Елементи векторної алгебри

Размещено на http://www.allbest.ru/

Елементи векторної алгебри



ПЛАН

I. Історичні відомості про векторну алгебру

II. Вектори і лінійні дії з векторами

III. Вектори в системі координат

IV. Скалярний добуток векторів

V. Система координат

VI. Векторний добуток двох векторів

VII. Мішаний добуток векторів



I. ІСТОРИЧНІ ВІДОМОСТІ ПРО ВЕКТОРНУ АЛГЕБРУ

Векторна алгебра -- розділ математики, в якому вивчаються дії над векторами. Векторна алгебра виникла і вдосконалювалась у зв'язку з потребами механіки і фізики. До 19 ст. величини, що зустрічались у механіці і фізиці, задавали числом або кількома дійсними числами. Дальший розвиток фізики показав, що деякі з фізичних величин набагато доцільніше характеризувати не тільки числом, а й напрямом, тобто вектором.

Вперше вектори застосував К. Вессель у 1799 р. для інтерпретації комплексних чисел. Проте справжній розвиток векторної алгебри розпочався лише в середині 19 ст. і привів до створення нової математичної дисципліни -- векторного аналізу. векторний алгебра координата

Апарат векторного числення ефективно використовується в багатьох загальнонаукових та інженерних дисциплінах (електро- і гідродинаміці, теоретичній і технічній механіці, теорії механізмів і машин)

II. ВЕКТОРИ І ЛІНІЙНІ ДІЇ НАД ВЕКТОРАМИ

Багато фізичних величин повністю визначаються своїм числовим значенням (об'єм, маса, густина, температура тощо); вони називаються скалярними. Але є й такі величини, які крім числового значення мають ще й напрям (швидкість, сила, напруженість магнітного поля тощо). Такі величини називаються векторними.

Будь-яка упорядкована пара точок А і В простору визначає напрямлений відрізок, або вектор, тобто відрізок, що має певну довжину і певний напрям. (Термін «вектор» (від лат. vector -- переносник) ввів у 1848 р. Гамільтон.) Першу точку А називають початком вектора, а другу В -- кінцем вектора. Напрямом вектора вважають напрям від його початку до кінця.

Вектор, початок якого знаходиться в точці А, а кінець -- в точці В, позначається символом або. Напрям вектора на рисунку показують стрілкою. Відстань між початком вектора = і його кінцем називається довжиною (або модулем) вектора і позначається або

Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним. Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора а, називається ортом вектора і позначається через °.

Вектор, початок якого збігається з кінцем, називається нульовим і позначається через о; напрям нульового вектора невизначений, а його довжина дорівнює нулю.

Вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Колінеарні вектори можуть бути напрямлені однаково або протилежно. Нульовий вектор вважається колінеарним будь-якому вектору Вектори і називаються рівними ( =), якщо вони колінеарні, однаково напрямлені і мають рівні довжини.

В означенні рівності векторів не передбачено якесь певне розміщення їх, тому, не порушуючи рівності, вектори можна переносити паралельно самим собі. У зв'язку з цим вектори в аналітичній геометрії називаються вільними. Іноді вільність переміщення вектора обмежується. В механіці, наприклад, розглядаються ковзні і зв'язані вектори. Прикладом ковзного вектора є вектор кутової швидкості при обертанні тіла, тому що він може розміщуватися лише на осі обертання. Прикладом зв'язаного вектора є сила, прикладена до якоїсь точки пружного тіла, оскільки результат дії сили залежить від точки прикладання.

Три вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах. Зокрема, вектори компланарні, якщо два з них або всі три колінеарні. Три вектори вважаються компланарними також у тому випадку, коли хоча б один з них нульовий.

До лінійних дій з векторами належать додавання і віднімання векторів, множення вектора на число.

1. Додавання векторів. Сума + двох векторів і за означенням є вектор , напрямлений з початку вектора в кінець вектора за умови, що початок вектора збігається з кінцем вектора . Це правило додавання вектора називають правилом трикутника.

Суму двох векторів можна побудувати також за правилом паралелограма. Щоб побудувати суму будь-якого скінченого числа векторів, потрібно в кінці першого вектора побудувати другий, в кінці другого побудувати третій і т. д. Напрямлений відрізок, що йде з початку першого вектора в кінець останнього і буде сумою даних векторів.

2. Віднімання векторів визначається як дія, обернена додаванню.

Різницею - називається вектор , який, будучи доданий до вектора , дає вектор .

