Задача Стефана для одновимірних гіперболічних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Львівський національний університет імені Івана Франка

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

ЗАДАЧА СТЕФАНА ДЛЯ ОДНОВИМІРНИХ ГІПЕРБОЛІЧНИХ СИСТЕМ

01.01.02 - диференціальні рівняння

Андрусяк Руслан Васильович

Львів - 2006

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник: кандидат фізико-математичних наук,

доцент Кирилич Володимир Михайлович,

доцент кафедри диференціальних рівнянь

Львівського національного університету імені Івана Франка.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Філімонов Андрій Матвійович,

професор кафедри “Прикладна математика-1”

Московського державного університету шляхів сполучення;

кандидат фізико-математичних наук,

доцент Кміть Ірина Ярославівна,

старший науковий співробітник відділу математичної фізики

Інституту прикладних проблем механіки і математики

ім. Я. С. Підстригача НАН України.

Провідна установа: Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна, кафедра математичної фізики й обчислювальної математики, м. Харків.

Захист відбудеться “2“  листопада  2006 р. о 15:00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 35.051.07 у Львівському національному університеті імені Івана Франка за адресою: 79000, м. Львів, вул. Університетська, 1, ауд. 377.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Львівського національного університету імені Івана Франка (м. Львів, вул. Драгоманова, 5). Автореферат розісланий “ 29 “ вересня 2006 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Остудін Б. А.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

гіперболічний стефан квазілінійний рівняння

Актуальність теми. Незважаючи на свою понад столітню історію, теорія граничних задач для диференціальних рівнянь з частинними похідними гіперболічного типу у випадку двох незалежних змінних пропонує нові задачі, розв'язання яких потребує різних методів дослідження із сучасного аналізу. Це зумовлено тим, що гіперболічні задачі виникають під час дослідження багатьох процесів природознавства та техніки.

Новими задачами теорії гіперболічних рівнянь є, зокрема, задачі з невідомими (вільними) границями. Такі задачі для параболічних та еліптичних рівнянь називають задачами Стефана. Їх вивчення започатковане серією робіт J. Stefan'а, перша з яких була опублікована в 1889 році. Аналіз проблематики задач Стефана проведено в працях І. Данилюка, Є. Радкевича, S. Gupta, L. Rubin-stein'а та ін.

Велике теоретичне і прикладне значення має задача Стефана, що описує тепло-фізичні процеси, які супроводжуються фазовими переходами. Однак, якщо класичну модель розповсюдження тепла в середовищі замінити узагальненим законом Фур'є, то отримуємо гіперболічну модель теплопереносу (E. Comparini, L. De Socio, G. Guatieri, A. Friedman, L. Rubinstein, R. Showalter, A. Solomon). Інші математичні моделі, зокрема аеропружності, газової динаміки, кристалохімії, також приводять до розв'язання задач з невідомими границями для гіперболічних рівнянь і систем. Згодом такі задачі почали називати гіперболічними задачами Стефана.

Одними з перших одновимірні гіперболічні задачі Стефана досліджували Ю. Самарін та C. Hill. З. Мельник та Т. Мельник за допомогою методу характеристик такі задачі зводили до систем нелінійних інтегро-функціональних рівнянь Вольтерра. Застосування методу характеристик дало змогу розширити дослідження гіперболічних задач з невідомими границями на випадки нелокальних (нерозділених та інтегральних) граничних умов та виродження лінії задання початкових даних. Деякі узагальнені гіперболічні задачі Стефана вивчались Г. Береговою, В. Кириличем, А. Мишкісом та А. Філімоновим.

Варіанти задач з невідомими границями для лінійних та нелінійних гіперболічних рівнянь і систем, або задач спряження розв'язків параболічного і гіперболічного рівнянь вздовж вільної границі вивчались багатьма авторами (Д. Асpакуловa, Д. Безрукходжаєва, Р. Бостанов, Р. Хубієв, Т. Джураєв, К. Казаков, С. Моpозов, М. Лєтавін, А. Мадатов, Ж. Тахіров, А. Філімонов, J. Turo, G. Chao-hao, L. Da-tsin, Y. Wen-tsu та ін.).

