Інтегральне числення функції однієї змінної. Невизначений інтеграл

Размещено на http://www.allbest.ru/

„Інтегральне числення функції однієї змінної. Невизначений інтеграл”

1. Поняття про інтегральне числення

Інтеграл - одне з центральних понять математичного аналізу і всієї математики. Воно виникло у зв`язку з двома основними задачами:

що відновлення функції по заданій її похідній;

що обчислення площі, обмеженої графіком функції у = f(x), х а; в;, прямими х = а, х = в і віссю ох (подібні задачі дістаємо при обчисленні багатьох інших величин, наприклад роботи, яку виконує сила протягом часу тощо).

Термін „інтеграл” ввів Я. Бернуллі у 1690 р. Цікаво, що в історії математики цей термін пов`язують з двома латинськими словами: integro - відмовляти та integer - цілий.

Вказані дві задачі приводять до двох пов`язаних між собою видів інтегралів: невизначеного та визначеного. Вивчення властивостей і обчислення цих інтегралів і складають основну задачу інтегрального числення.

Елементи інтегрального числення закладено у працях математиків стародавньої Греції. Основні поняття і початки теорії інтегрального числення, насамперед зв`язок його з інтегральним численням, а також застосування їх до розв`язку практичних задач, розроблені в кінці 17 століття Ньютоном та Лейбніцем. Далі історичний розвиток інтегрального числення пов'язаний з іменем Л. Ейлера, О, Комі, Б. Рімана та інших вчених.

2. Невизначений інтеграл, його властивості

Як вже було сказано, що основною задачею диференціального числення є знаходження похідної f `(x) заданої функції f(x). Одне з можливих фізичних трактувань цієї задачі - визначення швидкості руху за функцією, яка задає пройдений шлях за час руху. З практичної точки зору природною є обернена, а саме, визначення пройденого шляху за відомою швидкістю руху як функцією часу.

Ця задача є знаходженням функції f(x) за відомою її похідною f `(x) і розв'язується за допомогою невизначеного інтервалу.

Функція F(x) називається первісною функції f(x) на проміжку < а; в >, якщо F(x) диференційована на < а; в > і F` (x) = f (x), х < а; в > .

Теорема. Якщо F(x) - первісна функції f(x) на проміжку < а; в >, то всяка інша первісна функції f(x) на цьому самому проміжку має вигляд F(x) + С .

Нехай Ф(х) - деяка інша, крім F(x) , первісна функції f(x), тобто Ф` (х) = f(x), х < а; в >. Маємо: х < а; в >: Ф(х) - F` (x)` = Ф` (х) - F` (x) = f(x) - f(x) = 0 , а це означає, що Ф(х) - F(x) = С. Отже, Ф(х) = F(x) + С.

З цієї теореми випливає, що множина функції F(x) + С , де F(x) - одна з первісних функції f(x), а С - довільна стала, визначає всю сукупність первісних заданої функції.

Якщо F(x) - первісна функції f(x) на проміжку < а; в >; С - довільна стала, то вираз F(x) + С називається невизначеним інтегралом функції f(x) на цьому проміжку і позначається символом . Таким чином, символ означає множину всіх первісних функції f(x).

Знак , який ввів Лейбніц, називається інтегралом, f(x)dx - підінтегральним виразом, f(x) - підінтегральною функцією, х - змінною інтегрування. Отже за означенням:

, якщо F` (x) = f(x), х < а; в > (1)

Операцію знаходження невизначеного інтеграла від функції називають інтегруванням цієї функції.

З погляду геометрії невизначений інтеграл є множиною кривих, кожна з яких називається інтегральною кривою і утворюється зсувом однієї з них паралельно самій собі уздовж осі Оу. Рис.1

Щоб з цієї множини виділити певну інтегральну криву F(x), достатньо задати її значення F(x0) в якій-небудь точці х0 < а; в >.

З рівності (1) випливають такі властивості невизначеного інтеграла:

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції:

2.Невизначений інтеграл від диференціала деякої функції дорівнює сумі цієї функції і довільної сталої:

3. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу:

4. Сталий множник можна виносити за знак інтеграла:

5.Невизначений інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює алгебраїчній сумі інтегралів від цих функцій:

6. Якщо і u = (x) - довільна функція, що має неперервну похідну, то

(2)

диференціальний числення інтегральний підстанова

Цю властивість ще називають інваріантністю формули інтегрування.

3. Таблиця основних інтегралів

Для обчислення невизначеного інтеграла використовується таблиця основних інтегралів, яка безпосередньо виникає з означення інтегрування, таблиці похідних і формули (2). Інтеграли цієї таблиці називаються табличними інтегралами. Ці інтеграли потрібно знати для того, щоб при знаходженні інтеграла, вміти його перетворити в табличний.

