Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут математики

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

01.01.02 - Диференціальні рівняння

Критичні випадки стійкості за Ляпуновим неавтономних нелінійних диференціальних систем

Вітриченко Ігор Євгенович

Київ 2004

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Національному технічному університеті України “КПІ” Міністерства освіти і науки України.

Науковий консультант: академік НАН України, доктор фіз..-мат. наук, професор САМОЙЛЕНКО Анатолій Михайлович, Інститут математики НАН України, директор;

Офіційні опоненти:

академік НАН України, доктор фіз.-мат. наук, професор КІГУРАДЗЕ Іван Таріелович, Інститут математики ім. А. Размадзе НАН Грузії, директор;

доктор фіз.-мат. наук, професор ЄВТУХОВ В'ячеслав Михайлович, Одеський національний університет ім.. І.І. Мечнікова, завідувач кафедри;

доктор фіз.-мат. наук МАЗКО Олексій Григорович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник. Провідна установа: Інститут прикладної математики і механіки НАН України (м. Донецьк).

Захист відбудеться “08” червня 2004 р. о 15 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.206.02 Інституту математики НАН України за адресою: вул. Терещенківська, 3, Київ - 4, 01601.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Інституту математики НАН України.

Автореферат розіслано “28” квітня 2004 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради, доктор фіз.-мат. наук ПЕЛЮХ Г.П.

1. Загальна характеристика роботи

ляпунов критичний стійкість квазілінійний

Актуальність теми. Чільне місце в задачах стійкості займає теорія критичних випадків (к.в.), дослідження яких, як правило, пов'язано з застосуванням досить тонких методів аналізу, а також зі значними і громіздкими обчисленнями. З математичної точки зору к.в. є винятковими, проте на практиці в конструкціях майже всіх механізмів закладені умови, що призводять до їх виникнення. Наприклад, винайдені Уаттом у 1784 р. центробіжні регулятори, використані на парових машинах малої потужності, стійко зберігали задані оберти двигуна. Але зі зростанням потужності машин регулятори, що працювали за старими схемами, переставали забезпечувати надійне регулювання. Вони навіть збільшували оберти двигуна, що призводило до нестійкого режиму роботи. Це незрозуміле на той час явище стало причиною кризи в конструюванні двигунів, і над її усуненням працювали вчені багатьох країн.

Теорі к.в. закладена Ляпуновим: він дослідив к.в. одного нульового, пари суто уявних коренів характеристичного (х.р.) автономної диференціальної системи (д.с.). Пізніше він же вивчив к.в. кратного нульового кореня х.р. автономної системи двох диференціальних рівнянь (д.р.).

Подальші дослідження, наприклад, Г.В. Каменкова, к.в. автономних д.с. присвячені вивченню стійкості, коли х.р. має багато критичних коренів.

Теорія к.в. досконало побудована для неавтономних д.с. з періодичними та майже періодичними коефіцієнтами.

Проте методи, що використовуються при дослідженні таких д.с., не охоплюють д.с. з повільно змінними коефіцієнтами (похідні таких функцій малі у порівнянні з самими функціями, коли , , наприклад, тощо). Хоча існують задачі (наприклад, відоме в ядерній фізиці д..р. Польвані



де - радіус-вектор електрона, , , яке описує рух електрона у циліндричному діоді, який знаходиться у поздовжньому магнітному полі (магнетрон Хелла)), математичні моделі яких мають вигляд д.р. саме з такими коефіцієнтами.

Відзначимо, що вищезазначеними авторами побудована теорія пошуку асимптотичного розв'язків лінійних д.с., де за певних умов можна знаходити асимптотики її фундаментальної системи розв'язків. Це дає можливість вивчати стійкість точки спокою. Але при дослідженні нелінійної д.с. поняття фундаментальної системи розв'язків втрачає зміст. Для таких д.с. А.А. Белємішева, О.В. Костін, І.Т. Кігурадзе , Т.А. Чантурія, В.М. Євтухов досліджували асимптотики окремих її розв'язків, які мають наперед задані певні властивості (обмеженість, непродовжуваність, прямування до нуля, коливність, неколивність тощо). Звичайно. Методами асимптотичної теорії д.р. розв'язати задачу стійкості тривіального розв'язку нелінійної д.с. неможливо. Але корисно використовувати ідеї і методи цієї теорії у дослідженні стійкості.

