Математическое программирование. Линейное и нелинейное программирование

Математическое программирование - это математическая дисциплина, в которой разрабатываются методы отыскания экстремальных значений целевой функции среди множества ее возможных значений, определяемых ограничениями.

Наличие ограничений делает задачи математического программирования принципиально отличными от классических задач математического анализа по отысканию экстремальных значений функции. Методы математического анализа для поиска экстремума функции в задачах математического программирования оказываются непригодными.

Для решения задач математического программирования разработаны и разрабатываются специальные методы и теории. Так как при решении этих задач приходится выполнять значительный объем вычислений, то при сравнительной оценке методов большое значение придается эффективности и удобству их реализации на ЭВМ.

Математическое программирование можно рассматривать как совокупность самостоятельных разделов, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

В зависимости от свойств целевой функции и функции ограничений все задачи математического программирования делятся на два основных класса:

· задачи линейного программирования,

· задачи нелинейного программирования;

· задачи динамического программирования.

Если целевая функция и функции ограничений - линейные функции, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей линейного программирования. Если хотя бы одна из указанных функций нелинейна, то соответствующая задача поиска экстремума является задачей нелинейного программирования.

2. Понятие линейного программирования. Виды задач линейного программирования

4. Динамическое программирование

Динамическое программирование представляет собой математические аппарат, позволяющий быстро находить оптимальное решение в случаях, когда анализируемая ситуация не содержит факторов неопределенности, но имеется большое количество вариантов поведения, приносящих различные результаты, среди которых необходимо выбрать наилучший. Динамическое программирование подходит к решению некоторого класса задач путем разложения на части, небольшие и менее сложные задачи. В принципе, задачи такого рода могут быть решены путем перебора всех возможных вариантов и выбора среди них наилучшего, однако часто такой перебор весьма затруднен. В этих случаях процесс принятия оптимального решения может быть разбит на шаги (этапы) и исследован с помощью метода динамического программирования.

Решение задач методами динамического программирования проводится на основе сформулированного Р.Э.Беллманом принципа оптимальности: оптимальное поведение обладает тем свойством, что каким бы ни было первоначальное состояние системы и первоначальное решение, последующее решение должно определять оптимальное поведение относительно состояния, полученного в результате первоначального решения.

Таким образом, планирование каждого шага должно проводится с учетом общей выгоды, получаемой по завершении всего процесса, что и позволяет оптимизировать конечный результат по выбранному критерию.

Вместе с тем динамическое программирование не является универсальным методом решения. Практически каждая задача, решаемая этим методом, характеризуется своими особенностями и требует проведения поиска наиболее приемлемой совокупности методов для ее решения. Кроме того, большие объемы и трудоемкость решения многошаговых задач, имеющих множество состояний, приводят к необходимости отбора задач малой размерности либо использования сжатой информации.

Динамическое программирование применяется для решения таких задач, как: распределение дефицитных капитальных вложений между новыми направлениями их использования; разработка правил управления спросом и запасами; составление календарных планов текущего и капитального ремонтов оборудования и его замены; поиск кратчайших расстояний на транспортной сети и т.д.

Пусть процесс оптимизации разбит на n шагов. На каждом шаге необходимо определить два типа переменных - переменную состояния S и переменную управления X. Переменная S определяет, в каких состояниях может оказаться система на данном k-м шаге. В зависимости от S на этом шаге можно применить некоторые управления, которые характеризуются переменной X. Применение управления X на k-м шаге приносит некоторый результат Wk(S,Xk) и переводит систему в некоторое новое состояние S'(S,Xk). Для каждого возможного состояния на k-м шаге среди всех возможных управлений выбирается оптимальное управление X*k такое, чтобы результат, который достигается за шаги с k-го по n-й, оказался оптимальным. Числовая характеристика этого результата называется функцией Беллмана Fk(S) и зависит от номера шага k и состояния системы S.

Все решения задачи разбиваются на два этапа. На первом этапе, который называют условной оптимизацией, отыскиваются функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего.

После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый, производится второй этап решения задачи, который называется безусловной оптимизацией.

В общем виде задача динамического программирования формулируется следующим образом: требуется определить такое управление X*, переводящее систему из начального состояния S0 в конечное состояние Sn, при котором целевая функция F(S0,X*) принимает наибольшее (наименьшее) значение.

