Диференціал функції
Означення, геометричний та механічний зміст диференціала, його основні властивості. Застосування диференціала в наближених обчисленнях значення функції та її приросту, наближене обчислення степенів, коренів, обернених чисел. Диференціали вищих порядків.
| Рубрика | Математика |
| Вид | лекция |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 08.08.2014 |
| Размер файла | 60,7 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
“Диференціал функції”
План
1. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала
2. Властивості диференціала
3. Застосування диференціала в наближених обчисленнях
3.1. Обчислення наближеного значення приросту функції
3.2. Обчислення наближеного значення функції
3.3. Наближене обчислення степенів
3.4. Наближене обчислення коренів
3.5. Наближене обчислення обернених чисел
4. Диференціали вищих порядків
Завдання для самоконтролю
1. Означення, геометричний та механічний зміст диференціала функції
Поняття диференціала тісно пов'язане з поняттям похідної, і є одним з найважливішим в математиці. Диференціал наближеного дорівнює приросту функції і пропорційний приросту аргументу. Внаслідок цього диференціал широко застосовується при дослідженні різноманітних процесів і явищ. Будь - який процес протягом достатньо малого проміжку часу змінюється майже рівномірно, тому дійсно приріст величини, що характеризує процес, можна замінити диференціалом цієї величини на даному проміжку часу. Таку заміну називають лінеаризацією процесу.
Термін «диференціал» (від латинського слова diffefentia - різниця) ввів у математику Лейбніц. диференціал функція корінь
Нехай функція у = f (x) диференційована в точці х є , тобто в цій точці має похідну:
f 1 (x) = lim
Тоді з властивості нескінченно малих величин lim f (x) = A f (x) =
xx0
A + б (x), де lim б (x) = 0 маємо:
x x0
= f 1 (x) + б ; б > 0 при х > 0
Звідки одержимо у = f 1 (x) x + б x (1)
Перший з доданків лінійних відносно ? х > 0 та f 1 (x) ? 0 є нескінченно малою одного порядку з ? х , тому що
lim = f 1 (x)
? x > 0
Другий доданок - нескінченно мала вищого порядку, ніж ? x , тому що
lim = lim б = 0
? x > 0 ? x > 0
Цей доданок не є лінійним відносно ? x, тобто містить ? x в степені, вищому від одиниці. Таким чином, перший доданок у формулі (1) є головною частиною приросту функції, лінійного відносно приросту аргументу.
Диференціалом dy функції у = f (x) в точці х називається головна, лінійна відносно ? x, частина приросту функції f (x) в цій точці:
dy = f 1 (x) ? x (2)
Диференціал dy називають також диференціалом першого порядку.
Якщо у = х, то у1 = х 1 = 1, тому dy = dx = ? x, тобто диференціал dx незалежної змінної х збігається з її приростом ? x.
Тому формулу (2) можна записати так
dy = f 1 (x) dx (3)
Ця формула дає змогу розглядати похідну як відношення диференціала функції до диференціала незалежної змінної.
Слід зауважити, що коли в точці х0 похідна f 1 (x0) = 0, то перший доданок у формулі (1) дорівнює нулеві і вже не є головною частиною приросту у. Але і в цьому випадку диференціал dy знаходять за формулою (3) .
Геометричний зміст диференціала можна проаналізувати з рисунка 1.
уР
у+ у
Q
N
у у=f(х)х
х
0хх+ х
З рисунка маємо РN = ?y QN = МN tg б = ?x f1 (x) = f1 (x) = dy. Отже, диференціал функції f (x) при заданих значеннях х і ?x дорівнює приросту ординати дотичної до кривої у = f (x) в точці х.
Приріст функції ?y при цьому дорівнює приросту ординати кривої. Таким чином, заміна приросту функції на її диференціал геометрично означає заміну ординати АР кривої ординатою дотичною AQ. Зрозуміло, що така заміна доцільна лише для достатньо малих значеннях ?x.
З'ясуємо механічний зміст диференціала. Нехай матеріальна точка рухається за відомим законом S = f (t) , де f (t) - диференційована на деякому проміжку функція. Тоді диференціал цієї функції dS = f1 (t) ? t при фіксованих значеннях t і ? t - це той шлях, який пройшла б матеріальна точка за час ? t ,
якби вона рухалась прямолінійно і рівномірно з сталою швидкістю х = f1 (t).
Зрозуміло, що фактичний шлях ?S у випадку нерівномірного руху на відміну від диференціала dS не є лінійною функцією часу ? t і тому відрізняється від шляху dS. Проте якщо час ? t достатньо малий, то швидкість руху не встигає суттєво змінитись, і тому рух точки на проміжку часу від t до
t + ? t є майже рівномірним.
