -простір є локально опуклим тоді і тільки тоді, коли кожна неперервна функція інтегровна. Крім того, існує неперервна інтегровна функція при, для якої інтеграл зі змінною верхньою межею не є диференційовною функцією. Ми наводимо дві незвичайні властивості функцій у не локально опуклих просторах, які є запереченням добре відомих фактів про числові функції. Так, перший результат не тільки заперечує теорему про почленне диференціювання, але для довільної пари неперервних функції дає приклад послідовності диференційовних функцій, яка рівномірно прямує до, а послідовність похідних рівномірно прямує до. В іншій теоремі побудовано диференційовну -значну функцію на відрізку, похідна від якої має розрив першого роду.

Виявляється, що якщо є -банаховим простором (), то простір всіх ліпшицевих функцій з умовою відносно -норми є ізометричним просторові. При ця теорема була відома раніше. Ми доводимо цей загальний факт. Далі ми вводимо поняття зворотної функції і доводимо, що якщо є -банахів простір з, то кожна зворотна -значна ліпшицева функція стала, а для банахового простору кожна ліпшицева -значна функція зворотна тоді і тільки тоді, коли кожний оператор вузький. Далі ми розглядаємо поняття знаковкладення, але замість простору, на якому визначалися оператори, розглядаємо простір з. При цьому означення Розенталя залишаємо без змін. На відміну від випадку, де знаковкладення є нетривіальним послабленням поняття ізоморфного вкладення, ми доводимо, що при кожний ненульовий оператор з є "десь" знаковкладенням.

ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота присвячена дослідженню геометричних властивостей симетричних -просторів функцій на безатомних просторах з мірами та лінійних неперервних операторів, визначених на цих просторах. Основним своїм здобутком автор вважає ідею введення і дослідження поняття вузького оператора, як інструмента для розв'язання цілого ряду, на перший погляд, не пов'язаних між собою задач. Термін "вузький оператор" сьогодні є загально прийнятим серед спеціалістів. Сучасні підручники Абрамовича і Аліпрантіса (видавництва Американського Математичного Товариства 2001 і 2002 рр.) для студентів з теорії операторів містять параграфи, присвячені вузьким операторам. В останні роки з'являються узагальнення поняття вузького оператора.

За результатами дисертації можна зробити такі висновки.

1. Поняття компактного оператора на симетричних -просторах функцій узагальнюється до поняття вузького оператора зі збереженням деяких основних властивостей, зокрема, властивості відсутності ненульових операторів в просторах при а також властивості Даугавета в просторі.

2. У випадку простору підпростір вузьких операторів має кращі ідеальні властивості, ніж підпростір компактних операторів, а саме, підпростір вузьких операторів є проекційною компонентою в просторі всіх лінійних неперервних операторів на.

3. Властивість Даугавета в просторі узагальнюється не тільки на вузькі оператори, але й на ізоморфні вкладення замість тотожного оператора.

4. У випадку простору компонента вузьких операторів містить множини репрезентовних операторів, слабко компактних операторів, абсолютно підсумовуючих операторів, операторів Данфорда-Петіса, а також операторів, які не є операторами Енфло.

5. Нерівність Беньяміні-Ліна для компактних операторів в просторах при узагальнюється на вузькі оператори.

6. Для довільного банахового простору опуклість замикання образу кожної -значної міри з скінченною варіацією, абсолютно неперервної відносно міри Лебеґа, рівносильна вузькості всіх операторів з в.

7. Простір містить насичений простором підпростір без властивості Шура (після прикладів Бургейна, Азімі і Хеґлера спеціальних банахових просторів з такими властивостями конструкція в межах класичного простору виявилася дещо несподіваною).

8. Для функцій, які відображають одиничний відрізок у не локально опуклий -простір, наступні класичні теореми не мають місця: а) теорема про почленне диференціювання; б) похідна диференційовної функції не має розривів першого роду.

9. Система Гаара є сильно умовним базисом в просторі (відповідь на питання Я. Цейтліна).

10. Класична теорема Пітта про компактність операторів з в при: а) не узагальнюється на простори, насичені і б) узагальнюється на асимптотичні банахові простори.

ПУБЛІКАЦІЇ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Кадец В. М., Попов М. М. О базисах Шаудера, условных в каждом гипероктанте // Сиб. мат. ж. - 1987. - 28, N1. - С. 115-118.

2. Пличко А. Н., Попов М. М. Базисы в несепарабельных симметричных пространствах и пространствах почти периодических функций // Изв. вузов. Мат. - 1987. - 4. - С. 50-59.

3. Попов М. М. О нормах проекторов в с "малыми" ядрами // Функц. анализ и его прилож. - 1987. - 21, N2. - С. 86-87.

4. Попов М. М. Изоморфная классификация пространств при // Теор. функций, функц. анал. и их прилож. - 1987. - 47. - С. 77-85.

5. Кадец В. М., Пличко А. Н., Попов М. М. Об одном типе полных минимальных систем в банаховых пространствах // Изв. вузов. Мат. - 1988. - 5. - С. 33-40.

