Размещено на http://www.allbest.ru/

„Визначений інтеграл та його застосування”



План

1. Задачі, що приводять до визначеного інтеграла

2. Означення та умови існування визначеного інтеграла

3. Властивості визначеного інтеграла

4. Інтеграл із змінною верхньою межею. Формула Ньютона-Лейбніца

5. Методи обчислення визначених інтегралів

6. Застосування визначених інтегралів



1. Задачі, що приводять до визначеного інтеграла

Задача 1. Задача про площу криволінійної трапеції.

Нехай на відрізку [а;в] задано функцію у = f (х) ? 0

у

А

В

х

Рис.1

Фігура аАВв (Рис.1), обмежена графіком даної функції і відрізками прямих у = 0, х = а, х = в, називається криволінійною трапецією. Обчислити площу S цієї трапеції.

Розіб'ємо відрізок [а;в] за допомогою точок а = х ₀ < х₁ < ... < х _n = в на n частинних відрізків [х _і-1; х _і] , де і = 1, 2, ... , n.

На кожному з цих відрізків візьмемо довільну точку к є [х _і-1; х _і] і обчислимо значення f (к _і ). Тоді добуток f (к _і ) ? х _і , де ? х _і = х _і - х _{і - 1}, дорівнює площі прямокутника з основою ? х _і і висотою f (к _і ), а сума цих добутків - площі ступінчастої фігури і наближено дорівнює площі криволінійної трапеції:

Із зменшенням усіх величин ? х _і точність цієї формули збільшується тому природно за площу криволінійної трапеції вважати границю площ ступінчатих фігур за умови, що максимальна довжина частинних відрізків прямує до нуля: інтеграл визначений лейбніц

Задача 2. Про роботу змінної сили.

Нехай на матеріальну точку діє сила F, яка стала за напрямком і неперервною змінюється за величиною, і нехай під дією цієї сили точка перемістилася вздовж осі Ох з точки а в точку в (а < в). Обчислити роботу А цієї сили на відрізку [а;в] .

У кожній точці х є [а;в] діє сила від F, яка за умовою є неперервною функцією від х: F = F(x). Розіб'ємо відрізок [а;в] точками а = х ₀ < х₁ < х₂< ... < х_n = в на [х _і-1; х _і], і = 1, 2, ... , n.

Припустимо, що кожний з частинних відрізків такий малий, що силу F (x) на ньому можна вважати сталою і рівною значенню функції F (x) в деякій довільно вибраній точці х = k_i є [х _і-1; х _і]: F = F (x) .

Робота виконана цією силою на відрізку [х _і-1; х _і] дорівнює добутку F (k_i) ? х_i , де ? х_i = х _і - х _і-1 . Насправді, на відрізку [х _і-1; х _і] сила F (x) змінюється, тому вираз F (k_i) ? х_i дає лише наближене значення роботи на цьому відрізку.

Оскільки робота на відрізку [а;в] дорівнює сумі робіт на всіх частинних відрізках, то



Ця наближена рівність тим точніша, чим менші довжини ? х_i. Тому природно за роботу сили F (x) на шляху [а;в] вважати границю одержаної суми:

Дві розглянуті задачі привели до однієї й тієї самої математичної операції - знаходження границі певного виду сум. Причому, суми під знаком границі залежать не тільки від заданої функції, а й від точок розбиття відрізку.

Але ж в цих випадках йдеться про знаходження границі суми нескінченно великого числа нескінченно малих доданків.

2. Означення та умови існування визначеного інтеграла

Нехай функція у = F (x) визначена на відрізку [а;в] , а < в. Розіб'ємо цей відрізок на n довільних частин точками:

а = х ₀ < х₁ < х₂< ... < х _і-1< х _і< ... < х_n-1 < х_n = в

Сукупність точок х₀, х₁, х₂, ..., х_n позначимо через ф і назвемо ф - розбиття відрізка [а;в]. На частинному відрізку [х _і-1; х _і], і = 1, 2, ... ,n візьмемо довільну точку k_i є [х _і-1; х _і] і побудуємо суму:

де ? х_i = х _і - х _і-1 - довжина відрізка [х _і-1; х _і].

Сума 3. називається інтегральною сумою функції f (x), яка відповідає ф - розбиттю відрізка [а;в] на частинні відрізки і даному вибору проміжних точок К_і.