Отже, актуальною проблемою є побудова методу, який дозволяє досліджувати поводження сім'ї розв'язків нелінійних д.с. з неперіодичними коефіцієнтами в околі положення рівноваги або її стійкість. Результати дисертації заповнюють прогалину в дослідженнях неавтономних нелінійних д.с. і ефективно застосовуються до д.с. з повільно змінними коефіцієнтами, що свідчить про доцільність вибору теми.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертації тісно прилягає до науково-дослідних робіт Інституту математики НАН України на 2001-05 рр., що виконуються згідно з постановою Бюро Відділення математики НАН України від 19.12.2000, протокол № 10, і теми “Теорія диференціальних рівнянь та нелінійних коливань” (науковий керівник академік НАН України А.М. Самойленко, номер держреєстрації 0101U000526).

Мета і задачі дослідження. Мета роботи - подальший розвиток теорії к.в. стійкості неавтономних нелінійних д.с. За допомогою методу дисертації - знайти умови стійкості, асимптотичної стійкості і нестійкості положення рівноваги в алгебраїчному к.в. кратного нульового власного числа граничної матриці коефіцієнтів д.с. першого наближення для а) неавтономних квазілінійних д.с.; б) неавтономних істотно нелінійних д.с; в) неавтономних квазілінійних д.р. вищих порядків; г) неавтономних істотно нелінійних д.р. вищих порядків; д) застосування методу дос-лідження до деяких задач неавтономних квазілінійних і істотно нелінійних д.р. другого порядку і неавтономних нелінійних д.с.

Наукова новизна одержаних результатів. Всі результати дисертації нові. Серед них головними є такі:

- побудовано метод розщеплення д.с. на підсистеми менших розмірів спеціального вигляду на основі поєднання методів узвгвльнених “зрізуючих” і “заморожених” перетворень;

- одержано достатні умови стійкості квазілінійної д.с. з комплексними коефіцієнтами на основі принципу стійкості О. Перрона;

- запропоновано метод дослідження стійкості істотно нелінійної д.с. з використанням леми про обмеженність розв'язків у кільцеподібній області, методів О.В. Костіна дослідження правильних розв'язків д.р. вищих порядків та функцій Ляпунова;

- одержано достатні умови стійкості істотно нелінійної д.с. з дійсними коефіцієнтами;

- одержано достатні умови - стійкості квазілінійного і істотно нелінійного д.р. вищого порядку;

- застосування методу дисертації для розв'язання деяких задач теорії стійкості.

Узагальнення методу “зрізуючих” перетворень і подальший розвиток методу неавтономних нелінійних “заморожених” перетворень в поєднанні з методами функцій Ляпунова і О.В. Кос-тіна дослідження правильних розв'язків д.р. вищих порядків дозволило одержати нові умови стійкості у к.в. кратного нульового кореня х.р.

Практичне значення одержаних результатів. Побудований в дисертації метод можна ефективно застосовувати у дослідженнях к.в. стійкості конкретних неавтономних д.с., асимптотичного поводження розв'язків д.с. і д.р. вищих порядків в околі особливих точок задач фізики, прикладної механіки, астрономії, хімії, радіоелектроніки, біології і інших природознавчих науках.

Результати роботи можна використати в інших наукових дослідженнях і при викладанні спецкурсів на фізико-математичних факультетах вищих учбових закладів освіти.

Особистий внесок здобувача. Всі дослідження, наведені в дисертації, виконані автором самостійно і опубліковані в 48 наукових працях. В роботі [2] належить постановка задачі і обговорення одержаних результатів. В статті [8] автору належить постановка задачі і безпосереднє її технічне виконання, а в [33,34] - постановка задачі.

Апробація результатів дисертації. Основні результати дисертації доповідались на міжнародних і вітчизняних конференціях [32-48], семінарі відділу “Нелінійні коливання та звичайні диференціальні рівняння” Інституту математики НАН України, 27 жовтня 2003 р. (керівник семінару акад. А.М. Самойленко), семінарі кафедри диференціальних рівнянь і управління Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна, 23 грудня 2003 р. (керівник семінару проф. В.І. Коробов), семінарі з загальної механіки Інституту прикладної математики і механіки НАН України, м. Донецьк, 14 квітня 2004 р. (керівник семінару чл.-кор. НАН України О.М. Ковальов).