Два вектори називаються протилежними, якщо вони колінеарні, довжини їх однакові, а напрями протилежні. Вектор, протилежний вектору , позначається через --

3. Множення вектора на число. Нехай задані вектор0 і число 0. Добутком називається вектор, довжина якого дорівнює , а напрям збігається з напрямом вектора , якщо > 0, і протилежний йому, якщо < 0. Якщо = 0 або = 0, то = 0.

Геометричний зміст операції множення вектора на число так множення вектора на число можна розуміти як «розтяг» вектора в разів при >1 і «стиск» при 0 < < 1, причому при < 0 відбувається ще й зміна напряму.

Лінійні операції над векторами мають такі властивості:

1°. Комутативність відносно додавання векторів:

+ = +

2°. Асоціативність відносно додавання векторів:

(+) + = +(+) .

3°. Асоціативність відносно множення чисел:

( ) = ()

4°. Дистрибутивність відносно додавання чисел:

(+) = +

5°.Дистрибутивністьвідносно додавання векторів:

(+) = +

Розклад вектора за базисом.

Застосовуючи лінійні операції над векторами, можна знаходити суми добутків чисел де i = 1, 2…,n, на вектори : ++ …+ Вирази такого виду називаються лінійними комбінаціями векторів, а числа , що входять в лінійну комбінацію, -- її коефіцієнтами.

Базисом на прямій називається довільний ненульовий вектор на цій прямій.

Базисом на площині називається довільна упорядкована пара не колінеарних векторів, а базисом у просторі -- довільна упорядкована трійка не компланарних векторів. Вектори, що складають базис, називаються базисними. Розкласти вектор за базисом означає зобразити його у вигляді лінійної комбінації базисних векторів.

Якщо вектори , , складають базис і вектор а розкладений за цим базисом, тобто =+ + то числа , , , називаються координатами вектора в даному базисі, а вектори , і -- компонентами, або складовими векторами .Кажуть також, що вектор лінійно виражається через вектори і або є лінійною комбінацією їх.

Теорема 1. Кожен вектор, паралельний якій-небудь прямій, можна розкласти за базисом на цій прямій.

Кожен вектор, паралельний якій-небудь площині, можна розкласти за базисом на цій площині

Кожен вектор можна розкласти за базисом у просторі. Координати вектора у кожному випадку визначаються однозначно.

Не зупиняючись на доведенні цієї теореми [4], розглянемо її геометричний зміст.

Перше твердження теореми означає, що для довільного вектора й, колінеарного ненульовому вектору знайдеться таке число , що =. Очевидно, що = + , якщо вектори і однаково напрямлені, і = - , якщо ці вектори протилежно напрямлені.

Друге твердження означає, що для кожного вектора , компланарного з двома не колінеарними векторами та (рис. 2.9, б), знайдуться такі числа та , що = +.

Щоб указати компоненти та , досить розкласти вектор а на суму векторів, колінеарних векторам та (згадайте розклад сили у фізиці на дві складові).

Третє твердження теореми означає, що для кожного вектора а і не компланарних векторів і знайдуться такі числа , , , що

=+ + . Таким чином, базис в просторі дає змогу кожному вектору однозначно спів ставити упорядковану трійку чисел (координат цього вектора) і, навпаки, кожній упорядкованій трійці чисел , , , за допомогою базису можна спів ставити єдиний вектор + + .

, , -- вектори базису, тобто обраний базис дає змогу встановити взаємно однозначну відповідність між векторами і упорядкованими трійками чисел.

Віссю називається напрямлена пряма. Напрям прямої позначають стрілкою. Заданий на осі напрям вважають додатним, а протилежний йому -- від'ємним..

Проекцією точки А на вісь и називається основа , перпендикуляра Аопущеного з точки А на дану вісь. Таким чином, проекція є точкою перетину осі и з площиною, яка проходить через точку А, перпендикулярно до осі и .

Нехай у просторі задано вісь и і вектор . Позначимо через та проекції на вісь и відповідно початку А і кінця В вектора .

Проекцією вектора на вісь и називають додатне число | |, якщо вектор і вісь и однаково напрямлені, і від'ємне число -- якщо вектор і вісь и протилежно напрямлені. Проекцію вектора а на вісь позначають так: пр _и. Якщо а =» 0, то вважають, що пр_и а = 0.

Кутом між вектором а і віссю и (або між двома векторами) називається менший з кутів, на який потрібно повернути один вектор або вісь, щоб він збігався за напрямом з другим вектором або віссю

У деяких випадках ми будемо вказувати, від якого вектора І в якому напрямі кут відраховується.

