Розв’язність початкової задачі для позитивних систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ

УДК 517.9

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

РОЗВ'ЯЗНІСТЬ ПОЧАТКОВОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ ПОЗИТИВНИХ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ ФУНКЦІОНАЛЬНО-ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

01.01.02 -- диференціальні рівняння

ДІЛЬНА Наталія Зіновіївна

Київ - 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Інституті математики НАН України.

Науковий керівник:

доктор фізико-математичних наук,

професор, академік НАН України

САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович,

Інститут математики НАН України, директор

Офіційні опоненти:

доктор фізико-математичних наук, професор

ПЕТРИШИН Роман Іванович,

Чернівецький національний університет ім. Ю. Федьковича,

перший проректор;

доктор фізико-математичних наук, професор

ТЕПЛІНСЬКИЙ Юрій Володимирович,

Кам'янець-Подільський державний університет,

завідувач кафедри диференціальних рівнянь та геометрії

Провідна установа:

Одеський національний університет ім. І. І. Мечникова,

кафедра диференціальних рівнянь

Захист відбудеться “14 лютого” 2006 р. о 15 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 при

Інституті математики НАН України за адресою: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Інституту математики НАН України: 01601, м. Київ, вул. Терещенківська, 3.

Автореферат розісланий “11 січня” 2006 р.

Учений секретар спеціалізованої вченої ради Пелюх Г. П.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

лінійний диференціальний нерівність початковий

Актуальність теми. Функціонально-диференціальні рівняння виникають при моделюванні багатьох природних процесів, розвиток яких визначається не тільки теперішнім станом певного процесу, але і його передісторією та майбутнім. Перші диференціальні рівняння, в яких враховується передісторія, з'явились в літературі вже у другій половині XVIII ст., проте їх систематичне вивчення почалось лише з кінця сорокових років XX ст. у зв'язку з потребами ряду прикладних наук. Становлення та розвиток теорії функціонально-диференціальних рівнянь у 40-60-х рр. XX ст. пов'язані, зокрема, з прізвищами А. Д. Мишкіса, Р. Беллмана, М. М. Красовського, Л. Е. Ельсгольца, С. Б. Норкіна, А. Халаная, Дж. Хейла, В. П. Рубаніка.

Численні дослідження в галузі функціонально-диференціальних рівнянь стосуються різних аспектів теорії крайових задач. З огляду на різноманітні застосування в теорії нелінійних коливань, теорії стійкості руху, теорії керування, радіотехнічних, механічних, біологічних та інших задачах проблеми побудови конструктивних методів аналізу крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь, інтегро-диференціальних рівнянь, диференціальних рівнянь із запізненням аргументу, систем з імпульсним впливом традиційно займають одне з найважливіших місць в теорії диференціальних рівнянь.

Дослідження питань аналітичної та якісної теорії функціонально-диференціальних рівнянь проводились у роботах А. Д. Mишкіса, Л. Е.  Eльсгольца, С.  Б. Норкіна, Н. B. Азбелєва, В. П. Максимова, Л. Ф. Рахматулліної, Ю. О. Митропольского, А. М. Самойленка, Д. І. Мартинюка, В. П. Рубанікa, Р.  Беллмана, К.  Кука, І. Т. Кігурадзе, Д. Я. Хусаїнова, О. М. Шарковського, Г. П. Пелюха, О. А. Бойчука, М. Й. Ронто, А. Ю. Лучки, Р. І. Петришина, В. І. Ткаченка, Ю. В. Теплінського, А. М. Ронто, А. Г. Ломтатідзе, Р. Хакла, Й. Шремра, С. І. Трофімчука, С. Станєка та багатьох інших математиків.

Дослідження з теорії функціонально-диференціальних рівнянь, які проводилися починаючи з другої половини 60-х рр. XX ст., виявили специфічні особливості, які притаманні диференціальним рівнянням з відхиленнями аргументу, але відсутні у звичайних диференціальних рівнянь. Наявність таких властивостей робить істотно складнішим аналіз множини розв'язків крайових задач для функціонально-диференціальних рівнянь, і зокрема, задачі Коші. Так, для задачі Коші навіть у випадку лінійного функціонально-диференціального рівняння виникають труднощі при з'ясуванні умов існування та єдиності розв'язку, а також характеру його залежності від початкових даних.