Цікавими для досліджень є також задачі про визначення деяких коефіцієнтів гіперболічних рівнянь і систем за додатковою інформацією про їх розв'язок. Ця інформація подає параметри фізичного процесу, що проходить в середовищі та вимірюється на границі або в середині області. Загальна методологія досліджень та конкретні випадки обернених гіперболічних задач подані в роботах С. Кабаніхіна, М. Лавpентьєва, В. Романова, В. Яхно. Обернені гіперболічні задачі Стефана вивчались в працях Г. Берегової, В. Кирилича, В. Крутікова.

Для нелінійних задач з невідомими границями або обернених задач для гіперболічних рівнянь і систем, у працях згаданих тут авторів основні результати отримувались, звичайно, шляхом зведення вказаних задач до нелінійних інтегро-функціональних рівнянь типу Вольтерра, для яких доводилась коректна розв'язність вихідної задачі в класичному або узагальненому розумінні розв'язку при малих t. Деякі питання глобальної розв'язності таких задач вивчались в роботах А. Мишкіса, А. Філімонова, Д. Орловського, І. Кміть, J. Turo.

У дисертаційній роботі досліджується питання про локальну та глобальну за часом t розв'язність нелінійних одновимірних гіперболічних задач Стефана та обернених задач з невідомими границями для систем рівнянь першого порядку.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертацій-на робота пов'язана з науковими дослідженнями кафедри диференціальних рівнянь Львівського національного університету імені Івана Франка і виконана в рамках науково-дослідної теми "Розробка теорії класичних і некласичних задач для диференціальних рівнянь та методів дослідження математичних моделей" (номер держреєстрації 0103U001908).

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є встановлення умов існування та єдиності локального та глобального узагальнених розв'язків прямих та обернених гіперболічних задач Стефана для систем рівнянь першого порядку з двома незалежними змінними.

Задачі дослідження полягають у:

встановленні умов коректної локальної та глобальної розв'язності гіперболічної задачі Стефана для напівлінійної системи рівнянь у криво-лінійній смузі;

встановленні умов існування та єдиності локального та глобального узагальнених розв'язків гіперболічної задачі Стефана для квазілінійної системи рівнянь у криволінійній смузі;

встановленні умов коректної розв'язності гіперболічної задачі Стефана для квазілінійної системи рівнянь у криволінійному секторі (випадок виродження лінії задання початкових умов у точку);

доведенні теорем існування та єдиності локального та глобального узагальнених розв'язків оберненої гіперболічної задачі Стефана для лінійної системи, що містить невідомі, залежні від часу, множники у вільних членах.

Об'єкт дослідження: гіперболічна задача Стефана для напівлінійної та квазілінійної одновимірної системи рівнянь першого порядку, обернена гіперболічна задача Стефана.

Предмет дослідження: достатні умови існування та єдиності локального та глобального узагальнених розв'язків задачі Стефана для одновимірних гіперболічних систем.

Методи дослідження: метод характеристик (під час зведення задач Стефана до еквівалентних систем інтегрально-функціональних рівнянь); метод нерухомої точки (під час знаходження розв'язків операторних рівнянь); метод продовження розв'язку (у випадку встановлення глобальної за t розв'язності задач).

Наукова новизна отриманих результатів. У дисертаційній роботі вперше отримано такі результати:

умови глобальності розв'язку задачі Стефана для напівлінійної гіперболічної системи рівнянь першого порядку;

умови локальної та глобальної розв'язності задачі Стефана в криволінійній смузі для квазілінійної гіперболічної системи рівнянь першого порядку;

умови коректної розв'язності задачі Стефана в криволінійному секторі для квазілінійної гіперболічної системи рівнянь першого порядку;

умови існування та єдиності глобального розв'язку оберненої гіперболічної задачі Стефана.

Практичне значення отриманих результатів. Дисертація має теоретичне значення і результати її досліджень є певним внеском в теорію диференціальних рівнянь з частинними похідними, зокрема, в теорію граничних задач в областях з невідомими границями. Вони можуть бути використані під час вивчення математичних моделей аеро- та гідропружності, газової динаміки, хімії полімерів, теплопровідності (гіперболічна модель теплопереносу).

