Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

ІНВАРІАНТНІ МНОЖИНИ СТОХАСТИЧНИХ

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ІЗ СТРИБКАМИ

01.01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика

Кушніренко Світлана Володимирівна

Київ - 2005

Анотація

Кушніренко С.В. Інваріантні множини стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01. 01.05 - теорія ймовірностей та математична статистика. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2005.

У дисертації досліджуються інваріантні множини стохастичних диференціальних рівнянь (СДР) із стрибками. Знайдено необхідні, необхідні і достатні, а також достатні умови існування локальних інваріантних поверхонь та отримано необхідні і достатні умови існування перших інтегралів для вказаних СДР. Знайдено явний вигляд інварiантних поверхонь та доведено теорему про необхідні і достатні умови їх локальної інваріантності для деяких класів систем другого порядку СДР із стрибками. Для певного стохастичного гармонічного осцилятора досліджено поведінку повної енергії, отримано умови її стабілізації, знайдено явний вигляд кореляційних функцій положення та швидкості осцилятора. Для деякого класу інтегро-диференціальних рівнянь отримано умови стабілізації розв'язку задачі Коші, що виражаються безпосередньо через коефіцієнти рівнянь.

Ключові слова: стохастичні диференціальні рівняння із стрибками, локально інваріантна множина, перший інтеграл, гармонічний осцилятор, інтегро-диференціальні рівняння, задача Коші, стабілізація.

стохастичний рівняння осцилятор інтеграл

Аннотация

Кушниренко С.В. Инвариантные множества стохастических дифференциальных уравнений со скачками. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.05. - теория вероятностей и математическая статистика. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2005.

В диссертации исследуются инвариантные множества стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) со скачками. Результаты о локально инвариантных множествах и локальных первых интегралах, полученные ранее для СДУ Ито (СДУ для непрерывных марковских процессов) Г.Л. Кулиничем и его учениками, обобщены для случая СДУ для марковских процессов с разрывными траекториями.

Для однородных и неоднородных СДУ со скачками введены понятия локальных инвариантных поверхностей (гладких поверхностей, на которых с вероятностью 1 находятся траектории решений систем СДУ со скачками до момента первого выхода из определённой области). Для инвариантности таких поверхностей получены необходимые, необходимые и достаточные, а также достаточные условия для СДУ, содержащих слагаемые с центрированной и нецентрированной пуассоновскими мерами.

Для однородных и неоднородных СДУ со скачками введены понятия первых интегралов и найдены необходимые и достаточные условия их существования. Полученные результаты не зависят от размерности пространства и предоставляют общие возможности нахождения локально инвариантных поверхностей и первых интегралов для систем СДУ со скачками.

В диссертации для некоторых классов систем второго порядка СДУ со скачками найден явный вид инвариантных поверхностей и доказана теорема о необходимых и достаточных условиях локальной инвариантности этих поверхностей. Из сформулированных условий следует принцип детерминированного управления (с помощью коэффициента переноса) стохастическими системами.

Исследуется поведение полной энергии случайного гармонического осциллятора без трения в случае, когда под определёнными углами к вектору фазовой скорости действуют флуктуации типа “белого” и “дробного” шумов. Получены достаточные условия, при которых с вероятностью 1 при всех , достаточные условия, при которых изменяется только скачками и т. п., при этом показано, что посредством выбора детерминированного возмущения можно управлять поведением полной энергии гармонического осциллятора.

Для стохастического гармонического осциллятора, математическая модель которого описывается системой линейных СДУ со скачками с переменными коэффициентами, найден явный вид первых двух моментов, явный вид корреляционных функций компонент решения системы и их взаимную корреляцию. Предложена модель стохастического гармонического осциллятора, в котором положение и скорость не коррелируют между собой.

Для решения задачи Коши для некоторого класса интегро-дифференциальных уравнений выписан явный вид решения задачи Коши. Используя вероятностное представление решения задачи Коши и результаты о поведении решений соответствующих СДУ со скачками получены результаты о стабилизации решения задачи Коши. Условия стабилизации выражаются непосредственно через коэффициенты уравнения, что представляет их практическую важность.