6. Plichko A. M., Popov M. M. Symmetric function spaces on atomless probability spaces // Diss. Math. (Rozpr. mat.) - 1990. - 306. - P. 1-85.

7. Попов М. М. Элементарное доказательство отсутствия ненулевых компактных операторов, определенных на пространстве // Мат with applications to sign-embeddings // Укр. мат. ж. - 1992. - 44, N9. - С. 1192-1200.

9. Popov M. M. On integrability in -spaces // Stud. math. - 1994. - 110, N3. - P. 205-220. . заметки. - 1990. - 47, N5. - С. 154-155.

8. Kadets V. M., Popov M. M. On the Liapunov convexity theorem

10. Кадец В. М., Попов М. М. Свойство Даугавета для узких операторов в богатых подпространствах пространств и // Алгебра и анализ. - 1996. - 8, N4. - С. 43-62.

11. Попов М. М. Про кривi зi значеннями в-просторах // Наук. Вiсник Чернiвецького ун-ту. - 2000. - 76. - С. 92-95.

12. Popov M. M., Randrianantoanina B. A pseudo-Daugavet property for narrow projections in Lorenz spaces // Ill. J. Math. - 2002. - 46, N4. - P. 1313-1338.

13. Kadets V. M., Popov M. M. Some stability theorems on narrow operators acting in and // Математическая Физика, Анализ, Геометрия. - 2003. - 10, N1. - С. 49-60.

14. Попов М. М. Вiдтворюванiсть послiдовностей в банахових просторах // Наук. Вiсник Чернiвецького ун-ту. - 2003. - 160. - С. 104-108.

15. Popov M. M. Daugavet type inequalities for narrow operators in the space // Мат. Студії. - 2003. - 20, N1. - С. 75-84.

16. Попов М. М. Знако-вкладення просторів при // Наук. Вiсник Чернiвецького ун-ту. - 2004. - 228. - С. 108-109.

17. Маслюченко О. В., Михайлюк В. В., Попов М. М. Асимптотична норма і компактні оператори // Наук. Вiсник Чернiвецького ун-ту. - 2005. - 269. - С. 73-75.

18. Martнnez-Abejуn A, Odell E, Popov M. M. Some open problems on the classical function space // Мат. Студії. - 2005. - 24, N2. - С. 173-191.

19. Popov M. M. Weak embeddings of , In: "Some Open Problems on Functional Analysis and Function Theory", eds. V. K. Maslyuchenko and A. M. Plichko // Extracta Math. - 2005. - 20, N1. - P. 66-67.

20. Popov M. M. A hereditarily subspace of without the Schur property // Proc. Amer. Math. Soc. - 2005. - 133, N7. - P. 2023-2028.

21. Popov M. M. More examples of hereditarily Banach spaces // Укр. мат. вісник. - 2005. - 2, N1. - P. 61-77.

22. Popov M. M. A property of convex basic sequences in // Methods of Funct. Anal. and Top. - 2005. - 11, N4. - P. 409-416.

23. Маслюченко О. В., Михайлюк В. В., Попов М. М. Теореми про розклад операторів в та їх узагальнення на векторні ґратки // Укр. мат. ж. - 2006. - 58, N1. - С. 26-35.

24. Попов М. М. Об операторах из класса // XIII Всесоюз. шк. по теории операторов в функц. пространствах. - Куйбышев, 1988. - С. 155.

25. Попов М. М. Почти изометрические свойства пространств при // XIV Всесоюз. шк. по теории операторов в функц. пространствах. - Новгород, 1989. - С. 82.

26. Попов М. М. О множестве значений векторных мер // XV Всесоюз. шк. по теории операторов в функц. пространствах. Ч.II - Ульяновск, 1990. - С. 50.

27. Попов М. М. Про вiдносну проекцiйну сталу в просторi пiдпростору, який породжено незалежними однаково розподiленими-стiйкими випадковими величинами, // Мiжнар. конф., пам'ятi Ганса Гана. - Чернiвцi: Рута, 1994. - С. 122.

28. Maslyuchenko O. V., Mykhyaylyuk V. V., Popov M. M. Asymptotic numbers of Banach spaces which embed into finite dimensional decompositions // Int. Conf. dedicated to 125-th ann. of H. Hahn, June 27 - July 3, 2004. - Chernivtsi, 2004. P. 140-141.

29. Popov M. M. Some geometric properties of operators acting in // Book of Abstracts Int. Conf. Funct. Ana. Appl., May 28-31, Lviv, 2002. - 2002. - P. 161.

30. Popov M. M. Some geometrical properties of operators acting from // Abstracts of papers presented to the Amer. Math. Soc., Baltimore. - 2003. - 24 (131), N1. - P. 102.

31. Popov M. M. New examples of hereditarily Banach spaces // Book of Abstracts Int. Conf. Geometric Topology, May 26-30, 2004. - Lviv, 2004. P. 52-53.

