Граничний аналіз розподілів сум випадкових величин

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Вступ

Актуальність теми. Граничні теореми є дуже важливим розділом теорії ймовірностей. Поряд зі своїм незаперечним практичним значенням (результати в цій галузі широко використовують в інших науках, цю особливість відмітив ще В. М. Золотарьов у монографії 1988 р.) вони надають також необмежені можливості для дальших теоретичних досліджень. Існує значна кількість ґрунтовних праць, що систематизують основні результати в галузі граничних теорем. Так 1949 р. вийшла з друку праця Б.В. Гнеденка і А.М. Колмогорова, в якій підбито підсумки розвитку граничних теорем на середину ХХ ст. Незважаючи на значний термін, що минув з часу її виходу в світ, книга і далі викликає інтерес дослідників, адже в ній викладено основні методи досліджень у даній галузі. Настільки ж важливою і незамінною для дослідників стала монографія В.М. Золотарьова 1986 р., в якій чітко систематизовано всі досягнення в згаданій сфері. Щоправда, сам автор відмічає, що сучасна теорія граничних теорем далека від завершення, що чимало напрямків, які повинні б викликати інтерес науковців, нез'ясовно мало досліджувались. Зокрема, згадується про те, що кожна гранична теорема поряд із доведенням факту збіжності в тій чи іншій схемі повинна містити також і оцінку швидкості цієї збіжності, бо лише в такому формулюванні теоретичне твердження матиме практичне застосування.

У даній роботі здійснено оцінки швидкості збіжності розподілів сум незалежних випадкових величин до нормального закону, а також досліджується близькість розподілів двох сум незалежних випадкових величин. Результати роботи є узагальненням раніше відомих результатів на випадок різно розподілених випадкових величин, при їх отриманні реалізовуються дві можливості для утворення характеристики, з допомогою якої формулюється результат - за допомогою максимального з псевдомоментів доданків та у вигляді середнього значення. Це і визначає актуальність тематики роботи.

Мета і задачі дослідження. Мета даної роботи - одержати оцінки швидкості збіжності у граничних теоремах на випадок різно розподілених випадкових величин, використовуючи псевдомоменти різного виду. Зокрема, оцінити швидкість збіжності розподілів сум випадкових величин до нормального закону розподілу у центральній граничній теоремі; у локальній граничній теоремі для густин. Також розглянути близькість розподілів двох сум випадкових величин, зокрема, збіжність розподілів сум до стійкого закону розподілу. Основним методом одержання оцінок швидкості збіжності є метод характеристичних функцій.

1. Оцінки швидкості збіжності функцій розподілу сум випадкових величин до нормального закону розподілу

Нехай - послідовність незалежних випадкових величин з M=0, D=, , функціями розподілу Fk(x), характеристичними функціями fk(t). Нехай Ф(х) - функція розподілу стандартного нормального закону, Фn(х) - функція розподілу випадкової величини.

Крім того, розділ містить оцінки швидкості збіжності у локальній граничній теоремі для щільностей. При отриманні цих оцінок використовється псевдомомент .

2. Оцінювання близькості розподілів двох сум

Нехай і - дві послідовності випадкових величин відповідно з функціями розподілу і ; характеристичними функціями і , і - відповідно функції розподілу випадкових величин.

Очевидно, цю властивість мають, зокрема, стійкі закони розподілу. Для здійснення оцінок у цьому розділі роботи використовуються як звичайні псевдомоменти, так і “урізані”.

і = |x||Hi(x)dx;

і0 = max(1,|x|)|Hi(x)|dx;

і0 = max(1, x+1)dHi(x),

= max (1 , …, n), 0 = max (10 , …, n0), 0 = max (10, …, n0).

При ознайомленні з вищенаведеними псевдомоментами виникає питання: а чи можна вказати випадкові величини, для яких ці характеристики існують? Адже відомим є лише факт існування для стійкого закону розподілу моментів порядку, меншого, ніж .

