Функции и графики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

по математике

ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ

Вступление

Что же такое функция и что же такое графики функций?

Прежде чем дать точное определение функции, поговорим немного об этом понятии. Описательно говоря, функция - это когда каждому значению некоторой величины, которую математики называют аргументом и обозначают обычной буквой x, отвечает значение другой величины y.

Так, например, величина смещения земной поверхности при землетрясении в каждый момент времени имеет определенное значение - величина смещения есть функция времени. Сила тока в полупроводниковом элементе есть функция напряжения, так как каждому значению напряжения соответствует определенное значение силы тока.

Таких примеров можно привести много: объем шара есть функция его радиуса, высота, на которую поднимается вертикально брошенный вверх камень, есть функция его начальной скорости и т.д.

Еще одно существенное замечание. Когда говорят, что величина y есть функция величины x, то, прежде всего, указывают, какие значения может принимать x. Эти «разрешенные» значения аргумента x называют допустимыми значениями, а множество всех допустимых значений величины называется областью определения функции y.

Например, если мы говорим, что объем шара есть функция его радиуса, то областью определения функции будут все числа, больше нуля, поскольку величина радиуса шара может быть только положительным числом.

Теперь мы можем более точно сказать, что такое функция.

Функция - это зависимость

y=f(x),

функция график линейный пропорциональность

где каждому элементу x соответствует единственное значение функции y, где y - значение функции (зависимая переменная), x - значение аргумента (независимая переменная).

Правило, с помощью которого по значению x находят соответствующее значение y можно задавать различными способами, и никаких ограничений на форму, в которой оно выражается, не накладывается.

Функцию можно изображать геометрически с помощью графика. Чтобы построить график функции, рассмотрим допустимое значение x и отвечающее ему значение y. Например, пусть значение x - это число a, а соответствующее ему значение y - b число. Эту пару чисел a и b изобразим на плоскости точкой с координатами (a;b). Посмотрим такие точки для всех допустимых значений x. Набор получившихся точек и есть график функции.

График функции - это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента x, а ординаты - соответствующими значениями функции y.

Глава 1. Функции и их свойства

1. Линейная функция

Функция y=k x + b называется линейной функцией. Ее график получается путем параллельного переноса графика функции y = kx на b вверх, если b > 0, и на |b| вниз, если b < 0. Кроме того, если k ? 0, то значит, график функции y = kx + b получится из графика y = kx сдвигом на .

Графики всех линейных функций, имеющих один и тот же угловой коэффициент, параллельны друг другу. Графики функций, коэффициенты k₁ и k₂ которых связаны соотношением k₁k₂ = -1, перпендикулярны друг другу.

Рис. 1. График линейной функции является прямой. Его можно построить несколькими способами

1) По двум точкам. Выберем произвольные (удобные для построения) значения абсцисс x₁ и x₂, найдем соответствующие им ординаты y₁ = k x₁ + b, y₂ = k x₂ + b. Построим на координатной плоскости точки (x₁; y₁), (x₂; y₂) и проведем через них прямую. Это и будет искомый график.

2) По пересечениям с осями. Решим уравнение y = k x + b, подставив в него сначала x₁ = 0, а затем y₂ = 0. Получим две точки (0; y₁), (x₂; 0). Построим их на координатной плоскости и проведем через них прямую.

3) По угловому коэффициенту. Построим на координатной плоскости произвольную точку прямой. Проведем через эту точку прямую, образующую с осью OX угол, тангенс которого равен k - это в 10-11 классах.

1.2 Функция обратной пропорциональности

Рис.2. Гипербола

Рассмотрим функцию

1. Она определена при x: .

2. Значения функции также принадлежат промежутку

E(x)=.

3. Функция нечетна.

4. Она не пересекает координатные оси.

5. При x < 0 f (x) < 0, при x > 0 f (x) > 0.

6. Функция убывает на промежутках (-?; 0) и (0; +?).

7. Прямые y = 0 и x = 0 являются асимптотами (при x > ? и x > 0 соответственно).

График функции, а также графики функций вида, называются гиперболами.

Функция вид (a, b, c, d - некоторые постоянные) называется дробно-линейной.

Если c = 0 и d ? 0, то эта функция преобразуется к линейной зависимости y= , графиком которой является прямая линия.

1.3 Квадратичная функция

График функции

f(x) = a

при a ? 0 называется параболой. Рассмотрим сначала функцию f(x) = a:

1. Областью определения этой функции являются все x R.

2. Решив уравнение a = 0 получим x = 0. Итак, единственный нуль этой функции x = 0.

3. Функция является четной (для любых x)

4. Ось OY является ее осью симметрии.

5. При a > 0 функция убывает на x < 0 и возрастает на x > 0. Точка x = 0 по определению является минимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток [0; +?).