Справедливі такі властивості проекцій.

І. Проекція вектора на вісь и дорівнює добутку довжини вектора на косинус кута між вектором і віссю, тобто пр _и = соs .(1)

О Якщо = (,и ),то пр _и = = соs .

Якщо > то = --= -- соs ( - ) соs .

Якщо = , то формула (1) справедлива, оскільки пр _и = 0

2°. Проекція суми кількох векторів на дану вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь, тобто (+ + )= + +.

Нехай вектор = + + . Маємо

= = + - =+ +

3°. При множенні вектора а на число X його проекція також помножиться на це число:

()=

О Нехай = (, и) і ' = (, и). Якщо >0, то за формулою (1) ()= соs '= соs =

А. якщо < 0, то

= ()= соs '= - соs ( - )=

Таким чином, основні властивості проекції вектора на вісь полягають в тому, що лінійні операції над векторами приводять до відповідних лінійних операцій над проекціями цих векторів

III. ВЕКТОРИ В СИСТЕМІ КООРДИНАТ

Розглянемо в просторі точку О і деякий базис, що задається векторами , , .

Сукупність точки і базису називається декартовою системою координат в просторі на честь французького математика Р. Декарта. Точка О називається початком координат, а осі, які проходять через початок координат в напрямі базисних векторів, називаються осями координат. Перша з них проходить в напрямі вектора і називається віссю абсцис, друга вісь, яка проходить у напрямі вектора, -- віссю ординат і третя -- в напрямі вектора -- віссю аплікат.

Площини, які проходять через осі координат, називаються координатними площинами.

Всякій точці простору можна співставити вектор, початок якого збігається з початком координат О, а кінець -- з точкою М. Такий вектор називається радіусом-вектором точки М відносно точки О. Згідно з теоремою 1 існують такі дійсні числа , , що =++.

Координати , , радіуса-вектора точки М відносно початку координат називають декартовими координатами точки М в даній системі координат і пишуть: М (;;) Координата називається абсцисою точки М, координата -- ординатою і координата -- аплікатою точки М.

Аналогічно визначаються декартові координати точки на площині і на прямій. Різниця лише в тому, що точка на площині має дві координати, а точка на прямій -- одну. Таким чином, якщо в просторі обрано декартову систему координат, то кожній точці простору відповідає одна упорядкована трійка дійсних чисел -- декартові координати цієї точки. І навпаки, для кожної упорядкованої трійки чисел знайдеться єдина точка простору, для якої ці числа є декартовими координатами. Це означає, що обрана тим чи іншим способом декартова система координат установлює взаємно однозначну відповідність між точками простору і упорядкованими трійками чисел.

Система координат на площині визначає таку саму відповідність між точками площини і упорядкованими парами чисел, а на прямій між точками прямої і дійсними числами.

Очевидно, декартових систем координат можна задати скільки завгодно. Серед них широко використовується прямокутна декартова система координат. Щоб визначити цю систему, введемо такі поняття

Упорядкована трійка одиничних попарно ортогональних векторів називається ортонормованим базисом. Позначають ортонормований базис через :

де = =

Упорядкована трійка некомпланарних , , векторів називається правою якщо з кінця третього вектора найкоротший поворот від першого вектора до другого вектора видно проти годинникової стрілки; в протилежному випадку трійка векторів , , називається лівою

Прямокутною декартовою системою координат (або просто прямокутною системою координат) називається декартова система координат, базис якої ортонормований. Прямокутна система координат називається правою (лівою), якщо її ортонормований базис утворює праву (ліву) трійку векторів. Надалі користуватимемося правою системою координат, яка визначається правим ортонормованим базисом:

Прямокутну систему координат позначають через Охуz Ох-- вісь абсцис, Оу -- вісь ординат, Оz-- вісь аплікат), а площини -- через Оху, Оуz, Оzх. Вони поділяють простір на вісім октантів. При зображенні системи координат, як правило, показують лише осі координат; вектори не вказують.

З ортогональності базисних векторів системи Охуz випливає, що координати точки М дорівнюють відповідним проекціям радіуса-вектора цієї точки на осі координат і визначаються проектуванням точки М на координатні осі

Прямокутні координати точки на площині і на прямій визначаються таким самим способом, як і в просторі.