Якщо існує скінчена границя інтегральної 3. суми при л 0, яка не залежить від ф - розбиття, ні від вибору точок К_і, то границя називається визначеним інтегралом функції F (x) на відрізку [а;в] і позначається символом:

Отже, згідно з означенням

В цьому випадку функція F (x) називається інтегрованою на відрізку [а;в]. Числа а і в називають відповідно нижньою і верхньою межею інтегрування; функція F (x) називається інтегральною функцією; F (x) dx - підінтегральним виразом; х - змінною інтегрування; [а;в] - проміжком інтегрування.

Повертаючись до розглянутих задач на основні рівності 1. та 2. можна сказати, що:

1) площа S криволінійної трапеції, обмеженої прямими у = 0, х = а, х = в і графіком функції у = F (x) ? 0, дорівнює визначеному інтегралу від цієї функції, тобто:



У цьому полягає геометричний зміст визначеного інтегралу.

2) робота А змінної сили F (x), яка діє на відрізку [а;в] дорівнює визначеному інтегралу від сили, тобто:

3) шлях S, проведений точкою за проміжок часу від t = a до t = в , дорівнює визначеному інтегралу від швидкості V (t), тобто:

Ця формула 7. характеризує фізичний зміст визначеного інтеграла.

Слід зазначити умови інтегрованості функції е ^іц = cos ц + sin ц.

Теорема 1. (Необхідна умова інтегрованості)

Якщо функція F (x) інтегрована на відрізку [а;в], то вона обмежена на цьому відрізку.

Теорема 2. (Достатня умова інтегрованості)

Якщо функція F (x) неперервна на відрізку [а;в] , то вона інтегрована на цьому відрізку.

Теорема 3. Якщо функція F (x) обмежена на відрізку [а;в] , неперервна в ньому скрізь, крім скінченого числа точок, то вона інтегрована на цьому відрізку.

Теорема 4. Всяка обмежена і монотонна на відрізку функція інтегрована на цьому відрізку.



3. Властивості визначеного інтеграла

1. Величина визначеного інтеграла не залежить від позначення змінної інтегрування:

2. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю:

3. Від переставлення меж інтегрування інтеграл змінює знак на протилежний:

4. Якщо функція F (x) інтегрована на максимальному з відрізків [а;в], [в;с], [с;в], то справедлива рівність:

5. Сталий множник С можна виносити за знак визначеного інтеграла:



6. Визначений інтеграл від суми інтегрованих функцій дорівнює сумі визначених інтегралів від цих функцій:

7. Якщо всюди на відрізку [а;в] маємоf (x) ? 0 (a < в), то:

8. Якщо всюди на відрізку [а;в], маємо F (x) ? g(x), (а < в) то

це буде означати монотонність визначеного інтеграла.

9. Якщо функція F (x) інтегрована на відрізку [а;в], (а < в), то

10. Якщо х є [а;в]: |F (x)| ? c, то

11. Якщо m і M - відповідно найменше і найбільше значення функції F (x) на відрізку [а;в] (а < в) , то

12. Якщо функція F (x) неперервна на відрізку [а;в], то на цьому відрізку знайдеться така точка с, що

13. Якщо змінити значення інтегрованої функції в скінченому числі точок, то інтегрованість її не порушиться, а значення інтеграла при цьому не зміниться.

4. Інтеграл із змінною верхньою межею

Формула Ньютона-Лейбніца.

Нехай функція F (x) неперервна на [а;в], тоді вона інтегрована на будь-якому відрізку , тобто для довільного х є [а;в] існує інтеграл

Заданий інтеграл, є функцією від х. Позначимо цю функцію через Ф(х):

назвемо інтегралом із змінною верхньою межею. Геометрично (рис.2) при F (x)?0 функція Ф(х)дорівнює площі заштрихованої криволінійної трапеції



у

у =F (x)

а х в х

Рис. 2

Теорема 1. Похідна визначеного інтеграла із змінною верхньою межею по верхній межі дорівнює значенню підінтегральної функції для цієї межі.

З теореми випливає наслідок: Для всякої неперервної на відрізку [а;в] функції F (x) існує первісна функція. При цьому однією з первісних функцій є визначений інтеграл 8.

Теорема 2. Якщо F (x) є якою-небудь первісною від неперервної функції F (x), х є[а;в], то справедлива формула:

ця формула називається формулою Ньютона-Лейбніца.

