Интегральные исчисления и дифференциальных уравнений
Исчисление общего интеграла дифференциального уравнения первого порядка и методом вариации постоянных (методом Лагранжа). Частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка. Решение системы дифференциальных уравнений.
Рубрика | Математика |
Вид | контрольная работа |
Язык | русский |
Дата добавления | 13.08.2014 |
Размер файла | 84,4 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Задание 1. Найти общий или частный интеграл (решение) дифференциального уравнения первого порядка
а)
б)
в), y(/2)=0,
г)
д)
е)
Решение. а) Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Учитывая, что , перепишем данное уравнение в следующем виде
.
Разделяя переменные, получим
.
Интегрируя обе части равенства:
дифференциальный уравнение однородный линейный
,
получим (заметим, что константа интегрирования будет присутствовать только один раз и будет взята в виде lnC):
.
Это есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.
б) Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением. Если это уравнение разделить на x2dx, то получим
.
Таким образом, y' есть функция отношения . Это означает, что исходное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение. Сделаем подстановку . Тогда y=ux и y'=u'x+u. В результате исходное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:
.
Интегрируя последнее уравнение, получим
.
Делая в последнем равенстве обратную подстановку, получим
.
Это и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения.
в) Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением. Сделаем подстановку y=uv; тогда y'=u'v+uv'. Тогда данное уравнение примет вид
.
Положив, что v'-vctgx=0, получим систему дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
Интегрируя первое уравнение, найдем его частное решение:
.
Подставляя найденное решение во второе уравнение системы, получим
.
Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Используя начальное условие y(?/2)=0, получим 0=0+C, откуда C=0. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
.
г) Данное уравнение является уравнением Бернулли. Сделаем подстановку y=uv; тогда y'=u'v+uv'. Тогда данное уравнение примет вид
.
Положив, что , получим систему дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
Интегрируя первое уравнение, найдем его частное решение:
.
Подставляя найденное решение во второе уравнение системы, получим
.
Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Используя начальное условие y(1)=1, получим 1=1/C, откуда C=1. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
.
д) Данное уравнение можно легко проинтегрировать, если поменять в нём ролями x и y: принять за аргумент y, а за неизвестную функцию x. Принимая , получим следующее уравнение:
.
Это - линейное уравнение относительно x. Более того, это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение
Следовательно, общее решение однородного линейного уравнения имеет вид
.
Поскольку правая часть имеет вид
,
то частное решение неоднородного линейного уравнения будем искать в виде
.
Подставляя это выражение в исходное уравнение, получим
.
Сравнивая коэффициенты при синусах и косинусах, а также свободные коэффициенты, находим:
Таким образом,
.
В результате получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид
Учитывая начальное условие x(0)=-1, получим C=-2. Следовательно, искомое частное решение имеет вид
.
е) Здесь и . Поскольку
,
то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдём общий интеграл по формуле
.
Взяв x0=0, y0=0, получим
, или .
Подставляя пределы интегрирования, находим
,
или
,
где .
Задание 2. Найти общий или частный интеграл (решение) дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка
а)
б)
Решение
а) Это уравнение не содержит искомую функцию y, поэтому полагаем
и
В результате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
.
Разделяя переменные, получим
.
Интегрируя, будем иметь
.
Отсюда получаем
.
Возвращаясь к переменной y, получим
.
Интегрируя, имеем
.
Это есть общее решение исходного уравнения.
б) Это уравнение не содержит x, положим
и .
В результате получим дифференциальное уравнение первого порядка:
.
Это уравнение Бернулли. Сделаем подстановку . В результате получим следующую систему дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:
Из первого уравнения находим
.
Подставив найденную функцию v во второе уравнение, получим
.
Тогда
.
Вернёмся к переменной y:
.
Воспользуемся начальными условиями :
,
т.е.
.
Интегрируя это уравнение, получим
.
Найдём C2, используя начальное условие y(0)=1:
.
Следовательно, частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид
, или .
Задание 3. Найти частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка
а)
б)
в)
Решение
а) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:
.
Следовательно, общее решение имеет вид
.
Воспользуемся начальными условиями для нахождения C1 и C2:
Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид
.
б) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:
.
Следовательно, общее решение имеет вид
.
Воспользуемся начальными условиями для нахождения C1 и C2:
Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид
.
в) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:
.
Следовательно, общее решение имеет вид
.
Воспользуемся начальными условиями для нахождения C1 и C2:
Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид
.
Задание 4. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка
а)
б)
в)
г)
Решение
а) Составляем характеристическое уравнение
.
Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k1=0, k2=3. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид
.
Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: , т.е. решение следует искать в виде Ax2+Bx+C. Однако здесь нужно учесть то, что среди корней характеристического уравнения имеется корень k1=0. Это означает, что все выражение нужно умножить еще на x, т.е. частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде
.
Подставляя в исходное уравнение выражения
,
получим
.
Найдем неизвестные коэффициенты A, B, C. Для этого сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:
Следовательно,
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид
.
б) Составляем характеристическое уравнение
.
Полученное квадратное уравнение имеет комплексные корни: k1=1+i, k2=1-i. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид
.
Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: , т.е. решение будем искать в виде
.
Находя производные этой функции
,
и подставляя их в исходное уравнение, получим
.
Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
.
в) Составляем характеристическое уравнение
.
Полученное квадратное уравнение имеет два одинаковых корня: k1=k2=3. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид
.
Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: , т.е. решение следует искать в виде
.
Подставляя в исходное уравнение выражения
,
получим
.
Сравнивая коэффициенты при синусах и косинусах, получим
Следовательно,
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид
.
г) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:
.
Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид
.
Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: , т.е. решение следует искать в виде
.
Подставляя в исходное уравнение выражения
получим
После упрощений получим
.
Сравнивая коэффициенты при синусах и косинусах, получим
Следовательно,
.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид
Задание 5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения методом вариации постоянных (методом Лагранжа)
.
Решение
Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:
.
Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид
.
Положим , и
.
Для определения C1(x) и C2(x) составим систему уравнений
Решаем систему относительно и :
,
, ,
,
Таким образом, общее решение имеет вид
,
или
.
Задание 6. Найти решение системы дифференциальных уравнений
а)
б)
Решение
а) Составляем характеристическое уравнение
.
Его корни . Решение ищется в виде
, .
Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид
При эта система примет вид
.
Пусть 1=1, 1=-2, тогда одно из частных решений будет иметь вид
, .
При получим
.
Пусть 2=1, 2=1, тогда одно из частных решений будет иметь вид
, .
В результате, общее решение можно записать следующим образом
,
,
или в матричном виде
.
б) Составляем характеристическое уравнение
,
Которое имеет комплексно сопряженные корни . Найдём комплексное частное решение
при . Для этого решим систему уравнений
.
Приняв =1, =i, получим
.
Отсюда пара действительно частных
, .
Окончательно получаем общее решение однородной системы уравнений
.
Частное решение неоднородной системы будем искать в виде
.
Подставляя это выражение в заданную систему уравнений, получим
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим
Таким образом, частное решение исходной неоднородной системы имеет вид
.
В результате, общее решение исходной системы можно записать следующим образом
.
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Понятие и математическое описание элементов дифференциального уравнения как уравнения, связывающего искомую функцию одной или нескольких переменных. Состав неполного и линейного дифференциального уравнения первого порядка, их применение в экономике.
реферат [286,2 K], добавлен 06.08.2013Практическое решение дифференциальных уравнений в системе MathCAD методами Рунге—Кутты четвертого порядка для решения уравнения первого порядка, Булирша — Штера - системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка и Odesolve и их графики.
лабораторная работа [380,9 K], добавлен 23.07.2012Общее решение дифференциального уравнения первого порядка. Уравнение с разделенными переменными. Выбор частного интеграла. Частное решение дифференциального уравнения второго порядка. Вероятность проявления события, интегральная формула Муавра-Лапласа.
контрольная работа [75,5 K], добавлен 19.08.2009Уравнения с разделяющимися переменными, методы решения. Практический пример нахождения частного и общего решения. Понятие о неполных дифференциальных уравнениях. Линейные уравнения первого порядка. Метод вариации постоянной, разделения переменных.
презентация [185,0 K], добавлен 17.09.2013Общий вид линейного однородного уравнения. Нахождение производных, вещественные и равные корни характеристического уравнения. Пример решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Общее и частное решение неоднородного уравнения.
презентация [206,3 K], добавлен 17.09.2013Задачи на нахождение неопределенного интеграла с применением метода интегрирования по частям. Вычисление площади, ограниченной заданными параболами. Решение дифференциального уравнения первого порядка. Исследование на сходимость ряда; признаки сходимости.
контрольная работа [136,7 K], добавлен 16.03.2010История возникновения дифференциальных исчислений. Изучение особенностей дифференциального уравнения I порядка. Описание соотношения, связывающего функцию и ее производные. Рассмотрение метода изоклин. Построение интегральных кривых методом изоклин.
курсовая работа [458,4 K], добавлен 17.02.2016Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными, однородных, линейных уравнений первого порядка и уравнений допускающего понижение порядка. Введение функций в решение уравнений. Интегрирование заданных линейных неоднородных уравнений.
контрольная работа [92,7 K], добавлен 09.02.2012Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012