Узагальнені ряди Тейлора та їх застосування

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Узагальнені ряди Тейлора та їх застосування

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Неквазіаналітичні класи нескінченно диференційовних функцій знаходять широке застосування в багатьох розділах математичного аналізу. Зокрема, вони виникають при дослідженні гіпоеліптичних рівнянь з частинними похідними, звичайних диференціальних рівнянь нескінченного порядку, функціонально-диференціальних рівнянь, а також у чисельних методах.

У зв'язку з цим актуальним є питання про можливість подання таких функцій у вигляді збіжних рядів, які виступали б аналогом рядів Тейлора для аналітичних функцій. У роботах В.О. Рвачова, продовжених пізніше його учнями І. І. Малицьким, Г.О. Старцем і В.М. Кузніченком, були запропоновані і досліджені узагальнені ряди Тейлора для класів нескінченно диференційовних функцій, де - клас функцій таких, що

.

Ці ряди були побудовані на основі функції - розв'язку з компактним носієм функціонально-диференціального рівняння

.

Базисні функції цього ряду являють собою лінійні комбінації зсувів функції .

Дисертація присвячена, насамперед, одержанню асимптотичних формул для базисних функцій узагальненого ряду Тейлора з великими номерами . Відзначимо, що рекурентні формули для знаходження цих функцій, наведені в роботах В.О. Рвачова, є досить громіздкими і незручними у використанні для великих У зв'язку з цим у 1986 році було поставлено задачу: дослідити поведінку базисних функцій узагальнених рядів Тейлора для великих , знайти зручні формули для їх обчислення. У дисертації одержано асимптотичні формули для , а отже, розв'язано першу частину цієї задачі. Крім того, одержані асимптотичні формули дають можливість наближено обчислювати базисні функції з великими номерами .

Актуальною проблемою є також дослідження зв'язку між коефіцієнтами та сумою узагальненого ряду Тейлора. У дисертації одержано результат, зміст якого коротко можна передати так: якщо нескінченно диференційовна на всьому відрізку функція задовольняє деякі («слабкі») обмеження на похідні (які гарантують можливість розвинення функції в узагальнений ряд Тейлора) і в двійково-раціональних точках ця функція задовольняє деякі сильніші обмеження на похідні, то і всюди на відрізку похідні будуть задовольняти ці сильніші обмеження. Як наслідок цього результату були одержані достатні умови аналітичності і належності до класу Жеврея і А-простору Рум'є нескінченно диференційовної функції.

Крім того, в дисертації одержано достатні умови існування єдиного фінітного розв'язку функціонально-диференціального рівняння, подібного до рівняння для функції , але зі змінним коефіцієнтом, що в перспективі може бути використано для подальшого розвитку теорії узагальнених рядів Тейлора.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Напрямок досліджень дисертації передбачений тематичним планом наукової роботи Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за темою: «Розвиток конструктивного апарату теорії наближення функцій, квадратурні формули та їх застосування», номер держрегістрації <КТФ> 01040002365.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є знаходження асимптотики базисних функцій узагальненого ряду Тейлора, одержання результатів про зв'язок між поведінкою коефіцієнтів узагальненого ряду Тейлора та його суми, а також одержання достатніх умов існування і єдиності розв'язків з компактним носієм деяких функціонально-диференціальних рівнянь, пов'язаних з теорією узагальнених рядів Тейлора.

Об'єктом дослідження є узагальнені ряди Тейлора.

Предметом дослідження є:

- базисні функції узагальненого ряду Тейлора,

- питання про існування зв'язку між коефіцієнтами та сумою цього ряду,

- розв'язки з компактним носієм деяких функціонально-диференціальних рівнянь, пов'язаних з теорією узагальнених рядів Тейлора.

Методи дослідження. У роботі було застосовано методи теорії функцій дійсної та комплексної змінних і теорії атомарних функцій.

Наукова новизна одержаних результатів.

1. Встановлений факт існування асимптотики базисних функцій узагальненого ряду Тейлора з великими номерами .

2. Вперше доведені теореми про асимптотику базисних функцій узагальненого ряду Тейлора та введені відповідні асимптотичні функції.

3. Вперше одержана теорема про зв'язок між коефіцієнтами та сумою узагальненого ряду Тейлора. Як наслідок, одержані достатні умови аналітичності та належності до класу Жеврея нескінченно диференційовної функції.

4. Вперше одержано достатні умови належності нескінченно диференційовної функції до А-просторів Рум'є.

5. Вперше доведені теореми про існування та єдиність розв'язків з компактним носієм деяких функціонально-диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами, пов'язаних з теорією узагальнених рядів Тейлора.

Практичне значення одержаних результатів. Результати дисертаційної роботи мають теоретичний характер та сприяють подальшому розвитку теоріі атомарних функцій, узагальнених рядів Тейлора, функціонально-диференціальних рівнянь і чисельних методів. Одержані результати можуть бути використані для подальших досліджень різноманітних класів нескінченно диференційовних функцій, які проводяться в Інституті математики НАН України, Київському, Харківському, Дніпропетровському, Одеському університетах, Національному аерокосмічному університеті «ХАІ».

