Розділяючі функції та їх застосування в алгебрі і функціональному аналізі

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

РОЗДІЛЯЮЧІ ФУНКЦІЇ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ В АЛГЕБРІ І ФУНКЦІОНАЛЬНОМУ АНАЛІЗІ

Редчук Ігор Костянтинович

01.01.06 - алгебра і теорія чисел

Київ - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук, професор

РОЙТЕР Андрій Володимирович,

Інститут математики НАН України,

завідувач відділу алгебри

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук

ОСТРОВСЬКИЙ Василь Львович,

Інститут математики НАН України,

провідний науковий співробітник

відділу функціонального аналізу;

кандидат фізико-математичних наук

КРУГЛЯК Станіслав Аркадійович,

Інститут підготовки кадрів

зовнішньої розвідки України

доцент спец. кафедри № 5.

Провідна установа:

Ужгородський національний університет

МОН України, м. Ужгород.

Захист відбудеться 6 червня 2006 р. о 15 год. на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.01 Інституту математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ-4, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розісланий 4 травня 2006р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради РОМАНЮК А.С.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Дисертаційна робота присвячена введенню, вивченню і застосуванням певного класу числових функцій в деяких питаннях теорії зображень, теорії графів, теорії кілець.

Фактично кожен розділ математичної науки має свої спеціальні функції, які доцільно використовувати з декількох причин. Це, наприклад, зручне обчислення певних характеристик досліджуваних об'єктів, більш коротке і зрозуміле формулювання або доведення тверджень в термінах таких функцій у порівняннні з прямим формулюванням, змістовне пояснення тих чи інших вже отриманих результатів та прогнозування нових тощо. Тому, якщо такі функції природним чином виникають при дослідженні окремих математичних об'єктів, здається актуальним пояснення причини виникнення саме таких функцій, дослідження їх властивостей, узагальнення їх на більш широкий клас досліджуваних об'єктів для отримання нових результатів, подібних до вже відомих.

В теорії матричних задач, яка є частиною теорії зображень, що добре розвинена та інтенсивно розвивається зараз, такою функцією стала функція , яку нещодавно (2002 р.) запропонували Л.О. Назарова і А.В. Ройтер для характеризації графів і розширених графів Динкіна, вивчення зображень маркованих колчанів, і зокрема, формулювання і більш короткого доведення критеріїв скінченної зображуваності й ручності частково впорядкованих, диадичних і триадичних множин. При цьому в деяких випадках формулювання в термінах виявились не тільки зручними, а й фактично єдино можливими, на відміну від схем і розширених схем Динкіна.

Як виявив А.В. Ройтер дещо пізніше, функції t (названі ним розділяючими), що є прямим і найбільш природним узагальненням функції , безпосередньо виникають при описі *-зображень алгебр, асоційованих із окремим класом графів зірчастого типу (ці алгебри вивчали в 2002 р. С.А. Кругляк, В.І. Рабанович і Ю.С. Самойленко).

Для алгебр, заданих твірними і лінійно пов'язаними співвідношеннями, які останнім часом досліджували М.О. Власенко, А.С. Мелліт і Ю.С. Самойленко, використання функції дозволяє сформулювати деякі результати в значно простішій формі, ніж це може бути зроблено безпосередньо.

Нещодавно В.Л. Островським було отримано характеризацію графів і розширених графів Динкіна, яку він застосовував для дослідження зображень *-алгебр, пов'язаних з графами зірчастого типу. Ця харктеризація задається рівнянням, в якому неявно присутні функції t.

Такі передумови дають усі підстави для вивчення розділяючих функцій як самостійного об'єкта дослідження, знаходження нових зв'язків цих функцій з іншими розділами математики та узагальнення їх для більш широкого застосування.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана у відділі алгебри Інституту математики НАН України в межах теми № 0101U000527 "Теорія матричних задач як зображень маркованих колчанів і узагальнення розв'язних груп" та пов'язана з дослідженнями відділу функціонального аналізу Інституту математики НАН України за темою ДФФД 0107/71 "Алгебраїчні питання функціонального аналізу та їх застосування".