Незважаючи на значну кількість публікацій в літературі, теорія задачі Коші для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь розвинена нeдостатньо. На даний момент є не так багато конструктивних теорем про розв'язність задaчі Коші для функціонально-диференціальних рівнянь. Для скалярного випадку важливі результати в цьому напрямку було отримано протягом останніх кількох років в працях А. Ломтатідзе, Р. Хакла, Є. I. Бравого, І. Т. Кігурадзе, Б. Пужі, З. П. Сохадзе, Й. Шремра, О. Домошницького, A. M. Ронто.

В даній дисертаційній роботі отримано нові твердження щодо розв'язності задачі Коші для систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь, які узагальнюють та доповнюють відомі результати.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дослідження, за результатами яких написано дисертаційну роботу , проводились у відділі диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України згідно із загальним планом науково-дослідних робіт в рамках держбюджетної теми „Теорія диференціальних рівнянь та нелінійних коливань”, номер державної реєстрації 0101U00526, та були частково підтримані грантом Президії НАН України, номер держреєстрації 0105U005666.

Мета і задачі дослідження. Метою даної роботи є розвиток методів дослідження лінійної задачі Коші для функціонально-диференціальних рівнянь.

Об'єкт дослідження. Вивчається задача Коші для багатовимірних систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь.

Предмет дослідження. Предметом дослідження є умови, достатні для однозначної розв'язності задачі Коші для систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь з позитивними правими частинами.

Методи дослідження. При дослідженні поставлених в дисертаційній роботі завдань використовуються методи теорії диференціальних рівнянь та функціонального аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. Основні результати, які визначають наукову новизну дисертаційного дослідження і виносяться на захист, полягають у наступному:

Доведено нові теореми про пов'язані з лінійною однорідною задачею Коші функціонально-диференціальні нерівності, які узагальнюють ряд відомих тверджень та дають зручний апарат дослідження розв'язності початкової задачі.

Отримано ряд умов, які гарантують однозначну розв'язність початкової задачі для систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь загального вигляду.

Одержано нові ефективні ознаки однозначної розв'язності систем лінійних інтегро-диференціальних рівнянь із вимірними відхиленнями аргументу.

Встановлено, що за виконання отриманих умов розв'язності певна властивість позитивності оператора, яким задається вихідна функціонально-диференціальна система, забезпечує монотонну залежність розв'язку початкової задачі від адитивних збурень заданого рівняння та початкових умов.

Доведено, що одержані результати є в певному сенсі оптимальними.

Практичне значення одержаних результатів. Дисертаційна робота носить теоретичний характер, отримані в ній результати є помітним внеском в теорію функціонально-диференціальних рівнянь. Вони можуть бути застосовані при аналізі функціонально-диференціальних рівнянь, що виникають у прикладних науках, зокрема, в економіці, імунології.

Особистий внесок здобувача. Визначення загального плану досліджень та постановка задач належать академіку НАН України А. М. Самойленку та А. М. Ронто. Доведення всіх результатів, що включені в дисертаційну роботу, проведено особисто її авторкою.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертації доповідались на таких міжнародних конференціях: “Dynamical systems modelling and stability investigation” (травень 2003 р., Київ, Україна); “International Mathematical Conference on Differential Equations and Applications” (липень 2003 р., Жиліна, Словацька Республіка); Seventh Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations (липень 2003 р., Сегед, Угорщина); “Шості Боголюбовські читання” (серпень 2003 р., Чернівці, Україна); “Нелінійні проблеми аналізу” (вересень 2003 р., Івано-Франківськ, Україна); Х міжнародна наукова конференція ім. акад. М. П. Кравчука (травень 2004 р., Київ, Україна); “Analysis and its applications” (вересень 2004 р., Mерсін, Турція); Сьома кримська міжнародна математична школа “Метод функций Ляпунова и его приложения” (вересень 2004 р., Крим, Алушта); “Matematyka w naukah technicznych i przyrodniczych” (жовтень 2004 р., Криніца, Польща); конференція молодих вчених із сучасних проблем механіки та математики ім. акад. Я. С.  Підстригача (травень 2005 р., Львів, Україна); “Диференціальні рівняння та їх застосування” (червень 2005 р., Київ, Україна); “Інтегральні рівняння та їх застосування” (липень 2005 р., Одеса, Україна); “Matematyka w naukah technicznych i przyrodniczych” (жовтень 2005 р., Криніца, Польща).