Полученные результаты могут быть использованы при построении математических моделей и изучении поведения динамических систем при случайных возмущениях процессами типа “белого” и “дробового” шумов, при качественном анализе поведения диффузионных систем с вырожденной в определённых областях диффузией и при наличии импульсного пуассоновского действия, при разработке методов стабилизации неустойчивых стохастических систем.

Ключевые слова: стохастические дифференциальные уравнения со скачками, локально инвариантное множество, первый интеграл, гармонический осциллятор, интегро-дифференциальные уравнения, задача Коши, стабилизация.

Annotation

Kushnirenko S.V. Invariant sets of the stochastic differential equations with jumps. - Manuscript.

The thesis for obtaining the Candidate of Physical and Mathematical Sciences degree on the specialty 01. 01.05 -Probability Theory and Mathematical Statistics. - Kyiv National Taras Shevchenko University, Kyiv, 2005.

The invariant sets of the stochastic differential equations (SDE) with jumps are studied in the thesis. The range of necessary and sufficient conditions for existence of local invariant surface and necessary and sufficient conditions for existence of the first integral are derived for such SDE. An explicit form of invariant surfaces for the special classes of SDE of the second order with jumps is derived and necessary and sufficient conditions for local invariance of their surfaces are obtained. The behaviour of instantaneous energy is investigated, the conditions of its stabilization are derived, the explicit form of correlation functions of position and velosity of a stochastic harmonic oscillator are obtained. The stability conditions for solution of Cauchy problem for some class of integro-differential equations are obtained in terms of the coefficients of the equations.

Key words: stochastic differential equations with jumps, local invariant set, the first integral, harmonic oscillator, integro-differential equations, Cauchy problem, stabilization.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Сучасний стан науки і техніки, пов'язане з ним підвищення вимог до точності та адекватності математичних моделей, що описують реальні системи з урахуванням впливу на них випадкових факторів, привели до необхідності створення теорії стохастичних диференціальних рівнянь (СДР) як природного апарату для дослідження систем, що знаходяться під впливом випадкових збурень. У багатьох випадках адекватну математичну модель для таких систем вдається знайти в класі марківських процесів, який був введений А. М. Колмогоровим для опису динамічних систем, що знаходяться під впливом випадкових процесів з незалежними значеннями. І.І. Гіхман в середині минулого століття створив теорію СДР і застосував її для побудови неперервних марківських процесів. Приблизно в той же час японський математик К. Іто, використовуючи стохастичний інтеграл по вінерівському процесу та поняття стохастичного диференціала, побудував СДР для неперервних марківських процесів (СДР Іто) і використовуючи стохастичні інтеграли по пуассонівській мірі, побудував клас СДР для одновимірних розривних марківських процесів. Багатовимірні СДР для марківських процесів із розривними траєкторіями детально досліджувались А.В. Скороходом. Основні результати з теорії СДР відображені, наприклад, у монографіях Є.Б. Динкіна (1963), К. Iто, Г. Маккiна (1968), А. Фрідмана (1975), І.І. Гіхмана, А.В. Скорохода (1968, 1975, 1982), Л. Арнольда (1998), Б. Оксендаля (2003). Застосуванню різноманітних методів для вивчення поведінки розв'язків СДР присвячені роботи Ш. Ватанабе та Н. Ікеда, Д. Струка та С. Варадана, К. Долеанс-Даде, П. Мейера, М.В. Крилова, Х. Куніта, Р.Л. Стратоновича, Р.З. Хасьмінського, А.В. Скорохода, М.І. Портенка, Г.Л. Кулініча, С.Я. Махна та багатьох інших авторів.

У семидесятих роках минулого століття вперше було встановлено, що існують середовища, у яких броунівська частинка “дифундує” лише по гладких кривих і однією з необхідних умов при цьому є виродженість матриці дифузії на даних кривих. Це дало можливість започаткувати новий науковий напрям “теорія якісного аналізу дифузійних процесів з виродженою матрицею дифузії”, який вдало розвинуто в роботах Г.Л. Кулініча та його учнів.