2. Властивості диференціала
Оскільки диференціал функції дорівнює добутку її похідної на диференціал незалежної змінної, то властивості диференціала можна легко дістати із відповідних властивостей похідної. Якщо u і х - диференційовані функції від
х і с - стала, то маємо такі правила знаходження диференціалів:
dc = 0 d (u х ) = хdu + udх
d (cu) = c d u d () =
d (u х) = du d х
При диференціюванні складної функції слід врахувати проміжний і кінцевий аргумент.
Нехай у = f (x) = f ((t)) - складна функція з проміжним
аргументом t, причому функції f (x) і ((t) диференційовані в точках х і t. Тоді існує похідна у1t = у1x x1t , а отже диференціал:
dy = у1t dt = у1x x1t dt = у1x dx
3. Застосування диференціала в наближених обчисленнях
Як уже зазначилось, приріст у функції у = f (x) у точці х можна наближено замінити диференціалом dy в цій точці: у dy. Підставивши сюди значення у і dy, дістанемо: f (x + x) f (x) + f 1 (x) x (4)
Абсолютна похибка величини у - dy є при x 0 нескінченномалою вищого порядку, ніж x, тому що при f1(x) 0 величини у і dy еквівалентні:
lim = lim = 1
Іноді користуючись наближеною рівністю: f (x + x) f (x) (5)
Якщо функція у = f (x) диференційована в точці х, то абсолютна похибка
формули (5) наближеного дорівнює абсолютній величині диференціала:
= = .
Відносна похибка формули (5) визначається формулою:
3.1 Обчислення наближеного значення приросту функції за допомогою диференціала
Нехай дана функція у = f 1(x); приріст цієї функції у = f (x + x ) - f (x); її диференціал dy = f 1 (x) dx . При досить малих (близьких до нуля) приростах аргументу x вважатимемо, що у dy, тобто, що приріст функції наближеного рівний її диференціалу.
Наприклад. Знайти наближене значення функції: у = х3 + 2 при х = 2 і x = 0,1 за допомогою диференціала.
dy = f 1 (x) dx = (х3 + 2 )1 = 2х2 dx.
Підставимо дані задачі в одержаний вираз.
dy = 2х2 dx = 2 22 0,1 = 0,8
у = f (x + x ) - f (x) = (х +x)3 + 2 - (х3 + 2) = х3 + 3 (x)2 х + 3х2 x + (x)3 - х3 + 2 - 2 = 3 (x)2 х + 3х2 x + (x)3 = 3 (0,1)22 + 3 22 0,1 + (0,1)3 = 1,261.
Абсолютна похибка:
у - dy = 1,261 - 0,8 = 0,461
Відносна похибка:
у (2) = х3 + 2 = 10; у (2,1) = х3 + 2 = 11, 261; = = 0,112
3.2 Обчислення наближеного числового значення функці
Дана функція у = f (x), приріст її у , її диференціал - dy = f 1 (x) dx. При досить малих х маємо у dy.
Замінивши приріст функції її диференціалом, одержимо:
f1 (x) dx f ( x + x) - f (x), звідс
f (x +x ) f (x) + f 1(x) x
Наприклад: Знайти наближене значення функції f (x) = 5х3 - 2х + 3 при х = 2, 01
Нехай х0 = 2 і x = 0,01, тоді f (x) = f (2) = 5 23 - 2 2 + 3 = 39
f 1 (х) х = f 1 (2) 0,01 = (5х3 - 2х + 3)1 х = (15 х2 - 2) х = (15 22 - 2) 0,01 = 0,58
f (2,01) = 39 + 0,58 = 39,58
Знайдемо точне значення функції
F (2,01) = 5 (2,01)3 - 2 2.01 + 3 = 39,583005
Обчислимо відносну похибку
0,00890
3.3 Наближене обчислення степенів
Дана функція f (x) = хn. Нехай аргумент х набуває малого приросту x. Обчислимо значення функції
f (х +х ) = (х +х )n, використовуємо формулу f (х +х ) f (х) +
f1 (х) х і підставимо дані, одержимо:
(х +х )n хn + nхn-1 х
Якщо n = 2, тоді (х +х)2 х2 + 2х х
Якщо n = 3, тоді (х +х)3 х3 + 3х2 х
Якщо х = 1, тоді (1 +х )n 1 + n х
Наприклад. Обчислити у = (4,012)2
Нехай х = 4 і х = 0,012, тоді у = (4,012)2 = (4 + 0,012)2 42 + 2 4 0,012 16,096 16,1
Відносна похибка рівна 0,025 %.
3.4 Наближене обчислення коренів
Нехай дано функцію f (х) = n.
Аргумент х набуває малого приросту х. Обчислимо наближене значення функції f (х +х ) = n, використовуємо формулу
f (х +х ) f (х) + f1 (х) х
Підставимо дані в формулу і одержимо:
n n + , бо f1 (х) х =
Якщо n = 2, то + ;
Якщо n = 3, то 3 3 + ;
Якщо n = 1, то n 1 +
Наприклад. Обчислити у =
Нехай х = 1, = 0,006
Підставимо в дану формулу і одержимо: у = =
+ = 1 + 1,003
3.5 Наближене обчислення обернених чисел
Нехай дано функцію f (х) = , тоді f (х +х ) = , бо аргумент х набуває малого приросту х.