Публікації. Результати дисертації опубліковані в 29-ти статтях в наукових журналах [1-29],

2-ох депонованих роботах [30,31], 17-ти тезах наукових конференцій [32-48].

Структура і обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається з переліку умовних скорочень, вступу, шести розділів і списку літератури, який містить 206 найменувань.

Обсяг роботи - 298 сторінок.

2. Основний зміст роботи

У вступі наведено коротку історичну справку про виникнення і розвиток теоріїї к.в. стійкості, обґрунтовано актуальність визначеної теми, вказано мету роботи, стисло сформульовано зміст і основні результати автора, зазначено теоретичне і практичне значення дисертації, наведено дані про особистий внесок автора, апробацію результатів і публікацій за темою роботи, описано структуру і обсяг дисертації.

В розділі 1 наведено огляд літератури за темою дисертації, окреслено основні етапи розвитку теорії к.в. стійкості, визначено напрями досліджень.

У розділі 2 обґрунтовано вибір напряму досліджень. В п. 2.1 проаналізовано означення стійкості О.М. Ляпунова, який зазначав, що стійкість залежить від характеру незбуреного руху, правих частин д.с. і початкового моменту часу. Тут наведено означення локальної і глобальної стійкостей, нестійкості, коли , , тривіального розв'язку д.с., які використано в дисертації. Розглянемо д.с. вигляду

, (1)

де і розв'язок задачі Коші.

В п.п. 2.2, 2.3 наведено метод лінеаризації і функцій Ляпунова. В п. 2.4 описaно метод зведення д.с. (1) до д.с. спеціального вигляду. В п. 2.5 наведено методику дослідження квазілінійних д.с., яка використовує узагальнення принципу стійкості О. Перрона.

В п. 2.6 описано методику дослідження стійкості істотно нелінійних д.с., наведено використані в дисертації результати О.В. Костіна, які використано в дисертації, леми, які мають самостійне значення.

Розділ 3 присвячено дослідженню стійкості положення рівноваги неавтономних квазілінійних д.с. з комплексними коефіцієнтами.

В п. 3.1 дано постановку задачі про дослідження стійкості при тривіального розв'язку д.с. (1), для якої

,

, , , , і

1) , , , ;

2) х.р. , , , .

3) .

П. 3.2 присвячено зведенню д.с. першого наближення до д.с. спеціального вигляду. Розглянуто випадок, коли існує матриця , яка має кратне нульове власне число. Методами узагальненого “зрізуючого” , лінійного “замороженого” перетворень за певних умов можна побудувати неособливе перетворення

, (5)

, , , або

, ,

яке зводить д.с. (1) до д.с. спеціального блок-

діагонального вигляду

, (6)

,, ,

Розглянуто задачу про зведення д.с. (1) з повільним часом до д.с. з майже трикутного вигляду, коли гранична матриця може не існувати.

В п. 3.3 до д.с. (6) застосовано принцип стійкості О. Перрона, що дало можливість одержати умови стійкості для д.с. (1), (6).

Для кожної із теорем 3.7-3.16 доведено наслідки, за якими умови цих теорем стають більш прозорими.

В теоремах 3.17-3.26 одержано умови стійкості для класичного к.в., коли в д.с. (1) , а матриця має подвійне нульове власне число, що дозволяє легко аналізувати результати для д.с. загального вигляду.

В п. 3.4 досліджено також класичний к.в. одного нульового і однієї пари суто уявних спряжених коренів х.р. Умови стійкості подано через критичні корені, охоплено випадок коренів, які злипаються.

Розділ 4 присвячено дослідженню стійкості неавтономної істотно нелінійної д.с. в алгебраїчному к.в. кратного нульового власного числа граничної матриці коефіцієнтів д.с. першого наближення.

В п. 4.1 дано постановку задачі про стійкість точки спокою д.с. (1), де

,

,

виконуються такі умови:

1) , , ;

2) матриця з кратним власним числом ;

3) .

За допомогою узагальнених “зрізуючих”, лінійних і нелінійних “заморожених” перетворень за певних умов можна побудувати неособливу неавтономну нелінійну заміну

, (7)

що зводить д.с. (1) до д.с. спеціального блок-діагонального вигляду

(8)

В п. 4.2 за допомогою поєднання методу дослідження асимптотичного поводження правильних розв'язків неавтономних нелінійних д.р., закладеного О.В. Костіним і розвинутого В.М.

