Грасманів образ комплексних підмноговидів

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна

01.01.04 -- геометрія і топологія

УДК 514.763.47

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

АВТОРЕФЕРАТ

ГРАСМАНІВ ОБРАЗ КОМПЛЕКСНИХ ПІДМНОГОВИДІВ

Лейбіна Ольга Володимирівна

Харків - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.

Науковий керівник:доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Борисенко Олександр Андрійович, Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, завідувач кафедри геометрії, м. Харків.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Шарко Володимир Васильович, Інститут математики НАН України, м. Київ, завідувач відділу топології;

кандидат фізико-математичних наук, доцент Горькавий Василь Олексійович, Фізико-технічний інститут низьких температур імені Б.І. Вєркіна НАН України, м. Харків, старший науковий співробітник відділу геометрії.

Провідна установа: Львівський національний університет імені І. Франка, кафедра геометрії і топології, м. Львів.

Захист відбудеться 10 червня 2005р. о 15-30 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради К 64.051.11 при Харківському національному університеті імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4, ауд. 6-48.

З дисертацією можна ознайомитися в Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна за адресою: 61077, м. Харків, пл. Свободи 4.

Автореферат розісланий 4 травня 2005р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Скорик В.О.

1. ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Грасманів образ і грасманове відображення багатовимірних підмноговидів є природними узагальненнями гаусового сферичного образу і сферичного відображення двовимірних поверхонь тривимірного евклідового простору.

Геометрична теорія грасманового образу підмноговидів бере початок у роботах Є. Муто, М. Обати, C. Черна, Д. Хоффмана і Р. Оссермана. Надалі грасмановому образу були присвячені роботи Ю.А. Амінова, О.А. Борисенка, Дж. Вайнера, В.О. Горькавого, Ю.А. Ніколаєвського, В.М. Савельєва, Д. Феруса, В.Т. Фоменко та інших.

Дослідження властивостей грасманового образу використовується для вивчення зовнішньої геометрії підмноговидів. Результати з теорії грасманового образу підмноговидів та геометрії і топології многовидів Грасмана освітлені в огляді О.А. Борисенка, Ю.А. Ніколаєвського та в монографіях Ю.А. Амінова і О.А. Борисенка.

Актуальність теми. Дослідження теорії грасманового образу келерових підмноговидів починається з роботи С. Нішикави, де вводиться до розгляду грасманове відображення у розумінні М. Обати для келерових підмноговидів у просторах постійної голоморфної кривини. Зокрема, розглядається грасманове відображення для келерових підмноговидів у . У роботі М. Ріголі і Р. Трібуці визначається комплексний грасманів образ келерових підмноговидів дійсного евклідового простору, отримано ряд узагальнень класичних результатів теорії мінімальних поверхонь. Роботи Т. Ішихари присвячені вивченню грасманових відображень келерових підмноговидів у комплексному проективному та в комплексному гіперболічному просторах. Дослідження грасманового образу локального ізометричного занурення простору Лобачевського в евклідів простір проведено в роботах Ю.А. Амінова. Аналог грасманового образу для підмноговидів у сфері розглянуто В.О. Горькавим. Геометрії дійсних многовидів Грасмана присвячено роботи С.Є. Козлова, а геометрії комплексних многовидів Грасмана - робота Дж. Берндта.

Більшість робіт з теорії грасманового образу присвячено вивченню грасманового образу дійсних підмноговидів у евклідовому просторі . Одним з основних інструментів для вивчення властивостей підмноговиду є кривина многовиду Грасмана вздовж площинок, що дотичні до грасманового образу підмноговиду. О.А. Борисенком отримано афінну класифікацію точок підмноговидів евклідового простору ; Ю.А. Амінов для випадку двовимірних поверхонь та О.А. Борисенко і Ю.А. Ніколаєвський для випадку тривимірних поверхонь отримали класифікації точок поверхонь за кривиною многовиду Грасмана по площинкам, що дотичні до грасманового образу поверхні, “грасманові” класи точок відповідають афінним класам точок підмноговидів. Д. Ферусом доведено припущення Р. Оссермана про зв'язок абсолютної кривини Черна-Лашофа підмноговиду евклідового простору з об'ємом грасманового образу. Підмноговиди з максимальною і мінімальною кривиною многовиду Грасмана вздовж грасманового образу підмноговиду було досліджено О.А. Борисенком, Ю.А. Ніколаєвським і Є. Муто відповідно. Класифікацію підмноговидів з цілком геодезичним грасмановим образом отримано Б. Ченом, С. Ямагучі для двовимірних підмноговидів та Ю.А. Ніколаєвським у багатовимірному випадку. Задача однозначної визначеності підмноговидів евклідового простору за грасмановим образом розв'язана О.А. Борисенком.