Нехай u = u(x) - довільна функція, що має на деякому проміжку неперервну похідну u(x); площі на цьому проміжку справедливі такій формулі:

1. ,

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

4. Основні методи інтегрування

Операція інтегрування значно складніша, ніж операція диференціювання. У диференціальному численні таблиця похідних і правил диференціювання функцій дають змогу знайти похідну довільної диференційованої функції. В інтегральному численні таких простих і універсальних правил інтегрування не існує. Відсутнє, наприклад, загальне правило інтегрування добутку двох функцій, навіть якщо первісні кожної з них відомі. Те саме стосується частки двох функцій і складеної функції. Основними методами інтегрування є безпосереднє інтегрування, метод підстановки та інтегрування частинами.

Розглянемо детально кожний з них.

4.1 Метод безпосереднього інтегрування

Цей метод полягає в тому, що обчислення інтегралів проводиться за допомогою основних властивостей невизначеного інтеграла та таблиці інтегралів.

Наприклад:

а)

В даному прикладі при кожному інтегруванні утворюються проміжні довільні сталі: С1, С2,, С3,. Але в підсумку записують лише одну загальну сталу С тому, що коли С1, С2,, С3 - довільні сталі, то 2С1 + С2 + 3С3 = С також є довільною сталою.

б)

в)

4.2 Метод підстановки (заміни змінної)

Суть даного методу полягає у введенні нової змінної. Він ґрунтується на такій теоремі.

Теорема. Нехай F(x) - первісна функції f(x) на проміжку < а; в >, тобто

f(x)d x = F(x) + С, х < а; в >

І нехай функція x = визначена і диференційована на проміжку <>, причому множина значень цієї функції є проміжок < а; в >. Тоді справедлива формула:

<> (3)

Дана теорема застосовується, як правило, одним із таких способів:

1) Інтеграл записують у вигляді

=

Практично зручнішим є такий запис:

= (4)

2) Інтеграл зображають у вигляді

де функція має обернену функцію і для функції відома первісна G, тоді:

(5) = =

Розглянемо приклади:

а)

б)

4.3 Метод інтегрування частинами

Нехай є функції u = u(x), - що мають на деякому проміжку неперервні похідні, тоді

Інтегруючи обидві частини останньої рівності, дістанемо:

або (6)

Формула (6) називається формулою інтегрування частинами.

Іноді формулу (6) доводиться застосовувати кілька разів. Є деякі типи інтегралів, які зручно обчислювати методом інтегрування частинами:

1) Інтеграли виду , , , де P(x) - многочлен, а k - дійсне число. У цих інтегралах за u слід взяти множник P(x), а за - вираз, що залишився;

2) Інтеграли виду , , , , де P(x) - многочлен . У цих інтегралів слід брати = P(x)dx, за u - решту;

3) Інтеграли виду , , де - дійсні числа. Тут після двократного застосування формули (6) утворюється лінійне рівняння відносно шуканого інтеграла. Розв'язуючи це рівняння, знаходять інтеграл.

Розв'язуємо приклади:

а)

б)

в)

;

звідси випливає рівняння:

З даного рівняння визначаємо шуканий інтервал

При розв'язуванні вправ інколи виникає проблема використання названих методів інтегрування.

Так інтеграл виду реалізується підстановкою , (- П < x < П), яка називається універсальною.

Інколи виникають приклади інтегралів, що не „беруться”, тобто вони не обчислюються в скінченому вигляді. До них відносяться інтеграли виду:

- інтеграл Пуассона;

- інтеграли Френзеля;

- інтегральний логарифм;

- інтегральний косинус;

- інтегральний синус;

, < 1 - еліптичний інтеграл.

Вказані інтеграли хоча існують, але не є елементарними функціями. В подібних випадках первісна являє собою деяку нову, неелементарну функцію, тобто функцію, яка не виражається через скінчене число арифметичних операцій і суперпозицій над основними елементарними функціями. Неелементарні функції розширюють множину елементарних функцій.

Інтеграл, який не обчислювався в класі елементарних функцій, може виявитись таким, що обчислюється в розширеному класі функцій.

Завдання для самоконтролю

1. Що називається первісною даної функції? Навести приклад.

2. Сформувати теорему про загальний вигляд первісної даної функції.

3. Що називається невизначеним інтегралом від даної функції?

4. Що називається інтегральною кривою?

5. Сформувати теорему про існування первісної.

6. Сформулювати основні властивості невизначеного інтеграла.

7. Назвати табличні інтеграли.

8. Які є способи інтегрування?

9. В чому суть інтегрування методом заміни змінної?

10. Охарактеризувати метод інтегрування частинами.

11. Які інтеграли не можна визначити?

Размещено на Allbest.ru