6. При a < 0 функция возрастает на x < 0 и убывает на x > 0. Точка x = 0 является максимумом функции. Областью значений функции в этом случае является промежуток (-?; 0].

Рис. 3. График функции y = ax², a = 1 > 0.

График функции f (x) = ax² + bx + c легко построить из графика функции y = x² геометрическими преобразованиями, используя формулу

Для этого нужно растянуть график y = x² в a раз от оси OX, при необходимости отразив его относительно оси абсцисс, а затем сместить получившийся график на влево и на вниз (если какое-либо из этих чисел меньше нуля, то соответствующее смещение нужно производить в противоположную сторону).

7. Точка x = является точкой экстремума и называется вершиной параболы. Если a > 0, то в этой точке достигается минимум функции.

Если a < 0, то в этой точке достигается максимум функции.

8. Функция

f (x) = ax² + bx + c

при b = 0 является четной, а в общем случае уже не является ни четной, ни нечетной.

Рис. 4. Парабола является одним из конических сечений

1.4 Функция вида y=

Возведем в квадрат обе части уравнения:

y=,

получим

=x,

заменим x на y, и y на x, получим:

y= - обратная для

Свойство функции y=:

1. D(f)= ;);

2. Возрастает;

3. Ограничена снизу, не ограничена сверху;

4. =0, не существует;

5. Непрерывна;

6. E(f)=;

7. Выпукла вверх.

Рис. 5. Функция y= и y=:

1.5 Степенные функции

Степенная функция с натуральным показателем y= , где n N непрерывна на множестве действительных чисел. Если n нечетное, то эта функция строго возрастает и потому обратима. Обратной к ней является функция y= .Степенная функция с четным показателем необратима. Однако если сузить ее область определения до области неотрицательных чисел, то обратной к ней функцией также будет y= , где x ? 0. На множестве (-?; 0) функцией, обратной к функции y= (n - натуральное четное число) будет y= .

Рис. 6.Степенная и обратная ей функции

Итак, если x > 0, то при любом натуральном n функция обратима, а обратная к ней функция обозначается как или . Функция также определена и непрерывна на множестве положительных чисел.

Свойства функции y =

1. D(f)=();

2. Четная функция;

3. Убывает на луче (; возрастает на луче ;

4. Ограничена снизу, не ограничена сверху;

5. =0, не существует;

6. Непрерывна;

7. E(f)=;

8. Выпукла вниз.

Свойства функции y =

1. D(f)=();

2. Нечетная функция;

3. Возрастает;

4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;

5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. Непрерывна;

7. E(f)=;

8. Выпукла вверх на ( выпукла вниз на [0;

Свойства функции y =

1. D(f)=() (0;);

2. Четная функция;

3. Убывает на открытом луче (0; возрастает на открытом луче ;

4. Ограничена снизу, не ограничена сверху;

5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. Непрерывна при x и при x>0;

7. E(f)=;

8. Выпукла вниз и при x, и при x>0.

Свойства функции y =

1. D(f)=() (0;);

2. Нечетная функция;

3. Убывает на открытом луче (0 и на открытом луче ;

4. Не ограничена ни снизу, ни сверху;

5. Нет ни наибольшего, ни наименьшего значений;

6. Непрерывна при x и при x>0;

7. E(f)=;

8. Выпукла вверх при x; выпукла вниз при x>0.

1.6 Зависимость вида +=

Графиком данного уравнения является окружность на координатной плоскости x Oy с центром в точке O(a;b) и радиусом r (r>0).

График данного уравнения нельзя назвать графиком функции, т.к. нарушается определение функции: каждому значению x соответствует единственное значение y.

1.7 Движение функций по осям координат

Чтобы построить график функции

y=f(x+l),

где l - заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси x на l единиц масштаба влево.

Чтобы построить график функции

y=f(x-l),

где l - заданное положительное число, нужно сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси x на l единиц масштаба вправо.

Чтобы построить график функции

y=f(x)+m,

где m - заданное положительное число, надо сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси y на m единиц масштаба вверх.

Чтобы построить график функции y=f(x)-m, где m - заданное положительное число, надо сдвинуть график функции y=f(x) вдоль оси y на m единиц масштаба вниз.

Алгоритм 1 построения графика функции y=f(x+l)+m:

1. Построить график функции y=f(x).

2. Осуществить параллельный перенос графика y=f(x) вдоль оси x на единиц масштаба влево, если l>0, и вправо, если l<0.

3. Осуществить параллельный перенос полученного на втором шаге графика вдоль оси y на единиц масштаба вверх, если

Алгоритм 2 построения графика функции y=f(x+l)+m:

1. Перейти к вспомогательной системе координат, проведя пунктиром вспомогательные прямые x=-l, y=m, т.е. выбрав в качестве начала новой системы координат точку (-l;m).

