Дослідження нелінійних сингулярних крайових задач на півосі для диференціальних рівнянь другого порядку

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

УДК 517.9

ДОСЛІДЖЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ СИНГУЛЯРНИХ

КРАЙОВИХ ЗАДАЧ НА ПІВОСІ

ДЛЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

01.01.02 - диференціальні рівняння

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ПОЗУР Сергій Володимирович

Київ 2005

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор ПАРАСЮК Ігор Остапович Київський національний університет імені Тараса Шевченка, професор кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор БОЙЧУК Олександр Андрійович Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань

кандидат фізико-математичних наук САМУСЕНКО Петро Федорович Національний педагогічний університет ім. М.П. Драгоманова, доцент кафедри математичного аналізу

Провідна установа: Одеський національний університет імені І.І. Мечникова, кафедра диференціальних рівнянь.

Захист відбудеться “23” травня 2005 р. о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.001.37 у Київському національному університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 03022, м. Київ-22, просп. Академіка Глушкова, 6, корпус 7, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Київського національного університету імені Тараса Шевченка за адресою: 01033, м. Київ-33, вул. Володимирська, 58.

Автореферат розіслано “17” квітня 2005 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради М.П. Моклячук

АНОТАЦІЯ

Позур С.В. Дослідження нелінійних сингулярних крайових задач на півосі для диференціальних рівнянь другого порядку. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

Дисертаційну роботу присвячено встановленню умов існування та вивченню властивостей розв'язків нелінійних сингулярних крайових задач на півосі для диференціальних рівнянь другого порядку.

Встановлено достатні умови існування нетривіального розв'язку з наперед заданою кількістю нулів що прямує до нуля на нескінченності для нелінійного сингулярного диференціального рівняння другого порядку досить загального вигляду. Для диференціальних рівнянь спеціального вигляду отримано більш тонкі умови розв'язності сингулярних крайових задач, які мають суто коефіцієнтний характер і є зручними для перевірки. Як приклад розглянуто крайову задачу для узагальненого рівняння Емдена-Фаулера і встановлено умови, при яких вищезгадана задача має нетривіальний розв'язок з наперед заданою кількістю нулів. З позиції теорії збурень розглянуто нелінійні сингулярні крайові задачі на півосі для звичайного диференціального рівняння другого порядку, системи диференціальних рівнянь першого і другого порядків досить загального вигляду. В припущені, що незбурені задачі, які відповідають нульовому значенню малого параметра, мають нетривіальний розв'язок, встановлено умови, при яких розв'язки вихідних задач можна неперервно продовжити за малим параметром. диференціальний рівняння сингулярний нелінійний

Ключові слова: сингулярна крайова задача, дисипація енергії, сингулярне збурення, експоненціальна дихотомія, малий параметр.

ABSTRACT

Pozur S.V. Investigation of nonlinear singular boundary value problems on a half line for the differential equations of the second order. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate's of Physical and Mathematical Sciences degree by the speciality 01.01.02 - Differential equations. Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv 2005.

The thesis is devoted to finding condition and studying properties of the solutions of the singular nonlinear boundary value problems on a half line for the differential equations of the second order.

It was found sufficient conditions for existence of the solution with prescribed numbers of zeros and vanishes at infinity for a rather general differential equation of the second order. For the differential equations of special forms more simple conditions where obtained when above problems have non trivial solutions. As an example it was investigated a boundary value problem for generalized Emden-Fowler's equation. A perturbed boundary value problems on the half line for a singular nonlinear ordinary differential equation of the second order and singular nonlinear systems of the first and second order differential equations are considered. In each case we find conditions under which solutions of the unperturbed problems are continuous with respect to a small parameter.

Keywords: singular boundary value problems, energy dissipation, singular perturbation, exponential dichotomy, small parameter.

АННОТАЦИЯ

Позур С.В. Исследование нелинейных сингулярных краевых задач на полуоси для дифференциальных уравнений второго порядка. - Рукопись.