якщо серед векторів е нульовий, то ці вектори лінійно за лежні;

якщо вектори лінійно залежні,- то після додавання до них одного чи кількох нових векторів дістанемо лінійно залежну систему векторів;

якщо вектори лінійно незалежні, то після відкидання одного чи кількох векторів дістанемо знову лінійно незалежні вектори;

вектори лінійно залежні тоді і лише тоді, коли один з них е лінійною комбінацією інших;

якщо два ненульові тривимірні вектори лінійно залежні, то вони колінеарні, і навпаки;

якщо три ненульові тривимірні вектори лінійно залежні, то вони компланарні, і навпаки;

чотири (і більше) тривимірних вектори завжди лінійно залежні.

Поняття лінійної залежності має досить глибокий зміст і широко

використовується в математиці. Не вдаючись до подробиць, наведемо такі застосування цього поняття [7].

1°. Всяка упорядкована сукупність лінійно незалежних векторів, через які лінійно виражається довільний вектор простору, називається базисом цього простору. Неважко переконатись в еквівалентності цього означення і означення базисів у просторах

2°. Максимальне число лінійно незалежних векторів деякого простору називається його розмірністю. Розмірність простору дорівнює числу базисних векторів цього простору. Відповідно до цього означення пряму лінію розглядають як одновимірний простір з одним базисним вектором; площина -- це двовимірний простір, базис якого містить два вектори і т. п.

3°. Максимальне число лінійно незалежних стовпців матриці дорівнює максимальному числу ЇЇ лінійно незалежних рядків, і це число дорівнює рангу матриці.

Розглянемо систему лінійних рівнянь (і зафіксуємо який-небудь відмінний від нуля мінор, порядок якого дорівнює рангу матриці цієї системи. Рівняння, у яких коефіцієнти при невідомих утворюють обраний мінор, називають базисними. Тоді з твердження 3° випливає такий важливий для практики висновок: система лінійних рівнянь еквівалентна системі своїх базисних рівнянь

IV. СКАЛЯРНИЙ ДОБУТОК ДВОХ ВЕКТОРІВ

Для того щоб операції над векторами звести до операцій над числами, розглядатимемо вектори в системі координат.

1.Координати вектора. Нехай в прямокутній системі координат

Охуz задано вектор . Це означає, що в ортонормованому базисі який задає обрану систему координат, вектор =+ + , де числа -- координати вектора в цьому базисі.

Отже, координати вектора системі координат Охуz Охуг це його проекції на осі координат.

2.Довжина вектора. Вектор є діагоналлю прямокутного паралелепіпеда з вимірами тому довжина цього вектора дорівнює

=

3. Напрямні косинуси вектора. Напрям довільного вектора = ()визначається кутами , , , які утворює вектор з осями координат. Косинус цих кутів називаються напрямними косинусами. Підносячи обидві частини кожної рівностей до квадрата підсумовуючи, з урахуванням формули дістанемо

сos² + соs² + соs² = 1,

тобто сума квадратів напрямних косинусів довільного вектора дорівнює одиниці.

Якщо відомі координати векторів, то лінійним діям з векторами відповідають відповідні арифметичні дії над їхніми координатами. Це випливає з властивостей 2°, 3° проекцій

Нехай задано вектори а = (а_х; а_у; а_г), Ь = (Ь_х, Ь_у Ь_г) і дійсне число К, тоді а ± Ь = (а_х ± Ь_и; а_у ± Ь_у; а_г ± Ь_г).

Нехай вектори а -- (а_х, а_у а_г) та Ь = (Ь_х Ь_у Ь_г) рівні, тобто мають однакові довжини і напрям, тоді з формул (1) і (16) випливає, що

а_х = Ь_х, а_у = Ь_у, а_г = Ьі навпаки, якщо мають місце формули, то a= Ь. Отже, всяка векторна рівність виду а = Ь еквівалентна трьом скалярним рівностям

3. Колінеарність векторів. Необхідною і достатньою умовою того,що вектори та колінеарні, є пропорціональність їхніх проекцій:

.

Дійсно, якщо вектори і колінеарні, то існує таке число , що , тоді з формул дістаємо рівності ; ; ,

V. СИСТЕМИ КООРДИНАТ

Скалярним добутком двох векторів і називається число *, що дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:

*=

де - кут між векторами і .

Якщо хоча б один з векторів чи нульовий, то за означенням

*=0. Оскільки за формулою (3) , то з маємо:

.

Формули ) виражають геометричний зміст скалярного добутку: скалярний добуток двох векторів дорівнює добутку довжини одного вектора на проекцію на нього другого вектора. З фізики відомо, що робота сили при переміщенні матеріальної точки з початку в кінець вектора , який утворює з вектором кут , дорівнює , або . Отже, робота дорівнює скалярному добутку вектора сили на вектор переміщення. В цьому суть механічного змісту скалярного добутку.