Виникає природне питанння про вивчення грасманового образу комплексних підмноговидів у комплексному евклідовому просторі і про узагальнення на комплексний випадок результатів, що отримані для дійсних підмноговидів евклідового простору , чи про одержання комплексних аналогів.

Таким чином, актуальним є дослідження грасманового образу комплексних підмноговидів у і застосування розробленої теорії до вивчення зовнішньої геометрії комплексних підмноговидів.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана на кафедрі геометрії механіко-математичного факультету Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна в межах держбюджетної науково-дослідної теми "Зовнішня геометрія багатовимірних підмноговидів" (номер державної реєстрації 0103U004232).

Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є застосування теорії грасманового образу комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору для вивчення зовнішньої геометрії комплексних підмноговидів.

Об'єктом і предметом дослідження є відповідно комплексні підмноговиди комплексного евклідового простору та їх грасманів образ у комплексному многовиді Грасмана.

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити наступні задачі:

Одержати афінну класифікацію точок комплексних підмноговидів.

З'ясувати можливість класифікації точок комплексних підмноговидів за кривиною грасманового образу і знайти зв'язок отриманих класів з афінними класами точок.

Ввести аналог кривини Черна-Лашофа для комплексних підмноговидів і з'ясувати зв'язок між введеною кривиною і об'ємом грасманового образу комплексного під-многовиду.

Дослідити комплексні підмноговиди з максимальною голоморфною кривиною грасманового образу.

Дослідити комплексні підмноговиди з цілком геодезичним грасмановим образом.

Розглянути задачу однозначної визначеності комплексних підмноговидів за грасмановим образом.

Методи досліджень - методи локальної диференціальної геометрії, теорія просторів із симетріями та алгебр і груп Лі, методи лінійної алгебри та елементи теорії функцій багатьох комплексних змінних.

Наукова новизна одержаних результатів. У дисертаційній роботі знайдено і досліджено нові властивості грасманового образу комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору. Властивості грасманового образу застосовано для вивчення зовнішньої геометрії комплексних підмноговидів, а саме:

Отримано афінну класифікацію точок комплексних підмноговидів. З'ясовано усі випадки, коли існує скінченна кількість класів афінно еквівалентних точок. У кожному з виділених випадків надано повний опис класів еквівалентності.

Отримано класифікацію точок двовимірних і тривимірних комплексних поверхонь за грасмановим образом. Встановлено еквівалентність афінної та "грасманової" класифікацій.

Введено аналог абсолютної кривини Черна-Лашофа для комплексних підмноговидів. Встановлено зв'язок між цією кривиною і об'ємом грасманового образу комплексного підмноговиду.

Досліджено комплексні підмноговиди з максимальною голоморфною кривиною комплексного многовиду Грасмана вздовж площинок, що дотичні до грасманового образу комплексного підмноговиду.

Досліджено комплексні підмноговиди, грасманів образ яких цілком геодезичний у комплексному многовиді Грасмана.

Розв'язано задачу однозначної визначеності комплексних підмноговидів за грасмановим образом.

Практичне значення одержаних результатів. Робота носить теоретичний характер. Отримані результати і розроблені в ній методи можуть бути використані для подальших досліджень зовнішньої геометрії комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору за допомогою їх грасманового образу, а також у теоретичній фізиці. Матеріали, що містяться в дисертації можуть бути корисними для читання спецкурсів з диференціальної геометрії і проведення геометричних семінарів.

Особистий внесок здобувача. Постановки задач і ідеї доведень теорем належать науковому керівнику. Реалізація ідей і доведення результатів зроблені здобувачем.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи доповідались та обговорювались на 4-й Міжнародній конференції з геометрії і топології (м. Черкаси, 10-15 вересня 2001 р.), на Міжнародній конференції-школі з геометрії та аналізу, присвяченій пам'яті О.Д. Александрова (м. Новосибірськ, 9-20 вересня 2002 р.), на 1-й Обласній конференції молодих науковців “Тобі, Харківщино, - пошук молодих” (м. Харків, 19-20 березня 2002 р.), на семінарі “Геометрія “в цілому” ”, присвяченому 85-річчю з дня народження О.В. Погорелова (м. Харків, 11-15 травня 2004 р.), на науковій конференції “Каразинські читання” (м. Харків, 14-16 червня 2004 р.), присвяченій 200-річчю Харківського національного університету, на Міжнародній конференції-школі з геометрії та аналізу, присвяченій 75-річчю академіка Ю.Г. Решетняка (м. Новосибірськ, 23 серпня - 2 вересня 2004 р.), на науковому семінарі відділу топології Інституту математики НАН України (керівник - професор, доктор фізико-математичних наук В.В. Шарко, м. Київ), на науковому семінарі кафедри геометрії і топології Львівського національного університету імені І. Франка (керівник - професор, доктор фізико-математичних наук М.М. Зарічний, м. Львів), на міському геометричному семінарі (керівник - професор, член-кореспондент НАН України О.А. Борисенко, м. Харків).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 3 статтях у наукових журналах, включених до переліку ВАК України, та в 5 тезах доповідей на міжнародних конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, висновків і списку використаних джерел. Загальний обсяг дисертації складає 127 сторінок. Список літератури займає 6 сторінок і містить 59 найменувань.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтовано актуальність наукової проблеми, що розглядається в дисертації, визначено мету і задачі дослідження, дано оцінку наукової новизни отриманих результатів.