Особенности математической модели динамического программирования заключаются в следующем:

задача оптимизации формулируется как конечный многошаговый процесс управления;

целевая функция является аддитивной и равна сумме целевых функций каждого шага

;

выбор управления Xk на каждом шаге зависит только от состояния системы к этому шагу Sk-1 и не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи);

состояние системы Sk после каждого шага управления зависит только от предшествующего состояния системы Sk-1 и этого управляющего воздействия Xk (отсутствие последействия) и может быть записано в виде уравнения состояния:

;

на каждом шаге управление Xk зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние системы Sk зависит от конечного числа переменных;

оптимальное управление X* представляет собой вектор, определяемый последовательностью оптимальных пошаговых управлений:

X*=(X*1, X*2, …, X*k, …, X*n),

число которых и определяет количество шагов задачи.

Условная оптимизация. Как уже отмечалось выше, на данном этапе отыскиваются функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего в соответствии с алгоритмом обратной прогонки. На последнем n-м шаге найти оптимальное управление X*n и значение функции Беллмана Fn(S) не сложно, так как

Fn(S)=max{Wn(S,Xn)},

где максимум ищется по всем возможным значениям Xn.

Дальнейшие вычисления производятся согласно рекуррентному соотношению, связывающему функцию Беллмана на каждом шаге с этой же функцией, но вычисленной на предыдущем шаге:

Fk(S)=max{Wk(S,Xk)+Fk+1(S'(S,Xk))}. (1)

Этот максимум (или минимум) определяется по всем возможным для k и S значениям переменной управления X.

Безусловная оптимизация. После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый (на первом шаге k=1 состояние системы равно ее начальному состоянию S0), осуществляется второй этап решения задачи. Находится оптимальное управление на первом шаге X1, применение которого приведет систему в состояние S1(S,x1*), зная которое можно, пользуясь результатами условной оптимизации, найти оптимальное управление на втором шаге, и так далее до последнего n-го шага.

Пример (задача линейного программирования)

Задание

Для заданной математической постановки задачи ЛП, приняв дополнительно условие неотрицательности переменных, выполнить следующие действия:

Решить задачу графическим методом;

Привести задачу к канонической форме записи;

Составить симплексную таблицу;

Произвести решение задачи симплексным методом ручным способом или с использование компьютера;

Осуществить постановку двойственной задачи ЛП;

Получить решение двойственной задачи из полученной ранее симплексной таблицы и произвести анализ полученных результатов;

Проверить результаты решения в табличном процессоре Excel;

Составить отчет с приведение результатов по каждому пункту.

Решение

Графический метод. Для построения многоугольника решений преобразуем исходную систему

,

получим

изобразим граничные прямые.

Линейная функция F=f(x) является уравнением прямой линии c1x1 + c2x2 = const. Построим график целевой функции при f(x)=0. для построения прямой 3x1 + 4x2 = 0 строим радиус-вектор N = (3; 4) и через точку 0 проводим прямую, перпендикулярную ему. Построенную прямую F=0 перемещаем параллельно самой себе в направлении вектора N.

Рисунок 1 - Графический метод

Из рисунка 1 следует, что опорной по отношению к построенному многоугольнику решений эта прямая становится в точке B, где функция F принимает максимальное значение. Точка В лежит на пересечении прямых 0,7x1 + 2x2 ? 13,1 и 2,3x1 + 2x2 =23/ Для определения ее координат решим систему уравнений:

Оптимальный план задачи: х1 = 6.187; х2 = 4.38, подставляя значения х1 и х2 в целевую функцию, получаем Fmax= 3*6.187+4*4.38=36.08.

Таким образом, для того, чтобы получить максимальную прибыль в размере 36.06 долларов, необходимо запланировать производство 6 ед. продукции P1 и 4 ед. продукции P2.

Канонический вид задачи ЛП. Запишем в канонической форме задачу распределения ресурсов. Добавив к исходной системе ограничений неотрицательные переменные х3 ? 0, х4 ? 0, х5 ? 0, имеем:

При этом в далее получаемом решении переменные х3 и х4 будут соответствовать объемам неиспользованного сырья S1 и S2, а х5 - неиспользованному машинному времени.

Симплексная таблица ЛП. В случае базисных переменных {x3, x4, x5} начальная симплекс таблица будет выглядеть:

Таблица 1

Она уже соответствует опорному плану x(0) = [0 0 18 13,1 23]Т (столбец свободных членов).

Симплексный метод решения задачи ЛП. Для того, чтобы опорный план был оптимален, при максимизации целевой функции необходимо, чтобы коэффициенты в строке целевой функции были неотрицательными, т.е. при поиске максимума мы должны освободиться от отрицательных коэффициентов в строке f(x).

Алгоритм симплекс-метода.