32. Popov M. M. The classical function space (a survey) // Int. Conf. dedicated to 125-th ann. of H. Hahn, June 27 - July 3, 2004. - Chernivtsi, 2004. P. 151.

33. Попов М. Лема про розщеплення підпослідовностей в // Мат. вісник НТШ. - 2005. - 2. - С. 147-150.

АНОТАЦІЇ

Попов М. М. Вузькі оператори та геометрія просторів вимірних функцій. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01. - математичний аналіз. Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Дисертація присвячена дослідженню геометричних властивостей симетричних -просторів функцій на безатомних просторах з мірами та лінійних неперервних операторів, визначених на цих просторах. Викладена теорія вузьких операторів і подано її застосування до задач про узагальнення властивості Даугавета, про образи векторних мір та про ізоморфну класифікацію підпросторів просторів. Узагальнено теорему Пітта про компактність операторів; досліджено властивості базисів і базисних послідовностей в. Показано, що теорема про почленне диференціювання і теорема Дарбу про похідну не переноситься на -значні відображення при.

Ключові слова: симетричний -простір функцій, вузький оператор, властивість Даугавета, базис в банаховому просторі.

Popov M. M. Narrow operators and geometry of spaces of measurable functions. - Manuscript.

A thesis for Doctor's degree of Physical and Mathematical Sciences in the speciality 01.01.01. - Mathematical Analysis. Institute of Mathematics of the Ukrainian National Academy of Sciences, Kyiv, 2006.

The thesis is devoted to a study of geometric properties of r.i. function -spaces on non-atomic measure spaces and of continuous linear operators, defined on these spaces. We expound a theory of narrow operators and present its applications to problems on generalization of the Daugavet property, on ranges of vector measures, and on isomorphic classification of subspaces of the spaces. We generalize the Pitt theorem on compactness of operators; investigate some properties of bases and basic sequences in. It is shown that the theorem on differentiation term by term and the Darboux's differentiation theorem do not extend to the setting of -valued functions if.

Key words: symmetric function -space, narrow operator, the Daugavet property, basis in a Banach space.

Попов М. М. Узкие операторы и геометрия пространств измеримых функций. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.01. - математический анализ. Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

Диссертация посвящена исследованию геометрических свойств симметрических -пространств функций на безатомных пространствах с мерами и линейных непрерывных операторов, определенных на этих пространствах. В работе введено и систематически изучено понятие узкого оператора, которое обобщает понятие компактного оператора. Неформально говоря, узкий оператор - это линейный непрерывный оператор, не ограниченный снизу на <<знаках>>, сосредоточенных на любом множестве. В случае, когда оператор задан на пространстве, класс узких операторов содержит такие известные классы операторов, как представимые операторы, операторы Данфорда-Петтиса, абсолютно суммирующие операторы и др. Множество всех узких операторов в образует проекционную компоненту в пространстве всех лилейных непрерывных операторов в. С другой стороны, если симметрическое банахово пространство на имеет безусловный базис, то сумма двух узких операторов на не обязана быть узким оператором (более того, в этом случае любой оператор в равен сумме двух узких операторов). Доказано, что при не существует ненулевых узких операторов из пространства в произвольное -пространство.

Разработана специальная техника, позволяющая с помощью узких операторов изучать некоторые изоморфные и метрические свойства подпространств симметрических пространств функций. Так, свойство Даугавета, которым обладает, в частности, пространство, имеет место не только для слабо компактных операторов, но и для узких. Кроме того, каждое подпространство пространства, для которого фактор-отображение есть узкий оператор, также обладает свойством Даугавета относительно узких операторов. Получено также неравенство, которое обобщает свойство Даугавета для узких операторов на случай изоморфных вложений, рассматриваемых вместо тождественного оператора. Для банахова пространства замыкание множества значений каждой -значной меры с конечной вариацией, абсолютно непрерывной относительно меры Лебега, выпукло тогда и только тогда, когда каждый оператор узкий. Неравенство Беньямини-Лина для компактных операторов в пространствах при обобщено на класс узких операторов.

Среди прочих результатов диссертации, отметим следующие. Показано, что теорема Питта про компактность операторов из в при обобщается на асимптотические банаховы пространства, однако не обобщается на пространства, насыщенные пространствами. Установлено также, что теорема о почленном дифференцировании и теорема Дарбу о производной не переносятся на функции со значениями в пространстве при.

В работе много внимания уделяется пространству, геометрия которого богата и причудлива. Например, построено насыщенное пространством подпространство пространства без свойства Шура. Изучены также свойства базисов и базисных последовательностей в пространстве. Так, система Хаара является усиленно условным базисом в (ответ на вопрос Я. М. Цейтлина). Мы вводим понятие выпуклости базисной последовательности в банаховом пространстве таким образом, что банахово пространство становится суперрефлексивным тогда и только тогда, когда каждая базисная последовательность в выпукла. Установлено, что нормированная выпуклая базисная последовательность в, натягивающая дополняемое подпространство, не содержит равномерно интегрируемых подпоследовательностей. Наконец, сделан обзор результатов и нерешенных проблем о геометрических свойствах пространства.