Мета і завдання дослідження. Метою дослідження є введення і вивчення класу числових функцій та дослідження застосувань цих функцій в задачах теорії зображень графів, теорії асоціативних алгебр та теорії графів.

Задачами дослідження є:

1) Ввести клас числових функцій - розділяючих функцій t як узагальнення функції .

2) Дослідити властивості цих функцій.

3) Пояснити зв'язок функцій t з кореневими системами графів.

4) Ввести і дослідити стандартні локально-скалярні зображення графів, що не є графами скінченного типу.

5) Пояснити і довести безпосередній зв'язок таких зображень з функціями t.

6) Дослідити скінченновимірність і ріст певного класу алгебр, заданих твірними і визначальними співвідношеннями.

Об'єктом дослідження є локально-скалярні зображення графів в категорії гільбертових просторів та скінченно задані асоціативні алгебри. Предмет дослідження - розділяючі функції як засіб вивчення таких зображень і алгебр.

Методи дослідження. Основні методи, що застосовуються при дослідженнях - методи теорії зображень колчанів, загальні методи лінійної алгебри й функціонального аналізу, техніка обчислення базисів Грьобнера як засіб вивчення алгебр, заданих твірними і співвідношеннями.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, такі:

1. Узагальнено числову функцію , яка має різноманітні застосування в теорії матричних задач, - введено клас функцій t, що мають аналогічні властивості і застосування для більш широкого класу об'єктів.

2. Отримано змістовне пояснення зв'язку функції з перетвореннями Кокстера і кореневими системами розширених графів Динкіна.

3. Підтверджено аналогічний зв'язок функцій t з перетвореннями Кокстера на довільному графі.

4. За допомогою згадуваного зв'язку досліджено стандартні сингулярні локально-скалярні зображення графів, для характерів яких в термінах функцій t отримано явні формули.

5. В термінах функцій t отримано явні формули для визначення індексу і головного власного вектору зірчастого графа.

6. Досліджено скінченновимірність і ріст алгебр, заданих твірними і полілінійно пов'язаними співвідношеннями, і показано, що результати досліджень можуть бути сформульовані в термінах функції .

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати дисертації можуть бути використані при дослідженні локально-скалярних зображень графів нескінченного типу та зображень *-алгебр, асоційованих з такими графами, в теорії асоціативних алгебр, в спектральній теорії графів.

Особистий внесок здобувача. Загальна схема і методи досліджень окреслені науковим керівником А.В. Ройтером. Доведення всіх результатів, винесених на захист дисертації, проведено дисертантом самостійно. Внесок здобувача і наукового керівника в результати підрозділів 2.1, 3.1 і 3.2 рівноцінний; результати підрозділів 2.2 і 3.3 отримано здобувачем самостійно; постановка задачі, розв'язуваної в розділі 4, належить науковому керівникові, а розв'язання - здобувачеві.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на засіданнях семінарів відділу алгебри та семінару "Алгебраїчні питання функціонального аналізу" Інституту математики НАН України, на міжнародній конференції "Algebras, Modules and Rings" (Лісабон, Потругалія, 2003 р.) та Міжнародній алгебраїчній конференції (Одеса, 2005 р.)

Публікації. Основні результати дисертаційної роботи опубліковано в трьох роботах [,,], надрукованих у фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і обсяг роботи. Робота складається зі вступу і чотирьох розділів, що займають 108 сторінок тексту. Бібліографія містить 43 найменування.

числовий функція граф алгебра

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У першому розділі проводиться огляд літератури, пов'язаної з тематикою досліджень, що проводились здобувачем.

