Лінійні та ортопроекційні поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

УДК 517.5

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Лінійні та ортопроекційні поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних

01.01.01 -- математичний аналіз

Федуник Оксана Володимирівна

Київ 2006

Загальна характеристика роботи

лінійний ортопроекційний поперечник

Робота присвячена дослідженню апроксимативних характеристик класів періодичних функцій багатьох змінних , які при певному виборі функції співпадають з відомими класами Бєсова . Зокрема, вивчаються лінійні та ортопроекційні поперечники класів , наближення класів функцій у просторі , , за допомогою лінійних операторів, які підпорядковані певним умовам, а також за допомогою східчасто-гіперболічних сум Фур'є.

Актуальність теми. Починаючи з 60-х років минулого століття увага багатьох спеціалістів в галузі теорії наближення привернута до наближення періодичних функцій багатьох змінних. Завдяки роботам К.І.Бабенка, які стосувалися наближення функцій відомих класів Соболєва i в просторах i відповідно, виявилося наступне. Для оптимального наближення функцій з цих класів слід використовувати тригонометричні поліноми, "номери" гармонік яких знаходяться в областях, що отримали назву гіперболічних хрестів. Іншими словами, такого роду тригонометричні поліноми в багатовимірному випадку для згаданих класів функцій відіграють аналогічну роль, як і звичайні тригонометричні поліноми в одновимірному випадку. Поява гіперболічних хрестів дала істотний поштовх в розвитку теорії наближення функцій багатьох змінних.

Подальші дослідження проводилися таким чином, що, з одного боку, розглядалися більш загальні класи функцій, а з іншого, -- вводились нові апроксимативні характеристики.

В продовженні досліджень класів Соболєва важливих результатів було досягнуто також при вивченні тих або інших апроксимативних характеристик добре відомих класів Ні кольського і Бєсова . Завдяки роботам С.О.Теляковського, Б.С.Мітягіна, Я.С.Бугрова, Н.С.Нікольської, В.Є.Майорова, В.М.Темлякова, Е.М.Галєєва, Е.С.Белінського, А.С.Романюка та інших, на сьогодні в теорії наближення згаданих класів функцій досягнуто практично такого ж рівня завершеності, як і в одновимірному випадку.

В 90-х роках минулого століття в роботі М.М.Пустовойтова і трохи згодом в роботі Sun Yongsheng, Wang Heping було розглянуто класи періодичних функцій багатьох змінних і відповідно. Слід зазначити, що ці класи при певному виборі функції переходять в згадані вище класи Нікольського і Бєсова . В результаті проведених Sun Yongsheng, Wang Heping, а також С.А.Стасюком досліджень найкращих наближень і колмогоровських поперечників цих класів, з одного боку, було встановлено, що у певних випадках оптимальними апаратами наближення є тригонометричні поліноми з "номерами" гармонік з так званих "східчасто-гіперболічних хрестів". А з іншого боку, було виявлено і такі випадки, в яких підпростори згаданих тригонометричних поліномів не реалізують порядків колмогоровських поперечників.

З огляду на ці обставини актуальним є, в першу чергу, -- дослідити поведінку лінійних та ортопроекційних поперечників класів і , а також і інших, в певному сенсі близьких апроксимативних характеристик.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана у відділі теорії функцій Інституту математики НАН України згідно з науково-дослідною темою: "Структурні та апроксимаційні властивості функціональних множин", номер державної реєстрації 0198 U 001990.

Мета і завдання дослідження. Метою роботи є розповсюдження відомих результатів щодо лінійних та ортопроекційних поперечників, а також результатів щодо наближення східчасто-гіперболічними сумами Фур'є із класів періодичних функцій багатьох змінних , введених О.В.Бєсовим, на класи , які визначаються функцією типу мішаного модуля неперервності деякого спеціального вигляду і які співпадають з класами при певному виборі функції .

Об'єктом дослідження є класи періодичних функцій багатьох змінних.

Предметом дослідження є наступні величини: лінійні поперечники ортопроекційні поперечники , а також величини i .

Задачі дослідження:

1. Знайти точні за порядком оцінки лінійних поперечників класів періодичних функцій багатьох змінних упросторі при різних співвідношеннях між параметрами і : . Порівняти знайдені результати з відповідними результатами для колмогоровських поперечників.

2. Встановити точні за порядком оцінки ортопроекційних поперечників класів періодичних функцій багатьох змінних , , у просторі , . Порівняти одержані результати з відповідними оцінками лінійних та колмогоровських поперечників.