Диссертация на соискание научной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

Диссертационная работа посвящена важной и актуальной на современном этапе развития теории дифференциальных уравнений теме, имеющей как теоретическую, так и практическую ценность для ряда областей науки и техники, а именно, разработке качественных методов исследования нелинейных сингулярных краевых задач для дифференциальных уравнений.

На основании анализа современного состояния теории сингулярных краевых задач было обнаружено, что на сегодняшний день остаются неисследованными или исследованными не полностью сингулярные краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка, которые возникают при изучении различных физических процессов и явлений и, как следствие, имеют различные характеры особенностей и нелинейностей, что, безусловно, усложняет возможность их исследований. Кроме того, теория краевых задач на полуоси, которые вызывают особый интерес с точки зрения приложений, разработана не так полно, как теория двухточечных краевых задач. Исследования, которые проводились в этом направлении, существенно использовали специфику уравнений. В тех случаях, когда исследования краевых задач на полуоси проводятся путем перехода к краевым задачам на конечном промежутке, от правой части дифференциального уравнения необходимо требовать выполнения достаточно сильных условий (характер нелинейностей, знакопостоянство, монотонность и т.д.), что значительно сужает круг исследуемых задач, и, кроме того, усложняет процесс проверки полученных условий. В частности, остается открытым вопрос об исследовании краевых задач для дифференциальных уравнений со знакопеременной правой частью, которые к тому же имеют особенности на обоих концах интервала.

Интересным оказался подход к изучению вышеопределенных задач, который состоит в том, что нелинейная сингулярная краевая задача для дифференциального уравнения интерпретируется как нелинейная задача на собственные значения. Это позволяет за счет параметра не только определять условия существования, но и изучать другие актуальные вопросы, которые связаны с анализом свойств решений данных задач (единственность, монотонность, существование нулей и т.д.).

В результате проведенных в данной работе исследований, для дифференциального уравнения второго порядка достаточно общего вида, получены условия существования стремящегося к нулю на бесконечности нетривиального решения с заданным количеством нулей. Для дифференциальных уравнений специального вида получены более тонкие условия разрешимости сингулярных краевых задач. Эти условия имеют исключительно коэффициентный характер и достаточно удобны для проверки. В качестве примера, рассмотрено краевую задачу для обобщенного уравнения Эмдена-Фаулера и получены условия существования нетривиального решения с заданным количеством нулей.

С позиции теории возмущений, рассмотрены нелинейные сингулярные краевые задачи на полуоси для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, систем дифференциальных уравнений первого и второго порядков общего вида.

Ключевые слова: сингулярная краевая задача, диссипация энергии, сингулярное возмущение, экспоненциальная дихотомия, малый параметр.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Систематичні дослідження початкової та крайових задач для звичайного диференціального рівняння другого порядку

з сингулярностями відносно незалежної або однієї з фазових змінних розпочалися в 60-х роках ХХ сторіччя, хоча в прикладних областях математики такі задачі почали виникати значно раніше. Наприклад, ще на початку минулого сторіччя в роботі R. Emden, що присвячена вивченню умов рівноваги політропної газової кулі, виникла сингулярна задача Коші

Проте довгий час математики обмежувались аналізом лише сингулярних задач конкретного вигляду, не ставлячи собі за мету розробити більш-менш загальні методи дослідження.

Важливим класом задач, які викликають особливий інтерес з точки зору застосувань, є сингулярні крайові задачі на півосі. Наприкінці XIX сторіччя А. Кнезером була вперше розглянута задача і було встановлено ознаки її однозначної розв'язності. 30 років по тому Томас і Фермі, вивчаючи розподіл електронів у важкому атомі, прийшли до крайової задачі вигляду що викликало появу серії робіт італійських математиків про задачі типу Кнезера.