У другому розділі вводиться клас розділяючих функцій t, що є природним узагальненням функції . Отримано властивості, аналогічні властивостям функції , і встановлено змістовний зв'язок цих функцій зі спектрами графів, аналогічний зв'язку функції з розширеними графами Динкіна. В підрозділі 2.1 проводиться узагальнення числової функції

в термінах якої можуть бути охарактеризовані графи і розширені графи Динкіна, сформульовано критерії скінченної зображуваності та ручності частково впорядкованих множин. Зокрема, останні формулюються у вигляді

Введемо позначення: [V\tilde] - множина цілочислених векторів, w(v) - кількість ненульових компонент вектора v.

Нехай x О [V\tilde], x₁ - максимальна координата вектора x. Поставимо вектору x у відповідність вектор [^x] О [V\tilde], де [^x]₁ = x₁+ 1 і [^x]_i = x_i при i № 1. Будемо позначати бs с^r = s,ј,s_r.

Нехай X М [V\tilde], |X| < Ґ, позначимо [^X] = {[^x] | x О X} И{б1 с^w(X)+1}, де w(X) = max_{x О X}w(x). Покладемо



і нехай N(j,k) складається з мінімальних розв'язків нерівності j(v) > k. Зростаючу опуклу нормовану функцію j назвемо t-розділяючою (t О N), якщо N(j,t) = [^K](j,t).

Доведено теорему.

Теорема 2.2. Функція r не є t-розділяючою при t > 4.

Побудовано t-розділяючі функції для довільного t > 4, t О N:

Теорема 2.3. Функція r_t є t-розділяюча, K(r_t,t) = K^бtс (K = K(r,4)).

K(r_t,t) = {(б1 с^t); (б2 с^t-1); (б3 с^t-2,1); (б5 с^t-3,2,1)}.

В підрозділі 2.2 проводиться подальше узагальнення розділяючих функцій: функція r_t розглядається при довільному t О R, t > 1.

Теорема 2.4. Рівняння

відносно t не має розв'язків при t О Q\Z.

Таке узагальнення дозволяє пов'язати функції r_t зі спектром деякого графа G. Індексом ind(G) графа G називають найбільше власне число його матриці суміжності, а відповідний власний вектор - головним власним вектором графа G.

Теорема 2.6. Нехай G_v = B₀U B₁U јU B_s - розбиття зірчастого графа на гілки, так що B₀ складається з вузлової вершини, |B_i|=n_i, i=[`1,s]. Тоді r_t(n₁,n₂,ј,n_s)=t, де t=(ind(G))².

Справедливе також і обернене твердження.

Теорема 2.7. Для довільного зірчастого графа G з кількістю вершин n₁,n₂,ј,n_s на гілках виконується рівність ind(G)=Ц{t_max}, де t_max - максимальне число, що задовольняє умову r_t(n₁,n₂,ј,n_s)=t.

В розділі також отримано явні формули для компонент головного власного вектора графа G в термінах функцій r_t:

де y₀ відповідає компоненті вузлової вершини, а y_i^k нумеруються на кожній k-й гілці від y₁^k до y_nk^k в напрямку вузлової вершини (компоненти визначені з точністю до ненульового множника).

У третьому розділі розглядається застосування розділяючих функцій r_t до вивчення скінченновимірних локально-скалярних зображень графів, що містять розширений граф Динкіна (тобто графів з індексом і 2) спеціального типу - сингулярних зображень. При цьому з них виділяються стандартні зображення, характери яких отримано в явному вигляді в термінах розділяючих функцій.

В підрозділі 3.1 наводяться основні поняття і твердження теорії локально-скалярних графів в категорії гільбертових просторів. Вектор x О V_G⁺ регулярний, якщо c^t(x) О V_G⁺ при будь-якому t О Z і сингулярний - в протилежному випадку. Локально-скалярне зображення p графа G сингулярне, якщо p нерозкладне, скінченновимірне і вектор розмірності d(p) - сингулярний вектор; регулярне, якщо p нерозкладне, скінченновимірне і не сингулярне.

Вектор y_· назвемо непарним стандартним вектором, якщо він в непарних вершинах графа G має координати, які дорівнюють координатам головного власного вектора графа G, а в парних вершинах - нульові. Аналогічним чином визначається парний стандартний вектор y_°. Локально-скалярне зображення назвемо стандартним, якщо його характер є вектор, що отримується з парного або непарного стандартного вектора послідовним застосуванням парних і непарних перетворень Кокстера.