У дисертації результати про локально інваріантні поверхні та перші інтеграли для СДР Іто узагальнені для випадку СДР із стрибками. Теоретичні результати застосовані для якісного аналізу впливу на гармонічний осцилятор випадкових збурень типу “білого” і “дробового” шуму та стабілізації розв'язку задачі Коші для певного класу інтегро-диференціальних рівнянь. Отримані результати можуть бути використані при побудові математичних моделей та дослідженні поведінки динамічних систем при випадкових збуреннях процесами типу “білого” та “дробового” шумів, при якісному аналізі поведінки дифузійних систем із виродженою в певних областях дифузією та з імпульсною пуассонівською дією, при розробці методів стабілізації нестійких стохастичних систем. Це й визначає актуальність дисертації.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана в рамках держбюджетної дослідницької теми № 01БФ03803 “Створення математичних моделей нерегулярних еволюційних детермінованих і стохастичних систем та дослідження їх розв'язків”, яка входить до програми “Побудова та застосування математичних методів дослідження детермінованих та стохастичних еволюційних систем” (номер державної реєстрації № 0101U002472).

Мета та задачі дослідження. Метою даної роботи є знаходження умов існування локальних інваріантних поверхонь і перших інтегралів для СДР із стрибками та розробка методів знаходження їх явного вигляду. У роботі вивчаються наступні задачі:

знаходження необхідних, необхідних і достатніх, а також достатніх умов існування локальних інваріантних поверхонь для однорідних та неоднорідних СДР із стрибками;

знаходження явного вигляду інварiантних поверхонь для певних класів систем другого порядку СДР із стрибками;

знаходження необхідних і достатніх умов існування перших інтегралів для однорідних та неоднорідних СДР із стрибками;

застосування отриманих результатів для якісного аналізу поведінки гармонічного осцилятора у випадку, коли під певними кутами до вектора фазової швидкості діють флуктуації типу “білого” і “дробового” шумів;

стабілізація розв'язку задачі Коші для певного класу інтегро-диференціальних рівнянь.

Методика дослідження. Для розв'язання поставлених задач у дисертаційній роботі використовуються якісні методи теорії звичайних диференціальних рівнянь, теорії стохастичних диференціальних рівнянь, а також методи теорії випадкових процесів.

Наукова новизна одержаних результатів. Основними результатами, які визначають наукову новизну і виносяться на захист, є такі:

Знайдено необхідні, необхідні і достатні, а також достатні умови існування локальних інваріантних поверхонь для однорідних та неоднорідних СДР із стрибками.

Отримано необхідні і достатні умови існування перших інтегралів для однорідних та неоднорідних СДР із стрибками.

Знайдено необхідні та достатні умови, при яких певні криві будуть інваріантними для систем другого порядку СДР із стрибками.

Досліджено поведінку повної енергії випадкового гармонічного осцилятора. Отримано умови стабілізації повної енергії гармонічного осцилятора у випадку, коли під певними кутами до вектора фазової швидкості діють флуктуації типу “білого” і “дробового” шумів.

Знайдено явний вигляд кореляційних функцій положення та швидкості випадкового гармонічного осцилятора, наведено модель осцилятора, де положення та швидкість не корелюють між собою.

Для певного інтегро-диференціального рівняння отримано умови стабілізації розв'язку задачі Коші, що виражаються безпосередньо через коефіцієнти рівняння.

Практичне значення одержаних результатів. Всі отримані в дисертаційній роботі результати мають теоретичне значення та практичне застосування при побудові математичних моделей та дослідженні поведінки динамічних систем при випадкових збуреннях процесами типу “білого” і “дробового” шумів, при розробці методів стабілізації нестійких стохастичних систем. Отримані в дисертації умови виражаються безпосередньо через коефіцієнти рівняння, що є важливим для застосування.

Особистий внесок здобувача. Постановка задач та загальне керівництво роботою належить науковому керівнику - Г.Л. Кулінічу. Доведення усіх результатів дисертаційної роботи проведено особисто здобувачем. В роботах, написаних у співавторстві з науковим керівником, Г.Л. Кулінічу належить вибір напрямку дослідження та обговорення отриманих результатів.