У першому розділі вводяться основні геометричні об'єкти, що досліджуються в роботі, та визначається напрямок дослідження.

У підрозділі 1.1 наведено необхідні відомості про комплексні підмноговиди у комплексному евклідовому просторі . Зокрема, дано визначення комплексних других квадратичних форм комплексного підмноговиду і виписані відповідні їм дійсні другі квадратичні форми одійсненного підмноговиду в евклідовому просторі , наділеному комплексною структурою.

У підрозділі 1.2 розглядаються дійсні та комплексні многовиди Грасмана та . У пункті 1.2.1 вони характеризуються як простори із симетріями; у пункті 1.2.2 наведена і перетворена до зручного для подальших розглядів вигляду формула Вонга для обчислення голоморфної кривини комплексного многовиду Грасмана.

У підрозділі 1.3 визначається грасманів образ комплексного підмноговиду . Побудуємо в кожній точці підмноговиду дотичний простір і паралельно перенесемо всі ці простори в початок координат . Отримана підмножина в комплексному многовиді Грасмана всіх -вимірних комплексних підпросторів евклідового простору , що проходять через точку , називається грасмановим образом комплексного підмноговиду . У підрозділі 1.3 також показано, яким чином вектори, що дотичні до грасманового образу, виражаються через елементи матриць комплексних других квадратичних форм комплексного підмноговиду.

Комплексним зовнішнім нуль-індексом комплексної поверхні у точці називається максимальна вимірність такого підпростору дотичного простору , що для будь-якого вектора , де - комплексна друга квадратична форма відносно довільної нормалі . Якщо в кожній точці комплексний зовнішній нуль-індекс , то грасманів образ буде регулярним -вимірним комплексним підмноговидом в .

На початку підрозділів розділів 2 і 3 дається огляд літератури, у якому викладаються відомі результати про дійсні підмноговиди в , що узагальнюються на комплексний випадок у відповідному підрозділі.

Другий розділ дисертації присвячений афінній та "грасмановій" класифікаціям точок комплексних підмноговидів . О.А. Борисенком отримано афінну класифікацію точок підмноговидів . Ю.А. Амінов для випадку двовимірних поверхонь та О.А. Борисенко і Ю.А. Ніколаєвський для випадку тривимірних поверхонь отримали класифікації точок поверхонь за кривиною многовиду Грасмана по площинкам, що дотичні до грасманового образу поверхні, класи еквівалентності охарактеризовані границями зміни кривини многовиду Грасмана вздовж грасманового образу, отримані “грасманові” класи точок відповідають афінним класам точок підмноговидів і відповідно.

У підрозділі 2.1 отримано афінну класифікацію точок комплексних підмноговидів. афінний підмноговид голоморфний кривина

Комплексною точковою ковимірністю комплексної поверхні в даній точці називається вимірність простору комплексних других квадратичних форм у розглядуваній точці.

Дві точки неособливої комплексної поверхні, вкладеної в евклідів простір , називаються афінно еквівалентними, якщо стичні параболоїди в цих точках можна відобразити один на одний невиродженим афінним перетворенням в охоплюючому просторі.

У пункті 2.1.1 з'ясовано умови існування скінченної кількості афінних класів точок. Має місце

Теорема 2.1.1. Нехай - неособлива комплексна поверхня, яка вкладена в -вимірний комплексний простір . Тоді точки поверхні можна розбити на cкінченне число класів афінної еквівалентності у наступних випадках:

для двовимірних комплексних поверхонь довільної комплексної точкової ковимірності;

для комплексних гіперповерхонь і двоїстого випадку , де комплексна точкова ковимірність ;

для комплексних поверхонь , де комплексна точкова ковимірність мінімальна чи максимальна ;

для тривимірних комплексних поверхонь, де комплексна точкова ковимірність дорівнює або .

Повний опис класів афінної еквівалентності у кожному з виділених випадків подано в теоремах 2.1.2 - 2.1.5.

Теорема 2.1.2. Для двовимірних комплексних поверхонь комплексної точкової ковимірності існує 6 класів афінно еквівалентних точок.