Варто відмітити, що існує кілька підходів для дослідження сингулярних крайових задач. Зокрема H. Berestycki і P.L. Lions, при дослідженні крайової задачі для одного типу диференціальних рівнянь другого порядку, використовували варіаційний метод в поєднанні з теорією критичних точок Люстерніка-Шнірельмана, ще одна його різновидність використовувалась в роботах Є.П. Жидкова, В.П. Ширікова i G.H. Ryber. Важливим результатом в рамках теорії сингулярних крайових задач стали поняття верхніх і нижніх функцій, що були введені Нагумо і які найшли свій подальший розвиток в роботах І.Т. Кігурадзе, А.А. Лєпіна, R.P. Agarval, D. O'Regan. Інший розповсюджений підхід дослідження крайових задач, який полягає в застосуванні методів якісної теорії диференціальних рівнянь, використовувався в роботах І.Т.Кігурадзе, Б.Л. Шехтера, H. Berestycki, P.L. Lions, L.A. Peletier, Ch. V. Goffman, M.K. Kwong. Цікавим виявився підхід до вивчення зазначених задач, який полягає в тому, що сингулярна крайова задача для диференціального рівняння інтерпретується як нелінійна задача на власні значення. Це дозволяє за рахунок параметра не тільки встановлювати умови існування, але й вивчати інші актуальні питання, пов'язані із аналізом властивостей розв'язків вказаних задач (єдиність, монотонність, коливність і т.д.).

На сьогоднішній день існує велика кількість робіт, присвячених спробам розповсюдити отримані результати досліджень існування розв'язків сингулярних крайових задач на більш широкі класи рівнянь і систем. Особливо плідно в цьому напрямку працюють І.Т. Кігурадзе, П.Е. Жидков, Б.Л. Шехтер, Ю.А. Клоков, І.Б. Староверова, А.Г. Ломтатидзе, D. O'Regan, J.W. Macry, D.D. Hai, Seth F. Oppenheimer, G.H. Ryber, M.K. Kwong, Yeh. Chen-Chin, Sh. Cheng, Y. Zhang, Lee Yong-Hoon, Xiyu Liu.

Незважаючи на це, до останнього часу залишаються недослідженими або дослідженими неповно сингулярні крайові задачі для диференціальних рівнянь другого порядку. Наголосимо, що вивчення таких задач, зокрема, крайових задач на півосі, має практичну цінність, оскільки вони виникають при вивченні різноманітних фізичних процесів і явищ, і, як наслідок, мають різні характери особливостей і нелінійностей, що, безумовно, ускладнює можливість їх дослідження.

В деяких випадках дослідження таких задач вдається провести шляхом переходу до крайових задач на скінченому проміжку. На жаль, в ході таких досліджень доводиться накладати досить сильні умови на праву частину диференціального рівняння (характер нелінійностей, знакосталість, монотонність і т.д.), що значно звужує коло досліджуваних задач і, крім того, ускладнює процес перевірки встановлених умов. Зокрема, на сьогоднішній день, лишається відкритим питання щодо дослідження крайових задач для диференціальних рівнянь із знакозмінною правою частиною, які до того ж мають особливості на обох кінцях інтервалу.

Теорія крайових задач на півосі розроблена не так повно, як теорія двоточкових крайових задач. При цьому дослідження, які проводилися в цьому напрямку, суттєво використовували специфіку рівняння.

Менш вивченою на сьогодні є проблема коректності сингулярних крайових задач. Зокрема не досить повно розкриті питання, пов'язані із з'ясуванням характеру залежності досліджуваних розв'язків від параметрів.

Таким чином, розробка якісних методів дослідження нелінійних сингулярних крайових задач для диференціальних рівнянь другого порядку є важливою і актуальною на сучасному етапі розвитку теорії диференціальних рівнянь і має велике, як суто теоретичне, так і практичне значення для ряду галузей науки та техніки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконувалась у рамках наукових тем “Дослідження проблем теорії некласичних диференціальних рівнянь” (номер держреєстрації 0101U05771) і “Розробка методів асимптотичного інтегрування нелінійних систем, теорії керування в біології та медицині і моделювання процесів взаємодії та деформування суцільних середовищ” (номер держреєстрації 0104U003264).

Мета і завдання дослідження. Мета роботи полягала у встановлені достатніх умов існування розв'язків нелінійних сингулярних крайових задач на півосі для звичайних диференціальних рівнянь другого порядку та з'ясуванні характеру залежності досліджуваних розв'язків від параметрів.