2. Новой системе координат привязать график функции y=f(x).

Рис. 7. Функция у=1.9

Глава 2. Влияние модуля на функции

2.1 Модуль в линейной функции

Абсолютная величинам или модуль, обозначается. В случае вещественного аргумента -- непрерывная кусочно-линейная функция.

y=

Рис. 8. Функция y=

Свойство функции y=:

1. D(f)=();

2. Четная функция;

3. Убывает на луче (; возрастает на луче ;

4. Ограничена снизу, не ограничена сверху;

5. =0, не существует;

6. Непрерывна;

7. E(f)=.

2.2 Модуль и обратная пропорциональность

Рассмотрим функцию

1. Она определена при x: .

2. Значения функции E(x)=.

3. Функция четная.

4. Она не пересекает координатные оси.

5. При x < 0 f (x) 0 и при x > 0 f (x) > 0.

6. Функция возрастает на промежутке (-?; 0) и убывает при x(0; +?).

7. Прямые y = 0 и x = 0 являются асимптотами (при x > ? и x > 0 соответственно).

Функции путем симметричного отражения относительно оси абсцисс гиперболы из третьей четверти во вторую, поэтому функция обладала свойством нечётной функции, а стала - чётной функцией.

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.Тогда функция y = sin x представляется графиком. Эта кривая называется синусоидой.

Рис. 9

График функции y = cos x представлен на это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на 2.

Рис. 10

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

- область определения: -< x <+ ; область значений: -1 y +1; - эти функции периодические: их период 2 ;

- функции ограниченные (| y | 1), всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности, внутри которых они ведут себя, как монотонные функции

- функции имеют бесчисленное множество нулей.

Графики функций y = tan x и y = cot x показаны на рис. 10.

Рис. 11

Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период ), неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности (какие?), разрывные (какие точки разрыва имеют эти функции?).

Область определения и область значений этих функций. Обратные тригонометрические функции. Определения обратных тригонометрических функций и их основные свойства приведены в одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Рис. 12

Функции y = Arcsin x и y = Arccos x многозначные,неограниченные; их область определения и область значений соответственно: -1 x +1 и - < y < + . Поскольку эти функции многозначные,не рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x; их графики выделены на рис.13 жирными линиями.

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

- у обеих функций одна и та же область определения: -1 x +1;

-их области значений: -/2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccosx;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные (y = arcsin x - возрастающая функция; y = arccos x - убывающая);

- каждая функция имеет по одному нулю ( x = 0 у функции y = arcsin x и x = 1 у функции y = arccos x).

Рис. 13

Функции y = Arctan x и y = Arccot x - многозначные, неограниченные; их область определения: - x + . Их главные значения y= arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.14 жирными ветвями.

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

- у обеих функций одна и та же область определения: - x + ;

- их области значений: -/2 < y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x;

- функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные (y = arctan x - возрастающая функция; y = arccot x - убывающая);

- только функция y = arctan x имеет единственный ноль (x = 0 );

- функция y = arccot x нулей не имеет.

Рис. 14

2.3 Преобразование графика функции

Преобразования графиков функций - это линейные преобразования функции

y = f(x)

или её аргумента x к виду

y =af(kx + b) + m,

а также преобразование с использованием модуля.

Зная, как строить графики функции

y = f(x),

где y = kx + b, y = ax2,

y = xn ,y=xk,

y = sin x,

y = cosx,

y = tgx,

y = ctgx,

y=ax y=logax,

можно построить график функции

y = af(kx + b) + m.

	Преобразования
y = f(x -b)	Параллельный перенос графика вдоль оси абсцисс на | b |единиц · вправо, если b > 0; · влево, если b < 0.
y = f(x +b)	· влево, если b > 0; · вправо, если b < 0.
y = f(x) +m	Параллельный перенос графика вдоль оси ординат на | m | единиц · вверх, если m > 0, · вниз, если m < 0.
	Отражение графика
y = f( - x)	Симметричное отражение графика относительно осиординат.
y = - f(x)	Симметричное отражение графика относительно осиабсцисс.
	Сжатие и растяжение графика
y = f(kx)	· При k > 1 -- сжатие графика к оси ординат в k раз, · при 0 < k < 1 -- растяжение графика от оси ординат вk раз.
y = kf(x)	· При k > 1 -- растяжение графика от оси абсцисс в kраз, · при 0 < k < 1 -- cжатие графика к оси абсцисс в kраз.
	Преобразования графика с модулем
y = | f(x) |	· При f(x) > 0 -- график остаётся без изменений, · при f(x) < 0 -- график симметрично отражается относительно оси абсцисс.
y = f( | x | )	· При x0 -- график остаётся без изменений, · при x < 0 -- график симметрично отражается относительно оси ординат.

Размещено на Allbest.ru