При - один клас - точка сплощення.

При - два класи; стичний параболоїд невиродженим афінним перетворенням охоплюючого простору приводиться до одного з наступних канонічних виглядів:

, (1)

. (2)

При - два класи; стичний параболоїд невиродженим афінним перетворенням охоплюючого простору приводиться до одного з наступних канонічних виглядів:

, , (3)

, . (4)

При - один клас; стичний параболоїд невиродженим афінним перетворенням охоплюючого простору приводиться до наступного канонічного вигляду:

, , . (5)

Для комплексних поверхонь з комплексною точковою ковимірністю афінний клас точки визначається елементарними дільниками жмутка других квадратичних форм у розглядуваній точці (табл. 2.1):

Таблиця 1 - Афінна класифікація точок комплексних поверхонь

№ п/п	Елементарні дільники жмутка других квадратичних форм	Канонічний вигляд жмутка других квадратичних форм
1
2

Для тривимірних комплексних поверхонь комплексної точкової ковимірності має місце

Теорема 2.1.5. Дві точки комплексної поверхні з нульовим комплексним зовнішнім нуль-індексом є афінно еквівалентними тоді і тільки тоді, коли жмутки других квадратичних форм комплексної поверхні в цих точках мають рівні степені і числа елементарних дільників. В залежності від елементарних дільників виділяються 7 невироджених класів афінно еквівалентних точок (табл. 2.2):

Таблиця 2 - Афінна класифікація точок комплексних поверхонь

№ п/п	Елементарні дільники жмутка других квадратичних форм	Канонічний вигляд жмутка других квадратичних форм
1
2
3
4
5
6
7	жмуток вироджений

де .

Доведення теорем 2.1.1 - 2.1.5 наведено в пункті 2.1.2.

Згідно Вонгу голоморфна кривина комплексного многовиду Грасмана змінюється в межах , де .

У підрозділі 2.2 отримано класифікацію точок двовимірних і тривимірних неособливих комплексних поверхонь по голоморфній кривині комплексного многовиду Грасмана вздовж грасманового образу: класи точок характеризуються кількістю напрямків, дотичних до грасманового образу комплексної поверхні, вздовж яких голоморфна кривина комплексного многовиду Грасмана досягає свого максимального значення . Отримані класи точок відповідають афінним класам точок двовимірних і тривимірних комплексних поверхонь.

У пункті 2.2.1 отримано класифікацію точок двовимірних комплексних поверхонь за грасмановим образом.

Теорема 2.2.1. Нехай - неособлива двовимірна комплексна поверхня з комплексною точковою ковимірністю в точці . Тоді голоморфна кривина комплексного многовиду Грасмана в точці вздовж грасманового образу комплексної поверхні задовольняє наступним умовам:

при для єдиного невиродженого афінного класу голоморфна кривина в усіх напрямках;

при маємо:

для афінного класу , існує тільки два напрямки, вздовж яких ;

для афінного класу , існує тільки один напрямок, вздовж якого ;

при для єдиного афінного класу , , не існує напрямків, вздовж яких .

Вірне і обернене твердження. Голоморфна кривина комплексного многовиду Грасмана вздовж грасманового образу однозначно визначає комплексну точкову ковимірність неособливої двовимірної комплексної поверхні , а саме:

1) якщо , то ;

2) якщо є напрямки, вздовж яких , але не тотожно, то ;

якщо не існує напрямків, вздовж яких , то .

Для комплексних поверхонь з комплексною точковою ковимірністю афінний клас точки і кількість напрямків, дотичних до грасманового образу, вздовж яких , визначаються елементарними дільниками жмутка других квадратичних форм у розглядуваній точці (табл. 3):

Таблиця 3 - "Грасманова" класифікація точок комплексних поверхонь

№ п/п	Елементарні дільники жмутка других квадратичних форм	Канонічний вигляд жмутка других квадратичних форм	Кількістьсть напрямків, вздовж яких
1			2
2			1

Напрямок дотичного простору називається асимптотичним, якщо , де - ермітовий скалярний добуток у дотичному просторі , A - комплексна друга квадратична форма відносно довільної нормалі , - вектор, комплексно спряжений до .

У пункті 2.2.2 отримано класифікацію точок тривимірних комплексних поверхонь комплексної точкової ковимірності за грасмановим образом:

Теорема 2.2.2. Нехай - неособлива комплексна поверхня, точка і комплексний зовнішній нуль-індекс . Тоді в залежності від елементарних дільників жмутка других квадратичних форм комплексної поверхні в точці голоморфна кривина комплексного многовиду Грасмана в точці вздовж грасманового образу комплексної поверхні задовольняє умовам, наведеним у табл. 2.5.