Крім цього, результати дисертації доповідались і обговорювались на засіданнях семінару з якісної теорії звичайних та функціонально-диференціальних рівнянь Математичного інституту АН Чеської Республіки (жовтень 2003 р., Брно, Чеська Республіка) та семінару відділу диференціальних рівнянь та теорії коливань Інституту математики НАН України (вересень 2004 р. та жовтeнь 2005 р., Київ).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 16 роботах. Серед них 5 статтей [1,2,5,3,4] в наукових періодичних фахових виданнях (1 самостійна та 4 у співавторстві) та 11 тез доповідей [6,11,15,7,12,14,16,8,9,10,13] на міжнародних наукових конференціях.

Структура та об'єм дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків та списку використаних джерел зі 75 найменувань. Повний текст рукопису становить 126 сторінок друкованого тексту.

OСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обрунтовано актуальність теми, сформульовано мету дослідження, наведено стислу аннотацію одержаних результатів, наведено дані про публікації за дисертацією та її апробацію.

У першому розділі дається огляд наукових праць, проблематика яких тісно пов'язана із дослідженнями, проведеними в дисертації.

У другому розділі встановлено умови, достатні для однозначної розв'язності задачі Коші для багатовимірних систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь загального вигляду. З її використанням встановлено нові теореми про однозначну розв'язність початкової задачі, які базуються на умовах ітеративного типу.

Розглядається лiнiйна однорiдна задача Кошi

 (1)

(2)

а також, вiдповiдна їй, неоднорiдна задача

(3)

(4)

де -- деякий неперервний лiнiйний оператор, -- задана точка з промiжку , , а функція належить простору .

Означення 2.1. Розв'язком задачi Кошi (1), (2) називається абсолютно неперервна функцiя , яка задовольняє спiввiдношення (1) при майже всiх із , а в точці володіє властивістю (2).

В роботі використовується таке позначення.

Для та , , , будемо писати (відповідно, ), якщо (відповідно, ) при всіх .

Означення 2.2. Лінійний оператор , який діє з простору в простір , будемо називати -позитивним, якщо iз справедливостi для всiх спiввiдношення

(5)

випливає, що при майже всiх із має місце нерiвнiсть

Iншими словами, -позитивнiсть оператора означає, що зi спiввiдношень

випливає, що при майже всiх t справедливi нерiвностi

де , -- компоненти оператора.

При i вказана властивість полягяє в тому, що відображає невід'ємні неперервні функції у невід'ємні інтегровні функції.

Теорема 2.1. Припустимо, що лiнiйний оператор в рiвняннях (1), (3) є -позитивним при деякому виборі вектора з компонентами. Нехай icнують такi абсолютно неперервна вектор-функцiя, що задовольняє умови (6), (7), а також деякi натуральне , дiйсне i невiд'ємнi числа, , при яких для майже всiх із промiжку визначенi формулою (9) функцi задовольняють нерiвнiсть (10)

Тодi однорідна задача Коші (1), (2) матиме лише тривіальний розв'язок, а неоднорiдна задача Кошi (3), (4) однозначно розв'язна при довiльних векторi i функцi. Єдиний розв'язок задачi (3), (4) подається у виглядi рiвномiрно збiжного на функцiонального ря-ду (11), де, за означенням, (12).

Крiм цього, якщо для вектора i вектор-функцi при всiх з виконується нерiвнiсть (13) то єдиний розв'язок (11) задачi (3), (4) в кожнiй точцi вiдрiзку задовольняє умову (5).

Той факт, що припущення (13) забезпечує властивість (5) єдиного розв'язку задачі (3), (4), природно називати монотонною залежністю розв'язку від адитивних збурень рівняння та початкової умови. Співвідношення (13) виконується, зокрема, у випадку, коли та для кожного та майже всіх з проміжку.