Особистий внесок здобувача. Основні результати дисертаційної роботи отримані автором самостійно. У спільних з науковим керівником працях [4, 5] В. Кириличу належать постановка задач і аналіз отриманих результатів. У роботі [6] В. Кирилич сформулював проблему, а А. Мишкісу належать: аналіз резуль-татів, деякі зауваження та доповнення.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертаційної роботи доповідалися та обговорювалися на: міжнародній конференції "Nonlinear partial differential equations" (Алушта, 2003 р.); X-тій міжнародній науковій конференції ім. акад. М. Кравчука (Київ, 2004 р.); конференції молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я. Підстригача (Львів, 2004, 2005 рр.); міжнародній математичній конференції ім. В. Скоробогатька (Дрогобич, 2004 р.); міжнародній конференції "Диференціальні рівняння та їх застосування" (Київ, 2005 р.); міжнародній конференції "Nonlinear partial differential equations" (Алушта, 2005 р.); міжнародній науковій конференції "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения" (Воронеж, 2005 р.); львівському міському семінарі з диференціальних рівнянь (Львів, 2003 - 2006 рр.); математичному науковому семінарі ім. В. Скоробогатька при Інституті прикладних проблем механіки і математики ім. Я. Підстригача (Львів, 2004 р.); семінарі кафедри "Прикладна математика-1" Московського державного університету шляхів сполучення (Москва, 2006 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 14 працях, з них 4 - у наукових журналах, 2 - у збірниках наукових праць та 8 - у матеріалах і тезах конференцій. Серед публікацій 5 праць - у наукових фахових виданнях з переліку, затвердженого ВАК України.

Структура і об'єм роботи. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків і списку використаних джерел, що містить 179 найменувань. Загальний об'єм дисертації - 152 сторінки, з яких 20 сторінок займає список використаних джерел.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обгрунтовано актуальність теми, відмічено зв'язок роботи з науковими програмами, державними темами, визначено мету роботи і задачі дослідження, подано анотацію нових наукових результатів та їх практичне значення, а також вказано апробацію отриманих результатів, кількість публікацій та структуру дисертації.

Перший розділ присвячений огляду публікацій за тематикою дисертаційної роботи. Висвітлено історію дослідження одновимірних гіперболічних задач з невідомими границями, вказано на труднощі та досягнення у цій області.

У другому розділі розглянуто задачу з невідомими границями (задачу Стефана) для напівлінійної гіперболічної системи рівнянь першого порядку з двома незалежними змінними, досліджено питання локальної та глобальної розв'язності задачі. В області

розглянемо систему рівнянь з частинними похідними гіперболічного типу з невідомою функцією

(1)

причому межі області також є невідомими й задоволь-няються система звичайних диференціальних рівнянь

(2)

та початкові умови

(3)

де

Увівши множини значень індексу :

де задамо граничні умови

(4)

Нехай - характеристики системи (1), кожну з яких визначимо, як розв'язок відповідної задачі Коші Припускаючи, що

(5)

й формально інтегруючи рівняння (1) вздовж відповідних характеристик, приходимо до системи інтегрально-функціональних рівнянь

Інтегруючи (2), отримуємо еквівалентну систему інтегральних рівнянь

Означення 2.1. Нехай - довільне фіксоване число. Узагальненим розв'язком задачі (1) - (4) будемо називати пару функцій що задовольняють умову (5) та рівності (6), (7).

Означення 2.2. Якщо для якого існує розв'язок задачі (1) - (4) в сенсі означення 2.1, то цей розв'язок будемо називати локальним.

У третьому розділі розглянуто гіперболічну задачу для квазілінійної системи рівнянь в областях з невідомими межами, досліджено питання однозначної розв'язності задачі на малому часовому відрізку та можливість продовження отриманого локального узагальненого розв'язку задачі на часовий відрізок довільної величини.

У підрозділі 3.2 розглянутий випадок виродження лінії задання початкових умов у точку, тобто задача в криволінійному секторі з невідомою межею причому характеристики системи (9), що виходять із вершини сектора, можуть попадати в середину області.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі встановлено достатні умови існування та єдиності локального та глобального узагальнених розв'язків прямих та обернених гіперболічних задач Стефана для систем рівнянь першого порядку з двома незалежними змінними, а саме:

гіперболічної задачі Стефана для напівлінійної системи рівнянь у криволінійній смузі;

гіперболічної задачі Стефана для квазілінійної системи рівнянь у криволінійній смузі;

гіперболічної задачі Стефана для квазілінійної системи рівнянь у криволінійному секторі (випадок виродження лінії задання початкових умов у точку);

оберненої гіперболічної задачі Стефана для лінійної системи, що містить невідомі, залежні від часу, функції у вільних членах.