У векторному численні величину *= називають скалярним добутком векторів і тому, що, по-перше, ця величина є скаляр і, по-друге, має деякі алгебраїчні властивості звичайного добутку чисел.

Розглянемо три алгебраїчні властивості скалярного добутку.

1°. Коммутативна властивість множення:

=

За означенням скалярного добутку

*= і

*=.

Оскільки як добуток чисел і , тому що , то = .

2°. Асоціативна властивість відносно множення на число л:

.



3°. Дистрибутивна властивість відносно додавання векторів:

.

Згідно з формулами дістанемо:

.

Ці три властивості обумовлюють глибоку аналогію між векторною алгеброю і алгеброю чисел. Перша властивість дає змогу міняти місцями множники, друга -- об'єднувати числові коефіцієнти векторних множників, а третя -- розкривати або вводити дужки і виносити за них спільні скалярні чи векторні множники. Проте аналогія між скалярним добутком векторів і добутком чисел є неповною. Зокрема, не існує скалярного добутку трьох і більшого числа векторів; рівність *=0 може виконуватись і при ненульових множниках ,, якщо ; не можна робити висновок, що з рівності = випливає рівність навіть коли . Рівність =при означає, що і правильна при .

Наведемо геометричні властивості скалярного добутку.

4°. Якщо і , то *> 0, коли кут -- гострий, і *<0, коли кут - тупий.

5°. Скалярний добуток двох ненульовш векторів дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли ці вектори взаємно перпендикулярні.

6°. Скалярний квадрат вектора дорівнює квадрату його довжини

звідки

Нехай задано два вектори та . Знайдемо їхній скалярний добуток. Використовуючи властивості 1° і 3° скалярного добутку, дістанемо

-+

Оскільки , , -- попарно ортогональні орти, то , , тому

.

Отже, скалярний добуток двох векторів, заданих координатами в прямокутній системі координат, дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат

1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів і є рівність



.

2. Довжина вектора визначається за формулою

3. Кут між векторами та визначається рівністю

.

VI. ВЕКТОР, ДОБУТОК ДВОХ ВЕКТОРІВ

Векторним добутком вектора а на вектор Ь називається вектор с, який визначається такими трьома умовами:

1) довжина вектора дорівнює , де ;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і ;

3) якщо , то вектори , , утворюють праву трійку векторів

Векторний добуток позначають одним із символів:

.



Рис. 2.31

Розглянемо кілька прикладів.

1. Нехай в точці А (рис. 2.31) прикладена сила і -- деяка фіксована точка. Як відомо з фізики, моментом сили відносно точки називається вектор , довжина якого дорівнює добутку сили на плече і який напрямлений по осі обертання так, що коли дивитися з його кінця, то обертання тіла відбувається проти руху стрілки годинника. Оскільки

,

то момент сили , прикладеної в точці А, відносно точки визначається векторним добутком

.

2. Швидкість точки твердого тіла, яке обертається з кутовою швидкістю навколо нерухомої осі , визначається за формулою Эйлера . Якщо електрон, заряд якого дорівнює , рухається з швидкістю в магнітному полі сталої напруги , то на електрон діє сила , яка визначається за формулою



,

де -- швидкість світла.

Розглянемо алгебраїчні властивості векторного добутку.

1°. Антикомутативність множення:

,

тобто від перестановки множників векторний добуток змінює знак. Це випливає з того, що вектори і мають однакові модулі, колінеарні і трійки векторів і протилежної орієнтації

2°. Асоціативність відносно скалярного множника л:

; .

3°. Дистрибутивність відносно додавання векторів:

.

Алгебраїчні властивості векторного добутку дають змогу при множенні лінійних векторів виконувати дії так само, як з алгебраїчними многочленами. Проте при виконанні векторного множення слід пам'ятати, що воно некомутативне: при переставлянні співмножників знак векторного добутку змінюється на протилежний.

Наведемо геометричні властивості векторного добутку.

4°. Векторний добуток двох векторів дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли ці вектори колінеарні.

5°. Модуль векторного добутку неколінеарних векторів

дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , віднесених до спільного початку, тобто

.

6°. Векторні добутки ортів задовольняють такі рівності:

, , ,

; , , .