3. Знайти точні за порядком оцінки величин при різних співвідношеннях між параметрами і , . Порівняти знайдені результати з відповідними результатами для ортопроекційних поперечників.

4. Дослідити поведінку величин для деяких значень параметрів та . Порівняти знайдені результати з відповідними оцінками величин .

При розв'язанні поставлених задач в дисертаційній роботі використовуються загальні методи теорії функцій в поєднанні з методами, які були розроблені в роботах В.М.Темлякова, А.С.Романюка, Sun Yongsheng, Wang Heping та інших.

Наукова новизна одержаних результатів. Результати роботи є новими і полягають в наступному:

1. Знайдено точні за порядком оцінки лінійних поперечників класів у просторі при . Виявлено, що при певних співвідношеннях між параметрами і оцінки лінійних поперечників не співпадають за порядком з відповідними оцінками колмогоровських поперечників.

2. Одержано точні порядкові оцінки ортопроекційних поперечників класів у просторі . Встановлено, що в деяких випадках величини і мають кращі за порядком оцінки, ніж величини .

3. Встановлено точні за порядком оцінки величин при . Виявлено, що в усіх випадках, в яких знайдено оцінки, має місце порядкова рівність .

4. Знайдено точні за порядком оцінки величин для деяких значень параметрів та . Виявлено, що в досліджених випадках оцінки ортопроекційних поперечників і оцінки величин співпадають за порядком

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер. Результати роботи та методика їх отримання можуть бути використані при вивченні питань наближення періодичних функцій багатьох змінних, зокрема при подальшому дослідженні апроксимативних характеристик класів .

Особистий внесок здобувача. Визначення напрямку \mbox{дослідження,} а також постановка задач належать науковому керівникові -- доктору фіз.-мат. наук А.С.Романюку. Всі результати дисертаційної роботи отримано здобувачем самостійно.

Апробація результатів дисертації. Результати роботи доповідалися на:

--- семінарах відділу теорії функцій (Інститут математики НАН

України, керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук, член-кореспондент НАН України О.І.Степанець);

-- семінарі "теорія функцій" (механіко-математичний факультет

Київського національного університету ім. Тараса Шевченка, керівник семінару: доктор фіз.-мат. наук, професор І.О.Шевчук);

-- міжнародній науковій конференції, присвяченій пам'яті В.Я.Буняковського, Київ, 16--21 серпня 2004 року;

-- конференції "Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці. II", присвяченій пам'яті А.Я.Дороговцева, Київ, 1--5 жовтня 2004 року;

--- міжнародній конференції "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", присвяченій сторіччю С.М.Нікольського, Москва, 23--29 травня 2005 року.

Публікації. Основні результати, які висвітлені в дисертації, опубліковано в роботах [1 -- 4].

Стаття [4}] написана у співавторстві з С.А.Стасюком. Теорема 1 цієї роботи належить С.А.Стасюку, всі інші результати -- автору дисертації.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з переліку умовних позначень, вступу, трьох розділів, висновків та списку використаних джерел, що містить 84 найменувань. Повний обсяг роботи складає 118 сторінок машинописного тексту.

Основний зміст дисертації

У першому розділі дисертаційної роботи наведено огляд літератури за її темою. В підрозділі 1.1 проведено огляд робіт, присвячених дослідженню деяких апроксимативних характеристик класів періодичних функцій багатьох змінних . Зокрема, в цьому підрозділі наведено відомі оцінки колмогоровських поперечників і величин . У підрозділі 1.2 сформульовано задачу про відшукання лінійного поперечника. Для класів функцій , і однієї та багатьох змінних проведено огляд літератури з досягнень в цьому напрямку. У підрозділі 1.3 сформульовано задачу про відшукання ортопроекційного поперечника і зроблено короткий огляд історії розвитку даної тематики.

Нехай , , --простір -періодичних по кожній змінній і сумовних у степені p на кубі функцій у якому норма визначається рівністю

-- простір -періодичних по кожній змінній суттєво обмежених функцій із нормою

Всюди далі будемо вважати, що для функцій виконується додаткова умова

Множину таких функцій позначимо .

За допомогою рівності

означимо l-ту різницю функції f з кроком за змінною .

Для i введемо мішану l-ту різницю

Означимо для мішаний модуль неперервності порядку l

Для через

позначимо її ряд Фур'є, де

--коефіцієнти Фур'є функції f

i .

