Интегральные исчисления и дифференциальных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задание 1. Найти общий или частный интеграл (решение) дифференциального уравнения первого порядка

а)

б)

в), y(/2)=0,

г)

д)

е)

Решение. а) Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Учитывая, что , перепишем данное уравнение в следующем виде

.

Разделяя переменные, получим

.

Интегрируя обе части равенства:

дифференциальный уравнение однородный линейный

,

получим (заметим, что константа интегрирования будет присутствовать только один раз и будет взята в виде lnC):

.

Это есть общий интеграл данного дифференциального уравнения.

б) Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением. Если это уравнение разделить на x²dx, то получим

.

Таким образом, y' есть функция отношения . Это означает, что исходное уравнение есть однородное дифференциальное уравнение. Сделаем подстановку . Тогда y=ux и y'=u'x+u. В результате исходное уравнение преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными:

.

Интегрируя последнее уравнение, получим

.

Делая в последнем равенстве обратную подстановку, получим

.

Это и есть общий интеграл исходного дифференциального уравнения.

в) Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением. Сделаем подстановку y=uv; тогда y'=u'v+uv'. Тогда данное уравнение примет вид

.

Положив, что v'-vctgx=0, получим систему дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

Интегрируя первое уравнение, найдем его частное решение:

.

Подставляя найденное решение во второе уравнение системы, получим

.

Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Используя начальное условие y(?/2)=0, получим 0=0+C, откуда C=0. Следовательно, искомое частное решение имеет вид

.

г) Данное уравнение является уравнением Бернулли. Сделаем подстановку y=uv; тогда y'=u'v+uv'. Тогда данное уравнение примет вид

.

Положив, что , получим систему дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными

Интегрируя первое уравнение, найдем его частное решение:

.

Подставляя найденное решение во второе уравнение системы, получим

.

Итак, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

Используя начальное условие y(1)=1, получим 1=1/C, откуда C=1. Следовательно, искомое частное решение имеет вид

.

д) Данное уравнение можно легко проинтегрировать, если поменять в нём ролями x и y: принять за аргумент y, а за неизвестную функцию x. Принимая , получим следующее уравнение:

.

Это - линейное уравнение относительно x. Более того, это линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение

Следовательно, общее решение однородного линейного уравнения имеет вид

.

Поскольку правая часть имеет вид

,

то частное решение неоднородного линейного уравнения будем искать в виде

.

Подставляя это выражение в исходное уравнение, получим

.

Сравнивая коэффициенты при синусах и косинусах, а также свободные коэффициенты, находим:

Таким образом,

.

В результате получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид



Учитывая начальное условие x(0)=-1, получим C=-2. Следовательно, искомое частное решение имеет вид

.

е) Здесь и . Поскольку

,

то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Найдём общий интеграл по формуле

.

Взяв x₀=0, y₀=0, получим

, или .

Подставляя пределы интегрирования, находим

,

или

,

где .

Задание 2. Найти общий или частный интеграл (решение) дифференциального уравнения, допускающего понижения порядка

а)

б)

Решение

а) Это уравнение не содержит искомую функцию y, поэтому полагаем

и

В результате получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

.

Разделяя переменные, получим

.

Интегрируя, будем иметь

.

Отсюда получаем

.

Возвращаясь к переменной y, получим

.

Интегрируя, имеем

.

Это есть общее решение исходного уравнения.

б) Это уравнение не содержит x, положим

и .

В результате получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Это уравнение Бернулли. Сделаем подстановку . В результате получим следующую систему дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными:

Из первого уравнения находим

.

Подставив найденную функцию v во второе уравнение, получим

.

Тогда

.

Вернёмся к переменной y:

.

Воспользуемся начальными условиями :

,

т.е.

.

Интегрируя это уравнение, получим

.

Найдём C₂, используя начальное условие y(0)=1:

.

Следовательно, частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, имеет вид

, или .