Поставлені задачі для гіперболічних рівнянь в областях з невідомими границями зведено до еквівалентних нелінійних систем інтегрально-функціо-нальних рівнянь типу Вольтерра, для яких існування та єдиність локальних розв'язків встановлено на підставі теореми Банаха про нерухому точку стисного оператора. На основі отриманих оцінок та при деяких додаткових обмеженнях на вихідні дані задач, локальні розв'язки продовжено на всю часову вісь.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Андрусяк Р.В. Глобальна розв'язність напівлінійної гіперболічної задачі Стефана на прямій // Вісник Львів. ун-ту. Сер. мех.-мат. - 2004. - Вип. 63. - С. 5-17.

Андрусяк Р.В. Глобальна розв'язність змішаної задачі з невідомими границями для напівлінійної гіперболічної системи // Вісник Львів. ун-ту. Сер. прикл. мат. та інформ. - 2004. - Вип. 9. - С. 3-24.

Андрусяк Р.В. Глобальна розв'язність оберненої гіперболічної задачі Стефана // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 2005. - Т. 48, N 4. - С. 100-112.

Андрусяк Р.В., Кирилич В.М. Глобальна розв'язність гіперболічної квазілінійної задачі Стефана на прямій // Доп. Нац. акад. наук Укр. - 2005. - N 7. - С. 7-11.

Andrusyak R.V., Kyrylych V.M. Global solvability of hyperbolic Stefan problem // Матем. студії. - 2005. - Т. 23, N 2. - С. 191-206.

Андрусяк Р.В., Кирилич В.М., Мышкис А.Д. Локальная и глобальная разрешимость квазилинейной гиперболической задачи Стефана на прямой // Диф. уравнения. - 2006. - Т. 42, N 4. - С. 489-503.

Andrusyak R.V., Kyrylych V.M. Continuous solutions of the hyperbolic problem with free boundaries // International conference "Nonlinear partial differential equations". Book of abstracts. - Alushta. - 2003. - P. 9.

Андрусяк Р.В. Глобальна розв'язність гіперболічної квазілінійної задачі Стефана на прямій // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробогатька. Тези доповідей. - Дрогобич: ДДПУ. - 2004. - С. 10.

Андрусяк Р.В., Кирилич В.М. Глобальна розв'язність гіперболічної задачі Стефана на прямій // X-та міжнародна наукова конференція ім. акад. М. Кравчука. Матеріали конференції. - Київ: НТУУ-КПІ. - 2004. - С. 19.

Андрусяк Р.В., Кирилич В.М. Глобальна розв'язність змішаної задачі з невідомими границями для напівлінійної гіперболічної системи рівнянь // Конференція молодих вчених з сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я.С. Підстригача. Тези доповідей. - Львів: ІППММ. - 2004. - С. 8-9.

Андрусяк Р.В. Локальна розв'язність оберненої гіперболічної задачі Стефана // Конференція молодих учених із сучасних проблем механіки і математики ім. акад. Я.С. Підстригача. Тези доповідей. - Львів: ІППММ. - 2005. - С. 253.

Андрусяк Р. Про розв'язність оберненої мішаної задачі для гіперболічної системи рівнянь // Міжнародна конференція "Диференціальні рівняння та їх застосування". Тези доповідей. - Київ: КНУ ім. Т. Шевченка. - 2005. - С. 10.

Андрусяк Р.В., Кирилич В.М. Разрешимость обратной гиперболической задачи Стефана // Международная научная конференция "Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения". Материалы конференции. - Воронеж. - 2005. - С. 14-15.

Andrusyak R.V., Kyrylych V.M. Global solvability of the inverse hyperbolic Stefan problem // International conference "Nonlinear partial differential equations". Book of abstracts. - Alushta. - 2005. - P. 11.

АНОТАЦІЯ

Андрусяк Р.В. Задача Стефана для одновимірних гіперболічних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Львівський національний університет імені Івана Франка. Львів, 2006.

Дисертаційна робота присвячена вивченню прямих та оберненої задач в областях з невідомими (вільними) границями для гіперболічних систем рівнянь першого порядку з двома незалежними змінними. Встановлено умови локальної та глобальної розв'язності цих задач. Поставлені задачі зведено до еквівалентних нелінійних систем інтегрально-функціональних рівнянь типу Вольтерра, для яких встановлено умови локального існування та єдиності узагальненого (ліпшицевого) розв'язку на підставі теореми Банаха про нерухому точку стисного оператора або, в окремому випадку, узагальненого принципу стисних відображень. Досліджено питання продовження локального розв'язку та отримано достатні умови розв'язності задач на всій часовій осі.