Нехай -- задана функцiя типу мiшаного модуля неперервностi порядку l. Це означає, що функція задовольняє такі умови:

1)

2) зростає по кожнiй змiннiй;

3)

4) неперервна при .

Наслідуючи С.Н.Бернштейна, будемо називати функцію однієї змінної майже зростаючою (відповідно майже спадною) на [a,b], якщо існує стала C₁>0 (C₂>0), яка не залежить від ф₁ i ф₂, така, що

у випадку майже зростання, і відповідно

у випадку майже спадання.

Будемо вважати, що задовольняє також умови (S), (S_l), якi називають умовами Барi-Стєчкiна. Це означає наступне.

Функція однієї змінної задовольняє умову (S), якщо майже зростає при деякому .

Функція задовольняє умову (S_l), якщо майже спадає при деякому .

Будемо говорити, що задовольняє умови (S) i (S_l), якщо задовольняє ці умови по кожній змінній t_j при фіксованих t_i,

Зазначимо, що функції, які задовольняють сформульовані вище умови 1) -- 4), (S) та (S_l), зокрема, можуть мати вигляд

a -- фіксовані дійсні числа.

Означимо деякі порядкові співвідношення, які будуть використовуватись далі.

Нехай і, , -- деякі функції. Запис (відповідно ) означає, що виконується нерівність (відповідно ), де стала C₃>0 (C₄>0) може залежати тільки від параметрів, що входять в означення класу, метрики, в якій вимірюється похибка наближення, та розмірності d простору R^d. Якщо виконуються співвідношення і, то функції і, ,будемо називати функціями однакового порядку і писати .

Дамо означення класу функцій , який було розглянуто Sun~Yongsheng, Wang Heping.

Для i заданої функцiї типу мiшаного модуля неперервності порядку l, яка задовольняє умови 1) -- 4), (S), (S_l), клас визначається таким чином:

.

Зауважимо, що при клас співпадає із розглянутим М.М.Пустовойтовим класом , який є аналогом класу , введеного С.М.Нікольським.

Кожному вектору поставимо у відповідність множину

і для позначимо

.

Як показали Sun Yongsheng, Wang Heping, для --- задана функція типу мішаного модуля неперервності порядку l, яка задовольняє умови 1) -- 4), (S) і (S_l), мають місце порядкові співвідношення

(1)

(2)

Зазначимо, що при із (1), (2) випливають такі співвідношення

які встановлені П.І.Лізоркіним та С.М.Нікольським, і клас співпадає відповідно з класом .

Для норм функцій із класу можна записати зображення, аналогічні (1) i (1) у випадках p=$ i p=, дещо видозмінивши при цьому "блоки" .

Нехай V_n означає ядро Валле Пуссена порядку 2n-1, тобто

Кожному вектору поставимо у відповідність поліном

і для через позначимо згортку

Тоді, як встановлено в [4], для кожного

Зазначимо, що в дисертаційній роботі розглядаються класи , які визначаються функцією типу мішаного модуля неперервності порядку l деякого спеціального вигляду:

(3)

де -- задана функція (однієї змінної) типу модуля неперервності порядку l, яка задовольняє умови (S) i (S_l).

Легко переконатися, що для вигляду (3) виконуються властивості 1) -- 4) функції типу мішаного модуля неперервності порядку l, а також умови (S) i (S_l), тому зберігаються всі наведені вище зображення для норм функцій класу .

Предметом дослідження роботи є деякі апроксимативні характеристики класів періодичних функцій багатьох змінних. Зокрема, досліджуються лінійні поперечники класів в просторі

(4)

де точні нижні межі беруться відповідно по всіх підпросторах простору , розмірність яких не перевищує M, і всіх лінійних операторах, які діють з в .

Зауважимо, що величина (4) тісно пов'язана з колмогоровським поперечником, який визначається в такий спосіб:

де -- підпростір в , розмірність якого не перевищує M.

Підпростір , на якому досягається точна нижня межа в наведеному означенні величини , називається екстремальним підпростором.

Згідно з означеннями i , має місце співвідношення

.

Тому, якщо відомо оцінки для колмогоровських поперечників, то вони можуть слугувати оцінками знизу для лінійних поперечників. Ця обставина використовувалась в деяких випадках при дослідженні величин лінійних поперечників.