Євтуховим, методу функцій Ляпунова і леми 2.4 доведено теореми про локальну і глобальну асимптотичну стійкості точки спокою д.с. (1), (8).

Розділ 5 присвячено вивченню -стійкості тривіального розв'язку д.р.

(9)

на яке перенесені результати розділів 3, 4.

При дослідженні сім'ї зникаючих при розв`язків д.р. (11) застосування класичного означення стійкості за Ляпуновим не завжди обґрунтоване. Традиційно д.р. зводять до д.с., яку потім досліджують на стійкість. Це призводить до накладання жорстких умов мализни на похідні розв`язків даного д.р., що не є обов`язковим.

Тому далі поводження розв`язків д.р. (11) і їх похідних порівнюється з заданою системою функцій

Такі задачі виникають, наприклад, в теорії розповсюдження хвиль.

Розділ 6 присвячено застосуванню методу дисертації.

Висновки

В роботі одержано нові результати в теорії стійкості неавтономних нелінійних д.с., серед яких основними є такі:

- побудовано метод розщеплення д.с. на підсистеми менших розмірів спеціального вигляду на основі поєднання методів узагальнених “зрізуючих” і “заморожених” перетворень;

- одержано достатні умови стійкості квазілінійної д.с. з комплексними коефіцієнтами на основі принципу стійкості О. Персона;

- запропоновано метод дослідження стійкості істотно нелінійної д.с. з використанням леми про обмеженість розв'язків у кільцеподібній, методів О.В. Костіна дослідження правильних розв'язків д.р. вищих порядків та функцій Ляпунова;

- одержано достатні умови стійкості істотно нелінійної д.с. з дійсними коефіцієнтами;

- одержано достатні умови -стійкості квазілінійного і істотно нелінійного д.р. вищого порядку;

- застосування методу дисертації для розв'язання деяких задач теорії стійкості.

Список опублікованих автором праць за темою дисертації

1. Витриченко И.Е. К устойчивости нулевого решения одного неавтономного квазилинейного уравнения второго порядка // Диф. уравнения. - 1987. - Т. 23, № 4. - С. 708 - 712.

2. Витриченко И.Е., Занун Т.Ю. О центре притяжения решений квазилинейной неавтономной системы в критическом случае // Диф. уравнения. - 1990. - Т. 26, № 6. - С. 1081 - 1084.

3. Витриченко И.Е. К устойчивости нулевого решения одного нелинейного неавтономного уравнения второго порядка // Диф. уравнения. - 1990. - Т. 26, № 11. - С. 1878 - 1884.

4. Витриченко И.Е. К устойчивости в критическом случае одного нулевого и пары чисто мнимых корней одного неавтономного квазилинейного уравнения n-го порядка // Диф. уравнения. - 1990. - Т. 26, № 12. - С. 2027 - 2046.

5. Витриченко И.Е. К устойчивости в критическом случае одного нулевого и пары чисто мнимых корней одного неавтономного нелинейного уравнения n-го порядка // Диф. уравнения. - 1991. - Т. 27, № 2. - С. 350 - 354.

6. Витриченко И.Е. К устойчивости неавтономной квазилинейной системы в критическом случае одного нулевого и пары чисто мнимых корней одного неавтономного нелинейного уравнения n-го порядка // Диф. уравнения. - 1991. - Т. 27, № 11. - С. 2014 - 2015.

7. Вітриченко І.Є. Про коливання розв'язків одного неавтономного квазілінійного рівняння другого порядку // Укр. мат. журн. - 1994. - Т. 46, № 4. - С. 347 - 356.

8. Витриченко И.Е., Никоненко В.В. О сведении к почти блок-треугольному (диагональному) виду линейной неавтономной системы в случае кратного нулевого собственного значения предельной матрицы коэффициентов // Proc. Of F. Razmadze Math. Inst. - 1994. - V. 110. - P. 59 - 65.

9. Витриченко И.Е. К устойчивости тривиального решения неавтономной квазилинейной системы в случае кратных корней характеристического уравнения n-го порядка // Укр. мат. журн. - 1994. - Т. 46, № 8. - С. 1072 - 1079.

10. Витриченко И.Е. К устойчивости в критическом случае одного нулевого и пары чисто мнимых корней неавтономной существенно нелинейной системы // Докл. АН Украины. - 1990. -№ 9. - С. 7 - 11.