Ключові слова: гіперболічна система рівнянь, задача з невідомими границями, обернена гіперболічна задача, метод характеристик, теорема Банаха про нерухому точку.

ABSTRACT

Andrusyak R.V. The Stefan problem for one-dimension hyperbolic systems. - Manuscript.

The thesis for obtaining Candidate of Sciences (Physics and Mathematics) degree (Ph.D.), specialization 01.01.02 - Differential Equations. Ivan Franko National University of Lviv. Lviv, 2006.

The dissertation is dedicated to the research of direct and inverse problems for hyperbolic systems of first-order equations with two independent variables in domains with unknown (free) boundaries. Conditions of local and global solvability for these problems have been established. The set problems are reduced to equivalent nonlinear systems of integro-functional equations of the Volterra type, for which the existence and uniqueness of local generalized (Lipschitzian) solution have been proved by the Banach fixed-point theorem or, in an individual case, by the generalized principle of contractive mappings. The issue of continuation of local solution has been researched, and sufficient conditions for solvability of the problems on the entire time axis have been obtained.

Key words: hyperbolic system of equations, free boundary problem, inverse hyperbolic problem, the method of characteristics, the Banach fixed-point theorem.

АННОТАЦИЯ

Андрусяк Р.В. Задача Стефана для одномерных гиперболических систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математичес-ких наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Львовский национальный университет имени Ивана Франко. Львов, 2006.

Диссертационная работа посвящена изучению прямых и обратной задач в областях с неизвестными (свободными) границами для гиперболических систем уравнений первого порядка с двумя независимыми переменными. Установлены условия локальной и глобальной разрешимости этих задач. Поставленные задачи сведены к эквивалентным нелинейным системам интегрально-функциональных уравнений типа Вольтерра, для которых установлены условия локального существования и единственности обобщенного (липшицевого) решения с помощью теоремы Банаха о неподвижной точке сжимающего оператора или, в отдельном случае, обобщенного принципа сжимающих отображений. На основании полученных оценок для локальных решений, доказана глобальная разрешимость исследуемых задач.

В первом разделе выполнен обзор работ, в которых изучались подобного рода краевые задачи для гиперболических уравнений и систем. Проведен анализ результатов, касающихся глобальности решения этих задач в областях с фиксированными и свободными границами. Освещено историю исследования гиперболических задач с неизвестными границами (гиперболических задач Стефана), указано на сложности и достижения в этой области.

Во втором разделе исследована полулинейная гиперболическая задача Стефана. Рассмотрено два случая задания условий на границе области. Получены теоремы о локальной и глобальной разрешимости задачи. Существование и единственность локального обобщенного решения установлено при достаточно слабых ограничениях на исходные данные поставленных задач. Корректная разрешимость исследуемых задач на всей оси времени требует дополнительных предположений знакопостоянства, монотонности, а также ограничений на рост и величину заданных функций.

Третий раздел посвящен изучению гиперболической задачи Стефана для квазилинейной системы уравнений. Задача ставится в разных областях с неизвестными границами: криволинейной полосе и криволинейном секторе. Доказано теоремы корректной разрешимости задачи. Существование и единственность локального обобщенного решения установлено для широкого класса квазилинейных гиперболических задач Стефана, однако, в случае вырождения линии задания начальных условий в точку (задача в секторе) вследствие специфики области налагаются дополнительные ограничения на величину исходных данных. Исследован вопрос о продолжении локального решения и получены достаточные условия глобальной разрешимости поставленных задач.

В четвертом разделе рассмотрено обратную гиперболическую задачу Стефана для линейной системы, что содержит неизвестные, зависимые от времени, функции в свободных членах. Доказано теоремы существования и единственности локального и глобального обобщенных решений задачи.

Результаты исследований имеют теоретическое значение, могут использоваться при исследованиях в теории дифференциальных уравнений с частными производными и уравнений математической физики, а также применяться на практике для изучения свойств реальных объектов и процессов с целью прогнозирования их поведения и управления ними.

Ключевые слова: гиперболическая система уравнений, задача с неизвест-ными границами, обратная гиперболическая задача, метод характеристик, теорема Банаха о неподвижной точке.

Размещено на Allbest.ru