Задание 3. Найти частное решение однородного линейного дифференциального уравнения второго порядка

а)

б)

в)

Решение

а) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

.

Следовательно, общее решение имеет вид

.

Воспользуемся начальными условиями для нахождения C₁ и C₂:

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

.

б) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

.

Следовательно, общее решение имеет вид

.

Воспользуемся начальными условиями для нахождения C₁ и C₂:



Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

.

в) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

.

Следовательно, общее решение имеет вид

.

Воспользуемся начальными условиями для нахождения C₁ и C₂:

Таким образом, частное решение исходного уравнения имеет вид

.

Задание 4. Найти общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения второго порядка

а)

б)

в)

г)

Решение

а) Составляем характеристическое уравнение

.

Полученное квадратное уравнение имеет действительные корни: k₁=0, k₂=3. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

.

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: , т.е. решение следует искать в виде Ax²+Bx+C. Однако здесь нужно учесть то, что среди корней характеристического уравнения имеется корень k₁=0. Это означает, что все выражение нужно умножить еще на x, т.е. частное решение неоднородного уравнения следует искать в виде

.

Подставляя в исходное уравнение выражения

,

получим

.

Найдем неизвестные коэффициенты A, B, C. Для этого сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

Следовательно,

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

б) Составляем характеристическое уравнение

.

Полученное квадратное уравнение имеет комплексные корни: k₁=1+i, k₂=1-i. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

.

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: , т.е. решение будем искать в виде

.

Находя производные этой функции

,

и подставляя их в исходное уравнение, получим

.

Следовательно, частное решение неоднородного уравнения имеет вид

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:

.

в) Составляем характеристическое уравнение

.

Полученное квадратное уравнение имеет два одинаковых корня: k₁=k₂=3. Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

.

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: , т.е. решение следует искать в виде

.

Подставляя в исходное уравнение выражения

,

получим

.

Сравнивая коэффициенты при синусах и косинусах, получим

Следовательно,

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

.

г) Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

.

Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

.

Найдем теперь частное решение неоднородного уравнения. Оно будет иметь такой же вид, как и правая часть неоднородного уравнения: , т.е. решение следует искать в виде

.

Подставляя в исходное уравнение выражения



получим

После упрощений получим

.

Сравнивая коэффициенты при синусах и косинусах, получим

Следовательно,

.

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

Задание 5. Найти общее решение линейного дифференциального уравнения методом вариации постоянных (методом Лагранжа)

.

Решение

Составляем характеристическое уравнение и находим его корни:

.

Следовательно, общее решение однородного линейного дифференциального уравнения имеет вид

.

Положим , и

.

Для определения C₁(x) и C₂(x) составим систему уравнений

Решаем систему относительно и :

,

, ,

,

Таким образом, общее решение имеет вид

,

или

.

Задание 6. Найти решение системы дифференциальных уравнений

а)

б)

Решение

а) Составляем характеристическое уравнение

.

Его корни . Решение ищется в виде

, .

Тогда исходное дифференциальное уравнение примет вид

При эта система примет вид

.

Пусть ₁=1, ₁=-2, тогда одно из частных решений будет иметь вид

, .

При получим

.

Пусть ₂=1, ₂=1, тогда одно из частных решений будет иметь вид

, .

В результате, общее решение можно записать следующим образом

,

,

или в матричном виде

.

б) Составляем характеристическое уравнение

,

Которое имеет комплексно сопряженные корни . Найдём комплексное частное решение

при . Для этого решим систему уравнений

.

Приняв =1, =i, получим

.

Отсюда пара действительно частных

, .

Окончательно получаем общее решение однородной системы уравнений

.

Частное решение неоднородной системы будем искать в виде

.

Подставляя это выражение в заданную систему уравнений, получим

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получим

Таким образом, частное решение исходной неоднородной системы имеет вид

.

В результате, общее решение исходной системы можно записать следующим образом

.

Размещено на Allbest.ru