Методи досліджень. Дослідження проводились за допомогою аналітичних та якісних методів теорії диференціальних рівнянь, зокрема принципу ''супремуму'', принципу нерухомої точки, методів теорії інтегральних многовидів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну дисертації і виносяться на захист, такі:

Встановлено нові достатні умови існування нетривіального розв'язку із заданою кількістю нулів, який прямує до нуля на нескінченності, для сингулярної нелінійної задачі на власні значення, коли відповідне диференціальне рівняння другого порядку має властивість дисипації енергії.

Для узагальненого рівняння Емдена-Фаулера встановлено нові достатні умови існування розв'язку крайової задачі на півосі, який має задану кількість нулів і монотонно прямує до нуля на нескінченності. У розглянутій постановці ця задача є більш загальною, ніж ті, що вивчалася раніше.

Встановлено умови, при яких розв'язок крайової задачі на півосі для диференціального рівняння другого порядку можна неперервно продовжити за малим параметром.

Встановлено умови, при яких ізольовані розв'язки двобічно сингулярних крайових задач на півосі для систем диференціальних рівнянь першого і другого порядків з особливою точкою першого роду, можна неперервно продовжити за малим параметром.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати і методика досліджень мають, переважно, теоретичний характер. Вони, однак, можуть бути використані при дослідженні низки прикладних задач нелінійної механіки, нелінійної оптики, статичної теорії ядра, які зводяться до вивчення глобальних сферично-симетричних розв'язків багатовимірних нелінійних еволюційних рівнянь класичної теорії поля.

Особистий внесок здобувача. Результати дисертаційної роботи здобуті особисто автором. Науковому керівнику, професору Парасюку І.О. та доценту НПУ імені М.П. Драгоманова Л.В. Процак належать постановка задач та обговорення можливих шляхів їх розв'язання.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідалися та обговорювалися на VII Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (Україна, м. Київ, 14-16 травня 1998 р.), міжнародній конференції “Диференціальні та інтегральні рівняння” (Україна, м. Одеса, 12-14 вересня 2000 р.), Українському математичному конгресі (Україна, м. Київ, 2001р.), ІІІ Всеукраїнській науковій конференції “Нелінійні проблеми аналізу” (Україна, м. Івано-Франківськ, 9-12 вересня 2003р.), наукових семінарах кафедри інтегральних та диференціальних рівнянь механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Україна, м. Київ, 28 жовтня 2004 р.) та Інституту математики НАН України (Україна, м. Київ, 28 лютого 2005 р.).

Публікації. Результати дисертації опубліковано в статтях [1-5] у наукових фахових виданнях та тезах конференцій [6-9].

Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків і списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 115 сторінок. Список використаних джерел містить 99 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, розкрито суть, мету і наукову новизну проведених досліджень та коротко викладено зміст дисертації за розділами.

У першому розділі подано огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи та визначено коло наукових задач, що розглядаються.

У другому розділі досліджено сингулярні нелінійні крайові задачі на півосі для диференціальних рівнянь другого порядку. Основні результати розділу містяться в підрозділі 2.1, де розглядається задача на власні значення на півосі для нелінійного сингулярного звичайного диференціального рівняння другого порядку з дисипацією енергії і встановлюються достатні умови, при яких ця задача має розв'язок із заданою кількістю нулів, що прямує до нуля на нескінченності. Наведемо постановку задачі більш повно. Розглядається диференціальне рівняння вигляду де, , а - невід'ємний “спектральний” параметр. Сингулярність задачі проявляється не лише в тому, що одна з крайових умов задається на нескінченності, але й у припущенні, що. Нас цікавить питання: чи існує , для якого система (1)-(3) має нетривіальний розв'язок. Більше того, ми будемо шукати такі значення параметру , при яких існує розв'язок задачі (1)-(3) з наперед заданою кількістю нулів. Таким чином, вищезгадану задачу ми інтерпретуємо як нелінійну задачу на власні значення. Сформулюємо умови, при яких задача (1)-(3) має розв'язок.

Зауважимо, що якщо для деякого існує розв'язок системи (1),(2), то його початкові значення, мають задовольняти рівняння

Зважаючи на цей факт, сформулюємо наступну умову.