У § 2.2 подано наслідки з основної теореми 2.1. Зокрема, з теореми 2.1 випливає такий важливий наслідок.

Наслідок 2.3. Припустимо, що в системах рівнянь (1), (3) лінійний оператор при деякому векторі з компонентами є -позитивним, і, крім цього, знайдуться абсолютно неперервна функція із властивостями (6), (7), натуральне і дійсне , , такі, що при майже всіх з проміжку для функції, побудованої за формулою (9), має місце нерівність.

Тоді відносно однорідної і неоднорідної задач Коші (1), (2) і (3), (4) справедливий висновок теореми 2.1.

У § 2.2.3 доведено оптимальність одержаних результатів. Результати цих параграфів використовуються у четвертому розділі, де їх застосовано до певних класів диференціальних рівнянь із відхиленнями аргументу.

У третьому розділі дисертації доведено загальну теорему про лінійні функціонально-диференціальні нерівності, яка грунтується на властивостях пов'язаного із однорідною задачею Коші багатокрокового ітераційного процесу. З використанням цієї теореми встановлено нові умови, достатні для однозначної розв'язності задачі Коші, які узагальнюють деякі результати другого розділу. Результати розділу є у певному сенсі оптимальними.

Основний результат цього розділу міститься у такій теоремі.

Teoрема 3.1. Нехай оператор в рiвняннях (1), (3) ---позитивнийДив. означення 2.2. при деякому виборі вектора з компонентами. Припустимо, що iснують цiле, а також, , дiйсне число, константи i i деякi абсолютно неперервнi вектор-функцi, що задовольняють умови (16), (18) i спiввiдношення (20)

такi, що для майже всiх iз виконуться нерiвнiсть

(21)

Тодi однорідна задача Кошi (1), (2) матиме лише тривіальний розв'язок, а неоднорідна задача (3), (4) -- диний розв'язок при довiльних i, i цей розв'язок можна подати у виглядi рiвномiрно збiжного функцiонального ряду (11).

Бiльше того, якщо для функцiї i вектор в (3), (4) виконується умова (13), то диний розв'язок цi задачi задовольня умову (5).

В четвертому розділі oтримані в другому та третьому розділах результати застосовано до систем лінійних диференціальних та інтегро-диференціальних рівнянь із відхиленнями аргументу.

Встановлено умови однозначної розв'язності для задачі Коші

(23)

із початковою умовою (4), де функції, , -- вимірні, а, , і мають сумовні компоненти,.

Наслідок 4.1. Припустимо, що при деяких сталих функції, , із рівняння (23) задовольняють покомпонентну нерівність

Тоді для довільної функції з простору і початкова задача  (23), (4) матиме єдиний розв'язок, і цей розв'язок можна подати у вигляді рівномірно збiжного функціонального ряду, де задана формулою (12).

Більше того, при виконанні для і умови (13) розв'язок задачі (23), (4) задовольняє нерівність (5).

Наслідок 4.7. Нехай функції, , для майже всіх та з задовольняють умови (30), (31), (32), (33)

Припустимо також, що існують деякі константи, , для яких при майже всіх виконуються нерівності (34), (35)

Тоді задача Коші (26), (27), (28), (29) матиме єдиний розв'язок при довільних i дійсних. Більше того, якщо при всіх виконуються нерівності

то єдиний розв'язок задачі (26), (27), (28), (29) задовольняє нерівності

для всіх.

Наслідок 4.8. Нехай в системі рівнянь (26), (27) при деяких для майже всіх та з функції, , задовольняють нерівності (30), (31), (32), (33). Крім цього, припустимо, що при майже всіх (36) та (37).

Тоді для задачі Коші (26), (27), (28), (29) справедливий висновок наслідку 4.7.

Сформулюємо деякі умови розв'язності початкової задачі (3), (4) для випадку, коли (3) є одновимірним лінійним інтегро-диференціальним рівнянням вигляду

(38)

Тут функцiї -- вимiрнi, а -- інтегровні.