Випадки 5 і 7 відрізняються тим, що двовимірні площини напрямків, вздовж

яких , є дотичними до різних цілком геодезичних підмноговидів: у випадку 5 - комплексного проективного простору , у випадку 7 - комплексного проективного простору . Випадки 2 і 6 мають одну і ту ж кількість асимптотичних напрямків, але різної кратності. У випадку 2 обидва асимптотичні напрямки комплексної поверхні мають кратність два, а у випадку 6 один асимптотичний напрямок має кратність три, інший - кратність один.

Якщо для точки комплексної поверхні відома кількість напрямків у дотичному просторі до грасманового образу , вздовж яких голоморфна кривина комплексного многовиду Грасмана приймає максимально можливе значення , а у випадках 5 і 7 розрізняються дотичні площинки, то однозначно визначається вигляд елементарних дільників жмутка других квадратичних форм у даній точці і, отже, афінний клас точки і кількість асимптотичних напрямків.

Таблиця 4 - "Грасманова" класифікація точок комплексних поверхонь

№ п/п	Елементарні дільники жмутка других квадратичних форм	Канонічний вигляд жмутка других квадратичних форм	Кількість асимптотичних напрямків	Кількість напрямків, вздовж яких
1			4	3
2			2	1 напрямок і площина
3			комплексний конус	в усіх напрямках
4			3	2
5			1	площина
6			2	1
7	жмуток вироджений		1 напрямок і площина	площина

У третьому розділі дисертації досліджуються комплексні підмноговиди з екстремальними властивостями грасманового образу.

Розглянемо комплексну поверхню як -вимірну поверхню в евклідовому просторі , наділеному комплексною структурою .

Першим нормальним простором поверхні в точці називається ортогональне доповнення до підпростору у дійсному нормальному просторі , де - друга квадратична форма відносно дійсної нормалі .

У підрозділі 3.1 розглядається перший нормальний простір комплексного підмноговиду і доводиться лема 3.1.2 про паралельність одновимірного першого нормального простору комплексного підмноговиду, яка використовується надалі для редукції ковимірності при доведенні теорем 3.2.2 і 3.3.1.

Нехай - неособлива -вимірна комплексна поверхня в комплексному евклідовому просторі. Розглянемо два відображення:

1') зіставимо кожній одиничній комплексній нормалі точку в комплексному проективному просторі ;

2') для комплексної поверхні розглянемо грасманів образ : кожній точці зіставимо дотичний простір , паралельно перенесений у початок координат .

Позначимо об'єми образів при відображеннях 1' і 2' через і відповідно.

У пункті 3.2.1 підрозділу 3.2 описується аналог абсолютної кривини Черна-Лашофа для комплексних підмноговидів у комплексному евклідовому просторі, введений О.А. Борисенком.

Виберемо в точці ортонормований базис дотичного простору .

Нехай - об'єм , - комплексна друга квадратична форма комплексної поверхні відносно одиничної нормалі . Для комплексної поверхні аналог кривини Черна-Лашофа в точці можна визначити таким чином:

, (6)

де - елемент об'єму на комплексному проективному просторі . Тоді повна кривина комплексної поверхні має вигляд

, (7)

де - елемент об'єму ріманової метрики, індукованої відображенням .

Нехай - ортонормований базис нормального простору . Нехай . Визначимо . У пункті 3.2.2 доведено

Твердження 3.2.1.

, (8)

де - об'єм грасманового образу комплексної поверхні.

Основним результатом підрозділу 3.2 є теореми 3.2.1 і 3.2.2.

Теорема 3.2.1. Нехай - неособлива комплексна поверхня, . Тоді , причому рівність має місце тоді і тільки тоді, коли виконана принаймні одна з наступних умов:

перший нормальний простір комплексної поверхні в точці є одновимірним ;

, тобто комплексний зовнішній нуль-індекс у точці відмінний від нуля.

Теорема 3.2.1 є аналогом результату Д. Феруса, отриманого для дійсних підмного-видів евклідового простору.

Теорема 3.2.2. Нехай - неособлива комплексна поверхня, . Якщо для будь-якої точки комплексний зовнішній нуль-індекс і , то є комплексною гіперповерхнею в .

Секційна кривина дійсного многовиду Грасмана змінюється в межах . Підмноговиди з максимальною і мінімальною кривиною многовиду Грасмана вздовж грасманового образу дійсного підмноговиду були досліджені О.А. Борисенком та Ю.А. Ніколаєвським і Є. Муто відповідно.

У підрозділі 3.3 досліджені комплексні підмноговиди з максимальною голоморфною кривиною грасманового образу.

Теорема 3.3.1. Нехай - неособлива комплексна поверхня, , і для будь-якої точки комплексний зовнішній нуль-індекс . Якщо голоморфна кривина комплексного многовиду Грасмана по площинкам, що дотичні до невиродженого грасманового образу комплексної поверхні, приймає максимальне значення в усіх напрямках, то є комплексною гіперповерхнею в .