В роботі досліджуються також ортопроекційні поперечники класів в просторі . Нехай -- ортонормована система функцій i -- ортогональна проекція функції f(x) на підпростір, породжений системою функцій. Тоді величина

(6)

називається ортопроекційним поперечником класу в просторі .

З означень (4), (5) i (6) випливає, що величини , i пов'язані співвідношенням

Крім лінійних та ортопроекційних поперечників в дисертації вивчаються величини , які визначаються наступним чином:

Через тут позначено множину лінійних операторів, які задовольняють умови:

а) область визначення D(G) цих операторів містить всі тригонометричні поліноми, а їх область значень міститься в підпросторі розмірності M простору ;

б) існує число таке, що для всіх векторів виконується нерівність

Зазначимо, що до належать оператори ортогонального проектування на простори розмірності M, а також оператори, які задаються на ортонормованій системі функцій за допомогою мультиплікатора, який визначається послідовністю такою, що для всіх m. Величини і пов'язані між собою нерівністю

.

Через Q_n позначимо множину яку називають східчасто-гіперболічним хрестом. Відомо, що для кількості точок цієї множини має місце співвідношення

Нехай і

-- частинна сума ряду Фур'є функції f з "номерами" гармонік з множини Q_n.

Покладемо

Паралельно з лінійними, ортопроекційними поперечниками та величинами в роботі досліджуються величини

Другий розділ дисертаційної роботи присвячено дослідженню лінійних поперечників класів в просторі .

Підрозділ 2.1 носить допоміжний характер. В ньому формулюються задачі дослідження, наводяться необхідні позначення та твердження, які використовуються далі.

У підрозділі 2.2 одержано точні за порядком оцінки величин при .

Теорема 2.1. Нехай де задовольняє умову (S) з деяким i умову (S_l). Тоді для будь-яких , таких, що має місце співвідношення

де

Наслідок 2.1. При виконанні умов теореми 2.1 для справедлива порядкова рівність

Таким чином, паралельно отримано новий результат і для класів .

Зазначимо, що точні за порядком оцінки величин i при отримали Sun Yongsheng і Wang Heping. З їх результатів та зі сформульованої вище теореми 2.1 випливає, що у випадку колмогоровський та лінійний поперечники співпадають за порядком.

Оцінки лінійних поперечників в умовах теореми 2.1 не можуть бути реалізовані за допомогою наближення поліномами з "номерами" гармонік з множини Q_n. Іншими словами має місце співвідношення

Теорема 2.2. Нехай де задовольняє умову (S) з деяким i умову (S_l). Тоді для будь-яких , таких, що має місце співвідношення

Співставляючи результат теореми 2.2 з відповідними оцінками величин , які одержали Sun Yongsheng і Wang Heping, приходимо до висновоку, що при виконанні умов теореми 2.2 колмогоровський поперечник менший за порядком, ніж лінійний. При цьому має місце співвідношення

Зазначимо також, що в наведеному випадку

Теорема 2.3. Нехай де задовольняє умову (S) з деяким i умову (S_l). Тоді для будь-яких , таких, що має місце співвідношення

Зауважимо, що у випадку, коли і задовольняє умову (S) із деяким та умову (S_l), оцінки величин інші, ніж відповідні оцінки величин , і в цьому випадку виконується співвідношення

Зазначимо також, що при виконанні умов теореми 2.3 оцінки величин і співпадають за порядком.

У підрозділі 2.3 одержано точні за порядком оцінки величин при .

Теорема 2.5. Нехай де задовольняє умову (S) з деяким i умову (S_l). Тоді для будь-яких , таких, що має місце співвідношення

Наслідок 2.3. При із теореми 2.5 випливає оцінка

Оскільки у випадку оцінки колмогоровських поперечників, які одержано С.А.Стасюком, співпадають за порядком з оцінками величин , то задача про відшукання оцінок лінійних поперечників в цьому випадку є розв'язана, при цьому

Тому основною задачею в теоремі 2.5 було: знайти оцінки величин в тих випадках, коли і Зазначимо, що при таких значеннях пераметрів p та q оцінки колмогоровських поперечників класів не відомі.

В усіх випадках в теоремі 2.5 оцінки лінійних поперечників реалізуються східчасто-гіперболічними сумами Фур'є, тому екстремальним підпростором є підпростір тригонометричних поліномів з "номерами" гармонік з.

Точні за порядком оцінки лінійних поперечників класів Бєсова в просторі при різних співвідношеннях між параметрами p, q i одержано А.С.Романюком.