Теорема 4.5. Припустимо, що кожна з функцій, , в рівнянні (38) задовольняє умову (39)

і крім цього, при деякому для майже всіх має місце нерівність (40)

Тоді задача Коші (38), (4) буде однозначно розв'язною при довільних та. Крім того, якщо виконується співвідношення (13), то єдиний розв'язок задачі (38), (4) є невід'ємним.

Наведемо умови існування і єдиності розв'язку неоднорідної задачі Коші (4) для скалярного інтегро-диференціального рівняння вигляду

(41)

в якому -- вимірна, а та -- iнтегровні функції,.

Наслідок 4.10. Припустимо, що для функції в рівнянні (41) виконується умова (42) i, крім цього, при деякому для майже всіх справджується нерівність (43)

Тоді задача Коші (41), (4) є однозначно розв'язною для довільних та, а її розв'язок подається рівномірно збіжним на відрізку функціональним рядом (44)

Крім того, якщо та задовольняють умову (13), то єдиний розв'язок задачі (41), (4) є невід'ємним.

Теорема 4.8. Припустимо, що в рівнянні (41) функція при майже всіх та задовольняє умову (42) і, крім цього, можна вказати таке число, при якому при майже всіх з має місце співвідношення (45)

Тоді неодноріднa задачa Коші (41), (4) є однозначно розв'язною при довільних та.

Умова (45) є оптимальною в тому сенсі, що її не можна замінити умовою (46)

яким би малим не було додатне число.

Крім цього, слід відзначити, що у наведених вище твердженнях не можна послабити умови (10), (21), припустивши їх виконання при , не можна покласти в нерівностi (25) та в умовах (34), (35) або взяти в (14), а також не можна замінити умови (36), (37), (40), (43) слабшими припущеннями про виконання відповідних нестрогих нерівностей.

ВИСНОВКИ

Досліження, проведене у дисертації, присвячено вивченню лінійної задачі Коші для систем функціонально-диференціальних рівнянь першого порядку, які визначаються лінійним обмеженим оператором загального вигляду та можуть містити відхилення аргументу довільного характеру. Основні результати роботи полягають у наступному:

Доведено нові теореми про пов'язані з лінійною однорідною задачею Коші функціонально-диференціальні нерівності, які узагальнюють ряд відомих тверджень та дають зручний апарат дослідження розв'язності початкової задачі.

Одержано ряд умов, які гарантують однозначну розв'язність початкової задачі для систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь загального вигляду.

Отримано нові ефективні ознаки однозначної розв'язності систем лінійних інтегро-диференціальних рівнянь із вимірними відхиленнями аргументу.

Встановлено, що за виконання отриманих умов розв'язності певна властивість позитивності оператора, яким задається вихідна функціонально-диференціальна система, забезпечує монотонну залежність розв'язку початкової задачі від адитивних збурень заданого рівняння та початкових умов.

Доведено, що одержані результати є в певному сенсі оптимальними.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗДОБУВАЧАЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

[1] Дильная Н. З., Ронто А. Н. Некоторые новые условия разрешимости задачи Коши для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений // Укр. мaт. журн. - 2004. - 56,  7. - С. 867-884 .

[2] Дильная Н. З., Ронто А. Н. О разрешимости задачи Коши для систем линейных функционально-дифференциальных уравнений с -положительными правыми частями // Допов. НАН України. - 2004. -  2. - С. 29-35.

[3] Dilna N. On the solvability of the Cauchy problem for linear integral-differential equations // Miskolc Math. Notes. - 2004. - 5, No 2. - P. 161-171.

[4] Dilnaya N., Ronto A. Multistage iterations and solvability of linear Cauchy problems // Miskolc Math. Notes. - 2003. - 4, No. 2. - P. 89-102.

[5] Caмойленко А. М., Дільна Н. З., Ронто А. М. Розв'язність задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь з перетвореним аргументом // Нелінійні коливання. - 2005. - 8 -  3. - С. 388-403.

[6] Дильная Н. З., Ронто А. Н. Об однозначной разрешимости задачи Коши для линейных функционально-дифференциальных уравнений с -положительными правыми частями // Dynamical systems modelling and stability investigation: Тези доповідей міжнародної наукової конференції (22-25 травня 2003 р.). -- Київ: Нац. ун-т ім. Т. Г. Шевченка, 2003. -- C. 49.