Особистий внесок здобувача. Всі результати одержано автором самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались на X міжнародній науковій конференції ім. академіка М. Кравчука (Київ, 2004), на IX Всеукраїнській науковій конференції «Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики» (Львів, 2002), на міжнародній конференції «Колмогоров и современная математика» (Москва, 2003), Харківському міському семінарі з теорії функцій (керівник професор А.П. Гришин), науковому семінарі кафедри вищої математики Національного аерокосмічного університету імені М. Є. Жуковського «ХАІ», науковому семінарі з теорії функцій (Дніпропетровський національний університет, керівники семінару: член-кореспондент НАН України, професор В.П. Моторний, професор В.Ф. Бабенко), на науково-навчальному семінарі «Математичне моделювання методами дискретних особливостей у задачах математичної фізики» (керівник професор Ю.В. Гандель).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 7 статтях, які вміщені у виданнях з переліку ВАК України, і в 1 тезах доповідей.

Структура дисертації. Дисертація складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації - 135 сторінок. Список використаних джерел займає 8 сторінок і включає 77 найменувань.

Основний зміст роботи

рівняння тейлор диференціальний базисний

У вступі обґрунтована актуальність теми, сформульовані мета і задачі дослідження, вказаний зв'язок роботи з науковими програмами, планами та темами, охарактеризована наукова новизна результатів, їх практичне значення, прокоментований особистий внесок здобувача у наукові праці та ступінь апробації результатів дисертації, описані основні результати роботи.

У першому розділі зібрані всі попередні результати про функцію і узагальнені ряди Тейлора, що використовуються протягом дисертації.

Нехай - клас функцій таких, що

,

де . Клас з у подальшому буде позначатися через .

Для класів на , узагальнений ряд Тейлора має вигляд

,

де , ,

а функції - базисні функції узагальненого ряду Тейлора, які однозначно визначаються з умов .

У дисертації розглядаються функції , що відрізняються від множниками :

.

Другий розділ дисертації присвячено знаходженню асимптотики базисних функцій узагальненого ряду Тейлора.

Нехай

,

де є фінітним з носієм розв'язком функціонально-диференціального рівняння

.

Введемо функцію комплексного змінного, яка є твірною функцією послідовності :

.

Зауважимо, що ця функція буде аналітичною і навіть цілою функцією, що випливає з відомих оцінок для .

Лема 2.2. Функція в крузі має єдиний корінь (кратності 1).

У роботі показано, що цей корінь - дійсний, і .

Визначимо функцію наступним чином. Нехай на проміжку



і для.

Лема 2.4. Функція є нескінченно диференційовною на дійсній осі.

Лема 2.7. Для будь-яких

, де .

Лема 2.8. Для будь-якого і виконуються оцінки:

1) ;

2) .

Нехай

Тоді мають місце такі теореми:

Теорема 2.1. Функції і при рівномірно збігаються на проміжку відповідно до функцій і :

, .

Теорема 2.2. Для функцій і справедливі такі асимптотичні формули:

,

,

де і .

Введемо ще одне позначення для базисних функцій узагальненого ряду Тейлора, більш зручне для формулювання результатів про асимптотику , .

Нехай

і

Якщо , де дріб - нескоротний, то показано, що

і

Введемо функції:

Лема 2.9. Для будь-якого і , справедлива оцінка

.

Лема 2.10. Для будь-якого і , справедливі оцінки:

1) ;

2)

Лема 2.11. Для будь-якого

Інакше, справедлива така

Теорема 2.3. Функції і збігаються до функцій та відповідно за нормою для будь-якого .

Теорема 2.4. Функції та , де дріб - нескоротний, , при рівномірно на відрізку збігаються відповідно до функцій і :

У термінах функцій ця теорема формулюється так:

Теорема 2.5. Нехай - фіксована двійково-раціональна точка відрізку , та нехай , де - непарне. Тоді функції , де , та , де , при рівномірно на відрізку збігаються відповідно до функцій і :



Теорема 2.6. Для базисних функцій узагальненого ряду Тейлора і , де дріб нескоротний, тобто , вірні такі асимптотичні формули:

, ,

де , і залишковий член задовольняє наступну нерівність

.

Лема 2.12. Справедлива наступна формула для -ї похідної функції при :

Лема 2.13. Функція є цілою функцією нульового порядку.

Лема 2.14. Функція може бути подана у вигляді нескінченного добутку

,

де - послідовність коренів цієї функції.

Нехай - дійсні та відмінні корені функції , , причому кратність кожного кореня дорівнює 1, та в крузі , , функція не має інших корнів.

Введемо у розгляд функції

Аналогічно до функцій і введемо функції і наступним чином

Тоді справедлива наступна теорема про асимптотику:

Теорема 2.8. Нехай - дійсні та відмінні корені функції ,

причому кратність кожного кореня дорівнює одиниці та на множині функція не має інших коренів.

Тоді для базисних функцій узагальненого ряду Тейлора і справедливі наступні асимптотичні формули:

,

,

де , і для залишку справедлива оцінка:

Введемо у розгляд функції

де та .