Третій розділ роботи присвячено дослідженню ортопроекційних поперечників , а також величин i .

Підрозділ 3.1 носить допоміжний характер. В ньому формулюються задачі дослідження і наводяться необхідні позначення.

В підрозділі 3.2 знайдено точні за порядком оцінки величин при i

Теорема 3.2. Нехай де задовольняє умову (S) з деяким i умову (S_l). Тоді має місце співвідношення

де

В підрозділі 3.3 знайдено точні за порядком оцінки ортопроекційних поперечників класів в просторі та величин при .

Теорема 3.6. Нехай де задовольняє умову (S) з деяким і умову (S_l). Тоді для будь-яких , таких, що мають місце співвідношення

де

Наслідок 3.2. При із теореми 3.6 отримуємо оцінки

Зауважимо, що при виконанні умов теореми 3.6 має місце співвідношення

і екстремальним підпростором для ортопроекційного поперечника є підпростір тригонометричних поліномів з "номерами" гармонік зі східчасто-гіперболічних хрестів. Зазначимо, що при 1<q<p<2 задачі про відшукання точних за порядком оцінок колмогоровських та лінійних поперечників залишились відкритими.

В підрозділі 3.4 знайдено точні за порядком оцінки величин i при

Теорема 3.8. Нехай де задовольняє умову (S) з деяким і умову (S_l). Тоді для будь-яких , таких, що мають місце співвідношення

Наслідок 3.4. При із теореми 3.8 отримуємо оцінки

Зазначимо, що при виконанні умов теореми 3.8 справедливі порядкові рівності

Оцінки колмогоровських та лінійних поперечників у випадку, розглянутому в теоремі 3.8, нам не відомі.

Для значень параметрів i в підрозділі 3.4 знайдено точні за порядком оцінки величин .

Теорема 3.9. Нехай де задовольняє умову (S) з деяким і умову (S_l). Тоді для будь-яких , таких, що має місце співвідношення

Теорема 3.10. Нехай де задовольняє умову (S) з деяким і умову (S_l). Тоді для будь-яких , таких, що має місце співвідношення

Зауважимо, що в тому випадку, коли , відповідні результати до сформульованих вище встановлено А.С.Романюком.

Висновки

1. Одержано точні за порядком оцінки лінійних поперечників класів у просторі при . Виявлено, що існують співвідношення між параметрами p і q, при яких лінійні та колмогоровські поперечники співпадають за порядком, а також і такі, що відповідні лінійні та колмогоровські поперечники мають різні порядки.

2. Знайдено точні порядкові оцінки ортопроекційних поперечників класів , , у просторі при різних співвідношеннях між параметрами p і q. Встановлено, що в деяких випадках ортопроекційні поперечники поступаються за порядком відповідним оцінкам лінійних та колмогоровських поперечників. Досліджено також і ті співвідношення між параметрами p і q, для яких порядки колмогоровських та лінійних поперечників не відомі. У всіх розглянутих в роботі випадках екстремальними підпросторами для ортопроекційних поперечників є підпростори тригонометричних поліномів з "номерами" гармонік зі східчасто-гіперболічних хрестів.

3. Встановлено точні за порядком оцінки наближення класів в просторі , , за допомогою лінійних операторів, що підпорядковані певним умовам. Одержані результати використано для встановлення оцінок знизу ортопроекційних поперечників згаданих класів. Виявлено, що в усіх випадках, в яких знайдено оцінки , має місце порядкова рівність

.

4. Досліджено поведінку величин -- верхніх граней відхилень східчасто-гіперболічних сум Фур'є функцій з класів в просторі . Зокрема, знайдено точні за порядком оцінки величин при i . Виявлено, що в досліджених випадках оцінки ортопроекційних поперечників і оцінки величин співпадають за порядком.

Список опублікованих праць за темою дисертації

1. Федуник О.В. Лінійні поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних у просторі // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання : Збірник праць Ін-ту математики НАН України.-- 2004. -- Т. 1, № 1. -- C. 375-388.

2. Федуник О.В. Оцінки апроксимативних характеристик класів періодичних функцій багатьох змінних в просторі // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання : Збірник праць Ін-ту математики НАН України, 2005. -- Т. 2, № 2. -- C. 268 -294.

3. Федуник О.В. Лінійні поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних // Укр. мат. журн. -- 2006. -- Т. 58, № 1. -- C. 93-104.