П2. Існує розв'язок, рівняння (4), такий, що і в деякому околі точки функції, двічі неперервно диференційовні і задовольняють умову невиродженості:; крім того, функції, допускають зображення де функції, - неперервні на множині разом зі своїми частинними похідними щодо змінних , до другого порядку включно.

Будемо казати, що рівняння (1) задовольняє умови дисипації енергії, якщо має місце П4. Для довільного існують границі, , крім того існують такі, , що для всіх, існує друга похідна яка задовольняє нерівність,.

Умови П1-П4 гарантують існування розв'язку системи (1), (2) на всій півосі. Наступні умови дозволяють встановити існування і дослідити властивості розв'язку задачі (1)-(3).

П5. Рівняння (1) при має розв'язок, який задовольняє початкові умови (2) i має принаймні нуль на півосі, де - натуральне число.

Відмітимо, що для більшої загальності, ми не вводили додаткових умов на функції і, при яких буде існувати такий розв'язок, у зв'язку з тим, що існує багато робіт, які присвячені проблемі коливності розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку. Зокрема варто відмітити роботи Кнезевича, Грейса, Маріні, Чантурія, Шевело, Наіто та інших авторів.

Нехай - множина всіх чисел, для яких розв'язок має хоча б нуль для довільного. Зрозуміло, що. Якщо виконуються умови П1-П5, тоді кожна множина, не порожня і обмежена. Позначимо і,. Тоді. Щоб показати, що кожне є власним значенням задачі (1)-(3), а - відповідною власною функцію, представимо кілька додаткових умов.

П6. Функція має скінченну границю, коли, і для довільного компакту.

Введемо умову, яка оцінює рівень дисипації енергії, а саме

П7. Для довільного існують неперервні щодо змінної функції , які задовольняють нерівності де і мають наступну властивість.

Зауважимо, що якщо то у випадках, коли або, , умова П7 буде виконуватися.

З П4 випливає, що для довільного фіксованого і довільного рівняння має рівно один додатній розв'язок і один від'ємний розв'язок. Мінімальні значення функції на півосях і досягаються в точках і відповідно. Позначимо ці мінімальні значення. Позначимо через () єдиний додатній (від'ємний) корінь рівняння. Введемо в розгляд множину П8. Для довільного існують неперервні щодо змінної функції, які задовольняють нерівності.

Так як обидві функції і неспадні, то цю умову задовольняє широкий клас функцій, які задовольняють П3, П4. Зауважимо, що якщо мають місце нерівності (5), то умову (6) природно перевіряти, поклавши.

Теорема 2.1.1. Якщо виконуються умови П1-П8, тоді для довільного пара, де є розв'язком задачі (1)-(3). Більше того, для всіх досить великих значень, де - додатне число.

Теорема 2.1.1 стверджує, що кожне є власним значенням задачі (1)-(3), але не гарантує, що функція має рівно нулів. Щоб встановити цей факт - введемо додаткові умови.

П9. Для довільного існують неперервно-диференційовані щодо змінної функції, які задовольняють нерівності, , , і для яких, , де, деякі обмежені на кожній компактній підмножині півосі функції.

Зауважимо, що якщо мають місце нерівності (5), то умову П9 природно перевіряти, поклавши.

П10. На кожній компактній підмножині додатних значень параметра, функція обмежена, і існує рівномірна границя.

Теорема 2.1.2. Нехай виконуються умови П1-П10. Тоді і для довільного власна функція має рівно нулів (функція - додатна).

В підрозділі 2.1 розглянуто сингулярну нелінійну задачу на власні значення досить загального вигляду. Але перевірка достатніх умов існування розв'язку з наперед заданою кількістю нулів, саме через її загальність, потребує значних зусиль і, крім того, серед цих умов фігурує одна “некоефіцієнтна”: апріорі вимагається, щоб при існував розв'язок вихідного рівняння, який би задовольняв початкові умови і мав наперед задану кількість нулів. В підрозділах 2.3, 2.4 показано, що при досліджені більш конкретних задач, за допомогою методів, які використовувалися у підрозділі 2.1, можна встановлювати більш тонкі умови, які мають суто коефіцієнтний характер і є досить зручними для перевірки. Зокрема, як приклад, розглянуто сингулярну задачу на власні значення для узагальненого рівняння Емдена-Фаулера де і - додатні числа,.