Апробація результатів. Результати дисертаційного дослідження доповідались та обговорювались на:

третій Українсько-Скандинавській конференції з теорії ймовірностей та математичної статистики (м. Київ, 1999 р.);

міжнародній школі “Математичні та статистичні методи в економіці” (м. Вастероз, Швеція, 2001 р.);

Mіжнародній науковій конференції “Шості Боголюбовські читання” (м. Чернівці, 2003 р.);

десятій Міжнародній науковій конференції імені академіка М. Кравчука (м. Київ, 2004 р.);

засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичної статистики механіко-математичного факультету Київського національного університету імені Тараса Шевченка (Київ, 2004 р.);

засіданні наукового семінару відділу теорії випадкових процесів Інституту математики НАН України (Київ, 2004 р.);

засіданні наукового семінару з теорії ймовірностей та математичної статистики при кафедрі теорії ймовірностей та математичного аналізу Національного технічного університету КПІ (Київ, 2005 р.);

Міжнародній науковій конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування” (м. Київ, 2005 р.).

Публікації. За темою дисертації опубліковано 5 наукових робіт у фахових виданнях, затверджених ВАК України, та 10 тез доповідей на конференціях.

Структура і обсяг дисертації. Дисертація складається зі вступу, трьох розділів, розбитих на підрозділи, висновків, списку використаних джерел з 108 найменувань. Повний обсяг роботи містить 125 сторінок.

2. Основний зміст роботи

У вступі обгрунтовано актуальність теми дисертаційної роботи, визначено мету і задачі дослідження, сформульовано основні отримані результати, вказано їх наукову новизну та практичне значення.

Перший розділ містить огляд літератури за тематикою дисертаційної роботи та за спорідненими питаннями.

Другий розділ присвячений дослідженню умов існування локальних інваріантних поверхонь та перших інтегралів для стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками. У першому підрозділі другого розділу розглядається однорідна система СДР.

Другий підрозділ другого розділу містить аналогічні результати про інваріантність для систем неоднорідних стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками.

У цьому та попередньому підрозділах сформульовано деякі наслідки та наведено ряд зауважень щодо стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками без дифузії.

У третьому підрозділі другого розділу описані необхідні та достатні умови інваріантності певних поверхонь для систем другого порядку неоднорідних стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками.

У четвертому підрозділі вводиться поняття першого інтеграла.

У цьому підрозділі виписані системи звичайних диференціальних рівнянь, перші інтеграли яких можуть бути першими інтегралами для певних систем СДР.

Основні теоретичні результати другого розділу проілюстровані рядом прикладів у п'ятому підрозділі, який завершує другий розділ.

У третьому розділі розглянуто задачі, які розв'язуються з використанням теоретичних результатів, отриманих у попередньому розділі.

У цьому підрозділі знайдено умови, при яких енергія осцилятора змінюється тільки стрибками, умови рівноваги системи, а також досліджено асимптотичну поведінку миттєвої енергії осцилятора.

У другому підрозділі третього розділу знайдено явний вигляд перших двох моментів та кореляційних функцій положення та швидкості гармонічного осцилятора.

У випадку для всіх знайдено умови, при яких положення та швидкість осцилятора не корелюють між собою.

У підрозділі 3.3 розглядається розв'язок задачі Коші інтегрованого диференціального рівняння.

Висновки

Знайдено необхідні, необхідні і достатні, а також достатні умови існування локальних інваріантних поверхонь та отримано необхідні і достатні умови існування перших інтегралів для систем СДР із стрибками. Результати досліджень не залежать від розмірності простору і дають загальні можливості знаходження явного вигляду інваріантних поверхонь та перших інтегралів для вказаних систем СДР.

Знайдено явний вигляд інварiантних поверхонь та доведено теорему про необхідні і достатні умови їх локальної інваріантності для деяких класів систем другого порядку СДР із стрибками.

Досліджено поведінку повної енергії певного випадкового гармонічного осцилятора. Отримано умови стабілізації повної енергії гармонічного осцилятора у випадку, коли під певними кутами до вектора фазової швидкості діють флуктуації типу “білого” і “дробового” шумів. Знайдено явний вигляд кореляційних функцій положення та швидкості стохастичного гармонічного осцилятора, наведено модель осцилятора, де положення та швидкість не корелюють між собою.

Для певного класу інтегро-диференціальних рівнянь знайдено явний вигляд розв'язку задачі Коші. Використовуючи інваріантні множини відповідних СДР із стрибками та граничну поведінку розв'язків СДР, отримано результати про стабілізацію розв'язку задачі Коші. Умови стабілізації виражаються безпосередньо через коефіцієнти рівняння, що становить їх практичну важливість.