[7] Dilna N. and Ronto A. Some theorems on the Cauchy problem for linear functional differential equationsons // Conference on Differential Equations and Applications: Тези доповідей міжнародної наукової конференції (30 червня - 4 липня 2003 p.). -- Zilina, Slovakia: Faculty of Science, University of Zilina, 2003. -- C. 14.

[8] Ronto A., Dilna N. On the Cauchy problem for a class of linear functional differential systems // Seventh Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations: Тези доповідей конференції (14-18 липня 2003 p.). -- Szeged, Hungary: Bolyai Institute, University of Szeged, 2003. -- C. 40.

[9] Дільна Н. З., Ронто А. М. Про оптимальні умови розв'язності задачі Коші для функціонально-диференціальних рівнянь // Шості Боголюбівські читання: Тези допoвідей міжнародної наукової конференції (26-30 серпня 2003 р.). -- Чернівці: Чернівецький нац. ун-т ім. Ю. Федьковича, 2003. -- C. 61.

[10] Дільна Н. З., Ронто А. М. Деякі умови розв'язності задачі Коші для лінійних функціонально-диференціальних рівнянь // Нелінійні проблеми аналізу: Тези доповідей Всеукраїнської наукової конференції (9-12 вересня 2003 р.). -- Івано-Франківськ: Прикарпатський ун-т ім. В. Стефаника, 2003. -- C. 31.

[11] Дильная Н. З., Ронто А. Н. Многоэтапные иттерации и разрешимость линейной задачи Коши // Тези доп. Десятої міжнар. наук. конф. ім. акад. М. П. Кравчука (13-15 травня 2004 р.). -- Київ: Нац. техн. ун-т України “КПІ”, 2004. -- C. 100.

[12] Dilna N. Some theorems on the multistage iterations and solvability of linear Cauchy problem // Analysis and its applications: Тези доповідей міжнародної наукової конференції (7-11 вересня 2004 р.). -- Mersin, Turkey: Mersin University, 2004. -- C.26.

[13] Дильная Н. З., Ронто А. Н. Условия однозначной разрешимости линейной задачи Коши // Метод функций Ляпунова и его приложения: Тези Сьомoї Кримської Міжнародної математичної школи (11-18 вересня 2004 р.). -- Алушта, Крим: Нац. Таврійський ун-т України, 2004. -- C. 56.

[14] Дiльна Н. З. Умови однозначної розв'язності задачі Коші для лінійних інтегро-диференціальних рівнянь із - позитивними правими частинами // Тези доп. Kонф. молодих вчених із сучасних проблем механіки та математики ім. акад. Я. С.  Підстригача (24-27 травня 2005 р.). -- Львів: Інститут прикладних проблем механіки та математики ім. акад. Я. С.  Підстригача НAН України, 2005. -- C. 280. russian

[15] Дiльна Н. З., Ронто А. М. Розв'язність лінійної задачі Коші для інтегро-диференціальних рівнянь із -позитивними правими частинами // Диференціальні рівняння та їх застосування: Тези доповідей міжнародної наукової конференції (6-9 червня 2005 р.). -- Київ: Київський нац. ун-т ім. Т. Г. Шевченка, 2005. -- C. 27.

[16] Дильная Н. З., Ронто А. Н. Новые условия разрешимости задaчи Коши для линейных скалярных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // Інтегральні рівняння та їх застосування: Тези доповідей міжнародної наукової конференції (29 червня - 4 липня 2005 р.). -- Одеса: Одеський нац. ун-т ім. І. І. Мечникова, 2005. -- C. 48.

АНОТАЦІЇ

Дільна Н. З. “Розв'язність початкової задачі для позитивних систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь”. -- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 -- диференціальні рівняння. Інститут математики НАН України, Київ, 2005.

В дисертації розглядається лінійна задача Коші для систем функціонально-диференціальних рівнянь першого порядку, які можуть містити відхилення аргументу довільного характеру.