Використаємо формулу f (х +х ) f (х) + f 1(х) х
Знайдемо похідну f 1(х) = 1 = - і підставимо в дану формулу значення: f (х +х ) = -
Якщо х < 0, то +
Якщо х = 1, то 1 - х
Якщо х = 1 і х < 0, то 1 + х
Наприклад. Обчислити значення функції f (х) =
Нехай х = 1, х = 0,004
Підставивши у формулу, одержимо: 1 - 0,004 0,996
4. Диференціал вищих порядків
Нехай маємо диференційовану на деякому проміжку функцію у = f (х), де х - незалежна змінна. Тоді її перший диференціал або диференціал першого порядку буде: dy = f 1 (x) dx
Другим диференціалом d2y, або диференціалом другого порядку, називається диференціал від першого диференціалу: d2y = d (dy)
Оскільки dx не залежить від х, то при диференціюванні першого диференціала dx можна винести за знак похідної, тому:
d2y= d(dy) = d (f1(x) dx) = (f1 (x)x1 dx = f11 (x) dxdx = f11(x) dx2
Диференціалом n-го порядку називається диференціал від диференціала (n-1)-го порядку:
dn y = d (dn-1y) = f(n)(x) dxn
Завдання для самоконтролю
Що називається диференціалом функції?
Як визначається диференціал функції через її похідну?
Який геометричний та механічний зміст диференціала?
В чому суть фізичного змісту диференціалу?
Назвати властивості диференціалу.
Як використовується диференціал до наближених обчислень значення приросту функції; числового значення функції; обчислення степенів; обчислення коренів; обчислення обернених чисел? Навести приклади.
Довести формули:
sin (x +х) sin x +х cos x
cos (x +х) cos x -х sin x
ех 1 +х
еn (x +х) еn x +
Що називають диференціалом другого порядку?
Що називають диференціалом n-го порядку даної функції?
Як знайти диференціал dny, якщо у = f (x) і х - незалежна змінна?
Довести, що (хn)(n) = n!, n є N
(cos x)(n) = cos
dn (sin2x) = 2n-1 sin (2x + dx2
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Частинні похідні та диференційованість функції: поняття та теореми. Повний диференціал функції та його застосування до обчислення функцій і похибок. Диференціали вищих порядків. Інваріантність форми повного диференціала. Диференціювання неявної функції.
реферат [278,8 K], добавлен 02.05.2011Поняття диференційованості, похідної, диференціала. Теореми про диференційованість деяких відображень. Частинні похідні вищих порядків та матриця Якобі. Достатні умови диференційованості. Теореми про "скінченні прирости". Диференціали вищих порядків.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 08.10.2011Побудова дотичної площини та нормалі до поверхні. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Поняття скалярного поля, зв'язок між градієнтом і похідною в даній точці. Формула Тейлора для функції двох змінних та її локальні екстремуми.
реферат [713,9 K], добавлен 14.05.2011Поняття диференційованості функції в даній точці, основні формули. Диференціал функції однієї змінної, його застосування. Основні означення, які відносяться до функції кількох змінних. Похідна алгебраїчної суми скінченного числа диференційованих функцій.
реферат [101,8 K], добавлен 02.11.2015Похідна як основне поняття диференційного числення, що характеризує швидкість зміни функції, границя відношення приросту функції до приросту аргументу. Приклади знаходження похідної за визначенням. Похідні вищих порядків, геометричний зміст похідної.
презентация [49,6 K], добавлен 16.02.2011Сутність фізичного та геометричного змісту похідної, особливості його використовування у математичних задачах. Означення диференціалу, формула його обчислення. Екстремуми функцій двох змінних. Правила знаходження найбільшого і найменшого значення функції.
презентация [262,6 K], добавлен 20.05.2015Означення та приклади застосування гармонічних функцій. Субгармонічні функції та їх деякі властивості. Розв’язок задачі Діріхле з використанням функції Гріна. Теореми зростання та спадання функції регулярної в нескінченній області (Фрагмена-Ліндельофа).
курсовая работа [349,0 K], добавлен 10.09.2013Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Джерела неточностей у процесі обчислень. Види наближених значень. Абсолютні та граничні похибки. Поняття значущої цифри. Зв'язок числа вірних знаків наближеного числа з його відносною помилкою. Правила округлення чисел. Оцінка відносної похибки функції.
презентация [72,0 K], добавлен 06.02.2014Коротка біографія Леонардо Пізанського (відоміший як Фібоначчі) - найвидатнішого західного математика Середньовіччя. Значення та основні властивості чисел Фібоначчі. Золотий переріз (формула Біне). Застосування чисел та золотої пропорції в різних галузях.
курсовая работа [1,4 M], добавлен 07.05.2015