Нехай в прямокутній системі координат задано вектори і . Покажемо, що векторний добуток вектора на вектор визначається за формулою

. (39)

О Використовуючи властивості І °-- 3° і 6° векторного добутку і теорему про розклад визначника, маємо

.

VII. МІШАНИЙ ДОБУТОК ВЕКТОРІВ

При множенні двох векторів і вище було визначено два види добутків: скалярний, результатом якого є число *, і векторний, результатом якого є вектор .

Множення трьох векторів , , можна виконати різними способами. Зокрема, можно утворити такі добутки:

, , .

Перший з цих добутків відповідає множенню скаляра * на вектор і не розглядається. Те саме стосується добутків та .

Результатом другого добутку є вектор , який називається подвійним векторним або векторно-векторним добутком даних трьох векторів:

.

Для знаходження подвійного векторного добутку застосовують формули

;

.

Подвійний векторний добуток часто зустрічається у векторному численні, але певного геометричного змісту не має.

Останній з наведених добутків - це скалярний добуток вектора на вектор ; його називають мішаним добутком векторів , і. Цей добуток має чіткий геометричний зміст і широко використовується в задачах.

1°. Якщо в мішаному добутку поміняти місцями які-небудь два множники, то мішаний добуток змінить знак, наприклад:

.

Дійсно, якщо в мішаному добутку поміняти місцями два множники, то це те саме, що у визначнику поміняти місцями два рядки, а від цього визначник змінює знак.

2°. При циклічній перестановці множників мішаний добуток не змінюється.

.

3°. У мішаному добутку знаки векторного і скалярного добутків можна міняти місцями:

.

Дійсно, з властивості 2° і комутативності скалярного добутку маємо

.

У зв'язку з цим мішані добутки (векторно-скалярнйй добуток) і (скалярно-векторний добуток) скорочено позначають так: .

4є. Модуль мішаного добутку дорівнює об' ему паралелепіпеда, побудованого на векторах , і, віднесених до спільного початку:

.

О Візьмемо три некомпланарних вектори , і і побудуємо на цих векторах паралелепіпед . Об'єм цього паралелепіпеда

,

де - площа основи, а - висота. Але

, ,

тому .

5°. Якщо мішаний добуток додатний, то вектори , , утворюють праву трійку, а якщо від'ємний, то ліву.

3 формул випливає, що . Якщо

>0, то >0 і кут гострий, тобто вектори , , утворюють праву трійку. Якщо <0, то <0, кут тупий, тому вектори , і утворюють ліву трійку.

6є . Вектори , , компланарні тоді і тільки тоді, коли їхній мішаний добуток дорівнює нулю.

Якщо =0, то вектор перпендикулярний до вектора і лежить з векторами , в одній площині. Це означає, що вектори , , компланарні. Навпаки, якщо вектори а, Ь, с компланарні, то можна вважати, що вони лежать в одній площині, тому ; =0

Властивості 4° -- 6° виражають геометричний зміст мішаного добутку трьох векторів.



ПОДУМАЙТЕ НАД ПИТАННЯМИ?

1. Що називається: вектором, ортом, нульовим вектором?.

2. Які вектори називають рівними, колінеарними, компланарними?

3. Як визначається сума двох векторів, сума кількох векторів?

4. Сформулювати властивості лінійних операцій над векторами.

5 Що називається базисом на прямій, на площині, в просторі?

6. Сформулювати теорему про розклад вектора за базисом і з'ясувати її геометричний зміст.

7. Що називається проекцією вектора на вісь? Сформулювати і довести властивості проекцій.

8. Що називається мішаним добутком трьох векторів?

9. Як обчислюється мішаний добуток трьох векторів, заданих координатами в прнмокутній системі координат?

10. У чому полягає геометричний зміст мішаного добутку? У чому полягає умова компланарності трьох векторів?

11. Як визначаються лінійні операції з векторами, заданими своїми координатами?

12. Які умови рівності та колінеарності векторів, заданих своїми проекціями?

13. У чому полягає задача про поділ відрізка в даному відношенні?

14. Записати формули для координат точки, яка ділить даний відрізок у даному відношенні.

15. Що називається декартовою системою координат?

16. Дати визначення декартових координат точки: на прямій; на площині; в просторі.

17. Визначити прямокутну систему координат. Яка система координат називається правою; лівою?

18. Довести, що координати точки у прямокутній системі дорівнюють відповідним проекціям радіуса-вектора цієї точки на осі координат.

19. Охарактеризувати полярну, циліндричну та сферичну системи координат.

20. Що називається скалярним добутком двох векторів?

Размещено на Allbest.ru