Решение систем уравнений
Решение системы трех линейных уравнений методами Крамера и Гаусса с помощью определителей и преобразования матриц. Вычисление длины ребра, угла между ребрами, площади грани, уравнения плоскости и объёма пирамиды по заданным координатам её вершин.
| Рубрика | Математика |
| Вид | контрольная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 22.08.2014 |
| Размер файла | 106,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задача 1. Дана система трех линейных уравнений. Найти решение ее двумя способами: методом Крамера и методом Гаусса.
Решение.
Вначале решим методом Крамера.
Формула Крамера:
x; y; z.
Здесь ?-определитель системы;
?x-определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;
?y-определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;
?z-определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;
?== (2*4*4) + ((-1)*(-2)*3) + ((-1)*3*(-2)) - ((-1)*4*3) - ((-1)*3*4) - (2*(-2)*(-2)) = 32+6+6+12+12-8 = 60
уравнение линейный пирамида
?x== (4*4*4) + ((-1)*(-2)*11) + ((-1)*11*(-2)) - ((-1)*4*11) - ((-1)*11*4) - (4*(-2)*(-2)) = 64+22+22+44+44-16 = 180
?y= = (2*11*4) + (4*(-2)*3) + ((-1)*3*11) - ((-1)*11*3) - (3*4*4) - (2*(-2)*11) = 88-24-33+33-48+44=60
?z= = (2*4*11) + ((-1)*11*3) + (4*3*(-2)) - (4*4*3) - ((-1)*3*11) - (2*11*(-2)) = 88-33-24-48+33+44=60
Теперь найдем значения неизвестных:
x =
y =
z =
Затем решим методом Гаусса.
Перепишем систему уравнения в матричном виде:
С помощью элементарных преобразований приводим матрицу к требуемому виду:
=> => => =>
Рассмотрим третье уравнение из получившейся системы:
60z =60
z = 1
Рассмотрим второе уравнение получившейся системы и, подставим в него значение z из третьего уравнения, и найдем значение y:
187y + 17z = 170
187y + 17*1=170
187y = 17017
187y = 187
y = 1
Рассмотрим первое уравнение получившейся системы и, подставим в него значения y и z,и найдем значение x:
x5y + z = 7
x5*1 + 1=7
x4 = 7
x = 3
x = 3
Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения:
ОТВЕТ: x=3; y=1; z=1.
Задача 2. Даны координаты вершин пирамиды А1 (4; 2; 5), А2 (0; 7; 2), А3 (0; 2; 7), А4 (1; 5; 0).
Найти:
1. Длину ребра А1А2;
2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4;
3. Площадь грани А1А2А3;
4. Уравнение плоскости А1А2А3.
5. Объём пирамиды А1А2А3А4
Решение.
1. Длина ребра А1А2 равна расстоянию между точками А1 и А2 или модулю вектора. Расстояние между точками M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) вычисляется по формуле
М1М2=.
Подставляя в эту формулу исходные данные, получим:
A1A2 ===7,07
2. Угол между ребрами А1А2 и А1А4 найдем, используя формулы векторной алгебры:
; ; =.
В нашем случае , . Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,
3. Площадь грани A1A2A3 можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и численно равна модулю их векторного произведения.
В нашем случае
,;
Имеем,
Итак, площадь грани A1A2A3 равна 15 (кв.ед.)
4. Уравнение плоскости A1A2A3 будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А1,А2 и А3:
,
,
,
,
,
5. Объем пирамиды А1А2А3А4 найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов - модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно
.
Найдем смешанное произведение векторов , и :
ОТВЕТЫ:
1.длина ребра А1А2 равна 7,07(ед.);
2.угол между ребрами А1А2 и А1А4 равен 24,49о;
3.площадь грани А1А2А3 равна 15(кв.ед.);
4.уравнение плоскости А1А2А3 (в общем виде) ;
5.объём пирамиды А1А2А3А4 равен 11,6(куб.ед.).
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Решение системы уравнений по формулам Крамера и методом Гаусса. Нахождение объема пирамиды, площади грани, величины проекции вектора с помощью средств векторной алгебры. Пример определения и решения уравнения стороны, высоты и медианы треугольника.
контрольная работа [989,1 K], добавлен 22.04.2014Нахождение длины ребер, углов между ними, площадей граней и объема пирамиды по координатам вершин пирамиды. Решение системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными методом Крамера, средствами матричного исчисления. Уравнение кривой второго порядка.
контрольная работа [330,3 K], добавлен 01.05.2012Основные этапы и принципы решения системы линейных уравнений с помощью метода Крамара, обратной матрицы. Разрешение матричного уравнения. Вычисление определителя. Расчет параметров пирамиды: длины ребра, площади грани, объема, а также уравнения грани.
контрольная работа [128,1 K], добавлен 06.09.2015Выполнение действий над матрицами. Определение обратной матрицы. Решение матричных уравнений и системы уравнений матричным способом, используя алгебраические дополнения. Исследование и решение системы линейных уравнений методом Крамера и Гаусса.
контрольная работа [63,2 K], добавлен 24.10.2010Расчет денежных расходов предприятия на выпуск изделий, при выражении их стоимости при помощи матриц. Проверка совместимости системы уравнений и их решение по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы. Решение алгебраических уравнений методом Гаусса.
контрольная работа [576,6 K], добавлен 28.09.2014Методика проверки совместности системы уравнений и ее решение. Вычисление параметров однородной системы линейных алгебраических уравнений. Нахождение по координатам модуля, проекции вектора, скалярного произведения векторов. Составление уравнения прямой.
контрольная работа [104,2 K], добавлен 23.01.2012Решение системы линейных уравнений методом Гауса. Преобразования расширенной матрицы, приведение ее к треугольному виду. Средства матричного исчисления. Вычисление алгебраических дополнений матрицы. Решение матричного уравнения по правилу Крамера.
задача [26,8 K], добавлен 29.05.2012Решение систем уравнений методом Гаусса, с помощью формул Крамера. Построение пространства решений однородной системы трех линейных уравнений с четырьмя неизвестными с указанием базиса. Определение размерности пространства решений неоднородной системы.
контрольная работа [193,5 K], добавлен 28.03.2014Доказательство линейной независимости системы векторов пирамиды. Расчет длины ребра, угла между ребрами. Составление уравнения прямой и плоскости. Выполнение операций для матриц. Величина главного определителя. Поиск алгебраических дополнений матрицы.
контрольная работа [156,0 K], добавлен 20.03.2017Теория определителей в трудах П. Лапласа, О. Коши и К. Якоби. Определители второго порядка и системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Определители третьего порядка и свойства определителей. Решение системы уравнений по правилу Крамера.
презентация [642,7 K], добавлен 31.10.2016