Наведено приклади випадкових величин, для яких існують моменти довільного порядку, а отже, наше дослідження має реальний об'єкт.

Нехай.

Теорема 1. Нехай виконується умова і нехай і - величина, для якої при деякому s [0,+1] і при всіх t виконуються нерівності:

i(t)=i(t) - gi(t) i min (R |t|, |t|), i=1,2,…,

= max(1 ,…,n ),

Тоді існує стала С(1) = С(1)(, ,R) така, що при n 2

n max ( , p),

при s > 0:

C(1)(1 + s-1)max ( , p ),

Наслідок 1.

Нехай виконуються умови. Тоді для всіх натуральних n виконується нерівність:

min{max(); max(); }.

Висновки

випадковий граничний псевдомомент розподільний

У роботі одержано оцінки швидкості збіжності для сум випадкових величин. Дані оцінки краще від попередніх враховують близькість розподілів до граничного, оскільки виражаються через псевдомоменти різного виду.

Усі результати роботи одержано для різно розподілених випадкових величин. Розглядалася насамперед збіжність функцій розподілу сум випадкових величин до нормального закону розподілу, при цьому використовувалися псевдомоменти різної структури. Якщо - деяка характеристика близькості розподілів доданків до граничного розподілу, то в другому розділі роботи використовуються характеристики , а в третьому - характеристики вигляду середніх. Згадані оцінки узагальнюють результати.

Отримано також одну оцінку швидкості збіжності в локальній граничній теоремі, що є узагальненням результатів.

Ще більш широким узагальненням стало розширення класу граничних законів: містить оцінки близькості функцій розподілу сум незалежних різно розподілених випадкових величин, при цьому характеристична функція закону розподілу випадкових величин однієї послідовності задовольняє умові , що, зокрема, виконується для стійких законів розподілу.

Одержані оцінки виражаються в термінах псевдомоментів. Оскільки умова, що накладається, для стійких розподілів виконується, то із одержаних результатів випливають оцінки швидкості збіжності до стійких законів розподілу.

Література

1. Боярищева Т.В., Слюсарчук П.В. Оцінка швидкості збіжності в центральній граничній теоремі для різно розподілених величин //Науковий вісник Ужгородського університету. сер. матем. - Ужгород, 1999. - вип. 4 - с.12-16.

2. Боярищева Т.В., Поляк І.Й., Слюсарчук П.В. Оцінка близькості розподілів сум до нормального закону //Науковий вісник Ужгородського університету. сер. матем. - Ужгород, 2000. - вип. 5 - с.4 - 10.

3. Боярищева Т.В. Оцінка швидкості збіжності в локальній граничній теоремі для щільностей у випадку різно розподілених випадкових величин //Тези VIII Міжнародної наукової конференції ім. академіка М. Кравчука - Київ, 2000. - с.413.

4. Боярищева Т.В. , Слюсарчук П.В. Оцінка близькості розподілів двох сум для різно розподілених випадкових величин //Науковий вісник Ужгородського університету. сер. матем. - Ужгород, 2001. - вип. 6 - с.4 - 8.

5. Боярищева Т.В. , Слюсарчук П.В. Оцінка близькості розподілів сум випадкових величин //Вісник Київського університету. сер. фіз.-мат. науки - Київ, 2002. - вип. 5 - с.27 - 32.

6. Боярищева Т.В., Слюсарчук П.В. Оцінка близькості розподілів сум //Тези VI Міжнародної школи з математичних і статистичних методів в економіці, фінансах та страхуванні - Крим, Ласпі, 2002. - с. 31 - 32.

7. Боярищева Т.В. Наближення розподілів сум випадкових величин //Вісник Київського університету. сер. фіз.-мат. науки - Київ, 2003. - вип. 4 - с.26 -30.

8. Боярищева Т.В., Слюсарчук П.В. Близькість розподілів сум до нормального //Тези VII Міжнародної школи з математичних і статистичних методів в економіці, фінансах та страхуванні - Крим, Ласпі 2003. - с.19.

Размещено на Allbest.ru