4. Стасюк С.А., Федуник О.В. Апроксимативні характеристики класів періодичних функцій багатьох змінних // Укр. мат. журн.-- 2006. -- Т. 58, № 5. -- C. 692-704.

5. Федуник О.В. Лінійні поперечники класів в метриці простору // Міжнародна наукова конференція пам'яті В.Я.Буняковського (1804 -- 1889) : Тези доповідей. -- Київ: Інститут математики НАН України, 2004. -- C. 127.

6. Федуник О.В. Лінійні поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних // Конференція "Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці. II", присвячена пам'яті А.Я.Дороговцева (1935--2004) : Тези доповідей. -- Київ: Київський національний університет імені Тараса Шевченка, 2004.-- C. 125.

7. Федуник О.В. Линейные поперечники классов периодических функций многих переменных // Международная конференция "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ", посвященная столетию С.М.Никольского: Тез. докладов. -- М.: Математический институт им. В.А.Стеклова РАН, 2005. -- C.237.

Анотація

Федуник О.В. Лінійні та ортопроекційні поперечники класів періодичних функцій багатьох змінних. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.01 --- математичний аналіз. -- Інститут математики НАН України, Київ, 2006.

В дисертації проведено дослідження апроксимативних характеристик класів періодичних функцій багатьох змінних.

Одержано точні за порядком оцінки лінійних та ортопроекційних поперечників класів в просторі , при . Встановлено точні порядкові оцінки наближення класів за допомогою лінійних операторів, які підпорядковані певним умовам. Знайдено також точні за порядком оцінки наближення класів в просторі східчасто-гіперболічними сумами Фур'є для деяких значень параметрів p i q.

Ключові слова: лінійний поперечник, ортопроекційний поперечник, колмогоровський поперечник, східчасто-гіперболічний хрест, східчасто-гіперболічна сума Фур'є.

Аннотация

Федуник О.В. Линейные и ортопроекционные поперечники классов периодических функций многих переменных. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.01 -- математический анализ. -- Институт математики НАН Украины, Киев, 2006.

В диссертации проведено исследование аппроксимативних характеристик классов периодических функций многих переменных.

Получены точные по порядку оценки линейных и ортопроекционных поперечников классов в пространстве при . Установлены точне порядковые оценки приближения классов линейными операторами, удовлетворяющими некоторым условиям. Найдены также точные по порядку оценки приближения клас сов в пространстве ступенчато-гиперболическими суммами Фурье для некоторых значений параметров p и q.

Приведем некоторые из результатов работы.

Теорема 2.1. Пусть где удовлетворяет условию (S) с некоторым и условию (S_l). Тогда для любих, таких, что имеет место соотношение

где

Сопоставив результаты теоремы 2.1 с ранее известными соответствующими оценками величин и , находим:

;

Теорема 3.2. Пусть где удовлетворяет условию (S) с некоторым и условию (S_l). Тогда имеет место соотношение

где

Теорема 3.6. Пусть где удовлетворяет условию (S) с некоторым и условию (S_l). Тогда для любих, таких, что имеет место соотношение

где

Отметим, что при выполнении условий теоремы 3.6 справедливы соотношения

т. е. экстремальным подпространством для ортопроекционного поперечника является подпространством тригонометрических полиномов с "номерами" гармоник из ступенчато-гиперболических крестов.

Поскольку при , то в сформулированных утверждениях содержатся соответствующие результаты и для клас сов .

Ключевые слова: линейный поперечник, ортопроекционный поперечник, колмогоровский поперечник, ступенчато-гиперболический крест, ступенчато-гиперболическая сумма Фурье.

Summary

Fedunyk O.V. Linear and orthoprojection widths of classes of periodic functions of several variables. -- Manuscript.

Dissertation for a scientific degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences in speciality 01.01.01. -- mathematical analysis. -- Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2006.

Dissertation is denoted to the investigation of approximative characteris\-tic of classes of periodic functions of several variables.

We find exact order estimates of linear widths and orthoprojection widths of the classes in the space with . We obtain exact order estimates of approximation of the classes by using linear operators subjected to some conditions. We find exact order estimates of approximation of the classes in the space by using step hyperbolic Fourier sums for some values of parameters p and q.

Key words: linear width, orthoprojection width, Kolmogorov width, step hyperbolic cross, step hyperbolic Fourier sum.

Размещено на Allbest.ru