Тоді для довільного і довільного натурального існує розв'язок задачі (8)-(10) з рівно нулями.

Як було зазначено вище, встановленню умов існування розв'язків нелінійних сингулярних крайових задач на півосі для звичайних диференціальних рівнянь присвячено чимало робіт. Менш вивченою для таких задач є проблема їх коректності. Аналізуючи останню, не можна залишити поза увагою питання, пов'язані із з'ясуванням характеру залежності досліджуваних розв'язків від параметрів. З огляду на зазначений факт, у третьому розділі досліджено залежне від малого параметру диференціальне рівняння з крайовими умовами (2), (3), де, - числові параметри.

Задачу (11), (2), (3), при, будемо називати незбуреною. Припустимо, що ця задача при деякому значенні, яке надалі будемо вважати фіксованим, має розв'язок. Мета дослідження полягає в тому, щоб з'ясувати, чи можна розв'язок неперервно продовжити за малим параметром, тобто чи існує таке, що для кожного задача (11), (2), (3) має розв'язок і при цьому.

Теорема 3.1.1. Нехай виконуються умови У1-У5, тоді існує таке, що для кожного задача (11), (2), (3) має розв'язок з властивістю, , де - розв'язок задачі (11), (2), (3).

У зв'язку з тим, що коефіцієнти вихідного рівняння мають в нулі полюс першого порядку, відомі теореми про існування обмежених на півосі розв'язків рівняння (11) застосувати не можливо. Ідея дослідження полягає в наступному: окремо доводиться існування збурених сімей регулярних в нулі розв'язків рівняння (11), окремо існування збурених сімей обмежених на, , розв'язків, що прямують до нуля, коли і, нарешті, встановлюється існування непорожнього перетину цих сімей.

Методика, яку ми застосовували при вивченні задачі (11), (2), (3), допускає використання і в більш загальній ситуації. В зв'язку з цим розглянуто залежну від малого параметра сингулярну крайову задачу.

Тут, , неперервні функції, - область в, яка містить початок координат, - інтервал з центром в точці. Задачу (13)-(15) можна розглядати з позиції теорії збурень. Знову припустимо, що незбурена задача, яка відповідає нульовому значенню малого параметра, має розв'язок. В результаті досліджень нами з'ясовано, за яких умов для кожного, де - досить мале число, існує розв'язок задачі (13)-(15), і при цьому.

Відзначимо, що в роботах О.А. Бойчука і В.А. Плісса розглядалися подібна задача про продовження за малим параметром обмеженого на розв'язку у випадку, коли система у варіаціях відносно незбуреного розв'язку експоненціально дихотомічна як на, так і на.

Сформулюємо умови, які використовуються при дослідженні цієї задачі.

Р1. Функції має неперервну в частинну похідну, причому для кожного сім'я функцій одностайно неперервна.

Р2. Функція має неперервну частинну похідну другого порядку в області.

Р3. Модуль жодного власного числа оператора не дорівнює 1.

Р4. Система у варіаціях для (13) де експоненціально дихотомічна на півосі, але не має нетривіального обмеженого на цій півосі розв'язку.

З Р4, зокрема, випливає, що для кожного існує пара взаємно доповнюваних проекторів, простору і додатних чисел, , таких, що нормована в точці фундаментальна матриця системи (16) задовольняє оцінки.

Теорема 3.2.1. Нехай виконуються припущення Р1-Р5. Тоді знайдеться таке, що для кожного задача (13)-(15) має розв'язок, і при цьому.

Іншими словами, у випадку, коли система у варіаціях може мати обмежені на всій півосі розв'язки, потрібно вимагати виконання наступної умови: у гіперплощині розширеного фазового простору, яка задається рівнянням, підпростір початкових значень розв'язків, що продовжуються в точку, має трансверсально перетинати підпростір розв'язків, які прямують до нуля, коли.

ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі досліджено нелінійні сингулярні крайові задачі на півосі для диференціальних рівнянь другого порядку, які природно виникають при дослідженні найрізноманітніших математичних процесів і явищ.