Нехай F (x) - деяка первісна функції f (x). Оскільки інтеграл 8 є також первісною, то згідно формули



, х є [а;в]

маємо

покладемо в цій рівності х = а, з формули дістанемо:

,

звідси С = -F (a)

тому:

Зокрема, при х = в, дістанемо формулу



Формула Ньютона-Лейбніца записується ще й так:

5. Методи обчислення визначених інтегралів

При обчисленні визначених інтегралів, як і не визначених, користується методом безпосереднього інтегрування (з використанням табличних інтегралів), метод заміни змінної (або метод підстановки) та методом інтегрування частинами.

Теорема 1. Нехай виконуються умови:

a. функція F (x) неперервна на відрізку [а;в] ;

b. функція х = ц ( t ) і її похідна х ^/ = ц ^/ ( t ) ^/ не перервні на відрізку

c. ц (б) = а, ц (в) = в, t є (б; в); а < ц (t) < в

тоді справджується рівність:

Формула 11 називається формулою заміни змінної (або підстановки) у визначеному інтегралі.

Оскільки функція F (x) неперервна на [а;в] , то вона має первісну. Позначимо її через F (x), х є[а;в], тоді з теореми про заміну змінної в невизначеному інтегралі випливає, що функція F (ц (t)) ,буде первісною функції . Застосувавши формулу Ньютона-Лйбніца, маємо:



Звідси випливає формула 11.

Теорема 2. Якщо функція u = u (x); v = v (x) мають на відрізку [а;в] неперервні похідні, то справедлива формула:

Оскільки функція uv є первісною функції (uv)^/ = u^/v + uv^/, то за формулою Ньютона-Лейбніца дістанемо:

Скориставшись лінійністю визначеного інтеграла, дістанемо формулу 12.

Дану формулу 12 називають формулою інтегрування частинами визначеного інтеграла.

Наприклад. Обчислити інтеграл

1)

Переконуємося, що ця функція задовольняє всі умови теореми 1, причому якщо х = 0, то 0 = а sin t, звідки t = 0; якщо х = а, то а = а sin t,

звідки

Отже, б = 0;

Далі маємо



2)

3)

4)

6. Застосування визначеного інтеграла

Існує дві основні схеми застосування визначеного інтеграла.

Перша схема, або так званий метод інтегральних сум, базується на означенні визначеного інтеграла. Шукана величина спочатку наближено зображається у вигляді інтегральної суми, а потім точно виражається через границю цієї суми або через визначений інтеграл.

Друга схема, або так званий метод диференціала, полягає в тому, що спочатку складається диференціал шуканої величини, а сама шукана величина знаходиться інтегруванням цього диференціала у відповідних межах.

Взагалі, можна застосовувати визначений інтеграл до розв'язування геометричних та фізичних задач.

Для обчислення площ плоских фігур .

Для визначення довжини дуги.

Якщо крива задана параметрично.

x = x (t), y = y (t), б ? t ? в

то її довжина буде визначатись:

Якщо крива задана рівняннями:

с = с (ц), б ? ц ? в, в полярних координатах.

Якщо в рівностях х = с cos ц, y = с sin ц

параметром вважати кут ц, то

тому довжину кривої визначають:

Для визначення об'єму тіла:

- визначення об'єму тіла за площами паралельних перерізів.

- об'єм тіла, утвореного обертанням даної трапеції навколо осі Ох.

Якщо криволінійна трапеція обмежена графіком неперервної функції

x = ц (y) ? 0 і прямими y = c, y = d, x = 0, то об'єм тіла, утвореного обертанням даної трапеції навколо осі Оу, знаходиться за формулою:



Площа поверхні обертання кривої:



Завдання для самоконтролю:

1. В чому полягає задача про площу криволінійної трапеції?

2. Що називається визначеним інтегралом?

3. Сформулювати теорему про існування визначеного інтеграла.

4. Записати і довести формулу Ньютона-Лейбніца.

5. Сформулювати властивості визначеного інтеграла.

6. Назвати і охарактеризувати метод інтегрування. Навести приклад.

7. Охарактеризувати дві основні схеми застосування визначеного інтеграла до розв'язування практичних задач.

8. Які є способи обчислення площ плоских фігур? Навести приклад.

9. Як обчислити довжину дуги кривої? Навести приклад.

10. Які є способи обчислення об'ємів фігур?

11. Як обчислюється об'єм тіла, утвореного внаслідок обертання криволінійної трапеції навколо осей Ох та Оу?

12. Як визначити площу поверхні, утвореної обертанням кривої?

13. Яка формула використовується для визначення роботи?

Размещено на Allbest.ru