Будуються функтори (Кокстера) F^° і F^·, які здійснюють еквівалентність відповідних категорій локально-скалярних зображень.

В підрозділі 3.2 розглядаються сингулярні зображення розширених графів Динкіна. Для характерів стандартних зображень цих графів отримано явні формули в термінах функції r. Доведено теореми.

Теорема 3.3. Кожний сингулярний об'єкт категорії локально-скалярних зображень Rep (G,Uў) графа G одержується послідовним застосуванням функторів F^° і F^· з найпростішого об'єкта (P_g,[`f]) (m і 0 при g О G^° і m Ј 0 при g О G^·). При цьому кожне точне сингулярне зображення G відповідає (з точністю до еквівалентності) одному сингулярному об'єкту Rep (G,Uў).

Найпростіший об'єкт в категорії локально-скалярних зображень графа G - це пара (P_g,[`f]) така, що вектор розмірності d зображення P<sub>g</sub> є простий корінь графа G, d(g)=1, [`f](g) = 0 і [`f](a) > 0, якщо вершина a з'єднана з g ребром.

Теорема 3.4. Якщо G - розширений граф Динкіна, d - сингулярний корінь в G, то існує єдине стандартне зображення p розмірності d.

В підрозділі 3.3 узагальнено попередні результати на будь-який дводольний граф: було отримано формули в термінах функцій r_t, які показують, як змінюються стандартні вектори під дією перетворень Кокстера. За допомогою цих формул доведена теорема.

Теорема 3.5. Нехай G - дводольний граф з ind(G) і 2, d - сингулярний дійсний корінь в G. Тоді існує одне і тільки одне стандартне зображення p розмірності d.

У четвертому розділі досліджується певний клас алгебр, заданих скінченним числом полілінійно пов'язаних співвідношень. Для кожної такої алгебри за певного обмеження на кількість співвідношень визначається її ріст і розмірність у випадку скінченновимірності. Результати формулюються в термінах функції r.

В підрозділі 4.1 наводиться постановка задачі про дослідження скінченновимірності і росту асоціативних алгебр T_m(n₁,n₂,ј,n_s) над полем Q(S) (Q(S) - нескінченне суто трансцендентне розширення поля Q, яке одержано приєднанням до Q алгебраїчно незалежної зчисленної множини S), заданих твірними e₁,e₂,ј,e_m і співвідношеннями l_jk О S, l_jk № l_pq при j № p або k № q.

Обгрунтовується ефективність методики обчислення базисів Грьобнера для цього дослідження.

В підрозділі 4.2 розв'язано поставлену у попередньому підрозділі задачу для 2 Ј s-m Ј 5. Наведено результати розрахунків базисів Грьобнера відповідних алгебр. Результати досліджень формулюються у вигляді наступних теорем.

Теорема 4.5. При m=2 алгебра T_m(n₁,n₂,ј,n_s) скінченновимірна, якщо r(n₁,n₂,ј,n_m+1) < 4. При m=3 алгебра T_m(n₁,n₂,ј,n_s) скінченновимірна, якщо r і 3 і або n₁=n₂=n₃=n₄=1, або n₁=n₂=n₃=1, n₄=n₅=2.

Теорема 4.6. Нехай алгебра T_m(n₁,n₂,ј,n_s) не задовольняє умови попереднього твердження.

Алгебра T_m(n₁,n₂,ј,n_s) має поліноміальний ріст в таких випадках:

a) при m=2, r і 2 і при m=3, r=2, якщо або r(n₁,n₂,ј,n_m+1)=4, або rў(n₁,n₂,ј,n_m+2) = 4;

b) при m=3, r і 3 якщо r(n₁,n₂,ј,n_m+2) Ј 6 (в цьому випадку n₁=n₂=1);

c) при m=4, r=3 і m=5, r=5, якщо n₁=ј = n_s=1;

d) при m=4, r=4, якщо n₁=ј = n_s-1=1;

e) при m=4, r=5, якщо n₁=ј = n_s-4=1 і r(n_s-3,n_s-2,n_s-1) < 4.