Шляхом певного удосконалення техніки дослідження нелінійних сингулярних крайових задач, розробленої в роботах І.Т. Кігурадзе, Б.Л. Шехтера, П.Е. Жидкова, В.Ж. Сакбаєва, встановлено достатні умови існування нетривіального розв'язку з наперед заданою кількістю нулів, що прямує до нуля на нескінченності для диференціального рівняння другого порядку досить загального вигляду.

На основі описаного у підрозділі 2.1 підходу, отримані нові умови розв'язності сингулярної крайової задачі для диференціального рівняння спеціального вигляду, які мають суто коефіцієнтний характер і є зручними для перевірки. Як приклад розглянуто крайову задачу для узагальненого рівняння Емдена-Фаулера і встановлено умови, при яких вищезгадана задача має нетривіальний розв'язок з наперед заданою кількістю нулів.

З позиції теорії збурень розглянуто нелінійні сингулярні крайові задачі на півосі для звичайного диференціального рівняння другого порядку з дисипацією енергії, системи диференціальних рівнянь першого і другого порядків з особливою точкою першого роду досить загального вигляду. В припущені, що незбурені задачі, які відповідають нульовому значенню малого параметра, мають нетривіальний розв'язок, встановлено умови, при яких розв'язки вихідних задач можна неперервно продовжити за малим параметром.

Однією з умов, яка гарантувала розв'язність задач, що розглядалися в підрозділах 3.1 та 3.2, була відсутність у відповідної системи у варіаціях обмежених на всій півосі розв'язків. У підрозділі 3.3 розглянуто випадок, коли відповідна система у варіаціях може мати обмежені на всій півосі розв'язки. В цьому випадку потрібно вимагати виконання додаткової умови, а саме: у гіперплощині розширеного фазового простору, яка задається рівнянням, підпростір початкових значень розв'язків, що продовжуються в точку, має трансверсально перетинати підпростір розв'язків, які прямують до нуля, коли.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Позур С.В., Процак Л.В. Сингулярна крайова задача на власні значення для рівняння Емдена-Фаулера // Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка. Серія: Математика, Механіка. - 1999. - №3. - с. 38-42.

[2] Позур С.В., Процак Л.В. Сингулярна крайова задача на власні значення для рівняння Емдена-Фаулера. Існування розв'язку з заданою кількістю нулів // Вісник Київського університету імені Тараса Шевченка. Серія: Математика, Механіка. - 2000. - №5. - с 34-39.

[3] Parasyuk I.O., Pozur S.V. Singular nonlinear eigenvalue problem for second order differential equation with energy dissipation // Nonlinear oscillation. - 2002. - V.5, №3. - р. 346-368.

[4] Позур С.В. Сингулярна нелінійна задача на власні значення для одного класу диференціальних рівнянь другого порядку // Український математичний журнал. - 2003. - т.55, №10. - с. 1431-1438.

[5] Позур С.В. Збурення сингулярної нелінійної крайової задачі для звичайного диференціального рівняння другого порядку // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. - 2004. - №2. - с. 37-47.

[6] Позур С.В., Процак Л.В. Про глобальні конформно інваріантні розв'язки нелінійного рівняння Шредінгера // VII Міжнародна наукова конференція імені академіка М. Кравчука. - Київ, 1998. - c. 400.

[7] Parasyuk I.O., Pozur S.V. Singular nonlinear eigenvalue problem for an ordinary second order differential equation // Український математичний конгрес. - Київ, 2001. - c. 193.

[8] S.V. Pozur, L.V. Protsak Singular eigenvalue problem for Emden-Fowler equation: existence of solution with prescribed number of zeroes // Міжнародна конференція “Диференціальні і інтегральні рівняння”. - Одеса, 2001. - c. 350.

[9] Парасюк І.О., Позур С.В. Збурення двосторонньо сингулярної нелінійної крайової задачі для звичайного диференціального рівняння другого порядку // ІІІ Всеукраїнська наукова конференція. - Івано-Франківськ., 2003. - с. 80.

Размещено на Allbest.ru