Нехай

Теорема 2.9. Нехай виконуються умови теореми 2.8. Тоді для функцій і , де дріб нескоротний, справедливі наступні асимптотичні формули:

, ,

де і залежить від .

Третій розділ дисертації присвячений дослідженню зв'язку між коефіцієнтами і сумою узагальненого ряду Тейлора. У цьому розділі одержано достатні умови належності до просторів Рум'є функцій, які розвиваються в узагальнений ряд Тейлора.

Теорема 3.1. Нехай для функції виконуються такі умови:

1) Існує стала така, що

, де ;

2) .

Тоді знайдеться така стала , що

.

Наслідок 3.1. Нехай функція задовольняє умову 2) теореми та

.

Тоді функція є аналітичною на .

Нагадаємо, що класом Жеврея порядку називається клас нескінченно диференційовних функцій таких, що

.

Наслідок 3.2. Нехай функція задовольняє умову 2) теореми та і такі, що

.

Тоді функція належить до класу Жеврея порядку на .

Означення 3.1. Простором Рум'є називається банахів простір функцій таких, що

,

де , з нормою .

Означення 3.2. Назвемо простір Рум'є А-простором Рум'є, якщо послідовність задовольняє умови:

а) існує для будь-якого ;

б) існує .

Означення 3.2 належить автору.

Позначимо , .

Справедлива наступна теорема.

Теорема 3.2. Нехай функція задовольняє умови:

1) для будь-яких існують точки такі, що , де задовольняє умови а), б) означення 3.2;

2) .

Тоді функція належить до А-простору Рум'є (який відповідає послідовності ).

У четвертому розділі дисертації одержано достатні умови існування і єдиності розв'язку з компактним носієм функціонально-диференціального рівняння, подібного до рівняння для функції , але зі змінним коефіцієнтом.

Нехай функція задовольняє умови:

(4.4)

тобто ,

, (4.5)

, (4.6)

а функція та задовольняє наступні умови:

, (4.9)

, (періодичність з періодом ) (4.10)

(4.11)

Теорема 4.3. Функціонально-диференціальне рівняння

,

де задовольняє (4.9) - (4.11) з , має єдиний ненульовий розв'язок, який задовольняє умови (4.4) - (4.6), якщо на функцію накласти умову: , де .

Висновки

Дисертація присвячена дослідженню деяких задач, пов'язаних із теорією узагальнених рядів Тейлора. Основні наукові результати дисертаційної роботи полягають у наступному:

1. Доведено існування асимптотики базисних функцій узагальненого ряду Тейлора; введено і досліджено відповідні асимптотичні функції. Встановлення факту існування асимптотики стало можливим завдяки запропонованому в дисертації новому методу побудови базисних функцій . Саме для асимптотичні функції мають найбільш простий вигляд. На основі одержаної асимптотики для побудовані асимптотичні функції для базисних функцій , .

2. Доведено теорему, що встановлює зв'язок між коефіцієнтами та сумою узагальненого ряду Тейлора. Як наслідки цього результату одержано достатні умови аналітичності і належності до класу Жеврея нескінченно диференційовної функції.

3. Одержано достатні умови належності нескінченно диференційовної функції до А-простору Рум'є. Цей результат є узагальненням теореми про зв'язок між коефіцієнтами та сумою узагальненого ряду Тейлора.

4. Одержано достатні умови існування єдиного фінітного розв'язку функціонально-диференціального рівняння, подібного до рівняння для функції , але зі змінним коефіцієнтом.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Рвачова Т.В. Про розв'язки з компактним носієм деяких функціонально-диференціальних рівнянь // Доповіді Національної академії наук України. - 2000. - №5. - С. 30 - 33.

2. Рвачова Т.В. Про зв'язок між коефіцієнтами і сумами узагальненого ряду Тейлора // Доповіді Національної академії наук України. - 2002. - №7. - С. 26 - 30.

3. Рвачова Т.В. Про асимптотику базисних функцій узагальненого ряду Тейлора // Доповіді Національної академії наук України. - 2003. - №5. - С. 37 - 41.

4. Rvachova T.V. On a relation between the coefficients and the sum of the generalized Taylor series. // Matematicheskaya fizika, analiz, geometriya. - Vol. 10, No 2. - P. 262 - 268.

5. Рвачева Т.В. Об асимптотике базисных функций обобщенного ряда Тейлора // Вісник Харківського національного університету. Серія «Математика, прикладна математика і механіка». - 2003. - №602, вып. 53. - С. 94 - 104.

6. Рвачова Т.В. Достатні умови належності нескінченно диференційовної функції до А-простору Рум'є // Доповіді Національної академії наук України. - 2004. - №2. - С. 35 - 37.

7. Рвачова Т.В. Про застосування узагальненого ряду Тейлора до побудови квадратурних формул // Вісник Львівського університету. Серія «Прикладна математика та інформатика». - 2003. - Вип. 7. - С. 81 - 86.

8. Рвачева Т.В. Одно свойство некоторых классов бесконечно дифференцируемых функций // Тезисы докладов Международной конференции «Колмогоров и современная математика». - М.: МГУ. - 2003. - С. 335.

Размещено на Allbest.ru