Класифікація підмноговидів з цілком геодезичним грасмановим образом при була отримана Б. Ченом і С. Ямагучі, а при Ю.А. Ніколаєвським.

У підрозділі 3.4 досліджені комплексні підмноговиди з цілком геодезичним грасмановим образом.

Теорема 3.4.1. Heocоблива комплексна поверхня має невироджений цілком геодезичний грасманів образ тоді і тільки тоді, коли вона є добутком комплексних гіперповерхонь, кожна з яких має нульовий комплексний зовнішній нуль-індекс.

О.А. Борисенком розв'язана задача однозначної визначеності підмноговидів за грасмановим образом.

У підрозділі 3.5 розв'язано задачу однозначної визначеності комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору за грасмановим образом.

У пункті 3.5.1 розглядаються спряжені підпростори та асимптотичні напрямки дотичного простору комплексного підмноговиду.

Ненульові підпростори називаються спряженими у точці , якщо і для будь-яких , виконано умову , де - ермітовий скалярний добуток у дотичному просторі , - комплексна друга квадратична форма відносно довільної нормалі .

Основним результатом підрозділу 3.5 є наступна теорема.

Теорема 3.5.2. Нехай - комплексний підмноговид в , у точках якого немає спряжених підпросторів і асимптотичних напрямків. Тоді комплексний підмноговид однозначно з точністю до гомотетії та паралельного переносу визначається грасмановим образом.

Доведення теореми 3.5.2 наведено в пункті 3.5.3. Пункт 3.5.4 присвячений розгляду комплексних підмноговидів з великою комплексною точковою ковимірністю.

Теорема 3.5.4. Якщо в кожній точці комплексного підмноговиду комплексна точкова ковимірність , то комплексний підмноговид однозначно з точністю до гомотетії та паралельного переносу визначається грасмановим образом.

Висловлюю щиру подяку моєму науковому керівнику доктору фізико-математичних наук, член-кореспонденту НАН України О.А. Борисенку за постановку задач і допомогу в роботі над дисертацією.

ВИСНОВКИ

У дисертації проведено дослідження грасманового образу комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору. Властивості грасманового образу застосовано для вивчення зовнішньої геометрії комплексних підмноговидів.

Основні результати, отримані в дисертації, полягають у наступному:

Отримано афінну класифікацію точок комплексних підмноговидів. Доведено, що точки неособливої комплексної поверхні можна розбити на скінченне число класів афінної еквівалентності для двовимірних комплексних поверхонь довільної комплексної точкової ковимірності, для комплексних гіперповерхонь і двоїстого випадку, де комплексна точкова ковимірність на 1 менше максимальної, для комплексних поверхонь мінімальної чи максимальної комплексної точкової ковимірності, для тривимірних комплексних поверхонь комплексної точкової ковимірності 2 або 4. У кожному з виділених випадків наведено повний опис класів еквівалентності.

Отримано класифікацію точок двовимірних і тривимірних комплексних поверхонь за грасмановим образом. Класи еквівалентних точок характеризуються кількістю напрямків, що дотичні до грасманового образу комплексної поверхні, вздовж яких голоморфна кривина комплексного многовиду Грасмана досягає свого максимально можливого значення. Отримані класи точок відповідають афінним класам точок двовимірних і тривимірних комплексних поверхонь.

Введено аналог абсолютної кривини Черна-Лашофа для комплексних підмноговидів. Встановлено зв'язок між цією кривиною та об'ємом грасманового образу комплексного підмноговиду.

Доведено, що якщо голоморфна кривина комплексного многовиду Грасмана по площинкам, що дотичні до невиродженого грасманового образу комплексного підмноговиду, приймає максимально можливе значення в усіх напрямках, то підмноговид є комплексною гіперповерхнею.

Доведено, що комплексний підмноговид має невироджений цілком геодезичний грасманів образ тоді і тільки тоді, коли він є добутком комплексних гіперповерхонь, кожна з яких має нульовий комплексний зовнішній нуль-індекс.

Вирішено задачу однозначної визначеності комплексних підмноговидів за грасмановим образом. Доведено, що комплексний підмноговид, у точках якого немає спряжених підпросторів і асимптотичних напрямків, однозначно з точністю до гомотетії та паралельного переносу визначається грасмановим образом. Розглянуто задачу однозначної визначеності за грасмановим образом комплексних підмноговидів з великою комплексною точковою ковимірністю.

У дисертації знайдено комплексні аналоги та отримано узагальнення на комплексний випадок деяких результатів про грасманів образ дійсних підмноговидів евклідового простору, що були одержані в роботах О.А. Борисенка, Ю.А. Амінова, Ю.А. Ніколаєвського, Д. Феруса, С.Є. Козлова та інших авторів.