11. Витриченко И.Е. К устойчивости одного уравнения n-го порядка в одном критическом случае // Укр. мат. журн. - 1995. - Т. 47, № 8. - С. 1138 - 1143.

12. Витриченко И.Е. Критические случаи устойчивости одного неавтономного существенно нелинейного уравнения n-го порядка // Укр. мат. журн. - 1997. - Т.49, № 5. - С. 720 - 724.

13. Витриченко И.Е. К устойчивости неавтономной существенно нелинейной системы в одном критическом случае // Доповіді НАН України. - 1997. - № 8. - С. 25 - 28.

14. Vitrichenko I. Critical case of multiple pairs of pure imaginary roots of a nonautonomous essential-ly nonlinear system // Mem. Dif.Eq. Math. Phys. - 1997. - V. 10. - P. 140 - 144.

15. Vitrichenko I. Critical case of multiple pairs of pure imaginary roots of a nonautonomous essential-ly nonlinear n-th order equation // Mem. Dif.Eq. Math. Phys. - 1997. - V. 10. - P. 145 - 149.

16. Вітриченко І.Є. До нестійкості у критичному випадку одного нульового та пари суто уявних коренів неавтономної істотно нелінійної системи // Крайові задачі для диф. рівнянь, вип. 2. - Київ: ІМ НАН України. - 1998. - С. 51 - 60.

17. Витриченко И.Е. К неустойчивости неавтономной существенно нелинейной системі в одном критическом случае // Доповіді НАН України. - 1999. - № 3. - С. 11 - 15.

18. Витриченко И.Е. О неустойчивости одного неавтономного существенно нелинейного уравнения n-го порядка // Укр. мат. журн. - 1999. - Т.51, № 6. - С. 835 - 841.

19. Витриченко И.Е. О функциональной полиустойчивости некоторых неавтономных квазилинейных дифференциальных систем // Укр. мат. журн. - 1999. - Т.51, № 7. - С. 989 - 995.

20. 1. Витриченко И.Е. Критический случай устойчивости одного квазилинейного разностного уравнения второго порядка // Укр. мат. журн. - 1999. - Т.51, № 12. - С. 1593 - 1603.

21. Витриченко И.Е. О функциональной полиустойчивости некоторых существенно нелинейных неавтономных дифференциальных систем // Укр. мат. журн. - 2000. - Т.52, № 2. - С. 197 - 207.

22. Вітриченко І.Є. До глобальної стійкості неавтономної квазілінійної системи в одному критичному випадку // Нелінійні коливання. - 2000. - Т. 3, № 3. - С. 323 - 333.

23. Вітриченко І.Є. Критичний випадок глобальної стійкості неавтономної істотно нелінійної системи // Нелінійні коливання. - 2000. - Т. 3, № 4. - С. 449 - 457.

24. Vitrichenko I.E. On -stability of one essentially nonlinear nonautonomous second order equation // Nonlinear Oscillation. - 2001. - V. 4, № 4. - P. 547 - 559.

25. Вітриченко І.Є. Про одну ознаку асимптотичної стійкості в одному критичному випадку //Науковий вісник Чернівецького ун-ту. Математика. Вип. 134. - 2002. - С. 10 - 16.

26. Вітриченко І.Є. Глобальна -стійкість одного неавтономного квазілінійного рівняння другого порядку // Укр. мат. журн. - 2002. - Т.54, № 9. - С. 1172 - 1189.

27. Вітриченко І.Є. Стійкість у критичному випадку кратного нульового кореня квазілінійної неавтономної системи двох рівнянь // Наукові вісті НТУУ “КПІ”. - 2003. - № 1. - С. 117 - 126.

28. Вітриченко І.Е. Критичні випадки -стійкості неавтономного квазілінійного рівняння n-го порядку // Укр. мат. журн. - 2004. - Т.56, № 2. - С. 264 - 270.

29. Вітриченко І.Е. Критичні випадки -стійкості неавтономного суттєво нелінійного рівняння n-го порядку // Нелінійні коливання. - 2003. - Т.6, № 2. - С. 171 - 177.

30. Вітриченко І.Е. Про зведення до майже-трикутного (діагонального) вигляду деяких класів лінійних неавтономних систем у випадку кратних власних чисел матриці коефіцієнтів / Вітриченко І.Є.; Одеський держун-тет. - Одеса, 1992. - 12 с. - Укр. - Деп. в Укр.ІНТЕІ 29.12.92, 2067-Ук92 // Анот. в ж. Реф. Журнал, 13. Математика, Т.6, 6Б207, 1993.