В решті випадків алгебри T_m(n₁,n₂,ј,n_s) мають експоненціальний ріст.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена застосуванню класу числових функцій r_t до зображень графів у категорії гільбертових просторів та до дослідження скінченно заданих асоціативних алгебр. Задачі дослідження виконані. Основні результати дисертаційної роботи можна підсумувати таким чином:

1. Проведено природнє узагальнення числової функції r, яка має різноманітні застосування в теорії матричних задач (зокрема, в теорії зображень частково впорядкованих, діадичних і триадичних множин, а також розширених графів Динкіна), а саме: введено клас функцій r_t, що мають аналогічні властивості і застосування для довільного дводольного графа.

2. Виявлено і досліджено зв'язок функцій r_t зі спектром визначеного графа та перетвореннями Кокстера на цьому графі. Отримано явні формули для визначення індексу і головного власного вектору зірчастого графа.

3. Введено поняття стандартного сингулярного локально-скалярного зображення графа; досліджено такі зображення графів, що містять розширений граф Динкіна.

4. Для характерів цих зображень в термінах функцій r_t отримано явні формули.

5. Досліджено скінченновимірність і ріст алгебр, заданих твірними і полілінійно пов'язаними співвідношеннями; результати цього дослідження сформульовано в термінах функції r.

ВИСНОВКИ

Дисертація присвячена застосуванню класу числових функцій t до зображень графів у категорії гільбертових просторів та до дослідження скінченно заданих асоціативних алгебр. Задачі дослідження виконані. Основні результати дисертаційної роботи можна підсумувати таким чином:

6. Проведено природнє узагальнення числової функції , яка має різноманітні застосування в теорії матричних задач (зокрема, в теорії зображень частково впорядкованих, діадичних і триадичних множин, а також розширених графів Динкіна), а саме: введено клас функцій t, що мають аналогічні властивості і застосування для довільного дводольного графа.

7. Виявлено і досліджено зв'язок функцій t зі спектром визначеного графа та перетвореннями Кокстера на цьому графі. Отримано явні формули для визначення індексу і головного власного вектору зірчастого графа.

8. Введено поняття стандартного сингулярного локально-скалярного зображення графа; досліджено такі зображення графів, що містять розширений граф Динкіна.

9. Для характерів цих зображень в термінах функцій t отримано явні формули.

10. Досліджено скінченновимірність і ріст алгебр, заданих твірними і полілінійно пов'язаними співвідношеннями; результати цього дослідження сформульовано в термінах функції .

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1. Редчук И.К., Ройтер А.В. Сингулярные локально-скалярные представления колчанов в гильбертовых пространствах и разделяющие функции // Укр. мат. журн. - 2004. - 56, № 6. - С. 796-809.

2. Редчук И.К. Конечномерность и рост алгебр, заданных полилинейно связанными образующими // Укр. мат. журн. - 2005. - 57, № 10. - С. 1435-1440.

3. Редчук И.К. Разделяющие функции, спектральная теория графов и локально-скалярные представления в гильбертовых пространствах. // Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 1. - С. 36-46.

АНОТАЦІЇ

РЕДЧУК І.К. Розділяючі функції та їх застосування в алгебрі і функціональному аналізі. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук зі спеціальності 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

Вводиться клас функцій t, які природним чином узагальнюють числову функцію , яка має широкий спектр застосувань в теорії матричних задач. Досліджуються властивості цих функцій та їх застосування в теорії локально-скалярних зображень графів і *-алгебр, спектральній теорії графів, для алгебр, заданих твірними і співвідношеннями.