Отримані результати можуть бути використаними для подальших досліджень зовнішньої геометрії комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору та при вивченні теорії грасманового образу підмноговидів.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

Лейбина О.В. Аффинная классификация точек многомерных комплексных поверхностей // Вiсник Харківського національного університету. Серія “Математика, прикладна математика і механіка”. - 2001. - № 514. - С. 129-141.

Борисенко А.А., Лейбина О.В. Классификация точек двумерных и трехмерных комплексных поверхностей по грассманову образу // Математическая физика, анализ, геометрия. - 2002. - Т. 9, № 4. - С. 572-594.

Борисенко А.А., Лейбина О.В. Комплексные подмногообразия с экстремальной кривизной // Доповіді НАН України. - 2004. - № 10. - С. 7-13.

Лейбина О.В. Аффинная классификация точек многомерных комплексных поверхностей // Тезисы докладов 4-й Международной конференции по геометрии и топологии. - Черкассы. - 2001. - С. 51-52.

Борисенко А.А., Лейбина О.В. Грассманова классификация точек двумерных комплексных поверхностей // Тезисы докладов 4-й Международной конференции по геометрии и топологии. - Черкассы. - 2001. - С. 16.

Борисенко А.А., Лейбина О.В. Классификация точек трехмерных комплексных поверхностей по грассманову образу // Тезисы докладов Международной конференции-школы по геометрии и анализу, посвященной памяти А.Д. Александрова. - Новосибирск. - 2002. - С. 32-33.

Borisenko A.A., Leybina O.V. Chern-Lashof Absolute Curvature for a Complex Submanifold and the volume of the Grassmann Image // First Karazin Scientific Readings, Mathematical Symposium. - Kharkiv. - 2004. - Book of abstracts. - Р. 23.

Borisenko A.A., Leybina O.V. Complex Submanifolds with Extremal Curvature // Тезисы докладов Международной школы-конференции по геометрии и анализу, Ю.Г. Решетняка. - Новосибирск. - 2004. - С. 69-70.

АНОТАЦІЯ

Лейбіна О.В. Грасманів образ комплексних підмноговидів. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.04 - геометрія і топологія. - Харківський національний університет імені В.Н. Каразіна, Харків, 2005.

Дисертація присвячена дослідженню грасманового образу комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору. Властивості грасманового образу застосовуються для вивчення зовнішньої геометрії комплексних підмноговидів.

Отримано скінченну афінну класифікацію точок комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору. Надана класифікація точок двовимірних та тривимірних комплексних підмноговидів по голоморфній кривині комплексного многовиду Грасмана вздовж площинок, що дотичні до грасманового образу підмноговиду. Отримані “грасманові” класи точок відповідають афінним класам точок двовимірних та тривимірних комплексних підмноговидів.

Введено аналог абсолютної кривини Черна-Лашофа для комплексних підмноговидів комплексного евклідового простору. Встановлено зв'язок між цією кривиною та об'ємом грасманового образу підмноговиду. Досліджено комплексні підмноговиди з максимальною голоморфною кривиною комплексного многовиду Грасмана по площинкам, що дотичні до невиродженого грасманового образу. Отримано класифікацію комплексних підмноговидів з невиродженим цілком геодезичним грасмановим образом. Розв'язано задачу однозначної визначеності комплексних підмноговидів за грасмановим образом.

Ключові слова: комплексні підмноговиди, грасманів образ, многовиди Грасмана, абсолютна кривина Черна-Лашофа, голоморфна кривина.

Лейбина О.В. Грассманов образ комплексных подмногообразий. -- Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.04 - геометрия и топология. - Харьковский национальный университет имени В.Н. Каразина, Харьков, 2005.

Диссертация посвящена исследованию грассманова образа комплексных подмногообразий комплексного евклидова пространства . Свойства грассманова образа применяются для изучения внешней геометрии комплексных подногообразий. В диссертации найдены комплексные аналоги и получены обобщения на комплексный случай некоторых результатов о грассмановом образе вещественных подмногообразий евклидова пространства , полученных в работах А.А. Борисенко, Ю.А. Аминова, Ю.А. Николаевского, Д. Феруса, С.Е. Козлова и других авторов.