31. Витриченко И.Е. О неустойчивости тривиального решения неавтономной существенно нелинейной дифференциальной системы в одному критическом случае / Витриченко И.Е.; Одеський держун-тет. - Одеса, 1997. - 12 с. - Укр. - Деп. в Укр.ІНТЕІ 20.05.97, 393-Ук97 // Анот. в ж. Реф. журнал, 13. Математика, Т.1, 1Б216, 1998.

32. Витриченко И.Е. Устойчивость неавтономных квазилинейных дифференциальных систем //Тез. докл. YI Всесоюзной конф. по кач. теории диф. уравнений. - Иркутск. - 1986. - С. 46 - 47.

33. Витриченко И.Е., Занун Т.Ю. О центре притяжения решений существенно нелинейной неавтономной системы в критическом случае одного нулевого корня // Тез. докл. Республиканской конф. “Дифференциальные и интегральные уравнения и их приложения”.- Одесса. - 1987. - С. 43 - 44.

34. Витриченко И.Е., Карауани М. Об устойчивости тривиального решения неавтономной существенно нелинейной системы с медленным временем в критическом случае одного нулевого корня // Тез. докл. Республиканской научно-методической конф., посвящённой 200-летию со дня рождения Н.И. Лобачевского. - Одесса. - 1992. С. 114.

35. Витриченко И.Е. Об устойчивости тривиального решения неавтономной нелинейной системы в критическом случае кратных собственных чисел предельной матрицы // Тез. докл. Междунар. матем. конф. “Ляпуновские чтения”. - Харьков. - 1992. - С. 28 - 30.

36. Vitrichenko I.E. To stability by Lyapunov in case of multiple zero characteristic exponent for nonautonomous nonlinear equation of n-th order // Czecho-Slovak conference on differential equations and their applications “EQUADIFF-8”, Abstracts of reports. Comenius University, Bratislava (Slova-kia). - 1993. - P. 261.

37. Витриченко И.Е. К устойчивости по Ляпунову в случае кратных чисто мнимых корней характеристического уравнения неавтономного существенно нелинейного уравнения n-го порядка // Крымская осенняя школа “Метод функций Ляпунова и его приложения”. Тез. докл. - Симферополь (Крым). - 1993. - С. 10 -11.

38. Vitrichenko I.E. On vanishing solutions of the nonautonomous nonlinear equation of second // Abstracts of the First International Conference on Difference Equations. - Trinity University. - San Antonio (USA). - 1994. - P. 21.

39. Vitrichenko I.E. Critical cases of stability by Lyapunov of nonautonomous nonlinear systems // International Conference “Nonlinear Differential Equations”. - Kiev. - 1995. - P. 179.

40. Витриченко И.Е. Об исчезающих решениях неавтономной нелинейной дифференциальной системы // Тези доп. Всеукраїнської конф. “Диференціально-функціональні рівняння та їх застосування”. - Чернівці. - 1996. - С. 36.

41. Vitrichenko I.E. Critical cases of the position of the equilibrium of some nonlinear nonautonomous differential systems // Тези доп. Міжнародної конф. “Асимптотичні та якісні методи в теорії нелінійних коливань”. - Київ. - 1997. - С. 193.

42. Vitrichenko I.E. To the stability of the second order difference quasilinear equation in the critical case // Abstracts of reports of International Symposium Dedicated to the 90-th Birthday Anniversary of Academician I. Vecua. - Tbilisi. - 1997. - P. 49. 43. Вітриченко І.Є. Про центр притягання розв'язків квазілінійної неавтономної системи в одному критичному випадку // Матеріали Міжнародної наукової конф. “Сучасні проблеми математики”, ч. 1. - Чернівці. - 1998. - С. 108.

44. Витриченко И.Е. Об аттракторе неавтономной существенно нелинейной систем системы в одном критическом случае // Тези докл. Четвёртой Крымской Международной Математической школы “Методы функций Ляпунова и его приложения”. - Алушта (Крым). - 1998. - С. 19.

45. Vitrichenko I.E. On some generalization of one result of stability in some critical case // Abstracts of reports of International Conference “Dynamical Systems Modeling and Stability Investigation”. -Kyiv. - 1999. - P. 119.