Одержано умови, достатні для однозначної розв'язності задачі Коші для багатовимірних систем лінійних функціонально-диференціальних рівнянь загального вигляду. Доведено нові теореми про пов'язані з лінійною однорідною задачею Коші функціонально-диференціальні нерівності, які узагальнюють ряд відомих тверджень та дають зручний апарат дослідження початкової задачі, що базується на властивостях пов'язаних з однорідною задачею Коші однокрокового та багатокрокового ітераційних процесів.

Встановлено, що за виконання отриманих умов розв'язності певна властивість позитивності оператора, яким задається вихідна функціонально-диференціальна система, забезпечує монотонну залежність розв'язку початкової задачі від адитивних збурень заданого рівняння та початкових умов.

Доведено, що одержані результати є в певному сенсі оптимальними.

Ключові слова: початкова задача, задача Коші, функціонально-диференціальне рівняння, запізнення, інтегро-диференціальне рівняння, однокрокові та багатокрокові ітерації, функціонально-диференціальна нерівність, відхилення аргументу.

Dilna N. Z. “Solvability of the initial-values problem for positive systems of functional-differential equations.” -- Manuscript.

Dissertation for the candidate of physics and mathematics degree in speciality 01.01.02 -- differential equations. -- Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2005.

The thesis deals with the study of efficient conditions sufficient for the unique solvability of the Cauchy problem for some classes of many-dimensional systems of linear functional-differential equations.

We obtain new and optimal, in a sense, unique solvability conditions for a wide range of functional-differential equations. We prove a general theorem on the linear functional-differential unequalities. By using it, we establish new theorems on the unique solvability of the Cauchy problem involving properties of certain onestep and multistep iteration sequenses determined by the corresponding homogeneous initial-value problem.

We show that, under the conditions obtained, the fulfilment of a certain positivity property of the right-hand side of the equation guarantees the monotonous dependence of the solution of the initial-value problem on the additive perturbations of the equation and the initial data.

Key words: initial-value problem, Cauchy problem, functional-differential equation, delay, integral-differentional equation, onestep and multistep iterations, functional-differential inequality, argument deviation.

Дильная Н. З. “Разрешимость начальной задачи для положительных систем линейных функционально-дифференциальных уравнений”. -- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.01.02 -- дифференциальные уравнения. Институт математики НАН Украины, Киев, 2005.

Исследование, проведенное в дисертационной работе, посвящено изучению вопросов разрешимости задачи Коши для функционально-дифференциальных уравнений первого порядка, которые определяются непрерывным линейным оператором общего вида и могут содержать отклонения аргумента произвольного характера. Тематика работы тесно примыкает к исследованиям по современной теории функционально-дифференциальных уравнений, проводимым математиками пермской, киевской, тбилисской, брненской научных школ. Рассматриваются абсолютно непрерывные решения систем линейных функционально-дифференциальных уравнений на конечном промежутке, причем постановка начальной задачи не содержит начальных функций.

Основные результаты, полученые в диссертации, состоят в следующем.

Доказаны новые теоремы о связанных с линейной однородной задачей Коши функционально-дифференциальных неравенствах, которые обобщают ряд известных утверждений. Эти теоремы дают удобный аппарат исследования начальной задачи и базируются на свойствах связанных с однородной задачей Коши одношагового и многошагового итерационных процессов.

Получены условия, достаточные для однозначной разрешимости задачи Коши для многомерных систем линейных функционально-диференциальных уравнений общего вида.

Установлены новые еффективные признаки однозначной разрешимости систем линейных интегро-дифференциальных уравнений с измеримыми отклонениями аргумента.

Показано, что при выполнении полученных условий разрешимости некоторое свойство положительности оператора, которым задается исходная функционально-дифференциальная система, обеспечивает монотонную зависимость решения начальной задачи от аддитивных возмущений уравнения и начальных условий.

Доказано, что полученные результаты являются в определенном смысле оптимальными.

Ключевые слова: начальная задача, задача Коши, функционально-дифференциальное уравнение, запаздывание, интегро-дифференциальное уравнение, одношаговые и многошаговые итерации, функционально-дифференциальное неравенство, отклонение аргумента.

Размещено на Allbest.ru