Получена аффинная классификация точек многомерных комплексных поверхностей, вложенных в комплексное евклидово пространство с произвольной коразмерностью, основанная на аффинной эквивалентности соприкасающихся параболоидов. Выяснены все случаи, когда имеется конечное число классов аффинно эквивалентных точек. Доказано, что точки неособой комплексной поверхности можно разбить на конечное число классов аффинной эквивалентности для двумерных комплексных поверхностей произвольной комплексной точечной коразмерности, для комплексных гиперповерхностей и двойственного случая, где комплексная точечная коразмерность на 1 меньше максимальной, для комплексных поверхостей минимальной или максимальной комплексной точечной коразмерности, для трехмерных поверхностей комплексной точечной коразмерности 2 или 4. В каждом из выделенных случаев дано полное описание классов эквивалентности (выписаны канонические виды соприкасающихся параболоидов).

Получена классификация точек двумерных и трехмерных комплексных поверхностей по грассманову образу. Классы эквивалентных точек характеризуются количеством направлений, касательных к грассманову образу комплексной поверхности, вдоль которых голоморфная кривизна комплексного многообразия Грассмана достигает своего максимально возможного значения . Полученные “грассмановы” классы точек соответствуют аффинным классам точек двумерных и трехмерных комплексных поверхностей. Аффинный класс точки и количество направлений, касательных к грассманову образу, вдоль которых , определяются элементарными делителями пучка комплексных вторых квадратичных форм комплексной поверхности в рассматриваемой точке.

Введена абсолютная кривизна Черна-Лашофа для комплексных подмногообразий комплексного евклидова пространства. Доказан комплексный аналог предположения Оссермана о связи между абсолютной кривизной Черна-Лашофа и объемом грассманова образа подмногообразия. Доказано, что абсолютная кривизна Черна-Лашофа в точке равна нормированному элементу объема грассманова образа тогда и только тогда, когда либо комплексная размерность первого нормального пространства комплексного подмногообразия в точке равна 1, либо комплексный внешний нуль-индекс в точке отличен от нуля. Доказано, что если в каждой точке комплексного подмногообразия комплексный внешний нуль-индекс равен нулю и абсолютная кривизна Черна-Лашофа равна нормированному элементу объема грассманова образа, то комплексное подмногообразие является комплексной гиперповерхностью.

Исследованы комплексные подмногообразия с максимальной голоморфной кривизной комплексного многообразия Грассмана вдоль грассманова образа подмногообразия. Доказано, что если голоморфная кривизна комплексного многообразия Грассмана по площадкам, касательным к невырожденному грассманову образу комплексного подмногообразия, принимает максимально возможное значение по всем направлениям, то подмногообразие является комплексной гиперповерхностью.

Исследованы комплексные подмногообразия, грассманов образ которых вполне геодезичен в комплексном многообразии Грассмана. Доказано, что комплексное подмногообразие имеет невырожденный вполне геодезический грассманов образ тогда и только тогда, когда оно является произведением комплексных гиперповерхностей, каждая из которых имеет нулевой комплексный внешний нуль-индекс.

Решена задача однозначной определенности комплексных подмногообразий по грассманову образу. Доказано, что комплексное подмногообразие, в точках которого нет сопряженных подпространств и асимптотических направлений, однозначно с точностью до гомотетии и параллельного переноса определяется грассмановым образом. Рассмотрена задача однозначной определенности по грассманову образу для комплексных подмногообразий с большой комплексной точечной коразмерностью.

Ключевые слова: комплексные подмногообразия, грассманов образ, многообразия Грассмана, абсолютная кривизна Черна-Лашофа, голоморфная кривизна.

O.V. Leybina. Grassmann image of complex submanifolds. - Manuscript.

The dissertation for candidate degree of physical and mathematical sciences by speciality 01.01.04 -- geometry and topology. -- Karazin Kharkiv National University, Kharkiv, 2005.

The dissertation is devoted to research of the Grassmann image of complex submanifolds. Investigating the properties of the Grassmann image, the extrinsic geometry of complex submanifolds is studied.

The finite affine classification of points of complex submanifolds in a complex Euclidean space is obtained. Classification of the points of two-dimensional and three-dimensional complex submanifolds according to holomorphic curvature of complex Grassmann manifold with respect to the 2-plane tangent to the Grassmann image of complex submanifold is obtained. The Grassmann classes of the points correspond to the affine classes of the points of two-dimensional and three-dimensional complex submanifolds.

We introduce an analogue of Chern-Lashof absolute curvature for a complex submanifold in a complex Euclidean space. We present the relation between this curvature and the volume of the Grassmann image of a complex submanifold. The complex submanifolds with maximal holomorphic curvature of a complex Grassmann manifold along the holomorphic planes tangent to the nondegenerate Grassmann image are investigated. The classification of complex submanifolds with nondegenerate totally geodesic Grassmann image is obtained. The problem of determination (up to homothety and parallel transport) of complex submanifolds in Euclidean complex space by its Grassmann image is solved.

Keywords: complex submanifold, Grassmann image, Grassmann manifold, Chern-Lashof absolute curvature, holomorphic curvature.

Размещено на Allbest.ru