46. Вітриченко І.Є. Про -стійкість одного нелінійного неавтономного рівняння другого поряд-ку // Матеріали YIII Міжнародної наукової конф. ім. акад. М. Кравчука. - Київ. - 2000. - С. 49.

47. Вітриченко І.Є. Про критичні випадки -стійкості одного неавтономного нелінійного рівняння n-го порядку // Укр. мат. конгрес. - 2001: Тези доп. Міжнародної наукової конф. “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”. - Київ. - 2001. - С. 30 - 31.

48. Вітриченко І.Є. Критичні випадки стійкості за Ляпуновим // Тези доп. Міжнародної конф., присвяченої 70-річчю з дня народження акад. Шкіля М.І. - Київ. - 2002. - С. 46.

Анотація

Вітриченко І.Є. Критичні випадки стійкості за Ляпуновим неавтономних нелінійних диференціальних систем. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.02 - диференціальні рівняння. - Інститут математики НАН України, Київ, 2004.

Дисертацію присвячено побудові методу дослідження алгебраїчних критичних випадків стійкості квазілінійних і істотно нелінійних диференціальних систем і рівнянь вищих порядків з неперіодичними коефіцієнтами, коли граничне характеристичне рівняння має кратний нульовий корінь. Основні результати праці застосовано у дослідженні стійкості і коливності розв'язків неавтономних нелінійних диференціальних рівнянь другого порядку, квазілінійного різницевого рівняння другого порядку з дискретним аргументом, аттракторів і функціональної полістійкості неавтономних нелінійних систем.

Ключові слова: диференціальні рівняння, диференціальні системи, стійкість, алгебраїчні критичні випадки, неавтономні квазілінійні системи, неавтономні істотно нелінійні системи.

Аннотация

Витриченко И.Е. Критические случаи устойчивости по Ляпунову неавтономных нелинейных дифференциальных систем. - Рукопись.

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.02 - дифференциальные уравнения. - Институт математики НАН Украины, Киев, 2004.

Диссертация посвящена разработке метода исследования алгебраических критических случаев устойчивости квазилинейных и существенно нелинейных дифференциальных систем и уравнений высших порядков.

При исследовании квазилинейных неавтономных систем и уравнений с комплексными коэффициентами строятся обобщённое “срезающее”, линейное “замороженное” и К.П. Персидского преобразования, позволяющие привести исходную систему к почти диагональному виду. К полученной системе применяется принцип устойчивости О. Перрона. Исследован классический критический случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней, когда применяются только линейные “замороженные” преобразования и условия устойчивости выражены через эти корни.

При исследовании существенно нелинейных неавтономных систем и уравнений с вещественными коэффициентами строятся обобщённое “срезающее”, нелинейное “замороженное” преобразования, при помощи которых исходная система преобразуется системе специального вида.

К полученной системе применяется метод А.В. Костина исследования правильных решений, что позволяет получить систему с почти постоянными коэффициентами. К ней применяется метод функций Ляпунова с использованием леммы об ограниченности решений системы в кольцеобразной области. Исследован классический критический случай одного нулевого и пары чисто мнимых корней характеристического уравнения.

Основные результаты работы применены в исследованиях устойчивости и колеблемости решений неавтономных нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка, квазилинейного разностного уравнения второго порядка с дискретным аргументом, аттракторов и функциональной поли устойчивости неавтономных нелинейных систем.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, дифференциальные системы, устойчивость, алгебраические критические случаи, неавтономные квазилинейные системы, неавтономные существенно нелинейные системы.

Summary

Vitrychenko I.E. Critical cases of stability by Liapunov of nonautonomous nonlinear differential systems. - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree of sciences in Physics and Mathematics by speciality 01.01.02 - differential equations. Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2004.

The thesis is devoted to of the method of an investigation of algebraic critical cases of stability of quasilinear and essentially nonlinear differential systems and equations of higher orders. Main results of the work are applied for investigation of the stability and oscillation of solutions of nonautonomous nonlinear second order differential equations, of a quasilinear difference second order equation with discrete argument, of attractors and of a functional polystability of nonautonomous nonlinear systems.

Key words: differential equations, differential systems, stability, algebraic critical cases, nonautono-mous quasilinear systems, nonautonomous essentially nonlinear systems.

Размещено на Allbest.ru