Одержані в роботі результати є новими, вони можуть застосовуватися при побудові математичних моделей та дослідженні поведінки динамічних систем при випадкових збуреннях процесами типу “білого” і “дробового” шумів, при розробці методів стабілізації нестійких стохастичних систем.

Размещено на Allbest.ru

Роботи автора за темою дисертації

Кулініч Г.Л., Кушніренко С.В. Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь без післядії // Теорія ймовірн. та матем. статистика. - 2000. - Вип. 63. - С. 112 - 118.

Kulinich G.L., Кushnirenko S.V. On the stabilization of the energy of a harmonic oscillator disturbed by random processes of the “white and shot noises” types // Journal of Applied Mathematics and Stochastic Analysis. - 2000. - 13:1. - P. 25 - 31.

Кулініч Г.Л., Кушніренко С.В. Про стабілізацію розв'язку задачі Коші для певного класу інтегро-диференціальних рівнянь // Укр. матем. журнал. - 2004. - Т. 56, № 12. - С. 1699 - 1706.

Кushnirenko S.V. Determination of correlation functions of a position and velocity of a random harmonic oscillator // Theory of Stochastic Processes. - 2004. - Vol. 10 (26), № 1 - 2. - P. 97 - 102.

Кулініч Г.Л., Кушніренко С.В. Інваріантні множини систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками // Нелінійні коливання. - 2005. - Т. 8, № 2. - С. 234 - 240.

Кулинич Г.Л., Кушниренко С.В. О поведении энергии гармонического осциллятора при случайном возмущении процессами типа “белого и дробового шумов” // Тезисы докладов Пятой Всероссийской школы-коллоквиума по стохастическим методам // Обозрение прикладной и промышленной математики, серия “Вероятность и статистика”. - 1998. - Том 5, вып. 2. - С. 242.

Kulinich G.L., Кushnirenko S.V. Stabilization of the energy of random harmonic oscillator // Abstracts of the Third Ukrainian-Scadinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics. - June, 1999. - Kyiv. - P. 83.

Kulinich G.L., Кushnirenko S.V. Invariant sets of stochastic differential equations without aftereffect // Abstracts of the International School on Mathematical and Statistical Applications in Economics, Vasteras(Sweden). - 2001. - P. 33 -34.

Кулініч Г.Л., Кушніренко С.В. Про стабілізацію розв'язку задачі Коші для інтегро-диференціальних рівнянь // Тези доповідей Mіжнародної наукової конференції “Шості Боголюбовські читання”. - Київ, 2003. - C. 115.

Кушніренко С.В. Явний вигляд розв'язку задачі Коші для певного класу інтегро-диференціальних рівнянь // Тези доповідей Mіжнародної наукової конференції “Шості Боголюбовські читання”. - Київ, 2003. - C. 117.

Кулініч Г.Л., Кушніренко С.В. Теорема про стабілізацію розв'язку задачі Коші для певного класу інтегро-диференціальних рівнянь //Матеріали Десятої міжнародної наукової конференції імені академіка Михайла Кравчука. - Київ, 2004. - С. 607.

Кушніренко С.В. Знаходження кореляційних функцій положення та швидкості випадкового гармонічного осцилятора // Матеріали Десятої міжнародної наукової конференції імені академіка Михайла Кравчука. - Київ, 2004. - С. 609.

Kulinich G.L., Кushnirenko S.V. Invariant sets for a certain classes of systems of the second order of stochastic differential equations with jumps // Abstracts of the International Ukrainian-Polish Workshop “Problems of Stochastic and Discrete Optimization”. - Kaniv, Ukraine, 2005. - P. 21 - 23.

Кулініч Г.Л., Кушніренко С.В. Про інваріантні множини стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками // Abstracts of the International Conference “Modern Problems and New Trends in Probability Theory”. - Chernivtsi, Ukraine, 2005. - C. 134.

Кулініч Г.Л., Кушніренко С.В. Про перші інтеграли систем стохастичних диференціальних рівнянь із стрибками // Тези доповідей Міжнародної наукової конференції “Диференціальні рівняння та їх застосування”. - Київ, 2005. - C. 50.

Размещено на Allbest.ru