Доведено, що функції t t-розділяючі при цілому t > 4. Отримано прямий зв'язок функцій t з індексом визначеного зірчастого графа та зі структурою цього графа. Отримано явну формулу в термінах функцій t для головного власного вектора такого графа. Доведено, що кожний дводольний граф в розмірності, яка є сингулярним коренем цього графа, має одне і тільки одне стандартне локально-скалярне зображення. Для характерів таких зображень одержано явні формули в термінах функцій t. Досліджено скінченновиміріність і ріст певного класу скінченно заданих асоціативних алгебр, пов'язаних з розділяючими функціями. Вказано на ряд аспектів теорії зображень колчанів, де функції t дозволяють пояснити і коротко сформулювати відомі твердження.

Ключові слова: граф Динкіна, розділяючі функції, індекс графа, головний власний вектор графа, локально-скалярне зображення, сингулярне зображення, корінь графа, стандартне зображення, алгебра, ріст алгебри.

РЕДЧУК И.К. Разделяющие функции и их применения в алгебре и функциональном анализе. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

В диссертации вводится класс числовых функций t: N?R, t ? R+, которые естественным образом обобщают функцию , имеющую широкий спектр приложений в теории матричных задач: характеризация схем и расширенных схем Дынкина, формулировка и доказательство критериев конечной представимости и ручности частично упорядоченных множеств, изучение представлений маркированных колчанов и т. п.

Исследуются свойства этих функций и их применения в теории локально-скалярных представлений графов и *-алгебр, ассоциированных со звездочными графами, в спектральной теории графов, для исследования конечномерности и роста определенного класса алгебр, заданных образующими и определяющими соотношениями.

В диссертационной работе получены некоторые общие свойства произвольных разделяющих функций, а также доказано, что функции t являются t-разделяющими при любом целом t > 4, а функция не является t-разделяющей при любом t > 4. Тем самым обоснована естественность именно такого обобщения функции .

Для произвольного звездообразного графа в терминах t получена явная и простая формула, связывающая индекс графа с числом вершин на его ветвях, а также формула для главного собственного вектора такого графа.

Доказано, что каждый сингулярный объект категории локально-скалярных представлений графа с индексом, не меньшим 2, получается из простейшего объекта с помощью последовательного применения функторов четных и нечетных отражений.

Введено понятие стандартного локально-скалярного представления. Доказано, что каждый двудольный граф в размерности, которая есть сингулярный корень этого графа, имеет единственное стандартное локально-скалярное представление. Для характеров таких представлений получены явные формулы в терминах функций t.

Исследована конечномерность и рост определенного класса конечно заданных ассоциативных алгебр, при этом результаты этого исследования формулируются в терминах функции .

Ключевые слова: граф Дынкина, разделяющие функции, индекс графа, главный собственный вектор графа, локально-скалярное представление, сингулярное представление, корень графа, стандартное представление, алгебра, рост алгебры.

REDCHUK I.K. Separating functions and their applications in algebra and functional analysis. - Manuscript.

Thesis for the degree of candidate of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.06 - Algebra and Number Theory. - Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2006.

It is introduced a class of functions t, which are naturally generalize numeric function , which has a number of applications in the theory of matrix problems. Properties of these functions, their applications to the theory of locally scalar representations of graphs and *-algebras, spectral graph theory and for algebras generated by relations are studied.

It is proved that functions t are t-separating for the integer t > 4. The direct connection of functions t with the index of certain star-shaped graph and the structure of this graph is obtained. It is obtained the explicit formula in terms of t for the principal eigenvector of such graph. It is proved that any bipartite graph has unique standard locally scalar representation in the dimension, which is a singular root of this graph. For characters of such representations the explicit formulas in terms of functions t are obtained. The finite-dimensionality and growth of certain class of finitely defined algebras, connected with separating functions is studied. It is indicated to the range of aspects of the representation theory of quivers, where functions t allow to explain and shortly formulate well-known statements.

Keywords: Dynkin graph, separating functions, index of graph, principal eigenvector of graph, locally scalar representation, singular representation, root of graph, standard representation, algebra, growth of algebra.

Размещено на Allbest.ru