1. Выбор разрешающего столбца. В качестве разрешающего выбираем столбец с минимальным коэффициентом в строке f(x). В данном примере это столбец х2.

2. Выбор разрешающей строки. Для выбора разрешающей строки (разрешающего элемента) среди положительных коэффициентов разрешающего столбца выбираем тот элемент, для которого отношение коэффициентов в столбце свободных членов к коэффициенту в разрешающем столбце минимально. Разрешающий элемент рассчитывается по формуле:

В данном примере такой строкой будет строка х3, т.к. отношение коэффициента в столбце свободных членов к коэффициенту в разрешающем столбце минимально.

3. Замена базиса. Для перехода к следующей симплексной таблице (следующему опорному плану с большим значением целевой функции) делаем шаг модифицированного жорданова исключения с разрешающим элементом arl, при котором базисная переменная xr становится свободной и одновременно свободная переменная xi становится базисной.

3.1 на месте разрешающего элемента ставится 1 и делится на разрешающий элемент;

3.2 остальные элементы разрешающего столбца меняют знак на противоположный и делятся на разрешающий элемент;

3.3 остальные элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;

3.4. все остальные элементы симплексной таблицы вычисляются по формуле:

3.5. элементы правого столбца и нижней строки пересчитываются по тому же принципу, что и элементы в центральной части таблицы.

Симплексная таблица, рассчитанная по алгоритму:

Таблица 2

Следующим разрешающим столбцом будет столбец х1, а разрешающей строкой - х4. Далее действуем по тому же алгоритму.

Таблица 3

Следующим разрешающим столбцом будет столбец х5, а разрешающей строкой - х3. Далее действуем по тому же алгоритму.

Таблица 4

Конечная симплексная таблица. Все коэффициенты в строке целевой функции положительны, т.е. мы нашли оптимальное решение.

Таким образом, в точке x1 = 4, x2 = 6, x3 = 1,3, x4 = 0, x5 = 0 целевая функция принимает максимальное значение f(x) = 36.

При этом переменным, которые стоят в верхней строке, в базисном решении присваивается значение 0 - это свободные переменные. Каждая из переменных, стоящая в левом столбце, приравнивается к числу, записанному в правом столбце той же самой строки - это базисные переменные.

Постановка двойственной задачи ЛП. Определить значение двойственных оценок можно следующим образом. если некоторый i-тый ресурс используется не полностью, т.е. имеется резерв, значит дополнительная переменная в ограничении для данного ресурса будет больше нуля. Очевидно, что при увеличении общего машинного времени не произошло бы увеличение целевой функции. Следовательно, машинное время не влияет на прибыль и для третьего ограничения двойственная переменная y3 = 0. Таким образом, если по данному ресурсу есть резерв, то дополнительная переменная будет больше нуля, а двойственная оценка данного ограничения равна нулю.

В данном примере оба вида сырья использовались полностью, поэтому их дополнительные переменные равны нулю (в итоговой симплексной таблице переменные х3 и х4 являются свободными, значит х3 = х4 = 0). Если ресурс использовался полностью, то его увеличение или уменьшение повлияет на объем выпускаемой продукции и, следовательно, на величину целевой функции. Значение двойственной оценки при этом находится в симплекс-таблице на пересечении строки целевой функции со столбцом данной дополнительной переменной.

Получить решение двойственной задачи из полученной ранее симплексной таблицы и произвести анализ полученных результатов. Формулировка и результаты решения исходной и двойственной задач распределения ресурсов приведены в таблице 5.

Таблица 5

Проверить результаты решения в табличном процессоре Excel. В Excel имеется надстройка «Поиск решения», которая позволяет решать оптимизационные задачи.

Использовав эту надстройку для решения нашей задачи ЛП, получаем следующий результат:

Таблица 6

Но при применении надстройки «поиск решения» к задаче, двойственной данной задаче ЛП, приходим к выводу, что решение полученное с помощью надстройки не сходится с решением из симплекс-таблицы:

Таблица 7

Заключение

В данной работе были рассмотрены решения задач нелинейного программирования, линейного программирования, динамического программирования.

Для решения задачи линейного программирования были использованы следующие методы:

1.Графический метод;

2.Симплексный метод;

3.Постановка двойственной задачи;

4.Решение задачи в предложении целочисленности переменных;

Для решения задачи нелинейного программирования были использованы следующие методы:

1.Метод множителей Лагранжа

Для решения задачи динамического программирования были использованы следующие методы:

Метод об оптимальном распределении инвестиций;

Метод выбора стратегии обновления оборудования;

Метод выбора оптимального пути в транспортной сети.

Список литературы